3.11.E: Problemas en los Límites de Secuencias (Ejercicios)
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Véase también Capítulo 2, §13.
Demostrar que si\(x_{m} \rightarrow 0\) y si\(\left\{a_{m}\right\}\) está delimitado en\(E^{1}\) o\(C,\) entonces
\ [
a_ {m} x_ {m}\ fila derecha 0.
\]
Esto es cierto también si los\(x_{m}\) son vectores y los\(a_{m}\) son escalares (o viceversa).
[Pista: Si\(\left\{a_{m}\right\}\) está acotada, hay\(K \in E^{1}\) tal que
\ [
(\ forall m)\ quad\ izquierda|a_ {m}\ derecha|<k.
\]
As\(x_{m} \rightarrow 0\),
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall m>k)\ quad\ izquierda|x_ {m} \ right|<\ frac {\ varepsilon} {K} (\ mathrm {por qué}?) ,
\]
así\(\left|a_{m} x_{m}\right|<\varepsilon . ]\)
Demostrar Teorema 1\((\text { ii })\).
[Pista: Por Corolario 2 (ii) (iii) en §14, debemos demostrarlo\(a_{m} x_{m}-a w \rightarrow 0\). Ahora
\ [
a_ {m} x_ {m} -a q=a_ {m}\ izquierda (x_ {m} -q\ derecha) +\ izquierda (a_ {m} -a\ derecha) q.
\]
donde\(x_{m}-q \rightarrow 0\) y\(a_{m}-a \rightarrow 0\) por Corolario 2 de §14. De ahí por el Problema 1,
\ [
a_ {m}\ left (x_ {m} -q\ right)\ rightarrow 0\ text {and}\ left (a_ {m} -a\ right) q\ rightarrow 0
\]
(tratar\(q\) como una secuencia constante y usar el Corolario 5 en §14). Ahora aplica Teorema 1\((\mathrm{i}) . ]\)
Demostrar que si\(a_{m} \rightarrow a\) y\(a \neq 0\) en\(E^{1}\) o\(C,\) entonces
\ [
(\ existe\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall m>k)\ quad\ izquierda|a_ {m}\ derecha|\ geq\ varepsilon.
\]
(Decimos brevemente que los\(a_{m}\) están delimitados lejos de\(0,\) para\(m>k . )\) De ahí probar la generalidad de\(\left\{\frac{1}{a_{m}}\right\}\) for\(m>k\).
[Pista: Para la primera parte, proceda como en la prueba del Corolario 1 en\(§14, \text { with } x_{m}=a_{m},\)\(p=a,\) y\(q=0 .\)
Para la segunda parte, las desigualdades
\ [
(\ forall m>k)\ quad\ izquierda|\ frac {1} {a_ {m}}\ derecha|\ leq\ frac {1} {\ varepsilon}
\]
conducen al resultado deseado. \(]\)
Demostrar que si\(a_{m} \rightarrow a \neq 0\) en\(E^{1}\) o\(C,\) entonces
\ [\ frac {1} {a_ {m}}\ fila derecha\ frac {1} {a}.
\]
Usa esto y Teorema 1\((\text { ii) to prove Theorem } 1(\text { iii), noting that }\)
\ [
\ frac {x_ {m}} {a_ {m}} =x_ {m}\ cdot\ frac {1} {a_ {m}}.
\]
[Sugerencia: Usa la Nota 3 y el Problema 3 para encontrar que
\ [
(\ forall m>k)\ quad\ izquierda|\ frac {1} {a_ {m}} -\ frac {1} {a}\ derecha|=\ frac {1} {|a|}\ izquierda|a_ {m} -a\ derecha|\ frac {1} {\ izquierda|a_ {m}\ derecha|},
\]
donde\(\left\{\frac{1}{a_{m}}\right\}\) está delimitada y \(\frac{1}{|a|}\left|a_{m}-a\right| \rightarrow 0 .\)(¿Por qué?)
De ahí, por Problema\(1,\left|\frac{1}{a_{m}}-\frac{1}{a}\right| \rightarrow 0 .\) Proceder. \(]\)
Demostrar los Corolarios 1 y 2 de dos maneras:
(i) Usar la Definición 2 del Capítulo 2, §13 para el Corolario\(1(a),\) tratando los límites infinitos por separado; luego probar (b) asumiendo lo contrario y exhibiendo una contradicción para\((a) .\)
(ii) Proprobar (b) primero usando el Corolario 2 y el Teorema 3 del capítulo 2, §13; luego deducir (a) por contradicción.
Demostrar el corolario 3 de dos maneras (cf. Problema 5).
Demostrar el Teorema 4 como se sugiere, y también sin usar el Teorema 1\((\mathrm{i})\).
Demostrar Teorema 2.
[Sugerencia: Si\(\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p},\) entonces
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall m>q)\ quad\ varepsilon>\ izquierda|\ overline {x} _ {m} -\ overline {p}\ derecha|\ geq\ izquierda|x_ {m k} -p_ {k}\ derecha|. \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Así por definición\(x_{m k} \rightarrow p_{k}, k=1,2, \ldots, n\).
Por el contrario, si es así, usa el Teorema 1\((\mathrm{i})(\text { ii })\) para obtener
\ [\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {m k}\ vec {e} _ {k}\ fila derecha\ suma_ {k=1} ^ {n} p_ {k}\ vec {e} _ {k},
\]
con\(\vec{e}_{k}\) como en el Teorema 2 de §§1-3].
En Problema\(8,\) probar la parte inversa a partir de definiciones. \((\text { Fix } \varepsilon>0, \text { etc. })\)
Encuentra los siguientes límites de dos\(E^{1},\) maneras: (i) usando el Teorema 1, justificando cada paso; (ii) usando solo definiciones.
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)}\ lim _ {m\ fila derecha\ infty}\ frac {m+1} {m};} & {\ texto {(b)}\ lim _ {m\ fila derecha\ infty}\ frac {3 m+2} {2 m-1}}\\ {\ texto {(c)}\ lim _ {\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {1+n^ {2}};} & {\ texto {(d)}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n (n-1)} {1-2 n^ {2}}}\ end {array}
\]
\([\text { Solution of }(\mathrm{a}) \text { by the first method: Treat }\)
\ [
\ frac {m+1} {m} =1+\ frac {1} {m}
\]
como la suma de\(x_{m}=1\) (constante) y
\ [
y_ {m} =\ frac {1} {m}\ fila derecha 0\ text {(probado en} § 14).
\]
Así por el Teorema 1\((\mathrm{i})\),
\ [\ frac {m+1} {m} =x_ {m} +y_ {m}\ fila derecha 1+0=1.
\]
Segundo método: Fijar\(\varepsilon>0\) y encontrar\(k\) tal que
\ [
(\ forall m>k)\ quad\ izquierda|\ frac {m+1} {m} -1\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Resolviendo para\(m,\) mostrar que esto se mantiene si\(m>\frac{1}{\varepsilon} .\) Así tomar un entero\(k>\frac{1}{\varepsilon},\) así
\ [
(\ forall m>k)\ quad\ izquierda|\ frac {m+1} {m} -1\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Precaución: No se puede aplicar el Teorema 1 (iii) directamente, tratándose\((m+1) / m\) como el cociente de\(x_{m}=m+1\) y\(a_{m}=m,\) porque\(x_{m}\) y\(a_{m}\) divergir en\(E^{1} .\) (el Teorema 1 no se aplica a límites infinitos.) Como remedio, primero dividimos el numerador y el denominador por un poder adecuado de\(m(\text { or } n) . ]\)
Demostrar que
\ [\ izquierda|x_ {m}\ derecha|\ fila derecha+\ infty\ texto {in} E^ {*}\ texto {iff}\ frac {1} {x_ {m}}\ fila derecha 0\ quad\ izquierda (x_ {m}\ neq 0\ derecha).
\]
Demostrar que si
\ [
x_ {m}\ fila derecha+\ infty\ texto {y} y_ {m}\ fila derecha q\ neq-\ infty\ text {in} E^ {*},
\]
entonces
\ [
x_ {m} +y_ {m}\ fila derecha+\ infty.
\]
Esto se escribe simbólicamente como
\ [
"+\ infty+q=+\ infty\ text {if} q\ neq-\ infty.”
\]
Hacer también
\ [
"-\ infty+q=-\ infty\ text {if} q\ neq+\ infty. “
\]
Demostrar de manera similar que
\ [
“(+\ infty)\ cdot q=+\ infty\ text {if} q>0"
\]
y\ [
“(+\ infty)\ cdot q=-\ infty\ text {if} q<0.”
\]
[Sugerencia: Tratar los casos\(q \in E^{1}, q=+\infty,\) y\(q=-\infty\) por separado. Utilice definiciones.]
Encuentra el límite (o\(\underline{\lim}\) y\(\overline{\lim}\)) de las siguientes secuencias en\(E^{*} :\)
(a)\(x_{n}=2 \cdot 4 \cdots 2 n=2^{n} n !\);
(b)\(x_{n}=5 n-n^{3} ;\)
(c)\(x_{n}=2 n^{4}-n^{3}-3 n^{2}-1\);
(d)\(x_{n}=(-1)^{n} n !\);
(e)\(x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n !}\).
[Sugerencia de\((\mathrm{b}) : x_{n}=n\left(5-n^{2}\right) ;\) uso Problema 11.]
Utilice el Corolario 4 en §14, para encontrar lo siguiente:
(a)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{1+n^{2}}\);
(b)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-n+(-1)^{n}}{2 n+1}\).
Encuentra lo siguiente.
a)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}\);
b)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3}+1}\);
c)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{n^{4}-1}\).
[Sugerencia: Calcular\(\sum_{k=1}^{n} k^{m}\) usando el Problema 10 del Capítulo 2, §§5-6.]
Qué hay de malo con la siguiente “solución” de\((a) : \frac{1}{n^{2}} \rightarrow 0, \frac{2}{n^{2}} \rightarrow 0,\) etc.; de ahí que el límite sea 0\(?\)
Por cada entero\(m \geq 0,\) vamos
\ [
S_ {m n} =1^ {m} +2^ {m} +\ cdots+n^ {m}.
\]
Demostrar por inducción sobre\(m\) eso
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {S_ {m n}} {(n+1) ^ {m+1}} =\ frac {1} {m+1}.
\]
[Sugerencia: Primero prueba que
\ [
(m+1) S_ {m n} =( n+1) ^ {m+1} -1-\ sum_ {i=0} ^ {m-1}\ left (\ begin {array} {c} {m+1}\\ {i}\ end {array}\ right) S_ {m i}
\]
sumando las expansiones binomiales de\((k+1)^{m+1}, k=1, \ldots, n . ]\)
Demostrar que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} q^ {n} =+\ infty\ texto {si} q>1;\ quad\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} q^ {n} =0\ texto {if} |q|<1;\ quad\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} 1^ {n} =1.
\]
[Sugerencia: Si se\(q>1,\) pone\(q=1+d, d>0 .\) Por la expansión binomial,
\ [
q^ {n} =( 1+d) ^ {n} =1+n d+\ cdots+d^ {n} >n d\ fila derecha+\ infty. \ quad (\ mathrm {¿Por qué?})
\]
Si\(|q|<1,\)\(\left|\frac{1}{q}\right|>1 ;\) entonces\(\lim \left|\frac{1}{q}\right|^{n}=+\infty ;\) usa Problema\(10 . ]\)
Demostrar que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n} {q^ {n}} =0\ texto {si} |q|>1,\ texto {y}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n} {q^ {n}} =+\ infty\ texto {si} 0<q<1.
\]
[Sugerencia: Si\(|q|>1,\) usa el binomio como en el Problema 16 para obtener
\ [
|q|^ {n} >\ frac {1} {2} n (n-1) d^ {2}, n\ geq 2,\ text {so}\ frac {n} {|q|^ {n}} <\ frac {2} {(n-1) d^ {2}}\ derecha_derecha fila 0.
\]
Usa el Corolario 3 con
\ [
x_ {n} =0,\ izquierda|z_ {n}\ derecha|=\ frac {n} {||q|^ {n}},\ text {y} y_ {n} =\ frac {2} {(n-1) d^ {2}}
\]
para obtener de\(\left|z_{n}\right| \rightarrow 0 ;\) ahí también\(z_{n} \rightarrow 0\) por Corolario 2\((\text { iii) of } §14 . \text { In case } 0<q<1, \text { use }\) 10.]
Vamos\(r, a \in E^{1} .\) Demostrar que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} n^ {r} a^ {-n} =0\ text {if} |a|>1.
\]
[Sugerencia: Si\(r>1\) y\(a>1,\) usa el Problema 17 con\(q=a^{1 / r}\) para obtener\(n a^{-n / r} \rightarrow 0 .\) As
\ [
0<n^ {r} a^ {-n} =\ left (n a^ {-n/r}\ right) ^ {r}\ leq n a^ {-n/r}\ fila derecha 0,
\]
obtener\(n^{r} a^{-n} \rightarrow 0\).
Si\(r<1,\) entonces\(n^{r} a^{-n}<n a^{-n} \rightarrow 0 .\) ¿Y si\(a<-1 ? ]\)
(Serie geométrica.) Demostrar que si\(|q|<1,\) entonces
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (a+a q+\ cdots+a q^ {n-1}\ derecha) =\ frac {a} {1-q}.
\]
[Sugerencia:
\ [
a\ left (1+q+\ cdots+q^ {n-1}\ derecha) =a\ frac {1-q^ {n}} {1-q},
\]
donde\(q^{n} \rightarrow 0,\) por Problema\(16 . ]\)
Vamos\(0<c<+\infty .\) Demostrar que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ sqrt [n] {c} =1.
\]
\(\left[\text { Hint: If } c>1, \text { put } \sqrt[n]{c}=1+d_{n}, d_{n}>0 . \text { Expand } c=\left(1+d_{n}\right)^{n} \text { to show that }\right.\)
\ [
0<d_ {n} <\ frac {c} {n}\ fila derecha 0,
\]
así\(d_{n} \rightarrow 0\) por Corolario\(3 . ]\)
Investigar las siguientes secuencias para la monotonicidad\(\underline{\lim}\),\(\overline{\lim}\),, y\(\lim\). (En cada caso, encuentre la fórmula adecuada, o fórmulas, para el término general.)
a)\(2,5,10,17,26, \ldots\);
b)\(2,-2,2,-2, \ldots\);
c\(2,-2,-6,-10,-14, \ldots ;\)
) d\(1,1,-1,-1,1,1,-1,-1, \ldots ;\)
) e)\(\frac{3 \cdot 2}{1}, \frac{4 \cdot 6}{4}, \frac{5 \cdot 10}{9}, \frac{6 \cdot 14}{16}, \ldots\).
Haz el Problema 21 para las siguientes secuencias.
a)\(\frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{-8}{3 \cdot 4}, \frac{27}{4 \cdot 5}, \frac{-64}{5 \cdot 6}, \frac{125}{6 \cdot 7}, \ldots ;\)
b)\(\frac{2}{9},-\frac{5}{9}, \frac{8}{9},-\frac{13}{9}, \ldots ;\)
c)\(\frac{2}{3},-\frac{2}{5}, \frac{4}{7},-\frac{4}{9}, \frac{6}{11},-\frac{6}{13}, \ldots\)
d) e\(1,3,5,1,1,3,5,2,1,3,5,3, \ldots, 1,3,5, n, \ldots ;\)
)\(0.9,0.99,0.999, \ldots\); f
)\(+\infty, 1,+\infty, 2,+\infty, 3, \dots ;\)
\((\mathrm{g})-\infty, 1,-\infty, \frac{1}{2}, \ldots,-\infty, \frac{1}{n}, \ldots\).
Hacer el Problema 20 de la siguiente manera: Si\(c \geq 1,\{\sqrt[n]{c}\} \downarrow .(\mathrm{Why} ?)\) Por Teorema\(3,\)\(p=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c}\) existe y
\ [
(\ forall n)\ quad 1\ leq p\ leq\ sqrt [n] {c},\ text {i.e.,} 1\ leq p^ {n}\ leq c.
\]
Por Problema\(16, p\) no puede ser\(>1,\) así\(p=1\).
En caso\(0<c<1,\) considerar\(\sqrt[n]{1 / c}\) y usar el Teorema 1\((\text { iii) }\).
Demostrar la existencia de\(\lim x_{n}\) y encontrarla cuando\(x_{n}\) se define inductivamente por
(i)\(x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2 x_{n}}\);
(ii)\(x_{1}=c>0, x_{n+1}=\sqrt{c^{2}+x_{n}}\);
(iii) de\(x_{1}=c>0, x_{n+1}=\frac{c x_{n}}{n+1} ;\) ahí deducirlo\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{c^{n}}{n !}=0\).
[Pista: Mostrar que las secuencias son monótonas y acotadas en\(E^{1}\) (Teorema 3).
Por ejemplo, en (ii) rendimientos de inducción
\ [
x_ {n} <x_ {n+1} <c+1. \ quad (\ text {¡Verifica! })
\]
Así\(\lim x_{n}=\lim x_{n+1}=p\) existe. Para encontrar\(p,\) cuadrado la ecuación
\ [
x_ {n+1} =\ sqrt {c^ {2} +x_ {n}}\ quad (\ text {dado})
\]
y usa el Teorema 1 para obtener
\ [
p^ {2} =c^ {2} +p. \ quad (\ mathrm {¿Por qué?})
\]
Resolviendo for\(p\) (señalando que\(p>0 ),\) obtener
\ [
p=\ lim x_ {n} =\ frac {1} {2}\ left (1+\ sqrt {4 c^ {2} +1}\ derecha);
\] de
manera similar en los casos (i) y (iii). \(]\)
Encontrar\(\lim x_{n}\) en\(E^{1}\) o\(E^{*}\) (en su caso), dado que
(a)\(x_{n}=(n+1)^{q}-n^{q}, 0<q<1\);
(b)\(x_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\);
(c)\(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}\);
(d)\(x_{n}=n(n+1) c^{n},\) con\(|c|<1\);
(e)\(x_{n}=\sqrt[n]{\sum_{k=1}^{m} a_{k}^{n}},\) con\(a_{k}>0\);
(f)\(x_{n}=\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n-1)}\).
[Sugerencias:
(a)\(0<x_{n}=n^{q}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{q}-1\right]<n^{q}\left(1+\frac{1}{n}-1\right)=n^{q-1} \rightarrow 0 .(\mathrm{Why} ?)\)
(b)\(x_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{1+1 / n}},\) donde\(1<\sqrt{1+\frac{1}{n}}<1+\frac{1}{n} \rightarrow 1,\) es así\(x_{n} \rightarrow \frac{1}{2} .\) (¿por qué?)
(c) Verificar que
\ [
\ frac {n} {\ sqrt {n^ {2} +n}}\ leq x_ {n}\ leq\ frac {n} {\ sqrt {n^ {2} +1}},
\]
así\(x_{n} \rightarrow 1\) por Corolario 3. (Dar una prueba.)
d) Ver Problemas 17 y 18.
(e) Dejar\(a=\max \left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right) .\) Demostrar ese problema de\(a \leq x_{n} \leq a \sqrt[n]{m} .\) uso\(20 . ]\)
Los siguientes son algunos problemas más duros pero útiles de importancia teórica.
Los indicios explícitos deberían hacerlos no demasiado duros.
Vamos\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq E^{1} .\) Demostrar que si\(x_{n} \rightarrow p\) en\(E^{1},\) entonces también
\ [\ lim _ {n\ rightarrow\ infty}\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^ {n} x_ {i} =p
\]
(es decir,\(p\) es también el límite de la secuencia de las medias aritméticas de la\(x_{n} ).\)
[ Solución: Fijar\(\varepsilon>0 .\) Entonces
\ [
(\ existe k) (\ forall n>k)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {4} <x_ {n} <p+\ frac {\ varepsilon} {4}.
\]
Agregando\(n-k\) desigualdades, obtener
\ [
(n-k)\ left (p-\ frac {\ varepsilon} {4}\ derecha) <\ sum_ {i=k+1} ^ {n} x_ {i} < (n-k)\ left (p+\ frac {\ varepsilon} {4}\ right).
\]
Con\(k\) tan arreglado, tenemos así
\ [
(\ forall n>k)\ quad\ frac {n-k} {n}\ left (p-\ frac {\ varepsilon} {4}\ derecha) <\ frac {1} {n}\ left (x_ {k+1} +\ cdots+x_ {n}\ derecha) <\ frac {n-k} {n}\ izquierda (p+\ frac {\ varepsilon} {4}\ derecha).
\]
Aquí, con\(k\) y\(\varepsilon\) fijo,
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n-k} {n}\ izquierda (p-\ frac {\ varepsilon} {4}\ derecha) =p-\ frac {\ varepsilon} {4}.
\]
De ahí, como\(p-\frac{1}{2} \varepsilon<p-\frac{1}{4} \varepsilon,\) hay\(k^{\prime}\) tal que
\ [
\ left (\ forall n>k^ {\ prime}\ derecha)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {2} <\ frac {n-k} {n}\ left (p-\ frac {\ varepsilon} {4}\ right).
\]
Del mismo modo,
\ [\ izquierda (\ existe k^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ izquierda (\ forall n>k^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ quad\ frac {n-k} {n}\ izquierda (p+\ frac {\ varepsilon} {4}\ derecha) <p+\ frac {\ varepsilon} {2}.
\]
Combinando esto con (i), tenemos, para\(K^{\prime}=\max \left(k, k^{\prime}, k^{\prime \prime}\right)\),
\ [
\ left (\ forall n>k^ {\ prime}\ derecha)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {2} <\ frac {1} {n}\ left (x_ {k+1} +\ cdots+x_ {n}\ derecha) <p+\ frac {\ varepsilon psilon} {2}.
\]
Ahora con\(k\) fijo,
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {n}\ izquierda (x_ {1} +x_ {2} +\ cdots+x_ {k}\ derecha) =0.
\]
De ahí
\ [
\ izquierda (\ existe K^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ izquierda (\ forall n>k^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ quad-\ frac {\ varepsilon} {2} <\ frac {1} {n}\ izquierda (x_ {1} +\ cdots+x_ {k}\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {2}.
\]
Dejar\(K=\max \left(K^{\prime}, K^{\prime \prime}\right) .\) Luego combinando con (ii), tenemos
\ [
(\ forall n>k)\ quad p-\ varepsilon<\ frac {1} {n}\ left (x_ {1} +\ cdots+x_ {n}\ right) <p+\ varepsilon,
\]
y el resultado sigue.
Demostrar que el resultado del Problema 26 se mantiene también por límites infinitos\(p=\pm \infty \in E^{*} .\)
Demostrar que si\(x_{n} \rightarrow p\) en\(E^{*}\left(x_{n}>0\right),\) entonces
\ [\ lim _ {n\ rightarrow\ infty}\ sqrt [n] {x_ {1} x_ {2}\ cdots x_ {n}} =p.
\]
[Pista: Deje que primero\(0<p<+\infty .\) Given\(\varepsilon>0,\) use la densidad para fijar\(\delta>1\) tan cerca de 1 que
\ [
p-\ varepsilon<\ frac {p} {\ delta} <p<p\ delta<p+\ varepsilon.
\]
Como\(x_{n} \rightarrow p\),
\ [
(\ existe k) (\ forall n>k)\ quad\ frac {p} {\ sqrt [4] {\ delta}} <x_ {n} <p\ sqrt [4]\ delta.
\]
Continuar como en Problema\(26,\) reemplazando\(\varepsilon\) por\(\delta,\) y multiplicación por suma (también resta por división, etc., como se muestra arriba). Encuentra una solución similar para el caso\(p=+\infty .\) Observe el resultado de Problema 20.]
Desmentir por contraejemplos las implicaciones contrarias en Problemas 26 y\(27 .\) Por ejemplo, considere las secuencias
\ [
1, -1,1, -1,\ dots
\]
y
\ [
\ frac {1} {2}, 2,\ frac {1} {2}, 2,\ frac {1} {2}, 2,\ ldots
\]
Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(\left\{x_{n}\right\} \subset E^{1}\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=p\) en\(E^{*},\) entonces\(\frac{x_{n}}{n} \rightarrow p\).
ii) Si\(\left\{x_{n}\right\} \subset E^{1}\left(x_{n}>0\right)\) y si\(\frac{x_{n+1}}{x_{n}} \rightarrow p \in E^{*},\) entonces\(\sqrt[n]{x_{n}} \rightarrow p\).
Desmentir las declaraciones conversas mediante contraejemplos.
[Sugerencia: Para\((\mathrm{i}),\) let\(y_{1}=x_{1}\) y\(y_{n}=x_{n}-x_{n-1}, n=2,3, \ldots\) Entonces\(y_{n} \rightarrow p\) y
\ [
\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^ {n} y_ {i} =\ frac {x_ {n}} {n},
\]
así que los Problemas 26 y\(26^{\prime}\) aplican.
Para (ii), use Problema\(27 .\) Ver Problema 28 para ejemplos. \(]\)
Del Problema 29 deducir que
(a)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n !}=+\infty\);
(b)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n !}=0\);
(c)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n !}}=e\);
(d)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n !}=\frac{1}{e}\);
(e)\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1\).
Demostrar que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} x_ {n} =\ frac {a+2 b} {3},
\]
dado
\ [
x_ {0} =a, x_ {1} =b,\ texto {y} x_ {n+2} =\ frac {1} {2}\ izquierda (x_ {n} +x_ {n+1} derecha).
\]
[Sugerencia: Mostrar que las diferencias\(d n=x_{n}-x_{n-1}\) forman una secuencia geométrica, con ratio\(q=-\frac{1}{2},\) y\(x_{n}=a+\sum_{k=1}^{n} d_{k} .\) luego usa el resultado de Problema\(19 . ]\)
\(\Rightarrow 32 .\)Para cualquier secuencia\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq E^{1},\) probar que
\ [
\ subrayar {\ lim} x_ {n}\ leq\ subrayado {\ lim}\ frac {1} {n}\ suma_ {i = 1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ overline {\ lim}\ frac {1} {n}\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ overline {\ lim} x_ {n}.
\]
De ahí encontrar una nueva solución de Problemas 26 y\(26^{\prime} .\)
[Prueba para\(\overline{\lim}\): Fijar cualquier\(k \in N .\) Put
\ [
c=\ sum_ {i=1} ^ {k} x_ {i}\ text {y} b=\ sup _ {i\ geq k} x_ {i}.
\]
Verifica que
\ [
(\ forall n>k)\ quad x_ {k+1} +x_ {k+2} +\ cdots+x_ {n}\ leq (n-k) b.
\]
Agrega\(c\) en ambos lados y divide por\(n\) para obtener
\ [
(\ forall n>k)\ quad\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ frac {c} {n} +\ frac {n-k} {n} b.
\]
Ahora arregla cualquiera\(\varepsilon>0,\) y primero vamos\(|b|<+\infty .\) Como\(\frac{c}{n} \rightarrow 0\) y\(\frac{n-k}{n} b \rightarrow b,\) hay\(n_{k}>k\) tal que
\ [
\ izquierda (\ forall n>n_ {k}\ derecha)\ quad\ frac {c} {n} <\ frac {\ varepsilon} {2}\ texto {y}\ frac {n-k} {n} b<b+\ frac {\ varepsilon} {2}.
\]
Así por\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)\),
\ [
\ left (\ forall n>n_ {k}\ derecha)\ quad\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ varepsilon+b.
\]
Esto sostiene claramente también si\(b=\sup _{i \geq k} x_{i}=+\infty .\) Por lo tanto también
\ [
\ sup _ {n\ geq n_ {k}}\ frac {1} {n}\ suma_ {i=1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ varepsilon+\ sup _ {i\ geq k} x_ {i}.
\]
Como\(k\) y\(\varepsilon\) fueron arbitrarios, podemos dejar primero\(k \rightarrow+\infty,\) entonces\(\varepsilon \rightarrow 0,\) obtener
\ [
\ subrayar {\ lim}\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^ {n} x_ {i}\ leq\ lim _ {k\ rightarrow\ infty}\ sup _ {i\ geq k} x_ {i} =\ overline {\ lim} x_ {n}. \ quad (\ texto {¡Explica! })]
\]
\(\Rightarrow 33 .\)Dado\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq E^{1}, x_{n}>0,\) demostrar que
\ [
\ subrayar {\ lim} x_ {n}\ leq\ subrayado {\ lim}\ sqrt [n] {x_ {1} x_ {2}\ cdots x_ {n}}\ texto {y}\ overline {\ lim}\ sqrt [n] {x_ {1} x_ {2}\ cdots x_ {n}}\ leq\ overline {\ lim} x_ {n}.
\]
De ahí obtener una nueva solución para Problema\(27 .\)
[Sugerencia: Proceder como se sugiere en Problema\(32,\) reemplazando la suma por la multiplicación.]
Dado\(x_{n}, y_{n} \in E^{1}\left(y_{n}>0\right),\) con
\ [
x_ {n}\ fila derecha p\ en E^ {*}\ texto {y} b_ {n} =\ suma_ {i=1} ^ {n} y_ {i}\ fila derecha+\ infty,
\]
demostrar que
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ _ sum_ {i=1} ^ {n} x_ i} y_ {i}} {\ suma_ {i=1} ^ {n} y_ {i}} =p.
\]
Tenga en cuenta que el Problema 26 es un caso especial del Problema 34 (tomar todo\(y_{n}=1 )\). [Pista para un finito\(p :\) Proceder como en Problema\(26 .\) Sin embargo, antes de sumar las\(n-k\) desigualdades, multiplique por\(y_{i}\) y obtenga
\ [\ left (p-\ frac {\ varepsilon} {4}\ right)\ sum_ {i=k+1} ^ {n} y_ {i} <\ sum_ {i=k+1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} <\ left (p+\ frac {\ varepsilon} { 4}\ derecha)\ suma_ {i=k+1} ^ {n} y_ {i}.
\]
\(\operatorname{Put} b_{n}=\sum_{i=1}^{n} y_{i}\) y mostrar que
\ [
\ frac {1} {b_ {n}}\ sum_ {i=k+1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} =1-\ frac {1} {b_ {n}}\ sum_ {i=1} ^ {k} x_ {i} y_ {i},
\]
donde\(b_{n} \rightarrow+\infty(\text { by assumption }),\) así
\ [
\ frac {1} {b_ _ {n}}\ suma_ {i=1} ^ {k} x_ {i} y_ {i}\ fila derecha 0\ quad\ texto {(para un fijo} k).
\]
Proceder. Encuentre una prueba para\(p=\pm \infty . ]\)
Haz el Problema 34 considerando\(\underline{\lim}\) y\(\overline{\lim}\) como en el Problema 32.
\(\left[\text { Hint: Replace } \frac{c}{n} \text { by } \frac{c}{b_{n}}, \text { where } b_{n}=\sum_{i=1}^{n} y_{i} \rightarrow+\infty .\right]\)
Demostrar que si\(u_{n}, v_{n} \in E^{1},\) con\(\left\{v_{n}\right\} \uparrow\) (estrictamente)\(v_{n} \rightarrow+\infty,\) y y si
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}} =p\ quad\ izquierda (p\ en E^ {*}\ derecha),
\]
entonces también
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {u_ {n}} {v_ {n}} =p,
\]
[Sugerencia: El resultado de Problema\(34,\) con
\ [
x_ {n} =\ frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}}\ text {y} y_ {n} =v_ {n} -v_ {n-1}.
\]
lleva al resultado final. \(]\)
Del Problema 36 obtener una nueva solución para Problema\(15 .\) También prueba que
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ left (\ frac {S_ {m n}} {n^ {m+1}} -\ frac {1} {m+1}\ right) =\ frac {1} {2}.
\]
[Sugerencia: Para la primera parte, pon
\ [
u_ {n} =S_ {m n}\ text {y} v_ {n} =n^ {m+1}.
\]
Para el segundo, poner
\ [
u_ {n} =( m+1) S_ {m n} -n^ {m+1}\ texto {y} v_ {n} =n^ {m} (m+1).]
\]
Vamos\(0<a<b<+\infty .\) Definir inductivamente:\(a_{1}=\sqrt{a b}\) y\(b_{1}=\frac{1}{2}(a+b)\);
\ [
a_ {n+1} =\ sqrt {a_ {n} b_ {n}}\ text {y} b_ {n+1} =\ frac {1} {2}\ left (a_ {n} +b_ {n}\ right), n=1,2,\ ldots
\]
Luego\(a_{n+1}<b_{n+1}\) para
\ [
b_ {n+1} -a_ {n+1}} =\ frac {1} {2}\ izquierda (a_ {n} +b_ {n}\ derecha) -\ sqrt {a_ {n} b_ {n}} =\ frac {1} {2}\ izquierda (\ sqrt {b_ {n}} -\ sqrt {a_ {n}}\ derecha) ^ {2} >0.
\]
Deducir que
\ [
a<a_ {n} <a_ {n+1} <b_ {n+1} <b_ {n} <b,
\]
así\(\left\{a_{n}\right\} \uparrow\) y\(\left\{b_{n}\right\} \downarrow .\) Por teorema\(3, a_{n} \rightarrow p\) y\(b_{n} \rightarrow q\) para algunos\(p, q \in E^{1} .\) Demostrar que\(p=q,\) es decir,
\ [
\ lim a_ {n} =\ lim b_ {n}.
\]
(Esta es la media aritmética-geométrica de Gauss de\(a\) y\(b . )\)
[Sugerencia: Tome los límites de ambos lados\(b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\) para obtener\(q=\frac{1}{2}(p+q) . ]\)
Vamos\(0<a<b\) a\(E^{1} .\) definir inductivamente\(a_{1}=a, b_{1}=b\),
\ [
a_ {n+1} =\ frac {2 a_ {n} b_ {n}} {a_ {n} +b_ {n}},\ text {y} b_ {n+1} =\ frac {1} {2}\ left (a_ {n} +b_ {n}\ right), quad\ n=1,2,\ ldots
\]
Demostrar que
\ [
\ sqrt {a b} =\ lim _ {n \ fila derecha\ infty} a_ {n} =\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} b_ {n}.
\]
[Sugerencia: Proceda como en el Problema 38.]
Demostrar la continuidad de la multiplicación de puntos, es decir, si
\ [\ overline {x} _ {n}\ rightarrow\ overline {q}\ text {y}\ overline {y} _ {n}\ rightarrow\ overline {r}\ text {in} E^ {n}
\]
(*o en otro espacio euclidiano; ver §9), entonces
\ [
\ overline {x} _ {n}\ cdot\ overline {y} _ {n}\ Rightarrow\ overline {q}\ cdot\ overline {r}.
\]