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LibreTexts Español

3.8.E: Problemas en Barrios, Conjuntos Abiertos y Cerrados (Ejercicios)

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(\Rightarrow 1 .\)Verificar Ejemplo\((1)\).
    \(\left[\text { Hint: Given } p \in G_{q}(r), \text { let }\right.\)
    \ [
    \ delta=r-\ rho (p, q) >0. \ quad (\ mathrm {¿Por qué} >0?)
    \]
    Usa la ley del triángulo para mostrar que
    \ [
    x\ in G_ {p} (\ delta)\ Rightarrow\ rho (x, q) <r\ Rightarrow x\ in G_ {q} (r).]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(\Rightarrow 2 .\)Ver Ejemplo\((2) ;\) ver Figura 8.
    [Pista: Si\(\overline{p} \in(\overline{a}, \overline{b}),\) elige\(\delta\) menos de los 2\(n\) números
    \ [
    p_ {k} -a_ {k}\ text {y} b_ {k} -p_ {k},\ quad k=1,\ ldots, n;
    \]
    entonces muestra eso\(G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq(\overline{a}, \overline{b}) . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que si\(\overline{p} \in G_{\overline{q}}(r)\) en\(E^{n},\) entonces\(G_{\overline{q}}(r)\) contiene un cubo\([\overline{c}, \overline{d}]\) con\(\overline{c} \neq \overline{d}\) y con centro\(\overline{p}\).
    [Sugerencia: Por ejemplo\((1),\) hay\(G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq G_{\overline{q}}(r) .\) Inscribe en\(G_{\overline{p}}\left(\frac{1}{2} \delta\right)\) un cubo de diagonal\(\delta .\) Encuentra su longitud de borde\((\delta / \sqrt{n}) .\) Luego úsalo para encontrar las coordenadas de los puntos finales,\(\overline{c}\) y\(\overline{d} (\text { given } \overline{p}, \text { the center). Prove that }[\overline{c}, \overline{d}] \subseteq G_{\overline{p}}(\delta) .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Verificar Ejemplo\((3)\).
    [Sugerencia: Para demostrar que no hay puntos interiores de\([\overline{a}, \overline{b}]\) están afuera\((\overline{a}, \overline{b}),\) let\(\overline{p} \notin(\overline{a}, \overline{b}) .\) Entonces por lo menos una de las desigualdades\(a_{k}<p_{k}\) o\(p_{k}<b_{k}\) falla. (¿Por qué?) Que se\(a_{1}<p_{1},\) diga, así\(p_{1} \leq a_{1}\).
    Ahora tome cualquier globo\(G_{\overline{p}}(\delta)\) alrededor\(\overline{p}\) y demuestre que no está contenido en\([\overline{a}, \overline{b}]\) (así que\(\overline{p}\) no puede ser un punto interior). Para ello, como en Problema\(3,\) muestran que\(G_{\overline{p}}(\delta) \supseteq[\overline{c}, \overline{d}]\) con\(c_{1}<p_{1} \leq a_{1} .\) Deducir eso\(\overline{c} \in G_{\overline{p}}(\delta),\) pero\(\overline{c} \notin[\overline{a}, \overline{b}] ;\) así\(G_{\overline{p}}(\delta) \nsubseteq[\overline{a}, \overline{b}] . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar que cada globo abierto\(G_{\overline{q}}(r)\) en\(E^{n}\) es una unión de cubos (que se pueden hacer abiertos, cerrados, semiabiertos, etc., según se desee). También, mostrar que cada intervalo abierto\((\overline{a}, \overline{b}) \neq \emptyset\) en\(E^{n}\) es una unión de globos abiertos (o cerrados).
    [Sugerencia para la primera parte: Por Problema\(3,\) cada uno\(\overline{p} \in G_{\overline{q}}(r)\) está en un cubo\(C_{p} \subseteq G_{\overline{q}}(r) .\) Mostrar eso\(G_{\overline{q}}(r)=\bigcup C_{p} . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que cada globo en\(E^{n}\) contiene puntos racionales, es decir, aquellos con coordenadas racionales solamente (lo expresamos diciendo que el conjunto\(R^{n}\) de tales puntos es denso de manera\(E^{n} ) ;\) similar para el conjunto\(I^{n}\) de puntos irracionales (aquellos con coordenadas irracionales).
    [Sugerencia: Primero compruébalo con globos reemplazados por cubos\((\overline{c}, \overline{d}) ;\) ver\(§7,\) Corolario\(3 .\) Luego usa Problema 3 anterior. \(]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar que si\(\overline{x} \in G_{\overline{q}}(r)\) en\(E^{n},\) hay un punto racional\(\overline{p}\) (Problema 6\()\) y un número racional\(\delta>0\) tal que\(\overline{x} \in G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq G_{\overline{q}}(r) .\) deducir que cada globo\(G_{\overline{q}}(r)\) en\(E^{n}\) es una unión de globos racionales (aquellos con centros racionales y radios). De igual manera, mostrar que\(G_{\overline{q}}(r)\) es una unión de intervalos con puntos finales racionales.
    [Sugerencia para la primera parte: Usar Problema 6 y Ejemplo\((1) . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que si los puntos\(p_{1}, \ldots, p_{n}\) en\((S, \rho)\) son distintos, existe\(\varepsilon>0\) tal que los globos\(G\left(p_{k} ; \varepsilon\right)\) están disjuntos entre sí, para\(k=1,2, \ldots, n .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Hacer problema\(7,\) con\(G_{\overline{q}}(r)\) reemplazado por un conjunto abierto arbitrario\(G \neq \emptyset\) en\(E^{n} .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demuestre que cada set abierto\(G \neq \emptyset\) en\(E^{n}\) es infinito\((* \text { even uncountable; }\) ver Capítulo\(1,§9\)).
    [Sugerencia: Elija\(G_{\overline{q}}(r) \subseteq G .\) Por Problema\(3, G_{\overline{p}}(r) \supset L[\overline{c}, \overline{d}],\) un segmento de línea.]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dé ejemplos para mostrar que una intersección infinita de conjuntos abiertos puede no estar abierta, y una unión infinita de conjuntos cerrados puede no estar cerrada.
    [Pista: Mostrar que
    \ [
    \ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (-\ frac {1} {n},\ frac {1} {n}\ derecha) =\ {0\}
    \]
    y
    \ [
    \ bigcup_ {n=2} ^ {\ infty}\ left [\ frac {1} {n}, 1-\ frac {1} n}\ derecha] =( 0,1).]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Verificar Ejemplo\((6)\) como se sugiere en las Figuras 9 y\(10 .\)
    [Sugerencias: (i) Para\(\overline{G}_{q}(r),\) tomar

    \ [\ delta=\ rho (p, q) -r>0. \ quad (\ mathrm {¿Por qué} >0?)
    \]
    (ii) Si al\(\overline{p} \notin[\overline{a}, \overline{b}],\) menos una de las 2\(n\) desigualdades\(a_{k} \leq p_{k}\) o\(p_{k} \leq b_{k}\) falla (¿por qué?) , digamos,\(p_{1}<a_{1} .\) Toma\(\delta=a_{1}-p_{1}\).
    En ambos\((\mathrm{i})\) y (ii) demostrar que\(A \cap G_{p}(\delta)=\emptyset\) (proceder como en el Teorema 1\() . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{*13}\)

    Demostrar las últimas partes de los Teoremas 3 y 4.

    Ejercicio\(\PageIndex{*14}\)

    Demostrar que\(A^{0},\) el interior de\(A,\) es la unión de todos los globos abiertos contenidos en\(A\) (supongamos\(A^{0} \neq \emptyset ) .\) Deducir que\(A^{0}\) es un conjunto abierto, el más grande contenido en\(A .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{*15}\)

    Para conjuntos\(A, B \subseteq(S, \rho),\) probar que
    (i)\((A \cap B)^{0}=A^{0} \cap B^{0}\);
    (ii)\(\left(A^{0}\right)^{0}=A^{0} ;\) y
    (iii) si\(A \subseteq B\) entonces\(A^{0} \subseteq B^{0}\).
    \(\left[\text { Hint for }(\mathrm{ii}) : A^{0} \text { is open by Problem } 14 .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Es\(A^{0} \cup B^{0}=(A \cup B)^{0} ?\)
    [Sugerencia: Ver ejemplo\((4) .\) tomar\(A=R, B=E^{1}-R . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Demostrar que si\(M\) y\(N\) son barrios de\(p\) en\((S, \rho),\) entonces
    (a)\(p \in M \cap N\);
    (b)\(M \cap N\) es un barrio de\(p\);
    * (c) así es\(M^{0} ;\) y
    (d) así también es cada conjunto\(P \subseteq S\) tal que\(P \supseteq M\) o \(P \supseteq N\).
    \([\text { Hint for }(\mathrm{c}) : \text { See Problem } 14 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    El límite de un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) está definido por
    \ [
    \ operatorname {bd} A=-\ left [A^ {0}\ cup (-A) ^ {0}\ right];
    \]
    así consiste en puntos que no logran ser interiores en\(A\) o en\(-A\).
    Demostrar que las siguientes afirmaciones son ciertas:
    (i)\(S=A^{0} \cup\) bd\(A \cup(-A)^{0},\) todas disjuntas.
    ii)\(\operatorname{bd} S=\emptyset,\) bd\(\emptyset=\emptyset\).
    \(*(\text { iii }) A\)está abierto iff\(A \cap\) bd\(A=\emptyset ; A\) está cerrado iff\(A \supseteq\) bd\(A\).
    \((\mathrm{iv}) \operatorname{In} E^{n}\),
    \ [
    \ operatorname {bd} G_ {\ overline {p}} (r) =\ operatorname {bd}\ overline {G} _ {\ overline {p}} (r) =S_ {\ overline {p}} (r)
    \]
    (la esfera con centro\(\overline{p}\) y radio ¿\(r ) .\)Es esto cierto en todos los espacios métricos?
    [Sugerencia: Considere\(G_{p}(1)\) en un espacio discreto\((S, \rho)\) con más de un punto en\(S ;\) ver §11, Ejemplo (3).]
    \((\mathrm{v}) \operatorname{In} E^{n},\)si\((\overline{a}, \overline{b}) \neq \emptyset,\) entonces
    \(\operatorname{bd}(\overline{a}, \overline{b}]=\operatorname{bd}[\overline{a}, \overline{b})=\operatorname{bd}(\overline{a}, \overline{b})=\operatorname{bd}[\overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \overline{b}]-(\overline{a}, \overline{b})\).
    (vi) de\(\operatorname{In} E^{n},\left(R^{n}\right)^{0}=\emptyset ;\) ahí bd\(R^{n}=E^{n}\left(R^{n} \text { as in Problem } 6\right)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Verificar Ejemplo (8) para intervalos en\(E^{n}\).


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