3.10.E: Problemas en los Puntos de Clúster y Convergencia (Ejercicios)
- Page ID
- 113930
¿Está la propiedad de Arquímedes (ver Capítulo 2, §10) involucrada en la prueba de que
\ [\ lim _ {m\ rightarrow\ infty}\ frac {1} {m} =0?
\]
Prueba Nota 2 y Corolarios 4 y 6.
Verificar Ejemplo (c) en detalle.
Probar Corolario\(5 .\)
[Pista: Arreglar alguna Definición de\(G_{p}(\varepsilon) .\) Uso 2. Si\(G_{p}(\varepsilon)\) deja fuera\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k},\) tomar un radio\(r\) mayor que
\ [
\ rho\ izquierda (x_ {m}, p\ derecha),\ quad m=1,2,\ puntos, k.
\]
Entonces el globo agrandado\(G_{p}(r)\) contiene todos\(x_{m} .\) Use Teorema 1 en §13.]
Muestra que\(x_{m}=m\) tiende\(\mathrm{to}+\infty\) en\(E^{*} .\) ¿Contradice el Corolario 5\(?\)
Mostrar que\(E^{1}\) es un conjunto perfecto\(i n E^{1} : E^{1}=\left(E^{1}\right)^{\prime} .\) Es\(E^{1}\) un conjunto perfecto en\(E^{*} ?\) ¿Por qué?
\(\Rightarrow 7 .\)Revisar Problemas 2 y 4 del Capítulo 2, §13. (Hágalos si no se hace antes.)
Verificar Ejemplos (f) y (h).
Explique el Ejemplo (i) en detalle.
En los siguientes casos encuentra el conjunto\(A^{\prime}\) de todos los puntos de clúster de\(A\) en\(E^{1} .\) Is\(A^{\prime} \subseteq A ?\) Is\(A \subseteq A^{\prime} ?\) Is\(A\) perfect? Dar una prueba precisa.
(a)\(A\) consiste en todos los puntos de la forma
\ [
\ frac {1} {n}\ text {y} 1+\ frac {1} {n},\ quad n=1,2,\ ldots;
\] es
decir,\(A\) es la secuencia
\ [
\ izquierda\ {1,2,\ frac {1} {2}, 1\ frac {1} {2},\ ldots ,\ frac {1} {n}, 1+\ frac {1} {n},\ ldots\ derecho\}.
\]
(b)\(A\) es el conjunto de todos los racionales en\((0,1) .\) Respuesta:\(A^{\prime}=[0,1] .\) ¿Por qué?
(c)\(A\) es la unión de los intervalos
\ [
\ izquierda [\ frac {2 n} {2 n+1},\ frac {2 n+1} {2 n+2}\ derecha],\ quad n=0,1,2,\ ldots
\]
(d)\(A\) consiste en todos los puntos de la forma
\ [
2^ {-n}\ text {y } 2^ {-n} +2^ {-n-k},\ quad n, k\ en N.
\]
¿Puede una secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq E^{1}\) agrupar en cada\(p \in E^{1} ?\)
[Pista: Ver Ejemplo (e). \(]\)
Demostrar que si
\ [
p=\ sup A\ text {or} p=\ inf A\ text {in} E^ {1}
\]
\(\left(\emptyset \neq A \subseteq E^{1}\right),\) y si\(p \notin A,\) entonces\(p\) es un punto de clúster de\(A .\)
[Pista: Tomar\(G_{p}(\varepsilon)=(p-\varepsilon, p+\varepsilon) .\) Uso Teorema 2 del Capítulo 2, §§8-9.]
Demostrar que un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) agrupa en\(p\) iff cada vecindario de\(p\) (ver §12, Definición 1) contiene infinitamente muchos puntos de\(A ;\) manera similar para secuencias. ¿Qué tal la convergencia? Establecerlo en términos de barrios cúbicos en\(E^{n} .\)
Discutir Ejemplo\((\mathrm{h})\) para intervalos no degenerados en\(E^{n} .\) Dar una prueba.
Demostrar que un conjunto se\(A \neq \emptyset\) agrupa en\(p(p \notin A)\) iff\(\rho(p, A)=0 .\) (Ver §13, Nota\(3 . )\)
Demuestre que en\(E^{n}(* \text { and in any other normed space } \neq\{\overline{0}\}),\) el cúmulo los puntos de cualquier globo\(G_{\overline{p}}(\varepsilon)\) forman exactamente el globo cerrado\(\overline{G}_{\overline{p}}(\varepsilon),\) y eso\(\overline{G}_{\overline{p}}(\varepsilon)\) es perfecto. ¿Es esto cierto en otros espacios? (¡Considera un espacio discreto!)
(Conjunto de Cantor.) Eliminar\([0,1]\) del tercio medio abierto
\ [
\ left (\ frac {1} {3},\ frac {2} {3}\ right).
\]
De los intervalos cerrados restantes
\ [
\ left [0,\ frac {1} {3}\ right]\ text {and}\ left [\ frac {2} {3}, 1\ right],
\]
quitan sus medios abiertos,
\ [
\ left (\ frac {1} {9},\ frac {2} {9}\ right)\ text { y}\ izquierda (\ frac {7} {9},\ frac {8} {9}\ derecha).
\]
Haga lo mismo con los cuatro intervalos cerrados restantes, y así sucesivamente, ad infinitum. El conjunto\(P\) que queda después de todas estas (infinitamente muchas) mudanzas se llama conjunto de Cantor.
Demostrar que\(P\) es perfecto.
[Pista: Si\(p \notin P,\) entonces cualquiera\(p\) está en uno de los intervalos abiertos eliminados, o\(p \notin[0,1]\). En ambos casos, no\(p\) hay punto de cúmulo de\(P\). (¿Por qué?) Por lo tanto, ningún\(p\) exterior\(P\) es un punto de clúster.
Por otro lado, si\(p \in P,\) muestran que alguno\(G_{p}(\varepsilon)\) contiene infinitamente muchos puntos finales de intervalos abiertos eliminados, todo\(P ;\) ello en\(p \in P^{\prime} .\) Deducir así que\(P=P^{\prime}\)]