3.9.E: Problemas de Boundedness y Diámetros (Ejercicios)
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Demostrar que si los conjuntos\(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) en\((S, \rho)\) están acotados, así es
\ [\ bigcup_ {k=1} ^ {n} A_ {k}.
\]
Desmentir esto para uniones infinitas con un contraejemplo.
[Pista: Por teorema\(1,\) cada uno\(A_{k}\) está en algunos\(G_{p}\left(\varepsilon_{k}\right),\) con uno y el mismo centro\(p\). Si el número de los globos es finito, podemos poner max\(\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n}\right)=\varepsilon,\) así\(G_{p}(\varepsilon)\) contiene todo\(A_{k} .\) Verifica esto en detalle.
\(\Rightarrow 3 .\)De los Problemas 1 y 2 muestran que un conjunto\(A\) in\((S, \rho)\) está acotado si está contenido en una unión finita de globos,
\ [
\ bigcup_ {k=1} ^ {n} G\ left (p_ {k};\ varepsilon_ {k}\ right).
\]
Se dice que un conjunto\(A\) en\((S, \rho)\) está totalmente delimitado iff para cada\(\varepsilon>0\) (no importa cuán pequeño sea),\(A\) está contenido en una unión finita de globos de radio\(\varepsilon\). Por Problema 3, cualquier conjunto de este tipo está acotado. Desmentir lo contrario con un contraejemplo.
[Pista: Toma un conjunto infinito en un espacio discreto.]
Mostrar que las distancias entre puntos de un globo terráqueo\(\overline{G}_{p}(\varepsilon)\) nunca superan 2\(\varepsilon\). (¡Usa la desigualdad triangular!) De ahí inferir eso\(d G_{p}(\varepsilon) \leq 2 \varepsilon\). Dar un ejemplo donde\(d G_{p}(\varepsilon)<2 \varepsilon .\) Así el diámetro de un globo puede ser menor que el doble de su radio.
[Pista: Toma un globo terráqueo\(G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)\) en un espacio discreto.]
Mostrar que en\(E^{n}\left(* \text { as well as in } C^{n} \text { and any other normed linear space }\right.\)\(\neq\{0\}\)), el diámetro de un globo\(G_{p}(\varepsilon)\) siempre es igual a 2\(\varepsilon\) (el doble de su radio).
[Pista: Por Problema\(5,2 \varepsilon\) es un límite superior de todos\(\rho(\overline{x}, \overline{y})\) con\(\overline{x}, \overline{y} \in G_{p}(\varepsilon) .\)
Para mostrar que no hay un límite superior menor, demuestre que algún número
\ [
2\ varepsilon-2 r\ quad (r>0)
\]
es excedido por algunos\(\rho(\overline{x}, \overline{y}) ;\) ej., tomar\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) en alguna línea a través de\(\overline{p}\),
\ [\ overline {\ boldsymbol {x}} =\ overline {\ boldsymbol {p}} +\ boldsymbol {t}\ overrightarrow {\ boldsymbol {u}},
\]
eligiendo valores adecuados\(t\) para obtener\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}|>2 \varepsilon-2 r . ]\)
Demostrar que en\(E^{n},\) un conjunto\(A\) está acotado si está contenido en un intervalo.
Demostrar que para todos los conjuntos\(A\)\((S, \rho)\) y\(B\) en y cada\(p \in S\)
\ [\ rho (A, B)\ leq\ rho (A, p) +\ rho (p, B).
\]
Desmentir
\ [
\ rho (A, B) <\ rho (A, p) +\ rho (p, B)
\]
con un ejemplo.
Buscar\(\sup x_{n}, \inf x_{n}, \max x_{n},\) y\(\min x_{n}\) (en su caso) para secuencias con término general
(a)\(n\);
(b)\((-1)^{n}\left(2-2^{2-n}\right)\);
(c)\(1-\frac{2}{n}\);
(d)\(\frac{n(n-1)}{(n+2)^{2}}\).
Que están delimitados en\(E^{1} ?\)
Demostrar lo siguiente sobre líneas y segmentos de línea.
(i) Mostrar que cualquier segmento de línea en\(E^{n}\) es un conjunto acotado, pero la línea completa no lo es.
ii) Demostrar que el diámetro de\(L(\overline{a}, \overline{b})\) y de\((\overline{a}, \overline{b})\) iguales\(\rho(\overline{a}, \overline{b})\).
Dejar\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser dado por
\ [
f (x) =\ frac {1} {x}\ text {if} x\ neq 0,\ text {y} f (0) =0.
\]
Mostrar que\(f\) está delimitado en un intervalo\([a, b]\) iff 0\(\notin[a, b] .\) Está\(f\) delimitado en\((0,1) ?\)
Demostrar lo siguiente: a
) Si\(A \subseteq B \subseteq(S, \rho),\) entonces\(d A \leq d B\).
b)\(d A=0\) iff\(A\) contiene como máximo un punto.
(c) Si\(A \cap B \neq \emptyset\), entonces
\ [
d (A\ copa B)\ leq d A+d B.
\]
Mostrar con un ejemplo que esto puede fallar si\(A \cap B=\emptyset\).