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3.7: Espacios métricos

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I. En §§1-3, definimos distancias$$\rho(\overline{x}, \overline{y})$$ para puntos$$\overline{x}, \overline{y}$$$$E^{n}$$ usando la fórmula

$\rho(\overline{x}, \overline{y})=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}}=|\overline{x}-\overline{y}|.$

Esto en realidad equivale a definir una determinada función$$\rho$$ de dos variables También$$\overline{x}, \overline{y} \in$$$$E^{n} .$$ demostramos que$$\rho$$ obedece las tres leyes del Teorema 5 ahí. (Los llamamos leyes métricas.)

Ahora, como se verá, tales funciones también se$$\rho$$ pueden definir en otros conjuntos, utilizando fórmulas definitorias bastante diferentes. Es decir, dado cualquier conjunto$$S \neq \emptyset$$ de elementos arbitrarios, se puede definir en él, por así decirlo, “distancias elegantes”$$\rho(x, y)$$ satisfaciendo las mismas tres leyes. Resulta que no es la fórmula particular utilizada para definir$$\rho$$ sino más bien la preservación de las tres leyes la que es más importante para fines teóricos generales.

Así asumiremos que una función$$\rho$$ con las mismas tres propiedades ha sido definida, de alguna manera u otra, para un conjunto$$S \neq \emptyset$$, y proponer estudiar las consecuencias de las tres leyes métricas por sí solas, sin asumir nada más. (En particular, no hay operaciones que no sean$$\rho,$$ valores absolutos, o desigualdades < necesitan definirse en$$S .$$) Todos los resultados así obtenidos, por supuesto, se aplicarán a las distancias en$$E^{n}$$ (ya que obedecen a las leyes métricas), pero también se aplicarán a otros casos donde las leyes métricas se mantengan.

Los elementos de$$S$$ (aunque arbitrarios) se llamarán “puntos”, generalmente denotados por$$p, q, x, y, z$$ (a veces con barras, etc.$$) ; \rho$$ se llama métrica para$$S .$$ Nosotros la simbolizamos por

$\rho : S \times S \rightarrow E^{1}$

ya que es función definida en$$S \times S$$ (pares de elementos de$$S)$$ en$$E^{1} .$$ Así nos llevan a la siguiente definición.

Definición

Un espacio métrico es un conjunto$$S \neq \emptyset$$ junto con una función

$\rho : S \times S \rightarrow E^{1}$

(llamada métrica para$$S$$) que satisface las leyes métricas (axiomas):

Para cualquier$$x, y,$$ y$$z$$ en$$S,$$ tenemos

1. $$\rho(x, y) \geq 0,$$y$$\left(\mathrm{i}^{\prime}\right) \rho(x, y)=0$$ iff$$x=y;$$
2. $$\rho(x, y)=\rho(y, x)$$(ley de simetría); y
3. $$\rho(x, z) \leq \rho(x, y)+\rho(y, z)($$ley del triángulo$$).$$

Así, un espacio métrico es un par$$(S, \rho),$$ a saber, un conjunto$$S$$ y una métrica$$\rho$$ para él. En general, se pueden definir muchas métricas diferentes

$\rho, \rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}, \ldots$

para el mismo$$S .$$ Los espacios resultantes

$(S, \rho),\left(S, \rho^{\prime}\right),\left(S, \rho^{\prime \prime}\right), \ldots$

entonces son considerados como diferentes. Sin embargo, si la confusión es poco probable, simplemente$$(S, \rho) .$$ escribimos$$S$$ para Escribimos$$p \in(S, \rho)$$ "" para "$$p \in S$$con métrica$$\rho,$$" y "$$A \subseteq(S, \rho)$$" para "$$A \subseteq S$$en”$$(S, \rho)$$.”

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(1) En$$E^{n},$$ siempre asumimos

$\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}|\text{ (the "standard metric") }$

salvo que se indique lo contrario. Por Teorema 5 en §§1-3,$$\left(E^{n}, \rho\right)$$ es un espacio métrico.

(2) Sin embargo, uno puede definir para$$E^{n}$$ muchas otras métricas “no estándar”. Por ejemplo,

$\rho^{\prime}(\overline{x}, \overline{y})=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\text{ for any real } p \geq 1$

igualmente satisface las leyes métricas (se sugiere una prueba en §10, Problemas 5-7; de manera similar para$$C^{n} .$$

(3) Cualquier conjunto$$S \neq \emptyset$$ puede ser “metrizado” (es decir, dotado de una métrica) configurando

$\rho(x, y)=1\text{ if } x \neq y,\text{ and } \rho(x, x)=0.$

(¡Verifica las leyes métricas!) Esta es la llamada métrica discreta. El espacio$$(S, \rho)$$ así definido se denomina espacio discreto.

(4) Las distancias (“millas”) en la superficie de nuestro planeta se miden en realidad a lo largo de círculos que se ajustan a la curvatura del globo (no líneas rectas). Se puede demostrar que obedecen las leyes métricas y así definir una métrica (no estándar) para$$S=$$ (superficie del globo).

(5) Se dice que un mapeo$$f : A \rightarrow E^{1}$$ está delimitado iff

$\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A) \quad|f(x)| \leq K.$

Para un fijo$$A \neq \emptyset,$$ deja$$W$$ ser el conjunto de todos esos mapas (cada uno siendo tratado como un solo “punto” de$$W ) .$$ Metrize$$W$$ por ajuste, para$$f, g \in W,$$

$\rho(f, g)=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.$

(Verificar las leyes métricas; ver una prueba similar en §10.)

II. Ahora definimos “bolas” en cualquier espacio métrico$$(S, \rho)$$.

Definición

Dado$$p \in(S, \rho)$$ y un real$$\varepsilon>0,$$ definimos la bola o globo abierto con centro$$p$$ y radio$$\varepsilon$$ (brevemente "$$\varepsilon$$-globo sobre p”, denotado

$G_{p}\text{ or } G_{p}(\varepsilon)\text{ or } G(p ; \varepsilon),$

para ser el conjunto de todos$$x \in S$$ tales que

$\rho(x, p)<\varepsilon.$

Del mismo modo, el$$\varepsilon$$ globo cerrado sobre p es

$\overline{G}_{p}=\overline{G}_{p}(\varepsilon)=\{x \in S | \rho(x, p) \leq \varepsilon\}.$

La$$\varepsilon$$ -esfera sobre$$p$$ se define por

$S_{p}(\varepsilon)=\{x \in S | \rho(x, p)=\varepsilon\}.$

Nota. Un globo abierto en$$E^{3}$$ es una esfera sólida ordinaria (sin su superficie$$S_{p}(\varepsilon) ),$$ como se conoce de la geometría. En$$E^{2},$$ un globo abierto hay un disco (el interior de un círculo). En$$E^{1}$$, el globo$$G_{p}(\varepsilon)$$ es simplemente el intervalo abierto$$(p-\varepsilon, p+\varepsilon)$$, mientras que$$\overline{G}_{p}(\varepsilon)$$ es el intervalo cerrado$$[p-\varepsilon, p+\varepsilon].$$

La forma de los globos y esferas depende de la métrica$$\rho$$. Puede llegar a ser bastante extraño para varias métricas inusuales. Por ejemplo, en el espacio discreto (Ejemplo (3)), cualquier globo de radio$$<1$$ consiste solo en su centro, mientras que$$G_{p}(2)$$ contiene todo el espacio. (¿Por qué?) Ver también Problemas 1 ,2, y 4.

III. Ahora toma cualquier conjunto no vacío$$A \subseteq(S, \rho).$$

Las distancias$$\rho(x, y)$$ en$$S$$ son, por supuesto, también definidas para puntos de$$A$$ (ya que$$A \subseteq S$$, y las leyes métricas siguen siendo válidas en$$A .$$ Así$$A$$ es igualmente un espacio métrico (menor) bajo la métrica$$\rho$$ “heredada” de solo$$S ;$$ tenemos que restringir el dominio de $$\rho$$a$$A \times A$$ (pares de puntos de$$A ) .$$ El conjunto$$A$$ con esta métrica se llama un subespacio de$$S .$$ Vamos a denotarlo$$(A, \rho),$$ usando la misma letra$$\rho$$ o simplemente por$$A .$$ Note que$$A$$ con alguna otra métrica no$$\rho^{\prime}$$ se llama a subespacio de$$(S, \rho) .$$

Por definición, los puntos en$$(A, \rho)$$ tienen las mismas distancias que en$$(S, \rho) .$$ Sin embargo, los globos y esferas en$$(A, \rho)$$ deben consistir en puntos de$$A$$ solo, con centros en$$A .$$ Denotando tal globo por

$G_{p}^{*}(\varepsilon)=\{x \in A | \rho(x, p)<\varepsilon\},$

vemos que se obtiene restringiendo$$G_{p}(\varepsilon)$$ (el globo correspondiente en$$S )$$ a puntos de$$A,$$ i.e., quitando todos los puntos no en$$A .$$ Así

$G_{p}^{*}(\varepsilon)=A \cap G_{p}(\varepsilon);$

de manera similar para globos y esferas cerradas. $$A \cap G_{p}(\varepsilon)$$a menudo se llama el globo relativizado (a$$A$$)$$G_{p}(\varepsilon) .$$ Tenga en cuenta que$$p \in G_{p}^{*}(\varepsilon)$$ desde$$\rho(p, p)=0<\varepsilon,$$ y$$p \in A.$$

Por ejemplo, que$$R$$ sea el subespacio de$$E^{1}$$ consistir únicamente en racionales. Entonces el globo relativizado$$G_{p}^{*}(\varepsilon)$$ consiste en todos los racionales en el intervalo

$G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon),$

y se supone aquí que$$p$$ es racional en sí mismo.

IV. Se deben hacer algunas observaciones sobre el sistema extendido de números reales$$E^{*}$$ (ver Capítulo 2, §§13). Como sabemos,$$E^{*}$$ consta de todos los reales y dos elementos adicionales,$$\pm \infty,$$ con la convención que$$-\infty<x<+\infty$$ para todos$$x \in E^{1}$$. La métrica estándar$$\rho$$ no se aplica a$$E^{*} .$$ Sin embargo, uno puede metrizar$$E^{*}$$ de varias otras maneras. La métrica más común$$\rho^{\prime}$$ se sugiere en los Problemas 5 y 6 siguientes. Bajo esa métrica, los globos resultan ser intervalos finitos e infinitos en$$E^{*} .$$

En lugar de metrizar$$E^{*},$$ podemos simplemente adoptar la convención que los intervalos de la forma

$(a,+\infty]\text{ and } [-\infty, a), a \in E^{1},$

se llamarán “globos” aproximadamente$$+\infty$$ y$$-\infty,$$ respectivamente (sin especificar ningún “radio”). Globos sobre puntos finitos pueden permanecer como están en$$E^{1} .$$ Esta convención es suficiente para la mayoría de los propósitos de la teoría de límites. La usaremos a menudo (como hicimos en el Capítulo 2, §13).

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