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3.7: Espacios métricos

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    I. En §§1-3, definimos distancias\(\rho(\overline{x}, \overline{y})\) para puntos\(\overline{x}, \overline{y}\)\(E^{n}\) usando la fórmula

    \[\rho(\overline{x}, \overline{y})=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}=|\overline{x}-\overline{y}|.\]

    Esto en realidad equivale a definir una determinada función\(\rho\) de dos variables También\(\overline{x}, \overline{y} \in\)\(E^{n} .\) demostramos que\(\rho\) obedece las tres leyes del Teorema 5 ahí. (Los llamamos leyes métricas.)

    Ahora, como se verá, tales funciones también se\(\rho\) pueden definir en otros conjuntos, utilizando fórmulas definitorias bastante diferentes. Es decir, dado cualquier conjunto\(S \neq \emptyset\) de elementos arbitrarios, se puede definir en él, por así decirlo, “distancias elegantes”\(\rho(x, y)\) satisfaciendo las mismas tres leyes. Resulta que no es la fórmula particular utilizada para definir\(\rho\) sino más bien la preservación de las tres leyes la que es más importante para fines teóricos generales.

    Así asumiremos que una función\(\rho\) con las mismas tres propiedades ha sido definida, de alguna manera u otra, para un conjunto\(S \neq \emptyset\), y proponer estudiar las consecuencias de las tres leyes métricas por sí solas, sin asumir nada más. (En particular, no hay operaciones que no sean\(\rho,\) valores absolutos, o desigualdades < necesitan definirse en\(S .\)) Todos los resultados así obtenidos, por supuesto, se aplicarán a las distancias en\(E^{n}\) (ya que obedecen a las leyes métricas), pero también se aplicarán a otros casos donde las leyes métricas se mantengan.

    Los elementos de\(S\) (aunque arbitrarios) se llamarán “puntos”, generalmente denotados por\(p, q, x, y, z\) (a veces con barras, etc.\() ; \rho\) se llama métrica para\(S .\) Nosotros la simbolizamos por

    \[\rho : S \times S \rightarrow E^{1}\]

    ya que es función definida en\(S \times S \) (pares de elementos de\(S)\) en\(E^{1} .\) Así nos llevan a la siguiente definición.

    Definición

    Un espacio métrico es un conjunto\(S \neq \emptyset\) junto con una función

    \[\rho : S \times S \rightarrow E^{1}\]

    (llamada métrica para\(S\)) que satisface las leyes métricas (axiomas):

    Para cualquier\(x, y,\) y\(z\) en\(S,\) tenemos

    1. \(\rho(x, y) \geq 0,\)y\(\left(\mathrm{i}^{\prime}\right) \rho(x, y)=0\) iff\(x=y;\)
    2. \(\rho(x, y)=\rho(y, x)\)(ley de simetría); y
    3. \(\rho(x, z) \leq \rho(x, y)+\rho(y, z)(\)ley del triángulo\().\)

    Así, un espacio métrico es un par\((S, \rho),\) a saber, un conjunto\(S\) y una métrica\(\rho\) para él. En general, se pueden definir muchas métricas diferentes

    \[\rho, \rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}, \ldots\]

    para el mismo\(S .\) Los espacios resultantes

    \[(S, \rho),\left(S, \rho^{\prime}\right),\left(S, \rho^{\prime \prime}\right), \ldots\]

    entonces son considerados como diferentes. Sin embargo, si la confusión es poco probable, simplemente\((S, \rho) .\) escribimos\(S\) para Escribimos\(p \in(S, \rho)\) "" para "\(p \in S\)con métrica\(\rho, \)" y "\(A \subseteq(S, \rho)\)" para "\(A \subseteq S\)en”\((S, \rho)\).”

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    (1) En\(E^{n},\) siempre asumimos

    \[\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}|\text{ (the "standard metric") }\]

    salvo que se indique lo contrario. Por Teorema 5 en §§1-3,\(\left(E^{n}, \rho\right)\) es un espacio métrico.

    (2) Sin embargo, uno puede definir para\(E^{n}\) muchas otras métricas “no estándar”. Por ejemplo,

    \[\rho^{\prime}(\overline{x}, \overline{y})=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\text{ for any real } p \geq 1\]

    igualmente satisface las leyes métricas (se sugiere una prueba en §10, Problemas 5-7; de manera similar para\(C^{n} .\)

    (3) Cualquier conjunto\(S \neq \emptyset\) puede ser “metrizado” (es decir, dotado de una métrica) configurando

    \[\rho(x, y)=1\text{ if } x \neq y,\text{ and } \rho(x, x)=0.\]

    (¡Verifica las leyes métricas!) Esta es la llamada métrica discreta. El espacio\((S, \rho)\) así definido se denomina espacio discreto.

    (4) Las distancias (“millas”) en la superficie de nuestro planeta se miden en realidad a lo largo de círculos que se ajustan a la curvatura del globo (no líneas rectas). Se puede demostrar que obedecen las leyes métricas y así definir una métrica (no estándar) para\(S=\) (superficie del globo).

    (5) Se dice que un mapeo\(f : A \rightarrow E^{1}\) está delimitado iff

    \[\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A) \quad|f(x)| \leq K.\]

    Para un fijo\(A \neq \emptyset,\) deja\(W\) ser el conjunto de todos esos mapas (cada uno siendo tratado como un solo “punto” de\(W ) .\) Metrize\(W\) por ajuste, para\(f, g \in W,\)

    \[\rho(f, g)=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.\]

    (Verificar las leyes métricas; ver una prueba similar en §10.)

    II. Ahora definimos “bolas” en cualquier espacio métrico\((S, \rho)\).

    Definición

    Dado\(p \in(S, \rho)\) y un real\(\varepsilon>0,\) definimos la bola o globo abierto con centro\(p\) y radio\(\varepsilon\) (brevemente "\(\varepsilon\)-globo sobre p”, denotado

    \[G_{p}\text{ or } G_{p}(\varepsilon)\text{ or } G(p ; \varepsilon),\]

    para ser el conjunto de todos\(x \in S\) tales que

    \[\rho(x, p)<\varepsilon.\]

    Del mismo modo, el\(\varepsilon\) globo cerrado sobre p es

    \[\overline{G}_{p}=\overline{G}_{p}(\varepsilon)=\{x \in S | \rho(x, p) \leq \varepsilon\}.\]

    La\(\varepsilon\) -esfera sobre\(p\) se define por

    \[S_{p}(\varepsilon)=\{x \in S | \rho(x, p)=\varepsilon\}.\]

    Nota. Un globo abierto en\(E^{3}\) es una esfera sólida ordinaria (sin su superficie\(S_{p}(\varepsilon) ),\) como se conoce de la geometría. En\(E^{2},\) un globo abierto hay un disco (el interior de un círculo). En\(E^{1}\), el globo\(G_{p}(\varepsilon)\) es simplemente el intervalo abierto\((p-\varepsilon, p+\varepsilon)\), mientras que\(\overline{G}_{p}(\varepsilon)\) es el intervalo cerrado\([p-\varepsilon, p+\varepsilon].\)

    La forma de los globos y esferas depende de la métrica\(\rho\). Puede llegar a ser bastante extraño para varias métricas inusuales. Por ejemplo, en el espacio discreto (Ejemplo (3)), cualquier globo de radio\(<1\) consiste solo en su centro, mientras que\(G_{p}(2)\) contiene todo el espacio. (¿Por qué?) Ver también Problemas 1 ,2, y 4.

    III. Ahora toma cualquier conjunto no vacío\(A \subseteq(S, \rho).\)

    Las distancias\(\rho(x, y)\) en\(S\) son, por supuesto, también definidas para puntos de\(A\) (ya que\(A \subseteq S\), y las leyes métricas siguen siendo válidas en\(A .\) Así\(A\) es igualmente un espacio métrico (menor) bajo la métrica\(\rho\) “heredada” de solo\(S ;\) tenemos que restringir el dominio de \(\rho\)a\(A \times A\) (pares de puntos de\(A ) .\) El conjunto\(A\) con esta métrica se llama un subespacio de\(S .\) Vamos a denotarlo\((A, \rho),\) usando la misma letra\(\rho\) o simplemente por\(A .\) Note que\(A\) con alguna otra métrica no\(\rho^{\prime}\) se llama a subespacio de\((S, \rho) .\)

    Por definición, los puntos en\((A, \rho)\) tienen las mismas distancias que en\((S, \rho) .\) Sin embargo, los globos y esferas en\((A, \rho)\) deben consistir en puntos de\(A\) solo, con centros en\(A .\) Denotando tal globo por

    \[G_{p}^{*}(\varepsilon)=\{x \in A | \rho(x, p)<\varepsilon\},\]

    vemos que se obtiene restringiendo\(G_{p}(\varepsilon)\) (el globo correspondiente en\(S )\) a puntos de\(A,\) i.e., quitando todos los puntos no en\(A .\) Así

    \[G_{p}^{*}(\varepsilon)=A \cap G_{p}(\varepsilon);\]

    de manera similar para globos y esferas cerradas. \(A \cap G_{p}(\varepsilon)\)a menudo se llama el globo relativizado (a\(A\))\(G_{p}(\varepsilon) .\) Tenga en cuenta que\(p \in G_{p}^{*}(\varepsilon)\) desde\(\rho(p, p)=0<\varepsilon,\) y\(p \in A.\)

    Por ejemplo, que\(R\) sea el subespacio de\(E^{1}\) consistir únicamente en racionales. Entonces el globo relativizado\(G_{p}^{*}(\varepsilon)\) consiste en todos los racionales en el intervalo

    \[G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon),\]

    y se supone aquí que\(p\) es racional en sí mismo.

    IV. Se deben hacer algunas observaciones sobre el sistema extendido de números reales\(E^{*}\) (ver Capítulo 2, §§13). Como sabemos,\(E^{*}\) consta de todos los reales y dos elementos adicionales,\(\pm \infty,\) con la convención que\(-\infty<x<+\infty\) para todos\(x \in E^{1}\). La métrica estándar\(\rho\) no se aplica a\(E^{*} .\) Sin embargo, uno puede metrizar\(E^{*}\) de varias otras maneras. La métrica más común\(\rho^{\prime}\) se sugiere en los Problemas 5 y 6 siguientes. Bajo esa métrica, los globos resultan ser intervalos finitos e infinitos en\(E^{*} .\)

    En lugar de metrizar\(E^{*},\) podemos simplemente adoptar la convención que los intervalos de la forma

    \[(a,+\infty]\text{ and } [-\infty, a), a \in E^{1},\]

    se llamarán “globos” aproximadamente\(+\infty\) y\(-\infty,\) respectivamente (sin especificar ningún “radio”). Globos sobre puntos finitos pueden permanecer como están en\(E^{1} .\) Esta convención es suficiente para la mayoría de los propósitos de la teoría de límites. La usaremos a menudo (como hicimos en el Capítulo 2, §13).


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