3.12.E: Problemas en Puntos de Cluster, Conjuntos Cerrados y Densidad

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completar la prueba del Teorema 1\((\text { ii })\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar eso\(\overline{R}=E^{1}\) y\(\overline{R^{n}}=E^{n}(\text { Example }(\mathrm{a}))\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar Teorema 2 para\(E^{3} .\) Demostrarlo\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)\) por inducción en\(n .\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verificar Nota 2.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar Teorema 3.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Probar Corolarios 1 y 2.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\((A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}\)Demuéstralo.
[Pista: Mostrar por contradicción que\(p \notin\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)\) excluye\(p \in(A \cup B)^{\prime} .\) De ahí\((A \cup B)^{\prime} \subseteq A^{\prime} \cup B^{\prime} .\) Entonces mostrar eso\(A^{\prime} \subseteq(A \cup B)^{\prime},\) etc.\(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

De Problema\(7,\) deducir que\(A \cup B\) está cerrado si\(A\) y\(B\) son. Entonces probar Corolario\(4 .\) Por inducción, extender ambas aserciones a cualquier número finito de conjuntos.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Del Teorema\(4,\) demostrar que si los conjuntos\(A_{i}(i \in I)\) están cerrados, así es\(\bigcap_{i \in I} A_{i}\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Probar Corolario 3 del Teorema 3. Deducir eso\(\overline{\overline{A}}=\overline{A}\) y probar nota al pie\(3 .\)
[Pista: Considere la Figura 7 y el Ejemplo\((1)\) en §12 al usar el Teorema 3 (dos veces). \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que\(\overline{A}\) está contenido en cualquier superconjunto cerrado de\(A\) y es la intersección de todos esos superconjuntos.
[Pista: Usar Corolarios 2 y\(3 . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(i) Demostrar que una secuencia acotada\(\left\{\overline{x}_{m}\right\} \subseteq E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) converge a\(\overline{p}\) iff\(\overline{p}\) es su único punto de agrupación.
ii) La desmentir por
(a) espacios no acotados\(\left\{\overline{x}_{m}\right\}\) y
b) otros.
[Pista: Porque\((\mathrm{i}),\) si\(\overline{x}_{m} \rightarrow \overline{p}\) falla, algunos\(G_{\overline{p}}\) dejan fuera infinitamente muchos\(\overline{x}_{m} .\) Estos\(\overline{x}_{m}\) forman una subsecuencia acotada que, por teorema\(2,\) agrupa en algunos\(\overline{q} \neq \overline{p} .\) (¿Por qué? \()\)Así\(\overline{q}\) es otro punto de cúmulo (¡contradicción!)
Para (ii) considerar (a) Ejemplo (f) en §14 y (b) Problema 10 en §14, con (0,2] como subespacio de\(E^{1} . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

En cada caso del Problema 10 en §14, encuentra\(\overline{A}\). ¿Está\(A\) cerrado? (Usar Teorema 4.)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demostrar que si\(\left\{b_{n}\right\} \subseteq B \subseteq \overline{A}\) en\((S, \rho),\) hay una secuencia\(\left\{a_{n}\right\} \subseteq A\) tal que\(\rho\left(a_{n}, b_{n}\right) \rightarrow 0 .\) Por lo tanto\(a_{n} \rightarrow p\) iff\(b_{n} \rightarrow p .\)
[Pista: Elegir\(a_{n} \in G_{b_{n}}(1 / n) .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Tenemos, por definición,
\ [
p\ en A^ {0}\ text {iff} (\ existe\ delta>0) G_ {p} (\ delta)\ subseteq A;
\]
por lo tanto
\ [
p\ notin A^ {0}\ text {iff} (\ forall\ delta>0) G_ {p} (\ delta)\ nsubseteq A,\ text {es decir,} G_ {p} (\ delta) -A\ neq\ vaciado.
\]
(Ver Capítulo\(1,§§1-3 . )\) Encontrar tales fórmulas cuantificadoras para\(p \in \overline{A}, p \notin \overline{A}\),\(p \in A^{\prime},\) y\(p \notin A^{\prime}\).
[Pista: Usar Corolario 6 en\(§ 14,\) y Teorema 3 en\(§16 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Utilice el Problema 15 para probar que
(i)\(-(\overline{A})=(-A)^{0}\) y
(ii)\(-\left(A^{0}\right)=\overline{-A}\).

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Mostrar que
\ [
\ overline {A}\ cap (\ overline {-A}) =\ mathrm {bd} A (\ text {límite de} A);
\]
cf.\(§ 12,\) Problema\(18 .\) De ahí probar de nuevo que\(A\) está cerrado iff\(A \supseteq\) bd\(A .\)
[Pista: Usar Teorema 4 y Problema 16 arriba. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*18}\)

Se dice que un set no\(A\) es denso en ningún lado en\((S, \rho)\) iff\((\overline{A})^{0}=\emptyset .\) Show que el set de Cantor no\(P(§14, \text { Problem } 17)\) es denso en ninguna parte.
\([\text { Hint: } P \text { is closed, so } \overline{P}=P .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*19}\)

Dar otra prueba de Teorema 2 para\(E^{1}\).
[Pista: Let\(A \subseteq[a, b] .\) Put
\ [
Q=\ {x\ in [a, b] | x\ text {excede infinitamente muchos puntos (o términos) de} A\}.
\]
Mostrar que\(Q\) está acotado y no vacío, así que tiene un glb, digamos,\(p=\inf A .\) Mostrar que\(A\) los clústeres en\(p . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{*20}\)

Para cualquier conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) define
\ [
G_ {A} (\ varepsilon) =\ bigcup_ {x\ in A} G_ {x} (\ varepsilon).
\]
Demostrar que

\ [\ overline {A} =\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} G_ {A}\ left (\ frac {1} {n}\ right).
\]

Ejercicio\(\PageIndex{*21}\)

Demostrar que

\ [\ overline {A} =\ {x\ in S |\ rho (x, A) =0\};\ text {see}\ $13,\ text {Nota} 3.
\]
De ahí deducir que un set\(A\) in\((S, \rho)\) está cerrado iff
\((\forall x \in S) \quad \rho(x, A)=0 \Longrightarrow x \in A\).