3.12: Más sobre Puntos de Cluster y Conjuntos Cerrados. Densidad

I. Las nociones de punto de conglomerado y conjunto cerrado (§§12, 14) pueden caracterizarse en términos de secuencias convergentes. Comenzamos con puntos de clúster.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

(i) Una secuencia se\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)\) agrupa en un\(p \in S\) punto si tiene una subsecuencia que\(\left\{x_{m_{n}}\right\}\) converge a\(p.\)

(ii) Un conjunto de\(A \subseteq(S, \rho)\) clústeres en\(p \in S\) iff p es el límite de alguna secuencia\(\left\{x_{n}\right\}\) de puntos de\(A\) otro que no\(p ;\) sea así, los términos\(x_{n}\) pueden hacerse distintos.

Prueba

(i) Si\(p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{m_{n}},\) entonces por definición cada globo alrededor\(p\) contiene todos pero finitamente muchos de\(x_{m_{n}},\) ahí infinitamente muchos\(x_{m} .\) Así\(p\) es un punto de cúmulo.

Por el contrario, si es así, considerar en particular los globos

\[G_{p}\left(\frac{1}{n}\right), \quad n=1,2, \ldots\]

Por supuesto,\(G_{p}(1)\) contiene algunos\(x_{m} .\) Así fijar

\[x_{m_{1}} \in G_{p}(1).\]

A continuación, elija un término

\[x_{m_{2}} \in G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)\text{ with } m_{2}>m_{1}.\]

(Tales términos existen ya que\(G_{p}\left(\frac{1}{2}\right)\) contiene infinitamente muchos\(x_{m} . )\) Siguiente, fix

\[x_{m_{3}} \in G_{p}\left(\frac{1}{3}\right),\text{ with } m_{3}>m_{2}>m_{1},\]

y así sucesivamente.

Así, paso a paso (inductivamente), seleccione una secuencia de subíndices

\[m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{n}<\cdots\]

que determina una subsecuencia (ver Capítulo 1, §8) tal que

\[(\forall n) \quad x_{m_{n}} \in G_{p}\left(\frac{1}{n}\right),\text{ i.e., } \rho\left(x_{m_{n}}, p\right)<\frac{1}{n} \rightarrow 0,\]

de dónde\(\rho\left(x_{m_{n}}, p\right) \rightarrow 0,\) o\(x_{m_{n}} \rightarrow p .\) (¿por qué?) Así se ha encontrado una subsecuencia\(x_{m_{n}} \rightarrow p,\) y se demuestra la aserción (i).

La aserción (ii) se prueba de manera bastante similar - proceder como en la prueba del Corolario 6 en §§14; aquí no\(m_{1}<m_{2}<\cdots\) se necesitan las desigualdades. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(a) Recordemos que el conjunto\(R\) de todos los racionales agrupa en cada uno\(p \in E^{1}\) (§§14, Ejemplo (e)). Así, por el Teorema 1 (ii), cada real\(p\) es el límite de una secuencia de racionales. Ver también Problema 6 de §§12 para\(\overline{p}\) in\(E^{n}\).

b) La secuencia

\[0,1,0,1, \ldots\]

tiene dos subsecuencias convergentes,

\[x_{2 n}=1 \rightarrow 1\text{ and } x_{2 n-1}=0 \rightarrow 0.\]

Así, por el Teorema 1 (i), se agrupa en 0 y 1.

Interpretar el Ejemplo (f) y el Problema 10 (a) en §14 de manera similar.

Como sabemos, incluso los conjuntos infinitos pueden no tener puntos de clúster (tomar\(N\) en\(E^{1})\). Sin embargo, un conjunto infinito delimitado o secuencia en\(E^{n}\) (*or\(C^{n}\)) debe agruparse. Este importante teorema (debido a Bolzano y Weierstrass) se prueba a continuación.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (Bolzano-Weierstrass).

(i) Cada conjunto infinito delimitado o secuencia\(A\) en\(E^{n}\) (* o\(C^{n}\)) tiene al menos un punto de agrupación\(\overline{p}\) allí (posiblemente fuera\(A.\)

(ii) Así, cada secuencia acotada en\(E^{n}\) (* o\(C^{n}\)) tiene una subsecuencia convergente.

Prueba

Toma primero una secuencia acotada\(\left\{z_{m}\right\} \subseteq[a, b]\) en\(E^{1} .\) Let

\[p=\overline{\lim } z_{m}.\]

Por Teorema 2 (i) del Capítulo 2, §13, {\(z_{m}\)} agrupa en\(p.\) Además, como

\[a \leq z_{m} \leq b,\]

tenemos

\[a \leq \inf z_{m} \leq p \leq \sup z_{m} \leq b\]

por Corolario 1 del Capítulo 2, §13. Así

\[p \in[a, b] \subseteq E^{1},\]

y así {\(z_{m}\)} se agrupa en\(E^{1}\).

La aserción (ii) ahora sigue - para\(E^{1}-\) por el Teorema 1 (i) anterior.

A continuación, tome

\[\left\{\overline{z}_{m}\right\} \subseteq E^{2}, \overline{z}_{m}=\left(x_{m}, y_{m}\right) ; x_{m}, y_{m} \in E^{1}.\]

Si\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}\) está acotado, todos\(\overline{z}_{m}\) están en alguna plaza\([\overline{a}, \overline{b}] .\) (¿Por qué?) Let

\[\overline{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)\text{ and } \overline{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right).\]

Entonces

\[a_{1} \leq x_{m} \leq b_{1}\text{ and } a_{2} \leq y_{m} \leq b_{2}\text{ in } E^{1}.\]

Así por la primera parte de la prueba,\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene una subsecuencia convergente

\[x_{m_{k}} \rightarrow p_{1}\text{ for some } p_{1} \in\left[a_{1}, b_{1}\right].\]

Por simplicidad, en adelante escribimos\(x_{m}\)\(x_{m_{k}}, y_{m}\) para\(y_{m_{k}},\) y\(\overline{z}_{m}\) para\(\overline{z}_{m_{k}}\). Así\(\overline{z}_{m}=\left(x_{m}, y_{m}\right)\) es ahora una subsecuencia, con\(x_{m} \rightarrow p_{1},\) y\(a_{2} \leq y_{m} \leq b_{2}\), como antes.

Ahora volvemos a aplicar este proceso\(\left\{y_{m}\right\}\) y obtener una subsubsecuencia

\[y_{m_{i}} \rightarrow p_{2}\text{ for some } p_{2} \in\left[a_{2}, b_{2}\right].\]

Los términos correspondientes\(x_{m_{i}}\) aún tienden a hacerlo\(p_{1}\) por el Corolario 3 del §14. Así tenemos una subsecuencia

\[\overline{z}_{m_{i}}=\left(x_{m_{i}}, y_{m_{i}}\right) \rightarrow\left(p_{1}, p_{2}\right) \quad\text{ in } E^{2}\]

por Teorema 2 en §15. De ahí\(\overline{p}=\left(p_{1}, p_{2}\right)\) es un punto de cúmulo de\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}.\) Tenga en cuenta que\(\overline{p} \in[\overline{a}, \overline{b}]\) (ver arriba). Esto demuestra el teorema de las secuencias en\(E^{2}\) (por lo tanto, en\(C ).\)

La prueba para\(E^{n}\) es similar; uno solo tiene que tomar subsecuencias n veces. (*Lo mismo se aplica a\(C^{n}\) con componentes reales reemplazados por componentes complejos.)

Ahora toma un conjunto infinito acotado\(A \subset E^{n}\left(^{*} C^{n}\right).\) Selecciona de él una secuencia infinita\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}\) de puntos distintos (ver Capítulo 1, §9, Problema 5). Por lo que se mostró anteriormente, se\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}\) agrupan en algún momento\(\overline{p},\) por lo que cada uno\(G_{\overline{p}}\) contiene infinitamente muchos puntos distintos\(\overline{z}_{m} \in A.\) Así, por definición,\(A\) clústeres en\(\overline{p} . \square\)

Nota 1. También hemos demostrado que si\(\left\{\overline{z}_{m}\right\} \subseteq[\overline{a}, \overline{b}] \subset E^{n},\) entonces\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}\) tiene un punto de clúster en\([\overline{a}, \overline{b}] .\) (Esto se aplica solo a intervalos cerrados.)

Nota 2. El teorema puede fallar en espacios distintos a\(E^{n}\left(^{*} C^{n}\right) .\) Por ejemplo, en un espacio discreto, todos los conjuntos están delimitados, pero ningún conjunto puede agruparse.

II. Los puntos de agrupamiento están estrechamente relacionados con la siguiente noción.

Definición

El cierre de un conjunto\(A \subseteq(S, \rho),\) denotado\(\overline{A},\) es la unión de\(A\) y el conjunto de todos los puntos de clúster de\(A\) llamarlo\(A^{\prime}\). Así\(\overline{A}=A \cup A^{\prime} .\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Tenemos\(p \in \overline{A}\) en\((S, \rho)\) iff cada globo\(G_{p}(\delta)\) sobre p cumple\(A\), i. e.,

\[(\forall \delta>0) \quad A \cap G_{p}(\delta) \neq \emptyset.\]

Equivalentemente,\(p \in \overline{A}\) iff

\[p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A.\]

Prueba

La prueba es como en el Corolario 6 de §14 y Teorema 1. (Aquí, sin embargo, la\(x_{n}\) necesidad no tiene por qué ser distinta o diferente de\(p.\)) Los detalles se dejan al lector.

Esto también produce la siguiente nueva caracterización de conjuntos cerrados (cf. §12).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) se cierra si se cumple una de las siguientes condiciones.

(i)\(A\) contiene todos sus puntos de agrupación (o no tiene ninguno); es decir,\(A \supseteq A^{\prime}\).

ii)\(A=\overline{A}\).

(iii)\(A\) contiene el límite de cada secuencia convergente\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq A\) (si la hubiera).

Prueba

Las partes (i) y (ii) son equivalentes ya que

\[A \supseteq A^{\prime} \Longleftrightarrow A=A \cup A^{\prime}=\overline{A} . \quad\text{(Explain!)}\]

Ahora\(A\) déjese cerrar. Si\(p \notin A,\)\(p \in-A;\) entonces, por la Definición 3 en §12, algunos\(G_{p}\) no logran cumplir\(A\left(G_{p} \cap A=\emptyset\right).\) De ahí que no\(p \in-A\) sea un punto de agrupación, o el límite de una secuencia\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq A.\) (Esto contradiría las Definiciones 1 y 2 de §14.) En consecuencia, todos esos puntos y límites de clúster deben estar dentro\(A,\) como se reclama.

Por el contrario, supongamos que no\(A\) está cerrado, por lo que no\(-A\) está abierto. Entonces\(-A\) tiene un punto no interior\(p;\) es decir,\(p \in-A\) pero\(n o G_{p}\) está enteramente en\(-A.\) Esto significa que cada uno\(G_{p}\) cumple\(A.\) Así

\[p \in \overline{A}\text{ (by Theorem 3),}\]

y

\[p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A\text{ (by the same theorem),}\]

aunque\(p \notin A(\) para\(p \in-A)\).

Vemos que (iii) y (ii), de ahí también (i), fallan si no\(A\) se cierra y mantienen si\(A\) está cerrado. (Ver la primera parte de la prueba.) Así se demuestra el teorema. \(\square\)

Corolario 1. \(\overline{\emptyset}=\emptyset\).

Corolario 2. \(A \subseteq B \Longrightarrow \overline{A} \subseteq \overline{B}\).

Corolario 3. \(\overline{A}\)es siempre un conjunto cerrado\(\supseteq A\).

Corolario 4. \(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)(el cierre de\(A \cup B\) iguala la unión de\(\overline{A}\) y\(\overline{B} )\).

III. Como sabemos, los racionales son densos en\(E^{1}\) (Teorema 3 del Capítulo 2, §10). Esto significa que cada globo\(G_{p}(\delta)=(p-\delta, p+\delta)\) en\(E^{1}\) contiene racionales. De manera similar (ver Problema 6 en §12), el conjunto\(R^{n}\) de todos los puntos racionales es denso en\(E^{n}.\) Ahora generalizamos esta idea para conjuntos arbitrarios en un espacio métrico\((S, \rho).\)

Definición

Dado\(A \subseteq B \subseteq(S, \rho),\) decimos que\(A\) es denso en\(B\) iff cada globo\(G_{p}\)\(p \in B,\) se reúne\(A.\) Por Teorema\(3,\) esto significa que cada uno\(p \in B\) está en\(\overline{A};\) i.e.,

\[p=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \quad\text{ for some } \left\{x_{n}\right\} \subseteq A.\]

Equivalentemente,\(A \subseteq B \subseteq \overline{A} .^{3}\).

Resumiendo, tenemos lo siguiente:

\[A\text{ is open iff } A=A^{0}.\]

\[A\text{ is closed iff } A=\overline{A}\text{; equivalently, iff } A \supseteq A^{\prime}.\]

\[A\text{ is dense in } B\text{ iff } A \subseteq B \subseteq \overline{A}.\]

\[A\text{ is perfect iff } A=A^{\prime}.\]