3.10: Puntos de Agrupamiento. Secuencias convergentes
- Page ID
- 113924
This page is a draft and is under active development.
Considera el conjunto
\[A=\left\{1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{m}, \ldots\right\};\]
también podemos dejar\(A\) denotar la secuencia\(x_{m}=1 / m\) en\(E^{1.1}\) Ploting it on the axis, observamos un hecho notable: Los puntos se\(x_{m}\) “agrupan” cerca de 0, acercándose a 0 como\(m\) incrementos -ver Figura 12.
Para hacer esto más preciso, tomar cualquier globo sobre 0 en\(E^{1}\),\(G_{0}(\varepsilon)=(-\varepsilon, \varepsilon)\). No importa cuán pequeño sea, contiene infinitamente muchos (incluso todos menos finitamente muchos) puntos\(x_{m}\), es decir, todos de algunos en\(x_{k}\) adelante, de modo que
\[(\forall m>k) \quad x_{m} \in G_{0}(\varepsilon).\]
Efectivamente, toma\(k>1 / \varepsilon\), entonces\(1 / k<\varepsilon\). Entonces
\[(\forall m>k) \quad \frac{1}{m}<\frac{1}{k}<\varepsilon;\]
es decir,\(x_{m} \in(-\varepsilon, \varepsilon)=G_{0}(\varepsilon)\).
Esto sugiere las siguientes generalizaciones.
Un conjunto, o secuencia,\(A \subseteq(S, \rho)\) se dice que se agrupa en un punto\(p \in S\) (no necesariamente\(p \in A )\), y\(p\) se llama su punto de clúster o punto de acumulación, si cada globo\(G_{p}\) alrededor\(p\) contiene infinitamente muchos puntos (respectivamente, términos de\(A\). (Así, solo los conjuntos infinitos pueden agruparse.
Nota 1. En las secuencias (a diferencia de los conjuntos) un término infinitamente repetido cuenta como infinitamente muchos términos. Por ejemplo, la secuencia se\(0,1,0,1,\) agrupará en 0 y 1 (¿por qué?) ; pero su rango,\(\{0,1\}\), no tiene puntos de racimo (siendo finito). Esta distinción es, sin embargo, irrelevante si todos los términos\(x_{m}\) son distintos, es decir, diferentes entre sí. Entonces podemos tratar secuencias y conjuntos por igual.
\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)\)Se dice que una secuencia converge o tiende a un punto\(p\) en\(S\), y\(p\) se llama su límite, si cada globo\(G_{p}(\varepsilon)\) alrededor\(p\) (no importa cuán pequeño sea) contiene todos menos finitamente muchos términos\(x_{m} .^{2}\) En símbolos,
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad x_{m} \in G_{p}(\varepsilon), \text { i.e., } \rho\left(x_{m}, p\right)<\varepsilon\]
Si tal \(p\)existe, llamamos\(\left\{x_{m}\right\}\) una secuencia convergente en\((S, \rho))\); de lo contrario, una divergente. La notación es
\[x_{m} \rightarrow p, \text { or } \lim x_{m}=p, \text { or } \lim _{m \rightarrow \infty} x_{m}=p.\]
In\(E^{n}\),\(\rho\left(\overline{x}_{m}, \overline{p}\right)=\left|\overline{x}_{m}-\overline{p}\right|\); así la fórmula (1) se convierte en
\[\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p} \text { in } E^{n} \text { iff }(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad\left|\overline{x}_{m}-\overline{p}\right|<\varepsilon\]
Dado que “todos menos finitamente muchos” (como en la Definición 2) implica “infinitamente muchos” (como en la Definición 1), cualquier límite es también un punto de clúster. Además, obtenemos el siguiente resultado.
Si\(x_{m} \rightarrow p\), entonces\(p\) es el punto de clúster único de\(\left\{x_{m}\right\}\). (Así, una secuencia con dos o más puntos de agrupamiento, o ninguno en absoluto, diverge). Por si\(p \neq q\), la propiedad de Hausdorff (Teorema 1 de §12) arroja un\(\varepsilon\) tal que
\[G_{p}(\varepsilon) \cap G_{q}(\varepsilon)=\emptyset.\]
As\(x_{m} \rightarrow p\),\(G_{p}(\varepsilon)\) deja fuera a lo sumo finitamente muchos\(x_{m}\), y solo estos pueden estar posiblemente en\(G_{q}(\varepsilon)\). (¿Por qué?) Por lo tanto,\(q\) no satisface la Definición 1 y por lo tanto no es un punto de clúster De ahí que\(\lim x_{m}\) (si existe) sea único.
(i) Tenemos\(x_{m} \rightarrow p \text { in }(S, \rho)\) iff\(\rho\left(x_{m}, p\right) \rightarrow 0\) en\(E^{1}\).
De ahí que
(ii)\(\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p}\) en\(E^{n}\) iff\(\left|\overline{x}_{m}-\overline{p}\right| \rightarrow 0\) y
(iii)\(\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{0}\) en\(E^{n}\) iff\(\left|\overline{x}_{m}\right| \rightarrow 0\).
- Prueba
-
Por (2), tenemos\(\rho\left(x_{m}, p\right) \rightarrow 0\) en\(E^{1}\) si
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad\left|\rho\left(x_{m}, p\right)-0\right|=\rho\left(x_{m}, p\right)<\varepsilon.\]\((1),\)Sin embargo, esto significa que\(x_{m} \rightarrow p,\) probar nuestra primera aseveración. El resto se desprende fácilmente de ello, ya que\(\rho\left(\overline{x}_{m}, \overline{p}\right)=\left|\overline{x}_{m}-\overline{p}\right|\) en\(E^{n} . \square\)
Si\(x_{m}\) tiende a\(p,\) entonces también lo hace cada subsecuencia\(x_{m_{k}}\)
Para\(x_{m} \rightarrow p\) significa que cada uno\(G_{p}\) deja fuera a lo sumo finitamente muchos\(x_{m} .\) Esto ciertamente todavía se mantiene si bajamos algunos términos, pasando a\(\left\{x_{m_{k}}\right\} .\)
Nota 2. Un argumento similar muestra que la convergencia o divergencia de\(\left\{x_{m}\right\},\) y sus puntos límite o cluster, no se ven afectados por la caída o adición de
un número finito de términos; de manera similar para los puntos de clúster de conjuntos. Por ejemplo, si\(\left\{x_{m}\right\}\) tiende a\(p,\) hacerlo\(\left\{x_{m+1}\right\}\) (la misma secuencia sin\(x_{1} )\).
Dejamos como ejercicios los dos corolarios siguientes.
Si\(\left\{x_{m}\right\}\) se divide en dos subsecuencias, cada una tendiendo al mismo límite\(p,\) entonces también\(x_{m} \rightarrow p\).
Si\(\left\{x_{m}\right\}\) converge en\((S, \rho),\) ella está acotada ahí.
Por supuesto, la convergencia o divergencia de\(\left\{x_{m}\right\}\) y su agrupamiento dependen de la métrica\(\rho\) y el espacio\(S .\) Nuestra teoría se aplica a cualquier\((S, \rho) .\) En particular, se aplica a\(E^{*},\) con la métrica\(\rho^{\prime}\) del Problema 5 en §11. Recordemos que bajo esa métrica, los globos alrededor\(\pm \infty\) tienen la forma\((a,+\infty]\) y\([-\infty, a),\) respectivamente. Así, los límites y los puntos de agrupamiento\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right)\) coinciden con los definidos en el Capítulo 2, §13, (fórmulas\((1)-(3)\) y Definición 2 ahí). Nuestra teoría se aplica entonces también a límites infinitos, y generaliza el Capítulo 2, §13.
a) Dejar
\[x_{m}=p \quad \text{ for all } m\]
(tales secuencias se llaman constantes). Como\(p \in G_{p},\) cualquier\(G_{p}\) contiene todo\(x_{m} .\) Así\(x_{m} \rightarrow p,\) por Definición\(2 .\) Vemos que cada secuencia constante converge al valor común de sus términos.
b) En nuestro ejemplo introductorio, demostramos que
\[\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{1}{m}=0 \quad \text{ in } E^{1}\]
y que 0 es el punto de clúster (único) del conjunto\(A=\left\{1, \frac{1}{2}, \ldots\right\} .\) Aquí 0\(\notin A .\)
c) La secuencia
\[0,1,0,1, \ldots\]
tiene dos puntos de racimo, 0 y\(1,\) así diverge por Corolario\(1 .\) (“oscila” de 0 a\(1 . )\) Esto demuestra que la secuencia\(a\) acotada puede divergir. Lo contrario al Corolario 5 falla.
d) La secuencia
\[x_{m}=m\]
(o el conjunto\(N\) de todos los naturales) tiene puntos de\(n o\) racimo\(E^{1},\) para un globo de radio\(<\frac{1}{2}\) (con cualquier centro\(p \in E^{1} )\) contiene como máximo uno\(x_{m},\) y por lo tanto no\(p\) satisface la Definición 1 o 2.
Sin embargo,\(\left\{x_{m}\right\}\) se agrupa\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right),\) e incluso tiene un límite ahí,
a saber ¡\(+\infty .(\)Demuéstralo! \()\)
e) El conjunto\(R\) de todos los racionales en\(E^{1}\) grupos en cada\(p \in E^{1} .\) Efectivamente, cualquier globo
\[G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon)\]
contiene infinitamente muchos racionales (ver Capítulo 2, §10, Teorema 3), y esto significa que cada uno\(p \in E^{1}\) es un punto de agrupación de\(R .\)
f) La secuencia
\[1,1,2, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{3}, \ldots \quad\left( \text{with } x_{2 k}=\frac{1}{k} \text{ and } x_{2 k-1}=k\right)\]
tiene solo un punto de racimo,\(0,\) en\(E^{1} ;\) sin embargo diverge, siendo sin límites (ver Corolario 5\() .\) En\(\left(E^{*}, \rho^{\prime}\right),\) tiene dos puntos de racimo, 0 y\(+\infty .\) (¡Verifica!)
(g) El lim y lim de cualquier secuencia en\(E^{*}\) son puntos de conglomerado (cf. Capítulo 2, §13, Teorema 2 y Problema 4). Así, en\(E^{*},\) todas las secuencias se agrupan.
h) Dejar
\[A=[a, b], \quad a<b.\]
Entonces\(A\) agrupa exactamente en todos sus puntos, para si\(p \in A,\) entonces cualquier globo
\[G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon)\]
se superpone con\(A\) (incluso con\((a, b) )\) y así contiene infinitamente muchos puntos de\(A,\) según sea necesario. Incluso los puntos finales a y\(b\) son puntos de clúster de\(A\) (y de\((a, b),(a, b],\) y\([a, b) ) .\) Por otro lado, ningún punto fuera\(A\) es un punto de clúster. (¿Por qué?)
(i) En un espacio discreto (§11, Ejemplo (3)), ningún conjunto puede agruparse, ya que pequeños globos, como\(G_{p}\left(\frac{1}{2}\right),\) son singletones. (¡Explique!)
Ejemplo\((\mathrm{h})\) muestra que un conjunto\(A\) puede ser igual al conjunto de sus puntos\((\mathrm{call}\) de clúster\(A^{\prime} ) ; \mathrm{i.e.}\)
\[A=A^{\prime}.\]
Se dice que tales conjuntos son perfectos. A veces tenemos\(A \subseteq A^{\prime}, A^{\prime} \subseteq A, A^{\prime}=S\)\((\) como en Ejemplo\((\mathrm{e})),\) o\(A^{\prime}=\emptyset .\) Concluimos con el siguiente resultado.
\(A\)establecer\(A \subseteq(S, \rho)\) clústeres en p iff cada globo\(G_{p}\) (aproximadamente p) contiene al menos un punto de\(A\) otro que no sea\(p\).
En efecto, supongamos lo último. Entonces, en particular, cada globo
\[G_{p}\left(\frac{1}{n}\right), \quad n=1,2, \ldots\]
contiene algún punto de\(A\) otro que no sea\(p ;\) llamarlo\(x_{n} .\) Podemos hacer lo\(x_{n}\) distinto eligiendo cada vez\(x_{n+1}\) más cerca de\(p\) lo que\(x_{n}\) es. Se deduce fácilmente que cada uno\(G_{p}(\varepsilon)\) contiene infinitamente muchos puntos de\(A\) (los detalles se dejan al lector), según sea necesario. Lo contrario es obvio.