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# 3.11: Operaciones en Secuencias Convergentes

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Secuencias en$$E^{1}$$ y se$$C$$ pueden agregar y multiplicar a término; por ejemplo, sumando$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\},$$ se obtiene la secuencia con término general$$x_{m}+y_{m}$$. Esto lleva a importantes teoremas, válidos también para$$E^{n}$$ (* y otros espacios normados). El teorema 1 a continuación establece, aproximadamente, que el límite de la suma$$\left\{x_{m}+y_{m}\right\}$$ es igual a la suma de lim$$x_{m}$$ y lim$$y_{m}$$ (si estos existen), y de manera similar para los productos y cocientes (cuando se definen).

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$x_{m} \rightarrow q, y_{m} \rightarrow r,$$ y$$a_{m} \rightarrow a$$ entrar$$E^{1}$$ o$$C$$ (el campo complejo$$) .$$ Entonces

i)$$x_{m} \pm y_{m} \rightarrow q \pm r$$;

ii)$$a_{m} x_{m} \rightarrow a q$$;

iii)$$\frac{x_{m}}{a_{m}} \rightarrow \frac{q}{a}$$ si$$a \neq 0$$ y para todos$$m \geq 1, a_{m} \neq 0$$.

Esto también se mantiene si los vectores$$x_{m}, y_{m}, q,$$ y$$r$$ son en$$E^{n}$$ (“o en otro espacio normado$$),$$ mientras que los$$a_{m}$$ y a son escalares para ese espacio.

Prueba

(i) Por la fórmula (2) del §14, debemos demostrar que

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad\left|x_{m} \pm y_{m}-(q \pm r)\right|<\varepsilon.$

Así arreglamos un arbitrario$$\varepsilon>0$$ y buscamos un adecuado$$k .$$ ya$$x_{m} \rightarrow q$$ y$$y_{m} \rightarrow r,$$ hay$$k^{\prime}$$ y$$k^{\prime \prime}$$ tal que

$\left(\forall m>k^{\prime}\right) \quad\left|x_{m}-q\right|<\frac{\varepsilon}{2}$

y

$\left(\forall m>k^{\prime \prime}\right) \quad\left|y_{m}-r\right|<\frac{\varepsilon}{2}$

(como$$\varepsilon$$ es arbitrario, también podemos reemplazarlo por$$\frac{1}{2} \varepsilon ) .$$ Entonces ambas desigualdades se mantienen para$$m>k, k=\max \left(k^{\prime}, k^{\prime \prime}\right) .$$ agregarlas, obtenemos

$(\forall m>k) \quad\left|x_{m}-q\right|+\left|y_{m}-r\right|<\varepsilon.$

De ahí que por la ley del triángulo,

$\left|x_{m}-q \pm\left(y_{m}-r\right)\right|<\varepsilon, \text{ i.e., } \left|x_{m} \pm y_{m}-(q \pm r)\right|<\varepsilon \text{ for } m>k,$

según sea necesario. $$\square$$

Esta prueba de (i) se aplica también a secuencias de vectores, sin ningún cambio.

La prueba de (ii) y (iii) se esboza en los Problemas 1-4 a continuación.

Nota 1. Por inducción, las partes (i) y (ii) contienen sumas y productos de cualquier número finito (pero fijo) de secuencias convergentes adecuadas.

Nota 2. El teorema no se aplica a límites infinitos$$q, r, a$$.

Nota 3. El supuesto$$a \neq 0$$ en el Teorema 1$$($$ iii) es importante. Asegura no sólo eso$$q / a$$ se define sino que a lo sumo finitamente muchos$$a_{m}$$ pueden desaparecer (ver Problema 3). Dado que podemos dejar caer con seguridad un número finito de términos (ver Nota 2 en §14), podemos lograr que no$$a_{m}$$ sea$$0,$$ así que$$x_{m} / a_{m}$$ se defina. Es con este entendimiento que se ha formulado la parte (iii) del teorema. Los dos teoremas siguientes son en realidad casos especiales de proposiciones más generales que se probarán en el Capítulo 4, §§3 y 5. Por lo tanto, aquí sólo los declaramos, dejando las pruebas como ejercicios, con algunas pistas proporcionadas.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(convergencia componentwise). Tenemos$$\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p}$$ en$$E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ iff cada uno de los$$n$$ componentes de$$\overline{x}_{m}$$ tiende al componente correspondiente de$$\overline{p}$$, es decir, iff$$x_{m k} \rightarrow p_{k}, k=1,2, \ldots, n,$$ in$$E^{1}(C) .$$ (Ver Problema 8 para pistas.)

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Cada secuencia monótona$$\left\{x_{n}\right\} \subseteq E^{*}$$ tiene un límite finito o infinito, que equivale a sup_$$_{n} x_{n}$$ if$$\left\{x_{n}\right\} \uparrow$$ e inf$$_{n} x_{n}$$ si$$\left\{x_{n}\right\} \downarrow .$$ Si$$\left\{x_{n}\right\}$$ es monótona y delimitada en$$E^{1},$$ su límite es finito$$(b y$$ Corolario 1 del Capítulo 2, §13).

El comprobante se solicitó en el Problema 9 del Capítulo 2, §13. Véase también Capítulo 4, §5, Teorema 1. Una aplicación importante es la siguiente.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(el número e).

Dejar$$x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$ entrar$$E^{1} .$$ Por el teorema binomial,

\begin{aligned} x_{n} &= 1+1+\frac{n(n-1)}{2 ! n^{2}}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 ! n^{3}}+\cdots + \frac{n(n-1) \cdots(n-(n-1))}{n ! n^{n}} \\[12pt] &= 2+\left(1-\frac{1}{n}\right) \frac{1}{2 !}+\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \frac{1}{3 !}+\cdots + \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \frac{1}{n !} \end{aligned}

Si$$n$$ se sustituye por$$n+1,$$ todos los términos en esta expansión aumenta, al igual que su número. Así$$x_{n}<x_{n+1},$$ es decir,$$\left\{x_{n}\right\} \uparrow .$$ Por otra parte, para$$n>1$$,

\begin{aligned} 2<x_{n}&<2+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !} \leq 2+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} \\[12pt] &= 2+\frac{1}{2}\left(1+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}\right)=2+\frac{1}{2} \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{\frac{1}{2}}<2+1=3 \end{aligned}

Así$$2<x_{n}<3$$ para$$n>1 .$$ De ahí$$2<\sup _{n} x_{n} \leq 3 ;$$ y por teorema$$3,$$$$\sup _{n} x_{n}=\lim x_{n} .$$ Este límite, denotado por$$e,$$ juega un papel importante en el análisis. Se puede demostrar que es irracional, y (a dentro$$10^{-20} )$$$$e=2.71828182845904523536 \ldots$$ En todo caso,

$2<e=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq 3.$

Los siguientes corolarios se dejan como ejercicios para el lector.

## corolario$$\PageIndex{1}$$

Supongamos$$\lim x_{m}=p$$ y$$\lim y_{m}=q$$ existir en$$E^{*}$$.

(a) Si$$p>q,$$ entonces$$x_{m}>y_{m}$$ para todos pero finitamente muchos$$m$$.

(b) Si$$x_{m} \leq y_{m}$$ para infinitamente muchos$$m,$$ entonces$$p \leq q ;$$ es decir,$$\lim x_{m} \leq \lim y_{m}$$.

Esto se conoce como paso al límite en las desigualdades. Precaución: Las desigualdades estrictas$$x_{m}<y_{m}$$ no implican$$p<q$$ sino solo$$p \leq q .$$ Por ejemplo, vamos

$x_{m}=\frac{1}{m} \text{ and } y_{m}=0.$

Entonces

$(\forall m) \quad x_{m}>y_{m};$

sin embargo$$\lim x_{m}=\lim y_{m}=0.$$

## corolario$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$x_{m} \rightarrow p$$ entrar$$E^{*},$$ y dejar$$c \in E^{*}$$ (finito o no). Entonces son ciertas las siguientes:

(a) Si$$p>c$$ (respectivamente,$$p<c)$$, tenemos$$x_{m}>c (x_{m}<c)$$ para todos pero finitamente muchos$$m$$.

(b) Si$$x_{m} \leq c$$ (respectivamente,$$x_{m} \geq c$$) para infinitamente muchos$$m,$$ entonces$$p \leq c$$$$(p \geq c)$$.

Uno puede probar esto desde Corolario$$1,$$ con$$y_{m}=c$$ (o$$x_{m}=c$$) para todos$$m$$.

## corolario$$\PageIndex{3}$$

(regla de secuencia intermedia). Si$$x_{m} \rightarrow p$$ y$$y_{m} \rightarrow p$$ en$$E^{*}$$ y si$$x_{m} \leq z_{m} \leq y_{m}$$ para todos pero finitamente muchos$$m,$$ entonces también$$z_{m} \rightarrow p$$.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

(continuidad de la función de distancia). Si

$x_{m} \rightarrow p \text{ and } y_{m} \rightarrow q \text{ in a metric space } (S, \rho),$

entonces

$\rho\left(x_{m}, y_{m}\right) \rightarrow \rho(p, q) \text{ in } E^{1}.$

Prueba

Pista: Demuéstralo

$\left|\rho\left(x_{m}, y_{m}\right)-\rho(p, q)\right| \leq \rho\left(x_{m}, p\right)+\rho\left(q, y_{m}\right) \rightarrow 0$

por Teorema 1.

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