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I. Geométricamente, el diámetro de un globo cerrado$$E^{n}$$ podría definirse como la distancia máxima entre dos de sus puntos. En un globo abierto en no$$E^{n},$$ hay distancia “máxima” (¿por qué?) , pero aún podemos considerar la suprema de todas las distancias dentro del globo. Además, esto tiene sentido en cualquier conjunto$$A \subseteq(S, \rho) .$$ Así lo aceptamos como una definición general, para cualquier conjunto de este tipo.

## Definición

El diámetro de un conjunto$$A \neq \emptyset$$ en un espacio métrico$$(S, \rho),$$ denotado$$d A,$$ es el supremo (in$$E^{*}$$) de todas las distancias$$\rho(x, y),$$ con$$x, y \in A ;^{1}$$ símbolos,

$d A=\sup _{x, y \in A} \rho(x, y).$

Si$$A=\emptyset,$$ ponemos$$d A=0 .$$ Si$$d A<+\infty, A$$ se dice que está acotado$$($$ en$$(S, \rho) ) .$$

Equivalentemente, podríamos definir un conjunto acotado como en el enunciado del siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$A$$conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ está limitado iff$$A$$ está contenido en algún globo. Si es así, el centro p de este globo se puede elegir a voluntad.

Prueba

Si$$A=\emptyset,$$ todo es trivial.

Así vamos$$A \neq \emptyset ;$$ a dejar$$q \in A,$$ y elegir cualquier$$p \in S .$$ Ahora si$$A$$ está acotado, entonces$$d A<+\infty,$$ así podemos elegir un real$$\varepsilon>$$$$\rho(p, q)+d A$$ como un radio adecuado para un globo$$G_{p}(\varepsilon) \supseteq A($$ ver Figura 11 para la motivación$$).$$ Ahora bien, si$$x \in A,$$ entonces por la definición de$$d A$$ $$\rho(q, x) \leq d A ;$$así por la ley del triángulo,

\begin{aligned} \rho(p, x) & \leq \rho(p, q)+\rho(q, x) \\ & \leq \rho(p, q)+d A<\varepsilon; \end{aligned}

es decir,$$x \in G_{p}(\varepsilon) .$$ así$$(\forall x \in A) x \in G_{p}(\varepsilon)$$ como se requiera.

Por el contrario, si$$A \subseteq G_{p}(\varepsilon),$$ entonces alguno también$$x, y \in A$$ están en$$G_{p}(\varepsilon) ;$$ tal$$\rho(x, p)<\varepsilon$$ y de$$\rho(p, y)<\varepsilon,$$ dónde

$\rho(x, y) \leq \rho(x, p)+\rho(p, y)<\varepsilon+\varepsilon=2 \varepsilon.$

Así 2$$\varepsilon$$ es un límite superior de todos$$\rho(x, y)$$ con$$x, y \in A .$$ Por lo tanto,

$d A=\sup \rho(x, y) \leq 2 \varepsilon<+\infty;$

es decir,$$A$$ está acotado, y todo está probado. $$\square$$

Como caso especial obtenemos lo siguiente.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$A$$conjunto$$A \subseteq E^{n}$$ está acotado iff hay un real$$K>0$$ tal que

$(\forall \overline{x} \in A) \quad|\overline{x}|<K$

(*de manera similar en$$C^{n}$$ y otros espacios normados).

Prueba

Por teorema$$1($$ elegir$$\overline{0}$$ para$$p), A$$ está limitado iff$$A$$ está contenido en algún globo$$G_{\overline{0}}(\varepsilon)$$ sobre$$\overline{0} .$$ Eso es,

$(\forall \overline{x} \in A) \quad \overline{x} \in G_{\overline{0}}(\varepsilon)\text{ or } \rho(\overline{x}, \overline{0})=|\overline{x}|<\varepsilon.$

Así$$\varepsilon$$ es lo requerido$$K$$. (*La prueba para espacios normados es la misma.) $$\square$$

Nota 1. En$$E^{1},$$ esto significa que

$(\forall x \in A) \quad-K<x<K;$

es decir,$$A$$ está delimitado por$$-K$$ y$$K .$$ Esto concuerda con nuestra definición anterior, dada en el Capítulo 2, §8-9.

Precaución: Los límites superior e inferior no están definidos$$(S, \rho),$$ en general.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(1)$$\emptyset$$ está acotado, con$$d \emptyset=0,$$ por definición.

(2) Dejar$$A=[\overline{a}, \overline{b}]$$ entrar$$E^{n},$$ con$$d=\rho(\overline{a}, \overline{b})$$ su diagonal. Por Corolario 1 en §7$$d$$ es la distancia más grande$$A .$$ en En intervalos no cerrados, todavía tenemos

$d=\sup _{x, y \in A} \rho(x, y)=d A<+\infty\text{ (see Problem 10 (ii)).}$

Por lo tanto, todos los intervalos en$$E^{n}$$ están delimitados.

(3) Cada globo$$G_{p}(\varepsilon)$$ en$$(S, \rho)$$ está acotado, con$$d G_{p}(\varepsilon) \leq 2 \varepsilon<+\infty,$$ como se mostró en la prueba del Teorema$$1 .$$ Véase, sin embargo, Problemas 5 y 6 a continuación.

(4) Todo no$$E^{n}$$ está acotado, bajo la métrica estándar, porque si$$E^{n}$$ tuviera un diámetro finito$$d,$$ ninguna distancia en$$E^{n}$$ superaría$$d ;$$ sino$$\rho\left(-d \overline{e}_{1}, d \overline{e}_{1}\right)=2 d$$, ¡una contradicción!

(5) Por otro lado, bajo la métrica discreta §11, Ejemplo (3)), cualquier conjunto (incluso todo el espacio) está contenido en$$G_{p}(3)$$ y por lo tanto acotado. Lo mismo se aplica a la métrica$$\rho^{\prime}$$ definida para$$E^{*}$$ en el Problema 5 de §§11, ya que las distancias por debajo de esa métrica nunca superan$$2,$$ y así$$E^{*} \subseteq G_{p}(3)$$ para cualquier elección de$$p$$.

Nota 2. Esto muestra que la delimitación depende de la métrica$$\rho .$$ Un conjunto puede estar limitado bajo una métrica y no delimitado bajo otra. Se dice que una métrica$$\rho$$ está limitada si todos los conjuntos están delimitados bajo$$\rho$$ (como en el Ejemplo (5)).

El problema 9 del §11 muestra que cualquier métrica$$\rho$$ puede transformarse en una acotada, incluso conservando todos los globos suficientemente pequeños; en la parte (i) del problema, incluso los radios siguen siendo los mismos si lo son$$\leq 1$$.

Nota 3. A menudo se usa una idea similar a la del diámetro para definir distancias entre conjuntos. Si$$A \neq \emptyset$$ y$$B \neq \emptyset$$ en$$(S, \rho),$$ definimos$$\rho(A, B)$$ ser el infimum de todas las distancias$$\rho(x, y),$$ con$$x \in A$$ y$$y \in B .$$ En particular, si$$B=\{p\}$$ (un singleton$$),$$ escribimos$$\rho(A, p)$$ para$$\rho(A, B).$$ Así

$\rho(A, p)=\inf _{x \in A} \rho(x, p).$

II. La definición de amplitud se extiende, de manera natural, a secuencias y funciones. Escribimos brevemente$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)$$ para una secuencia de puntos en$$(S, \rho)$$, y$$f : A \rightarrow(S, \rho)$$ para un mapeo de un conjunto arbitrario$$A$$ en el espacio$$S .$$ En lugar de “secuencia infinita con término general$$x_{m},$$" decimos “la secuencia”$$x_{m}$$.

## Definición

$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)$$Se dice que una secuencia está limitada si su rango está limitado,$$(S, \rho),$$ es decir, si todos sus términos$$x_{m}$$ están contenidos en algún globo en$$(S, \rho).$$

En$$E^{n},$$ este medio (por Teorema 2$$)$$ que

$(\forall m) \quad\left|x_{m}\right|<K$

para algunos fijos$$K \in E^{1}.$$

## Definición

$$f : A \rightarrow(S, \rho)$$Se dice que una función está limitada en un conjunto si el conjunto$$B \subseteq A$$ de imágenes$$f[B]$$ está limitado, es$$(S, \rho) ;$$ decir, iff todos los valores de función$$f(x),$$ con$$x \in B,$$ están en algún globo en$$(S, \rho)$$.

En$$E^{n},$$ esto significa que

$(\forall x \in B) \quad|f(x)|<K$

para algunos fijos$$K \in E^{1}.$$

Si simplemente$$B=A,$$ decimos que$$f$$ está acotado.

Nota 4. Si$$S=E^{1}$$ o$$S=E^{*},$$ podemos hablar también de límites superiores e inferiores. Es costumbre llamar al sup$$f[B]$$ también el supremum de$$f$$ on$$B$$ y denotarlo por símbolos como

$\sup _{x \in B} f(x)\text{ or } \sup \{f(x) | x \in B\}.$

En el caso de las secuencias, a menudo escribimos sup$$_{m} x_{m}$$ o$$x_{m}$$ sup; de manera similar para infima, maxima y minima.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

a) La secuencia

$x_{m}=\frac{1}{m} \quad\text{ in } E^{1}$

está acotado ya que todos los términos$$x_{m}$$ están en el intervalo$$(0,2)=G_{1}(1) .$$ Tenemos inf$$x_{m}=0$$ y$$\sup x_{m}=\max x_{m}=1.$$

b) La secuencia

$x_{m}=m \quad\text{ in } E^{1}$

está delimitado por debajo (por 1$$)$$ pero no arriba. Tenemos inf$$x_{m}=\min x_{m}=1$$ y$$\sup x_{m}=+\infty$$ (en$$E^{*})$$.

(c) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=2 x.$

Este mapa está delimitado en cada intervalo finito$$B=(a, b)$$ ya que$$f[B]=$$$$(2 a, 2 b)$$ es en sí mismo un intervalo y por lo tanto delimitado. Sin embargo, no$$f$$ está acotado en todos$$E^{1}$$ ya que no$$f\left[E^{1}\right]=E^{1}$$ es un conjunto acotado.

d) Bajo una métrica acotada$$\rho,$$ todas las funciones$$f : A \rightarrow(S, \rho)$$ están delimitadas.

e) El llamado mapa de identidad$$S, f : S \rightarrow(S, \rho),$$ está definido por

$f(x)=x.$

Claramente,$$f$$ lleva cada conjunto$$B \subseteq S$$ sobre sí mismo; es decir,$$f[B]=B .$$ Así$$f$$ está limitado en$$B$$ iff$$B$$ es en sí mismo un conjunto acotado en$$(S, \rho).$$

(f) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=\sin x.$

Entonces$$f\left[E^{1}\right]=[-1,1]$$ es un conjunto acotado en el espacio de rango$$E^{1} .$$ Así$$f$$ es acotado en$$E^{1}$$ (brevemente, acotado).

This page titled 3.9: Conjuntos acotados. Diámetros is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.