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# 3.9.E: Problemas de Boundedness y Diámetros (Ejercicios)

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Mostrar que si un conjunto$$A$$ en un espacio métrico está delimitado, también lo es cada subconjunto$$B \subseteq A .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que si los conjuntos$$A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$$ en$$(S, \rho)$$ están acotados, así es

\ [\ bigcup_ {k=1} ^ {n} A_ {k}.
\]
Desmentir esto para uniones infinitas con un contraejemplo.
[Pista: Por teorema$$1,$$ cada uno$$A_{k}$$ está en algunos$$G_{p}\left(\varepsilon_{k}\right),$$ con uno y el mismo centro$$p$$. Si el número de los globos es finito, podemos poner max$$\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n}\right)=\varepsilon,$$ así$$G_{p}(\varepsilon)$$ contiene todo$$A_{k} .$$ Verifica esto en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow 3 .$$De los Problemas 1 y 2 muestran que un conjunto$$A$$ in$$(S, \rho)$$ está acotado si está contenido en una unión finita de globos,
\ [
\ bigcup_ {k=1} ^ {n} G\ left (p_ {k};\ varepsilon_ {k}\ right).
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Se dice que un conjunto$$A$$ en$$(S, \rho)$$ está totalmente delimitado iff para cada$$\varepsilon>0$$ (no importa cuán pequeño sea),$$A$$ está contenido en una unión finita de globos de radio$$\varepsilon$$. Por Problema 3, cualquier conjunto de este tipo está acotado. Desmentir lo contrario con un contraejemplo.
[Pista: Toma un conjunto infinito en un espacio discreto.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Mostrar que las distancias entre puntos de un globo terráqueo$$\overline{G}_{p}(\varepsilon)$$ nunca superan 2$$\varepsilon$$. (¡Usa la desigualdad triangular!) De ahí inferir eso$$d G_{p}(\varepsilon) \leq 2 \varepsilon$$. Dar un ejemplo donde$$d G_{p}(\varepsilon)<2 \varepsilon .$$ Así el diámetro de un globo puede ser menor que el doble de su radio.
[Pista: Toma un globo terráqueo$$G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)$$ en un espacio discreto.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Mostrar que en$$E^{n}\left(* \text { as well as in } C^{n} \text { and any other normed linear space }\right.$$$$\neq\{0\}$$), el diámetro de un globo$$G_{p}(\varepsilon)$$ siempre es igual a 2$$\varepsilon$$ (el doble de su radio).
[Pista: Por Problema$$5,2 \varepsilon$$ es un límite superior de todos$$\rho(\overline{x}, \overline{y})$$ con$$\overline{x}, \overline{y} \in G_{p}(\varepsilon) .$$
Para mostrar que no hay un límite superior menor, demuestre que algún número
\ [
\]
es excedido por algunos$$\rho(\overline{x}, \overline{y}) ;$$ ej., tomar$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$ en alguna línea a través de$$\overline{p}$$,

\ [\ overline {\ boldsymbol {x}} =\ overline {\ boldsymbol {p}} +\ boldsymbol {t}\ overrightarrow {\ boldsymbol {u}},
\]
eligiendo valores adecuados$$t$$ para obtener$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}|>2 \varepsilon-2 r . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que en$$E^{n},$$ un conjunto$$A$$ está acotado si está contenido en un intervalo.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que para todos los conjuntos$$A$$$$(S, \rho)$$ y$$B$$ en y cada$$p \in S$$

\ [\ rho (A, B)\ leq\ rho (A, p) +\ rho (p, B).
\]
Desmentir
\ [
\ rho (A, B) <\ rho (A, p) +\ rho (p, B)
\]
con un ejemplo.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Buscar$$\sup x_{n}, \inf x_{n}, \max x_{n},$$ y$$\min x_{n}$$ (en su caso) para secuencias con término general
(a)$$n$$;
(b)$$(-1)^{n}\left(2-2^{2-n}\right)$$;
(c)$$1-\frac{2}{n}$$;
(d)$$\frac{n(n-1)}{(n+2)^{2}}$$.
Que están delimitados en$$E^{1} ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar lo siguiente sobre líneas y segmentos de línea.
(i) Mostrar que cualquier segmento de línea en$$E^{n}$$ es un conjunto acotado, pero la línea completa no lo es.
ii) Demostrar que el diámetro de$$L(\overline{a}, \overline{b})$$ y de$$(\overline{a}, \overline{b})$$ iguales$$\rho(\overline{a}, \overline{b})$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dejar$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ ser dado por
\ [
f (x) =\ frac {1} {x}\ text {if} x\ neq 0,\ text {y} f (0) =0.
\]
Mostrar que$$f$$ está delimitado en un intervalo$$[a, b]$$ iff 0$$\notin[a, b] .$$ Está$$f$$ delimitado en$$(0,1) ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar lo siguiente: a
) Si$$A \subseteq B \subseteq(S, \rho),$$ entonces$$d A \leq d B$$.
b)$$d A=0$$ iff$$A$$ contiene como máximo un punto.
(c) Si$$A \cap B \neq \emptyset$$, entonces
\ [
d (A\ copa B)\ leq d A+d B.
\]
Mostrar con un ejemplo que esto puede fallar si$$A \cap B=\emptyset$$.

3.9.E: Problemas de Boundedness y Diámetros (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.