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I. Las nociones de punto de conglomerado y conjunto cerrado (§§12, 14) pueden caracterizarse en términos de secuencias convergentes. Comenzamos con puntos de clúster.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

(i) Una secuencia se$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)$$ agrupa en un$$p \in S$$ punto si tiene una subsecuencia que$$\left\{x_{m_{n}}\right\}$$ converge a$$p.$$

(ii) Un conjunto de$$A \subseteq(S, \rho)$$ clústeres en$$p \in S$$ iff p es el límite de alguna secuencia$$\left\{x_{n}\right\}$$ de puntos de$$A$$ otro que no$$p ;$$ sea así, los términos$$x_{n}$$ pueden hacerse distintos.

Prueba

(i) Si$$p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{m_{n}},$$ entonces por definición cada globo alrededor$$p$$ contiene todos pero finitamente muchos de$$x_{m_{n}},$$ ahí infinitamente muchos$$x_{m} .$$ Así$$p$$ es un punto de cúmulo.

Por el contrario, si es así, considerar en particular los globos

$G_{p}\left(\frac{1}{n}\right), \quad n=1,2, \ldots$

Por supuesto,$$G_{p}(1)$$ contiene algunos$$x_{m} .$$ Así fijar

$x_{m_{1}} \in G_{p}(1).$

A continuación, elija un término

$x_{m_{2}} \in G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)\text{ with } m_{2}>m_{1}.$

(Tales términos existen ya que$$G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)$$ contiene infinitamente muchos$$x_{m} . )$$ Siguiente, fix

$x_{m_{3}} \in G_{p}\left(\frac{1}{3}\right),\text{ with } m_{3}>m_{2}>m_{1},$

y así sucesivamente.

Así, paso a paso (inductivamente), seleccione una secuencia de subíndices

$m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{n}<\cdots$

que determina una subsecuencia (ver Capítulo 1, §8) tal que

$(\forall n) \quad x_{m_{n}} \in G_{p}\left(\frac{1}{n}\right),\text{ i.e., } \rho\left(x_{m_{n}}, p\right)<\frac{1}{n} \rightarrow 0,$

de dónde$$\rho\left(x_{m_{n}}, p\right) \rightarrow 0,$$ o$$x_{m_{n}} \rightarrow p .$$ (¿por qué?) Así se ha encontrado una subsecuencia$$x_{m_{n}} \rightarrow p,$$ y se demuestra la aserción (i).

La aserción (ii) se prueba de manera bastante similar - proceder como en la prueba del Corolario 6 en §§14; aquí no$$m_{1}<m_{2}<\cdots$$ se necesitan las desigualdades. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Recordemos que el conjunto$$R$$ de todos los racionales agrupa en cada uno$$p \in E^{1}$$ (§§14, Ejemplo (e)). Así, por el Teorema 1 (ii), cada real$$p$$ es el límite de una secuencia de racionales. Ver también Problema 6 de §§12 para$$\overline{p}$$ in$$E^{n}$$.

b) La secuencia

$0,1,0,1, \ldots$

tiene dos subsecuencias convergentes,

$x_{2 n}=1 \rightarrow 1\text{ and } x_{2 n-1}=0 \rightarrow 0.$

Así, por el Teorema 1 (i), se agrupa en 0 y 1.

Interpretar el Ejemplo (f) y el Problema 10 (a) en §14 de manera similar.

Como sabemos, incluso los conjuntos infinitos pueden no tener puntos de clúster (tomar$$N$$ en$$E^{1})$$. Sin embargo, un conjunto infinito delimitado o secuencia en$$E^{n}$$ (*or$$C^{n}$$) debe agruparse. Este importante teorema (debido a Bolzano y Weierstrass) se prueba a continuación.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (Bolzano-Weierstrass).

(i) Cada conjunto infinito delimitado o secuencia$$A$$ en$$E^{n}$$ (* o$$C^{n}$$) tiene al menos un punto de agrupación$$\overline{p}$$ allí (posiblemente fuera$$A.$$

(ii) Así, cada secuencia acotada en$$E^{n}$$ (* o$$C^{n}$$) tiene una subsecuencia convergente.

Prueba

Toma primero una secuencia acotada$$\left\{z_{m}\right\} \subseteq[a, b]$$ en$$E^{1} .$$ Let

$p=\overline{\lim } z_{m}.$

Por Teorema 2 (i) del Capítulo 2, §13, {$$z_{m}$$} agrupa en$$p.$$ Además, como

$a \leq z_{m} \leq b,$

tenemos

$a \leq \inf z_{m} \leq p \leq \sup z_{m} \leq b$

por Corolario 1 del Capítulo 2, §13. Así

$p \in[a, b] \subseteq E^{1},$

y así {$$z_{m}$$} se agrupa en$$E^{1}$$.

La aserción (ii) ahora sigue - para$$E^{1}-$$ por el Teorema 1 (i) anterior.

A continuación, tome

$\left\{\overline{z}_{m}\right\} \subseteq E^{2}, \overline{z}_{m}=\left(x_{m}, y_{m}\right) ; x_{m}, y_{m} \in E^{1}.$

Si$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}$$ está acotado, todos$$\overline{z}_{m}$$ están en alguna plaza$$[\overline{a}, \overline{b}] .$$ (¿Por qué?) Let

$\overline{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)\text{ and } \overline{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right).$

Entonces

$a_{1} \leq x_{m} \leq b_{1}\text{ and } a_{2} \leq y_{m} \leq b_{2}\text{ in } E^{1}.$

Así por la primera parte de la prueba,$$\left\{x_{m}\right\}$$ tiene una subsecuencia convergente

$x_{m_{k}} \rightarrow p_{1}\text{ for some } p_{1} \in\left[a_{1}, b_{1}\right].$

Por simplicidad, en adelante escribimos$$x_{m}$$$$x_{m_{k}}, y_{m}$$ para$$y_{m_{k}},$$ y$$\overline{z}_{m}$$ para$$\overline{z}_{m_{k}}$$. Así$$\overline{z}_{m}=\left(x_{m}, y_{m}\right)$$ es ahora una subsecuencia, con$$x_{m} \rightarrow p_{1},$$ y$$a_{2} \leq y_{m} \leq b_{2}$$, como antes.

Ahora volvemos a aplicar este proceso$$\left\{y_{m}\right\}$$ y obtener una subsubsecuencia

$y_{m_{i}} \rightarrow p_{2}\text{ for some } p_{2} \in\left[a_{2}, b_{2}\right].$

Los términos correspondientes$$x_{m_{i}}$$ aún tienden a hacerlo$$p_{1}$$ por el Corolario 3 del §14. Así tenemos una subsecuencia

$\overline{z}_{m_{i}}=\left(x_{m_{i}}, y_{m_{i}}\right) \rightarrow\left(p_{1}, p_{2}\right) \quad\text{ in } E^{2}$

por Teorema 2 en §15. De ahí$$\overline{p}=\left(p_{1}, p_{2}\right)$$ es un punto de cúmulo de$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}.$$ Tenga en cuenta que$$\overline{p} \in[\overline{a}, \overline{b}]$$ (ver arriba). Esto demuestra el teorema de las secuencias en$$E^{2}$$ (por lo tanto, en$$C ).$$

La prueba para$$E^{n}$$ es similar; uno solo tiene que tomar subsecuencias n veces. (*Lo mismo se aplica a$$C^{n}$$ con componentes reales reemplazados por componentes complejos.)

Ahora toma un conjunto infinito acotado$$A \subset E^{n}\left(^{*} C^{n}\right).$$ Selecciona de él una secuencia infinita$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}$$ de puntos distintos (ver Capítulo 1, §9, Problema 5). Por lo que se mostró anteriormente, se$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}$$ agrupan en algún momento$$\overline{p},$$ por lo que cada uno$$G_{\overline{p}}$$ contiene infinitamente muchos puntos distintos$$\overline{z}_{m} \in A.$$ Así, por definición,$$A$$ clústeres en$$\overline{p} . \square$$

Nota 1. También hemos demostrado que si$$\left\{\overline{z}_{m}\right\} \subseteq[\overline{a}, \overline{b}] \subset E^{n},$$ entonces$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}$$ tiene un punto de clúster en$$[\overline{a}, \overline{b}] .$$ (Esto se aplica solo a intervalos cerrados.)

Nota 2. El teorema puede fallar en espacios distintos a$$E^{n}\left(^{*} C^{n}\right) .$$ Por ejemplo, en un espacio discreto, todos los conjuntos están delimitados, pero ningún conjunto puede agruparse.

II. Los puntos de agrupamiento están estrechamente relacionados con la siguiente noción.

## Definición

El cierre de un conjunto$$A \subseteq(S, \rho),$$ denotado$$\overline{A},$$ es la unión de$$A$$ y el conjunto de todos los puntos de clúster de$$A$$ llamarlo$$A^{\prime}$$. Así$$\overline{A}=A \cup A^{\prime} .$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Tenemos$$p \in \overline{A}$$ en$$(S, \rho)$$ iff cada globo$$G_{p}(\delta)$$ sobre p cumple$$A$$, i. e.,

$(\forall \delta>0) \quad A \cap G_{p}(\delta) \neq \emptyset.$

Equivalentemente,$$p \in \overline{A}$$ iff

$p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A.$

Prueba

La prueba es como en el Corolario 6 de §14 y Teorema 1. (Aquí, sin embargo, la$$x_{n}$$ necesidad no tiene por qué ser distinta o diferente de$$p.$$) Los detalles se dejan al lector.

Esto también produce la siguiente nueva caracterización de conjuntos cerrados (cf. §12).

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ se cierra si se cumple una de las siguientes condiciones.

(i)$$A$$ contiene todos sus puntos de agrupación (o no tiene ninguno); es decir,$$A \supseteq A^{\prime}$$.

ii)$$A=\overline{A}$$.

(iii)$$A$$ contiene el límite de cada secuencia convergente$$\left\{x_{n}\right\} \subseteq A$$ (si la hubiera).

Prueba

Las partes (i) y (ii) son equivalentes ya que

$A \supseteq A^{\prime} \Longleftrightarrow A=A \cup A^{\prime}=\overline{A} . \quad\text{(Explain!)}$

Ahora$$A$$ déjese cerrar. Si$$p \notin A,$$$$p \in-A;$$ entonces, por la Definición 3 en §12, algunos$$G_{p}$$ no logran cumplir$$A\left(G_{p} \cap A=\emptyset\right).$$ De ahí que no$$p \in-A$$ sea un punto de agrupación, o el límite de una secuencia$$\left\{x_{n}\right\} \subseteq A.$$ (Esto contradiría las Definiciones 1 y 2 de §14.) En consecuencia, todos esos puntos y límites de clúster deben estar dentro$$A,$$ como se reclama.

Por el contrario, supongamos que no$$A$$ está cerrado, por lo que no$$-A$$ está abierto. Entonces$$-A$$ tiene un punto no interior$$p;$$ es decir,$$p \in-A$$ pero$$n o G_{p}$$ está enteramente en$$-A.$$ Esto significa que cada uno$$G_{p}$$ cumple$$A.$$ Así

$p \in \overline{A}\text{ (by Theorem 3),}$

y

$p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A\text{ (by the same theorem),}$

aunque$$p \notin A($$ para$$p \in-A)$$.

Vemos que (iii) y (ii), de ahí también (i), fallan si no$$A$$ se cierra y mantienen si$$A$$ está cerrado. (Ver la primera parte de la prueba.) Así se demuestra el teorema. $$\square$$

Corolario 1. $$\overline{\emptyset}=\emptyset$$.

Corolario 2. $$A \subseteq B \Longrightarrow \overline{A} \subseteq \overline{B}$$.

Corolario 3. $$\overline{A}$$es siempre un conjunto cerrado$$\supseteq A$$.

Corolario 4. $$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$(el cierre de$$A \cup B$$ iguala la unión de$$\overline{A}$$ y$$\overline{B} )$$.

III. Como sabemos, los racionales son densos en$$E^{1}$$ (Teorema 3 del Capítulo 2, §10). Esto significa que cada globo$$G_{p}(\delta)=(p-\delta, p+\delta)$$ en$$E^{1}$$ contiene racionales. De manera similar (ver Problema 6 en §12), el conjunto$$R^{n}$$ de todos los puntos racionales es denso en$$E^{n}.$$ Ahora generalizamos esta idea para conjuntos arbitrarios en un espacio métrico$$(S, \rho).$$

## Definición

Dado$$A \subseteq B \subseteq(S, \rho),$$ decimos que$$A$$ es denso en$$B$$ iff cada globo$$G_{p}$$$$p \in B,$$ se reúne$$A.$$ Por Teorema$$3,$$ esto significa que cada uno$$p \in B$$ está en$$\overline{A};$$ i.e.,

$p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \quad\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A.$

Equivalentemente,$$A \subseteq B \subseteq \overline{A} .^{3}$$.

Resumiendo, tenemos lo siguiente:

$A\text{ is open iff } A=A^{0}.$

$A\text{ is closed iff } A=\overline{A}\text{; equivalently, iff } A \supseteq A^{\prime}.$

$A\text{ is dense in } B\text{ iff } A \subseteq B \subseteq \overline{A}.$

$A\text{ is perfect iff } A=A^{\prime}.$

This page titled 3.12: Más sobre Puntos de Cluster y Conjuntos Cerrados. Densidad is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.