Saltar al contenido principal

# 3.13.E: Problemas en las secuencias de Cauchy

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Sin usar Teorema$$4,$$ demostrar que si$$\left\{x_{n}\right\}$$ y$$\left\{y_{n}\right\}$$ son secuencias de Cauchy en$$E^{1}(\text { or } C),$$ así también son

\ [\ text {(i)}\ left\ {x_ {n} +y_ {n}\ right\}\ quad\ text {and}\ quad\ text {(ii)}\ left\ {x_ {n} y_ {n}\ right\}.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que si$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}$$ son secuencias Cauchy en$$(S, \rho),$$ entonces la secuencia de distancias

\ [\ rho\ left (x_ {m}, y_ {m}\ right),\ quad m=1,2,\ dots,
\]
converge en$$E^{1}$$.
[Pista: Mostrar que esta secuencia es Cauchy en$$E^{1} ;$$ luego usar Teorema$$4 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que una secuencia$$\left\{x_{m}\right\}$$ es Cauchy en$$(S, \rho)$$ iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall m>k)\ quad\ rho\ left (x_ {m}, x_ {k}\ right) <\ varepsilon.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dos secuencias$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}$$ se llaman concurrentes iff
\ [
\ rho\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha)\ derecha)\ fila derecha 0.
\]
Notación:$$\left\{x_{m}\right\} \approx\left\{y_{m}\right\} .$$ Demostrar lo siguiente.
(i) Si uno de ellos es Cauchy o convergente, también lo es el otro, y
$$\lim x_{m}=\lim y_{m}$$ (si existe).
(ii) Si dos secuencias cualesquiera convergen al mismo límite, son concurrentes.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Mostrar que si$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}$$ son secuencias Cauchy en$$(S, \rho),$$ entonces
\ [
\ lim _ {m\ rightarrow\ infty}\ rho\ left (x_ {m}, y_ {m}\ right)
\]
no cambia si$$\left\{x_{m}\right\}$$ o$$\left\{y_{m}\right\}$$ es reemplazado por una secuencia concurrente (ver Problemas 4 y $$2 ) .$$
Llamar
\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty}\ rho\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha)
\]
la “distancia”
\ [
\ rho\ izquierda (\ izquierda\ {x_ {m}\ derecha\},\ izquierda\ {y_ {m}\ derecha\}\ derecha)
\]
entre $$\left\{x_{m}\right\}$$y$$\left\{y_{m}\right\} .$$ Demostrar que tales “distancias” satisfacen todos los axiomas métricos, excepto que$$\rho\left(\left\{x_{m}\right\},\left\{y_{m}\right\}\right)$$ puede ser 0 incluso para diferentes secuencias. (¿Cuándo?)
También, mostrar que si
\ [
(\ forall m)\ quad x_ {m} =a\ text {y} y_ {m} =b (\ text {constante}),
\]
entonces$$\rho\left(\left\{x_{m}\right\},\left\{y_{m}\right\}\right)=\rho(a, b)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{5'}$$

Continuar Problemas 4 y$$5,$$ mostrar que la relación de concurrencia$$(\approx)$$ es reflexiva, simétrica y transitiva (Capítulo$$1, §§4-7 ),$$ i.e., una relación de equivalencia. Es decir, dado$$\left\{x_{m}\right\},\left\{y_{m}\right\}$$ en$$S,$$ probar que
(a)$$\left\{x_{m}\right\} \approx\left\{x_{m}\right\}$$ (reflexividad);
(b) si$$\left\{x_{m}\right\} \approx\left\{y_{m}\right\}$$ entonces$$\left\{y_{m}\right\} \approx\left\{x_{m}\right\}$$ (simetría);
(c) si$$\left\{x_{m}\right\} \approx\left\{y_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\} \approx\left\{z_{m}\right\},$$ entonces$$\left\{x_{m}\right\} \approx\left\{z_{m}\right\}$$ (transitividad).

## Ejercicio$$\PageIndex{*5''}$$

Del Problema 4 deducir que el conjunto de todas las secuencias en se$$(S, \rho)$$ divide en clases de equivalencia disjuntas (como se define en Capítulo$$1, §§4-7 )$$ bajo la relación de concurrencia$$(\approx)$$. Demostrar que todas las secuencias de una misma clase o bien convergen al mismo límite o no tienen ningún límite en absoluto, y o ninguna de ellas es Cauchy o todas son Cauchy.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dar ejemplos de espacios métricos incompletos que poseen subespacios completos.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si una secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho)$$ es Cauchy entonces tiene una subsecuencia$$\left\{x_{m_{k}}\right\}$$ tal que
\ [
(\ forall k)\ quad\ rho\ left (x_ {m_ {k}}, x_ {m_ {k+1}}\ right) <2^ {-k}.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demuestre que cada espacio discreto$$(S, \rho)$$ está completo.

## Ejercicio$$\PageIndex{*9}$$

$$C$$Sea el conjunto de todas las secuencias de Cauchy en las$$(S, \rho) ;$$ denotamos en mayúsculas, por ejemplo,$$X=\left\{x_{m}\right\} .$$ Let
\ [
X^ {*} =\ {Y\ in C | Y\ approx X\}
\]
denotar la clase de equivalencia de$$X$$ bajo concurrencia,$$\approx$$ (ver Problemas 2, $$5^{\prime},$$y$$5^{\prime \prime}$$ “). Definimos
\ [
\ sigma\ izquierda (X^ {*}, Y^ {*}\ derecha) =\ rho\ izquierda (\ izquierda\ {x_ {m}\ derecha\},\ izquierda\ {y_ {m}\ derecha\}\ derecha) =\ lim _ {m\ derecha\ infty}\ rho\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha).
\]
Por Problema$$5,$$ esto es inequívoco, pues$$\rho\left(\left\{x_{m}\right\},\left\{y_{m}\right\}\right)$$ no depende de la elección particular de$$\left\{x_{m}\right\} \in X^{*}$$$$\left\{y_{m}\right\} \in Y^{*} ;$$ y$$\lim \rho\left(x_{m}, y_{m}\right)$$ existe por Problem$$2 .$$
Show que$$\sigma$$ es una métrica para el conjunto de todas las clases de equivalencia $$X^{*}$$$$(X \in C) ;$$llamar a este conjunto$$C^{*} .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*10}$$

Continuando Problema$$9,$$ vamos a$$x^{*}$$ denotar la clase de equivalencia de la secuencia con todos los términos iguales a$$x$$; dejar$$C^{\prime}$$ ser el conjunto de todas esas clases de equivalencia “constante” (es un subconjunto de$$C^{*} ) .$$
Show que$$C^{\prime}$$ es denso en$$\left(C^{*}, \sigma\right),$$ i.e.,$$\overline{C^{\prime}}=C^{*}$$ bajo la métrica$$\sigma$$. (Ver$$§ 16,$$ Definición$$2 . )$$
[Pista: Se corrige cualquier “punto”$$X^{*} \in C^{*}$$ y cualquier globo$$G\left(X^{*} ; \varepsilon\right)$$ sobre$$X^{*}$$ en$$\left(C^{*}, \sigma\right) .$$ Debemos demostrar que contiene algunos$$x^{*} \in C^{\prime}$$.
Por definición,$$X^{*}$$ es la clase de equivalencia de alguna secuencia Cauchy$$X=\left\{x_{m}\right\}$$ en$$(S, \rho),$$ así
\ [
(\ existe k) (\ forall m, n>k)\ quad\ rho\ left (x_ {m}, x_ {n}\ right) <\ frac {\ varepsilon} {2}.
\]
Fijar algunos$$x=x_{n}(n>k)$$ y considerar la clase$$x^{*}$$ de equivalencia de la secuencia$$\{x, x, \ldots, x, \ldots\} ;$$ así,$$x^{*} \in C^{\prime},$$ y

\ [\ sigma\ left (X^ {*}, x^ {*}\ right) =\ lim _ {m\ rightarrow\ infty}\ rho\ left (x_ {m}, x\ right)\ leq\ frac {\ varepsilon} {2}. \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Así$$x^{*} \in G\left(X^{*}, \varepsilon\right),$$ como se requiera. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*11}$$

Dos espacios métricos$$(S, \rho )$$ y se$$isometric$$ dice que$$(T, \sigma )$$ son si hay un mapa$$f: S \longleftrightarrow_{onto} T$$ tal que
\ [
(\ forall x, y\ in S)\ quad\ rho (x, y) =\ sigma (f (x), f (y)).
\]
Demostrar que los espías$$( S, \rho )$$ y$$( C', \sigma)$$ del Problema 10 son$$isometric$$. Obsérvese que es costumbre no distinguir entre dos espacios isométricos, tratando cada uno de ellos como una “copia isométrica” del otro. En efecto, las distancias en cada una de ellas son iguales.
[Pista: Definir\ (f (x) = x*.]

## Ejercicio$$\PageIndex{*12}$$

Continuar Problemas 9 para$$11,$$ demostrar que el espacio$$\left(C^{*}, \sigma\right)$$ está completo. Así demostrar que por cada espacio métrico$$(S, \rho),$$ hay un espacio métrico completo$$(C^{*}, \sigma )$$ que contiene una copia isométrica$$C^{\prime}$$ de$$S,$$ con$$C^{\prime}$$ denso$$C^{*} . C^{*}$$ adentro se llama terminación de$$(S, \rho)$$.
[Pista: Toma una secuencia de Cauchy$$\{X_{m}^{*}\} \text { in } (C^{*}, \sigma )$$. Por Problema 10, cada globo$$G\left(X_{m}^{*} ; \frac{1}{m}\right)$$ contiene alguna$$x_{m}^{*} \in C^{\prime},$$ donde$$x_{m}^{*}$$ está la clase de equivalencia de
\ [
\ left\ {x_ {m}, x_ {m},\ ldots, x_ {m},\ ldots\ right\}
\]
y$$\sigma\left(X_{m}^{*}, x_{m}^{*}\right)<\frac{1}{m} \rightarrow 0 .$$ Así por Problema$$4,\left\{x_{m}^{*}\right\}$$ está Cauchy en$$\left(C^{*}, \sigma\right),$$ como está $$\left\{X_{m}^{*}\right\} .$$Deducir eso$$X=\left\{x_{m}\right\} \in C,$$ y$$X^{*}=\lim _{m \rightarrow \infty} X_{m}^{*}$$ en$$\left(C^{*}, \sigma\right) . ]$$

3.13.E: Problemas en las secuencias de Cauchy is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.