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# 3.8.E: Problemas en Barrios, Conjuntos Abiertos y Cerrados (Ejercicios)

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$\Rightarrow 1 .$$Verificar Ejemplo$$(1)$$.
$$\left[\text { Hint: Given } p \in G_{q}(r), \text { let }\right.$$
\ [
\ delta=r-\ rho (p, q) >0. \ quad (\ mathrm {¿Por qué} >0?)
\]
Usa la ley del triángulo para mostrar que
\ [
x\ in G_ {p} (\ delta)\ Rightarrow\ rho (x, q) <r\ Rightarrow x\ in G_ {q} (r).]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$\Rightarrow 2 .$$Ver Ejemplo$$(2) ;$$ ver Figura 8.
[Pista: Si$$\overline{p} \in(\overline{a}, \overline{b}),$$ elige$$\delta$$ menos de los 2$$n$$ números
\ [
p_ {k} -a_ {k}\ text {y} b_ {k} -p_ {k},\ quad k=1,\ ldots, n;
\]
entonces muestra eso$$G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq(\overline{a}, \overline{b}) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que si$$\overline{p} \in G_{\overline{q}}(r)$$ en$$E^{n},$$ entonces$$G_{\overline{q}}(r)$$ contiene un cubo$$[\overline{c}, \overline{d}]$$ con$$\overline{c} \neq \overline{d}$$ y con centro$$\overline{p}$$.
[Sugerencia: Por ejemplo$$(1),$$ hay$$G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq G_{\overline{q}}(r) .$$ Inscribe en$$G_{\overline{p}}\left(\frac{1}{2} \delta\right)$$ un cubo de diagonal$$\delta .$$ Encuentra su longitud de borde$$(\delta / \sqrt{n}) .$$ Luego úsalo para encontrar las coordenadas de los puntos finales,$$\overline{c}$$ y$$\overline{d} (\text { given } \overline{p}, \text { the center). Prove that }[\overline{c}, \overline{d}] \subseteq G_{\overline{p}}(\delta) .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Verificar Ejemplo$$(3)$$.
[Sugerencia: Para demostrar que no hay puntos interiores de$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ están afuera$$(\overline{a}, \overline{b}),$$ let$$\overline{p} \notin(\overline{a}, \overline{b}) .$$ Entonces por lo menos una de las desigualdades$$a_{k}<p_{k}$$ o$$p_{k}<b_{k}$$ falla. (¿Por qué?) Que se$$a_{1}<p_{1},$$ diga, así$$p_{1} \leq a_{1}$$.
Ahora tome cualquier globo$$G_{\overline{p}}(\delta)$$ alrededor$$\overline{p}$$ y demuestre que no está contenido en$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ (así que$$\overline{p}$$ no puede ser un punto interior). Para ello, como en Problema$$3,$$ muestran que$$G_{\overline{p}}(\delta) \supseteq[\overline{c}, \overline{d}]$$ con$$c_{1}<p_{1} \leq a_{1} .$$ Deducir eso$$\overline{c} \in G_{\overline{p}}(\delta),$$ pero$$\overline{c} \notin[\overline{a}, \overline{b}] ;$$ así$$G_{\overline{p}}(\delta) \nsubseteq[\overline{a}, \overline{b}] . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar que cada globo abierto$$G_{\overline{q}}(r)$$ en$$E^{n}$$ es una unión de cubos (que se pueden hacer abiertos, cerrados, semiabiertos, etc., según se desee). También, mostrar que cada intervalo abierto$$(\overline{a}, \overline{b}) \neq \emptyset$$ en$$E^{n}$$ es una unión de globos abiertos (o cerrados).
[Sugerencia para la primera parte: Por Problema$$3,$$ cada uno$$\overline{p} \in G_{\overline{q}}(r)$$ está en un cubo$$C_{p} \subseteq G_{\overline{q}}(r) .$$ Mostrar eso$$G_{\overline{q}}(r)=\bigcup C_{p} . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que cada globo en$$E^{n}$$ contiene puntos racionales, es decir, aquellos con coordenadas racionales solamente (lo expresamos diciendo que el conjunto$$R^{n}$$ de tales puntos es denso de manera$$E^{n} ) ;$$ similar para el conjunto$$I^{n}$$ de puntos irracionales (aquellos con coordenadas irracionales).
[Sugerencia: Primero compruébalo con globos reemplazados por cubos$$(\overline{c}, \overline{d}) ;$$ ver$$§7,$$ Corolario$$3 .$$ Luego usa Problema 3 anterior. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si$$\overline{x} \in G_{\overline{q}}(r)$$ en$$E^{n},$$ hay un punto racional$$\overline{p}$$ (Problema 6$$)$$ y un número racional$$\delta>0$$ tal que$$\overline{x} \in G_{\overline{p}}(\delta) \subseteq G_{\overline{q}}(r) .$$ deducir que cada globo$$G_{\overline{q}}(r)$$ en$$E^{n}$$ es una unión de globos racionales (aquellos con centros racionales y radios). De igual manera, mostrar que$$G_{\overline{q}}(r)$$ es una unión de intervalos con puntos finales racionales.
[Sugerencia para la primera parte: Usar Problema 6 y Ejemplo$$(1) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que si los puntos$$p_{1}, \ldots, p_{n}$$ en$$(S, \rho)$$ son distintos, existe$$\varepsilon>0$$ tal que los globos$$G\left(p_{k} ; \varepsilon\right)$$ están disjuntos entre sí, para$$k=1,2, \ldots, n .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Hacer problema$$7,$$ con$$G_{\overline{q}}(r)$$ reemplazado por un conjunto abierto arbitrario$$G \neq \emptyset$$ en$$E^{n} .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demuestre que cada set abierto$$G \neq \emptyset$$ en$$E^{n}$$ es infinito$$(* \text { even uncountable; }$$ ver Capítulo$$1,§9$$).
[Sugerencia: Elija$$G_{\overline{q}}(r) \subseteq G .$$ Por Problema$$3, G_{\overline{p}}(r) \supset L[\overline{c}, \overline{d}],$$ un segmento de línea.]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dé ejemplos para mostrar que una intersección infinita de conjuntos abiertos puede no estar abierta, y una unión infinita de conjuntos cerrados puede no estar cerrada.
[Pista: Mostrar que
\ [
\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (-\ frac {1} {n},\ frac {1} {n}\ derecha) =\ {0\}
\]
y
\ [
\ bigcup_ {n=2} ^ {\ infty}\ left [\ frac {1} {n}, 1-\ frac {1} n}\ derecha] =( 0,1).]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Verificar Ejemplo$$(6)$$ como se sugiere en las Figuras 9 y$$10 .$$
[Sugerencias: (i) Para$$\overline{G}_{q}(r),$$ tomar

\ [\ delta=\ rho (p, q) -r>0. \ quad (\ mathrm {¿Por qué} >0?)
\]
(ii) Si al$$\overline{p} \notin[\overline{a}, \overline{b}],$$ menos una de las 2$$n$$ desigualdades$$a_{k} \leq p_{k}$$ o$$p_{k} \leq b_{k}$$ falla (¿por qué?) , digamos,$$p_{1}<a_{1} .$$ Toma$$\delta=a_{1}-p_{1}$$.
En ambos$$(\mathrm{i})$$ y (ii) demostrar que$$A \cap G_{p}(\delta)=\emptyset$$ (proceder como en el Teorema 1$$) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*13}$$

Demostrar las últimas partes de los Teoremas 3 y 4.

## Ejercicio$$\PageIndex{*14}$$

Demostrar que$$A^{0},$$ el interior de$$A,$$ es la unión de todos los globos abiertos contenidos en$$A$$ (supongamos$$A^{0} \neq \emptyset ) .$$ Deducir que$$A^{0}$$ es un conjunto abierto, el más grande contenido en$$A .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*15}$$

Para conjuntos$$A, B \subseteq(S, \rho),$$ probar que
(i)$$(A \cap B)^{0}=A^{0} \cap B^{0}$$;
(ii)$$\left(A^{0}\right)^{0}=A^{0} ;$$ y
(iii) si$$A \subseteq B$$ entonces$$A^{0} \subseteq B^{0}$$.
$$\left[\text { Hint for }(\mathrm{ii}) : A^{0} \text { is open by Problem } 14 .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Es$$A^{0} \cup B^{0}=(A \cup B)^{0} ?$$
[Sugerencia: Ver ejemplo$$(4) .$$ tomar$$A=R, B=E^{1}-R . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Demostrar que si$$M$$ y$$N$$ son barrios de$$p$$ en$$(S, \rho),$$ entonces
(a)$$p \in M \cap N$$;
(b)$$M \cap N$$ es un barrio de$$p$$;
* (c) así es$$M^{0} ;$$ y
(d) así también es cada conjunto$$P \subseteq S$$ tal que$$P \supseteq M$$ o $$P \supseteq N$$.
$$[\text { Hint for }(\mathrm{c}) : \text { See Problem } 14 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

El límite de un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ está definido por
\ [
\ operatorname {bd} A=-\ left [A^ {0}\ cup (-A) ^ {0}\ right];
\]
así consiste en puntos que no logran ser interiores en$$A$$ o en$$-A$$.
Demostrar que las siguientes afirmaciones son ciertas:
(i)$$S=A^{0} \cup$$ bd$$A \cup(-A)^{0},$$ todas disjuntas.
ii)$$\operatorname{bd} S=\emptyset,$$ bd$$\emptyset=\emptyset$$.
$$*(\text { iii }) A$$está abierto iff$$A \cap$$ bd$$A=\emptyset ; A$$ está cerrado iff$$A \supseteq$$ bd$$A$$.
$$(\mathrm{iv}) \operatorname{In} E^{n}$$,
\ [
\ operatorname {bd} G_ {\ overline {p}} (r) =\ operatorname {bd}\ overline {G} _ {\ overline {p}} (r) =S_ {\ overline {p}} (r)
\]
(la esfera con centro$$\overline{p}$$ y radio ¿$$r ) .$$Es esto cierto en todos los espacios métricos?
[Sugerencia: Considere$$G_{p}(1)$$ en un espacio discreto$$(S, \rho)$$ con más de un punto en$$S ;$$ ver §11, Ejemplo (3).]
$$(\mathrm{v}) \operatorname{In} E^{n},$$si$$(\overline{a}, \overline{b}) \neq \emptyset,$$ entonces
$$\operatorname{bd}(\overline{a}, \overline{b}]=\operatorname{bd}[\overline{a}, \overline{b})=\operatorname{bd}(\overline{a}, \overline{b})=\operatorname{bd}[\overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \overline{b}]-(\overline{a}, \overline{b})$$.
(vi) de$$\operatorname{In} E^{n},\left(R^{n}\right)^{0}=\emptyset ;$$ ahí bd$$R^{n}=E^{n}\left(R^{n} \text { as in Problem } 6\right)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Verificar Ejemplo (8) para intervalos en$$E^{n}$$.

3.8.E: Problemas en Barrios, Conjuntos Abiertos y Cerrados (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.