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# 3.10.E: Problemas en los Puntos de Clúster y Convergencia (Ejercicios)

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

¿Está la propiedad de Arquímedes (ver Capítulo 2, §10) involucrada en la prueba de que

\ [\ lim _ {m\ rightarrow\ infty}\ frac {1} {m} =0?
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Prueba Nota 2 y Corolarios 4 y 6.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Verificar Ejemplo (c) en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Probar Corolario$$5 .$$
[Pista: Arreglar alguna Definición de$$G_{p}(\varepsilon) .$$ Uso 2. Si$$G_{p}(\varepsilon)$$ deja fuera$$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k},$$ tomar un radio$$r$$ mayor que
\ [
\ rho\ izquierda (x_ {m}, p\ derecha),\ quad m=1,2,\ puntos, k.
\]
Entonces el globo agrandado$$G_{p}(r)$$ contiene todos$$x_{m} .$$ Use Teorema 1 en §13.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Muestra que$$x_{m}=m$$ tiende$$\mathrm{to}+\infty$$ en$$E^{*} .$$ ¿Contradice el Corolario 5$$?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Mostrar que$$E^{1}$$ es un conjunto perfecto$$i n E^{1} : E^{1}=\left(E^{1}\right)^{\prime} .$$ Es$$E^{1}$$ un conjunto perfecto en$$E^{*} ?$$ ¿Por qué?

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow 7 .$$Revisar Problemas 2 y 4 del Capítulo 2, §13. (Hágalos si no se hace antes.)

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Verificar Ejemplos (f) y (h).

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Explique el Ejemplo (i) en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

En los siguientes casos encuentra el conjunto$$A^{\prime}$$ de todos los puntos de clúster de$$A$$ en$$E^{1} .$$ Is$$A^{\prime} \subseteq A ?$$ Is$$A \subseteq A^{\prime} ?$$ Is$$A$$ perfect? Dar una prueba precisa.
(a)$$A$$ consiste en todos los puntos de la forma
\ [
\ frac {1} {n}\ text {y} 1+\ frac {1} {n},\ quad n=1,2,\ ldots;
\] es
decir,$$A$$ es la secuencia
\ [
\ izquierda\ {1,2,\ frac {1} {2}, 1\ frac {1} {2},\ ldots ,\ frac {1} {n}, 1+\ frac {1} {n},\ ldots\ derecho\}.
\]
(b)$$A$$ es el conjunto de todos los racionales en$$(0,1) .$$ Respuesta:$$A^{\prime}=[0,1] .$$ ¿Por qué?
(c)$$A$$ es la unión de los intervalos
\ [
\ izquierda [\ frac {2 n} {2 n+1},\ frac {2 n+1} {2 n+2}\ derecha],\ quad n=0,1,2,\ ldots
\]
(d)$$A$$ consiste en todos los puntos de la forma
\ [
2^ {-n}\ text {y } 2^ {-n} +2^ {-n-k},\ quad n, k\ en N.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

¿Puede una secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq E^{1}$$ agrupar en cada$$p \in E^{1} ?$$
[Pista: Ver Ejemplo (e). $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que si
\ [
p=\ sup A\ text {or} p=\ inf A\ text {in} E^ {1}
\]
$$\left(\emptyset \neq A \subseteq E^{1}\right),$$ y si$$p \notin A,$$ entonces$$p$$ es un punto de clúster de$$A .$$
[Pista: Tomar$$G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon) .$$ Uso Teorema 2 del Capítulo 2, §§8-9.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Demostrar que un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ agrupa en$$p$$ iff cada vecindario de$$p$$ (ver §12, Definición 1) contiene infinitamente muchos puntos de$$A ;$$ manera similar para secuencias. ¿Qué tal la convergencia? Establecerlo en términos de barrios cúbicos en$$E^{n} .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Discutir Ejemplo$$(\mathrm{h})$$ para intervalos no degenerados en$$E^{n} .$$ Dar una prueba.

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Demostrar que un conjunto se$$A \neq \emptyset$$ agrupa en$$p(p \notin A)$$ iff$$\rho(p, A)=0 .$$ (Ver §13, Nota$$3 . )$$

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Demuestre que en$$E^{n}(* \text { and in any other normed space } \neq\{\overline{0}\}),$$ el cúmulo los puntos de cualquier globo$$G_{\overline{p}}(\varepsilon)$$ forman exactamente el globo cerrado$$\overline{G}_{\overline{p}}(\varepsilon),$$ y eso$$\overline{G}_{\overline{p}}(\varepsilon)$$ es perfecto. ¿Es esto cierto en otros espacios? (¡Considera un espacio discreto!)

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

(Conjunto de Cantor.) Eliminar$$[0,1]$$ del tercio medio abierto
\ [
\ left (\ frac {1} {3},\ frac {2} {3}\ right).
\]
\ [
\ left [0,\ frac {1} {3}\ right]\ text {and}\ left [\ frac {2} {3}, 1\ right],
\]
quitan sus medios abiertos,
\ [
\ left (\ frac {1} {9},\ frac {2} {9}\ right)\ text { y}\ izquierda (\ frac {7} {9},\ frac {8} {9}\ derecha).
\]
Haga lo mismo con los cuatro intervalos cerrados restantes, y así sucesivamente, ad infinitum. El conjunto$$P$$ que queda después de todas estas (infinitamente muchas) mudanzas se llama conjunto de Cantor.
Demostrar que$$P$$ es perfecto.
[Pista: Si$$p \notin P,$$ entonces cualquiera$$p$$ está en uno de los intervalos abiertos eliminados, o$$p \notin[0,1]$$. En ambos casos, no$$p$$ hay punto de cúmulo de$$P$$. (¿Por qué?) Por lo tanto, ningún$$p$$ exterior$$P$$ es un punto de clúster.
Por otro lado, si$$p \in P,$$ muestran que alguno$$G_{p}(\varepsilon)$$ contiene infinitamente muchos puntos finales de intervalos abiertos eliminados, todo$$P ;$$ ello en$$p \in P^{\prime} .$$ Deducir así que$$P=P^{\prime}$$]

3.10.E: Problemas en los Puntos de Clúster y Convergencia (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.