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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar la prueba del Teorema 1$$(\text { ii })$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar eso$$\overline{R}=E^{1}$$ y$$\overline{R^{n}}=E^{n}(\text { Example }(\mathrm{a}))$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar Teorema 2 para$$E^{3} .$$ Demostrarlo$$E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)$$ por inducción en$$n .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Verificar Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar Teorema 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Probar Corolarios 1 y 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$$Demuéstralo.
[Pista: Mostrar por contradicción que$$p \notin\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$$ excluye$$p \in(A \cup B)^{\prime} .$$ De ahí$$(A \cup B)^{\prime} \subseteq A^{\prime} \cup B^{\prime} .$$ Entonces mostrar eso$$A^{\prime} \subseteq(A \cup B)^{\prime},$$ etc.$$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

De Problema$$7,$$ deducir que$$A \cup B$$ está cerrado si$$A$$ y$$B$$ son. Entonces probar Corolario$$4 .$$ Por inducción, extender ambas aserciones a cualquier número finito de conjuntos.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Del Teorema$$4,$$ demostrar que si los conjuntos$$A_{i}(i \in I)$$ están cerrados, así es$$\bigcap_{i \in I} A_{i}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Probar Corolario 3 del Teorema 3. Deducir eso$$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$$ y probar nota al pie$$3 .$$
[Pista: Considere la Figura 7 y el Ejemplo$$(1)$$ en §12 al usar el Teorema 3 (dos veces). $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que$$\overline{A}$$ está contenido en cualquier superconjunto cerrado de$$A$$ y es la intersección de todos esos superconjuntos.
[Pista: Usar Corolarios 2 y$$3 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

(i) Demostrar que una secuencia acotada$$\left\{\overline{x}_{m}\right\} \subseteq E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ converge a$$\overline{p}$$ iff$$\overline{p}$$ es su único punto de agrupación.
ii) La desmentir por
(a) espacios no acotados$$\left\{\overline{x}_{m}\right\}$$ y
b) otros.
[Pista: Porque$$(\mathrm{i}),$$ si$$\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p}$$ falla, algunos$$G_{\overline{p}}$$ dejan fuera infinitamente muchos$$\overline{x}_{m} .$$ Estos$$\overline{x}_{m}$$ forman una subsecuencia acotada que, por teorema$$2,$$ agrupa en algunos$$\overline{q} \neq \overline{p} .$$ (¿Por qué? $$)$$Así$$\overline{q}$$ es otro punto de cúmulo (¡contradicción!)
Para (ii) considerar (a) Ejemplo (f) en §14 y (b) Problema 10 en §14, con (0,2] como subespacio de$$E^{1} . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

En cada caso del Problema 10 en §14, encuentra$$\overline{A}$$. ¿Está$$A$$ cerrado? (Usar Teorema 4.)

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Demostrar que si$$\left\{b_{n}\right\} \subseteq B \subseteq \overline{A}$$ en$$(S, \rho),$$ hay una secuencia$$\left\{a_{n}\right\} \subseteq A$$ tal que$$\rho\left(a_{n}, b_{n}\right) \rightarrow 0 .$$ Por lo tanto$$a_{n} \rightarrow p$$ iff$$b_{n} \rightarrow p .$$
[Pista: Elegir$$a_{n} \in G_{b_{n}}(1 / n) .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Tenemos, por definición,
\ [
p\ en A^ {0}\ text {iff} (\ existe\ delta>0) G_ {p} (\ delta)\ subseteq A;
\]
por lo tanto
\ [
p\ notin A^ {0}\ text {iff} (\ forall\ delta>0) G_ {p} (\ delta)\ nsubseteq A,\ text {es decir,} G_ {p} (\ delta) -A\ neq\ vaciado.
\]
(Ver Capítulo$$1,§§1-3 . )$$ Encontrar tales fórmulas cuantificadoras para$$p \in \overline{A}, p \notin \overline{A}$$,$$p \in A^{\prime},$$ y$$p \notin A^{\prime}$$.
[Pista: Usar Corolario 6 en$$§ 14,$$ y Teorema 3 en$$§16 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Utilice el Problema 15 para probar que
(i)$$-(\overline{A})=(-A)^{0}$$ y
(ii)$$-\left(A^{0}\right)=\overline{-A}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Mostrar que
\ [
\ overline {A}\ cap (\ overline {-A}) =\ mathrm {bd} A (\ text {límite de} A);
\]
cf.$$§ 12,$$ Problema$$18 .$$ De ahí probar de nuevo que$$A$$ está cerrado iff$$A \supseteq$$ bd$$A .$$
[Pista: Usar Teorema 4 y Problema 16 arriba. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*18}$$

Se dice que un set no$$A$$ es denso en ningún lado en$$(S, \rho)$$ iff$$(\overline{A})^{0}=\emptyset .$$ Show que el set de Cantor no$$P(§14, \text { Problem } 17)$$ es denso en ninguna parte.
$$[\text { Hint: } P \text { is closed, so } \overline{P}=P .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*19}$$

Dar otra prueba de Teorema 2 para$$E^{1}$$.
[Pista: Let$$A \subseteq[a, b] .$$ Put
\ [
Q=\ {x\ in [a, b] | x\ text {excede infinitamente muchos puntos (o términos) de} A\}.
\]
Mostrar que$$Q$$ está acotado y no vacío, así que tiene un glb, digamos,$$p=\inf A .$$ Mostrar que$$A$$ los clústeres en$$p . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*20}$$

Para cualquier conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ define
\ [
G_ {A} (\ varepsilon) =\ bigcup_ {x\ in A} G_ {x} (\ varepsilon).
\]
Demostrar que

\ [\ overline {A} =\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} G_ {A}\ left (\ frac {1} {n}\ right).
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{*21}$$

Demostrar que

\ [\ overline {A} =\ {x\ in S |\ rho (x, A) =0\};\ text {see}\ \$13,\ text {Nota} 3.
\]
De ahí deducir que un set$$A$$ in$$(S, \rho)$$ está cerrado iff
$$(\forall x \in S) \quad \rho(x, A)=0 \Longrightarrow x \in A$$.

3.12.E: Problemas en Puntos de Cluster, Conjuntos Cerrados y Densidad is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.