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4.1.E: Problemas de Límites y Continuidad

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Probar Corolario\(2 .\) ¿Por qué se puede intercambiar uno\(G_{p}(\delta)\) y\(G_{\neg p}(\delta)\) aquí?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Probar Corolario\(3 .\) Por inducción, extender su primera cláusula a uniones de\(n\) caminos. Desmentirla por infinitas uniones de caminos (ver Problema 9 en §3).

    Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

    Demostrar que una función\(f : E^{1} \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es continua en\(p\) iff
    \ [
    f (p) =f\ left (p^ {-}\ right) =f\ left (p^ {+}\ right).
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que los límites relativos y la continuidad en\(p\) (over\(B )\) son equivalentes a los ordinarios si\(B\) es un barrio de\(p\) (Capítulo 3, §12); por ejemplo, si es alguno\(G_{p}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Discutir Cifras\(13-15\) en detalle, comparando\(f(p), f\left(p^{-}\right),\) y\(f\left(p^{+}\right) ;\) ver Problema\(2^{\prime} .\)
    Observe que en Figura\(13,\) diferentes valores de\(\delta\) resultado en\(p\) y\(p_{1}\) para el mismo\(\varepsilon .\) Así\(\delta\) depende de ambos\(\varepsilon\) y de la elección de \(p .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Completa los detalles que faltan en Ejemplos\((\mathrm{d})-(\mathrm{g}) . \operatorname{In}(\mathrm{d}),\) redefine\(f(x)\) para que sea el menor número entero\(\geq x .\) Mostrar que luego\(f\) es continuo a la izquierda encendido\(E^{1}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dar definiciones explícitas (como\((3) )\) para
    \ [
    \ begin {array} {ll} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow +\ infty} f (x) =-\ infty;} & {\ text {(b)}\ lim _ {x\ rightarrow-\ infty} f (x) =q};\\ {\ text {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =+\ infty;} & {\ texto {(d)}\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =-\ infty};\\ {\ texto {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha p^ {-}} f (x) =+\ infty;} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha p^ {+}} f (x) =-\ infty}. \ end {array}
    \]
    En cada caso, dibuja un diagrama (como Figuras\(13-15 )\) y determine si el dominio y el rango de ambos\(f\) deben estar en\(E^{*}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f (x) =\ frac {x^ {2} -1} {x-1}\ texto {si} x\ neq 1,\ texto {y} f (1) =0.
    \]
    Mostrar que\(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=2\) existe, pero\(f\) es discontinuo en\(p=1 .\) Hacer que sea continuo redefiniendo\(f(1) .\)
    \([\text { Hint: For } x \neq 1, f(x)=x+1 . \text { Proceed as in Example (b), using the deleted globe }\)\(G_{\neg p}(\delta) . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encontrar\(\lim _{x \rightarrow p} f(x)\) y verificar continuidad\(p\) en en los siguientes casos, asumiendo que ese\(D_{f}=A\) es el conjunto de todos\(x \in E^{1}\) para los que la expresión dada para\(f(x)\) tiene sentido. Especifique ese conjunto.
    \ [
    \ begin {array} {l} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ fila derecha 2}\ izquierda (2 x^ {2} -3 x-5\ derecha);\ quad\ texto {(b)}\ lim _ {x\ fila derecha 1}\ frac {3 x+2} {2 x-1}}\\ {\ texto {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha-1}\ izquierda (\ frac {x^ {2} -4} {x+2} -1\ derecha);} & {\ texto {(d)}\ lim _ {x\ fila derecha 2}\ frac {x^ {3} -8} {x-2}}\\ {\ texto {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha a}\ frac {x^ {4} -a^ {4}} {x-a};} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {x} {x+1}\ derecha) ^ {3}\\ {\ texto {(g)}\ lim _ {x\ fila derecha-1}\ izquierda (\ frac {1} {x^ {2} +1}\ derecha) ^ {2}}\ end {array}
    \]
    \( [ \text { Example solution: Find } \lim _{x \rightarrow 1} \frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} .\)
    Aquí
    \ [
    f (x) =\ frac {5 x^ {2} -1} {2 x+3}; A=E^ {1} -\ izquierda\ {-\ frac {3} {2}\ derecha\}; p=1.
    \]
    Mostramos que\(f\) es continuo en\(p,\) y así (por Corolario 2\()\)
    \ [
    f (x) =\ frac {5x^ {2} - 1} {2x + 3}; A = E^ {1} -\ grande\ {-\ frac {3} {2}\ grande\}; p = 1.
    \]
    Mostramos que\(f\) es continuo en\(p\), y así (por Corolario 2)
    \ [
    \ lim _ {x\ rightarrow p} f (x) =f (p) =f (1) =\ frac {4} {5}.
    \]
    Usando fórmula\((1),\) arreglamos una arbitraria\(\varepsilon>0\) y buscamos una\(\delta\) tal que
    \ [
    \ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {p} (\ delta)\ right)\ quad\ rho (f (x), f (1)) =|f (x) -f (1) |<\ varepsilon,\ text {i.e.,},\ izquierda|\ frac {5 x^ {2} -1} {2 x+3} - \ frac {4} {5}\ right|<\ varepsilon;
    \]
    o, poniendo todo sobre un denominador común y usando propiedades de valores absolutos,
    \ [
    |x-1|\ frac {|25 x+17|} {5|2 x+3|} <\ varepsilon\ text {siempre} |x-1|<\ delta\ text {y} x\ en A.
    \]
    (Por lo general en tales problemas, es deseable factorizar\(x-p . )\)
    Por Nota\(4,\) podemos asumir\(0<\delta \leq 1 .\) Entonces\(|x-1|<\delta\) implica\(-1 \leq x-1 \leq 1\) es decir,\(0 \leq x \leq 2,\) entonces
    \ [
    5|2 x+3|\ geq 15\ text {and} |25 x+17|\ leq 67 .
    \]
    Por lo tanto (6) ciertamente se mantendrá si
    \ [
    |x-1|\ frac {67} {15} <\ varepsilon,\ text {es decir, if} |x-1|<\ frac {15\ varepsilon} {67}.
    \]
    Para lograrlo, elegimos\(\delta=\min (1,15 \varepsilon / 67) .\) Luego, invirtiendo todos los pasos, obtenemos\((6),\) y por lo tanto\(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=4 / 5 . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Find (usando definiciones, como\((3) )\)
    \ [
    \ begin {array} {ll} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow +\ infty}\ frac {1} {x};} & {\ text {(b)}\ lim _ {x\ rightarrow-\ infty}\ frac {3 x+2} {2 x-1}};\\ {\ text {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {x^ {3}} {1-x^ {2}};} & {\ text { (d)}\ lim _ {x\ fila derecha 3^ {+}}\ frac {x-1} {x-3}};\\ {\ text {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha 3^ {-}}\ frac {x-1} {x-3};} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha 3}\ izquierda|\ frac {x-1} {x-3}\ derecha|}. \ end {array}
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demostrar que si

    \ [\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =\ overline {q}\ in E^ {n}\ left (^ {*} C^ {n}\ right),
    \]
    entonces para cada escalar\(c\),
    \ [
    \ lim _ {x\ rightarrow p} c f (x) =c\ overline {q}.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f (x) =x\ cdot\ sin\ frac {1} {x}\ texto {si} x\ neq 0,\ texto {y} f (0) =0.
    \]
    Mostrar que\(f\) es continuo en\(p=0,\) es decir,
    \ [
    \ lim _ {x\ rightarrow 0} f (x) =f (0) =0.
    \]
    Dibuja una gráfica aproximada (está contenida entre las líneas\(y=\pm x )\).
    \(\left[\text { Hint: }\left|x \cdot \sin \frac{1}{x}-0\right| \leq|x| .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{*12}\)

    Discutir la declaración:\(f\) es continua en\(p\) iff
    \ [
    \ left (\ forall G_ {f (p)}\ right)\ left (\ exists G_ {p}\ right)\ quad f\ left [G_ {p}\ right]\ subseteq G_ {f (p)}.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f (x) =x\ texto {si} x\ texto {es racional}
    \]
    y
    \ [
    f (x) =0\ texto {de lo contrario}.
    \]
    Demostrar que\(f\) es continuo a 0 pero en ningún otro lugar. ¿Qué tal la continuidad relativa?

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Vamos\(A=(0,+\infty) \subset E^{1} .\) Definir\(f : A \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f (x) =0\ text {if} x\ text {es irracional}
    \]
    y
    \ [
    f (x) =\ frac {1} {n}\ text {if} x=\ frac {m} {n} (\ text {en términos más bajos})
    \]
    para algunos naturales \(m\)y\(n .\) Mostrar que\(f\) es continuo en cada irracional, pero en ningún racional, punto\(p \in A .\)
    [Consejos: Si\(p\) es irracional, fix\(\varepsilon>0\) y un entero\(k>1 / \varepsilon .\) En solo\(G_{p}(1),\) hay finitamente muchas fracciones irreducibles
    \ [
    \ frac {m} {n} >0\ text {con} n\ leq k,
    \]
    así que uno de ellos, llamarlo\(r,\) es más cercano a\(p .\) Put

    \ [\ delta=\ min (1, |r-p|)
    \]
    y mostrar que
    \ [
    \ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {p} (\ delta)\ right)\ quad|f (x) -f (p) |=f (x) <\ varepsilon,
    \]
    distinguiendo los casos donde\(x\) es racional e irracional.
    Si\(p\) es racional, usa el hecho de que cada uno\(G_{p}(\delta)\) contiene irracionales\(x\) en los que
    \ [
    f (x) =0\ LongRightArrow|f (x) -f (p) |=f (p).
    \]
    Tomar\(\varepsilon<f(p) . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Dados dos reales,\(p>0\) y\(q>0,\) definen\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f (0) =0\ text {y} f (x) =\ left (\ frac {x} {p}\ right)\ cdot\ left [\ frac {q} {x}\ right]\ text {if} x\ neq 0.
    \]
    aquí\([q / x]\) está la parte integral de\(q / x\).
    (i) Es continua\(f\) izquierda o derecha en 0\(?\)
    (ii) La misma pregunta con\(f(x)=[x / p](q / x)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Demostrar que si\((S, \rho)\) es discreto, entonces todas las funciones\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) son continuas. ¿Y si\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es discreto pero no lo\((S, \rho)\) es?


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