Saltar al contenido principal

# 4.1.E: Problemas de Límites y Continuidad

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Probar Corolario$$2 .$$ ¿Por qué se puede intercambiar uno$$G_{p}(\delta)$$ y$$G_{\neg p}(\delta)$$ aquí?

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Probar Corolario$$3 .$$ Por inducción, extender su primera cláusula a uniones de$$n$$ caminos. Desmentirla por infinitas uniones de caminos (ver Problema 9 en §3).

## Ejercicio$$\PageIndex{2'}$$

Demostrar que una función$$f : E^{1} \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es continua en$$p$$ iff
\ [
f (p) =f\ left (p^ {-}\ right) =f\ left (p^ {+}\ right).
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que los límites relativos y la continuidad en$$p$$ (over$$B )$$ son equivalentes a los ordinarios si$$B$$ es un barrio de$$p$$ (Capítulo 3, §12); por ejemplo, si es alguno$$G_{p}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Discutir Cifras$$13-15$$ en detalle, comparando$$f(p), f\left(p^{-}\right),$$ y$$f\left(p^{+}\right) ;$$ ver Problema$$2^{\prime} .$$
Observe que en Figura$$13,$$ diferentes valores de$$\delta$$ resultado en$$p$$ y$$p_{1}$$ para el mismo$$\varepsilon .$$ Así$$\delta$$ depende de ambos$$\varepsilon$$ y de la elección de $$p .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Completa los detalles que faltan en Ejemplos$$(\mathrm{d})-(\mathrm{g}) . \operatorname{In}(\mathrm{d}),$$ redefine$$f(x)$$ para que sea el menor número entero$$\geq x .$$ Mostrar que luego$$f$$ es continuo a la izquierda encendido$$E^{1}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dar definiciones explícitas (como$$(3) )$$ para
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow +\ infty} f (x) =-\ infty;} & {\ text {(b)}\ lim _ {x\ rightarrow-\ infty} f (x) =q};\\ {\ text {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =+\ infty;} & {\ texto {(d)}\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =-\ infty};\\ {\ texto {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha p^ {-}} f (x) =+\ infty;} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha p^ {+}} f (x) =-\ infty}. \ end {array}
\]
En cada caso, dibuja un diagrama (como Figuras$$13-15 )$$ y determine si el dominio y el rango de ambos$$f$$ deben estar en$$E^{*}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
f (x) =\ frac {x^ {2} -1} {x-1}\ texto {si} x\ neq 1,\ texto {y} f (1) =0.
\]
Mostrar que$$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=2$$ existe, pero$$f$$ es discontinuo en$$p=1 .$$ Hacer que sea continuo redefiniendo$$f(1) .$$
$$[\text { Hint: For } x \neq 1, f(x)=x+1 . \text { Proceed as in Example (b), using the deleted globe }$$$$G_{\neg p}(\delta) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Encontrar$$\lim _{x \rightarrow p} f(x)$$ y verificar continuidad$$p$$ en en los siguientes casos, asumiendo que ese$$D_{f}=A$$ es el conjunto de todos$$x \in E^{1}$$ para los que la expresión dada para$$f(x)$$ tiene sentido. Especifique ese conjunto.
\ [
\ begin {array} {l} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ fila derecha 2}\ izquierda (2 x^ {2} -3 x-5\ derecha);\ quad\ texto {(b)}\ lim _ {x\ fila derecha 1}\ frac {3 x+2} {2 x-1}}\\ {\ texto {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha-1}\ izquierda (\ frac {x^ {2} -4} {x+2} -1\ derecha);} & {\ texto {(d)}\ lim _ {x\ fila derecha 2}\ frac {x^ {3} -8} {x-2}}\\ {\ texto {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha a}\ frac {x^ {4} -a^ {4}} {x-a};} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ izquierda (\ frac {x} {x+1}\ derecha) ^ {3}\\ {\ texto {(g)}\ lim _ {x\ fila derecha-1}\ izquierda (\ frac {1} {x^ {2} +1}\ derecha) ^ {2}}\ end {array}
\]
$$[ \text { Example solution: Find } \lim _{x \rightarrow 1} \frac{5 x^{2}-1}{2 x+3} .$$
Aquí
\ [
f (x) =\ frac {5 x^ {2} -1} {2 x+3}; A=E^ {1} -\ izquierda\ {-\ frac {3} {2}\ derecha\}; p=1.
\]
Mostramos que$$f$$ es continuo en$$p,$$ y así (por Corolario 2$$)$$
\ [
f (x) =\ frac {5x^ {2} - 1} {2x + 3}; A = E^ {1} -\ grande\ {-\ frac {3} {2}\ grande\}; p = 1.
\]
Mostramos que$$f$$ es continuo en$$p$$, y así (por Corolario 2)
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow p} f (x) =f (p) =f (1) =\ frac {4} {5}.
\]
Usando fórmula$$(1),$$ arreglamos una arbitraria$$\varepsilon>0$$ y buscamos una$$\delta$$ tal que
\ [
\ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {p} (\ delta)\ right)\ quad\ rho (f (x), f (1)) =|f (x) -f (1) |<\ varepsilon,\ text {i.e.,},\ izquierda|\ frac {5 x^ {2} -1} {2 x+3} - \ frac {4} {5}\ right|<\ varepsilon;
\]
o, poniendo todo sobre un denominador común y usando propiedades de valores absolutos,
\ [
|x-1|\ frac {|25 x+17|} {5|2 x+3|} <\ varepsilon\ text {siempre} |x-1|<\ delta\ text {y} x\ en A.
\]
(Por lo general en tales problemas, es deseable factorizar$$x-p . )$$
Por Nota$$4,$$ podemos asumir$$0<\delta \leq 1 .$$ Entonces$$|x-1|<\delta$$ implica$$-1 \leq x-1 \leq 1$$ es decir,$$0 \leq x \leq 2,$$ entonces
\ [
5|2 x+3|\ geq 15\ text {and} |25 x+17|\ leq 67 .
\]
Por lo tanto (6) ciertamente se mantendrá si
\ [
|x-1|\ frac {67} {15} <\ varepsilon,\ text {es decir, if} |x-1|<\ frac {15\ varepsilon} {67}.
\]
Para lograrlo, elegimos$$\delta=\min (1,15 \varepsilon / 67) .$$ Luego, invirtiendo todos los pasos, obtenemos$$(6),$$ y por lo tanto$$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=4 / 5 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Find (usando definiciones, como$$(3) )$$
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow +\ infty}\ frac {1} {x};} & {\ text {(b)}\ lim _ {x\ rightarrow-\ infty}\ frac {3 x+2} {2 x-1}};\\ {\ text {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {x^ {3}} {1-x^ {2}};} & {\ text { (d)}\ lim _ {x\ fila derecha 3^ {+}}\ frac {x-1} {x-3}};\\ {\ text {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha 3^ {-}}\ frac {x-1} {x-3};} & {\ texto {(f)}\ lim _ {x\ fila derecha 3}\ izquierda|\ frac {x-1} {x-3}\ derecha|}. \ end {array}
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que si

\ [\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =\ overline {q}\ in E^ {n}\ left (^ {*} C^ {n}\ right),
\]
entonces para cada escalar$$c$$,
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow p} c f (x) =c\ overline {q}.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
f (x) =x\ cdot\ sin\ frac {1} {x}\ texto {si} x\ neq 0,\ texto {y} f (0) =0.
\]
Mostrar que$$f$$ es continuo en$$p=0,$$ es decir,
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow 0} f (x) =f (0) =0.
\]
Dibuja una gráfica aproximada (está contenida entre las líneas$$y=\pm x )$$.
$$\left[\text { Hint: }\left|x \cdot \sin \frac{1}{x}-0\right| \leq|x| .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*12}$$

Discutir la declaración:$$f$$ es continua en$$p$$ iff
\ [
\ left (\ forall G_ {f (p)}\ right)\ left (\ exists G_ {p}\ right)\ quad f\ left [G_ {p}\ right]\ subseteq G_ {f (p)}.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
f (x) =x\ texto {si} x\ texto {es racional}
\]
y
\ [
f (x) =0\ texto {de lo contrario}.
\]
Demostrar que$$f$$ es continuo a 0 pero en ningún otro lugar. ¿Qué tal la continuidad relativa?

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Vamos$$A=(0,+\infty) \subset E^{1} .$$ Definir$$f : A \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
f (x) =0\ text {if} x\ text {es irracional}
\]
y
\ [
f (x) =\ frac {1} {n}\ text {if} x=\ frac {m} {n} (\ text {en términos más bajos})
\]
para algunos naturales $$m$$y$$n .$$ Mostrar que$$f$$ es continuo en cada irracional, pero en ningún racional, punto$$p \in A .$$
[Consejos: Si$$p$$ es irracional, fix$$\varepsilon>0$$ y un entero$$k>1 / \varepsilon .$$ En solo$$G_{p}(1),$$ hay finitamente muchas fracciones irreducibles
\ [
\ frac {m} {n} >0\ text {con} n\ leq k,
\]
así que uno de ellos, llamarlo$$r,$$ es más cercano a$$p .$$ Put

\ [\ delta=\ min (1, |r-p|)
\]
y mostrar que
\ [
\ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {p} (\ delta)\ right)\ quad|f (x) -f (p) |=f (x) <\ varepsilon,
\]
distinguiendo los casos donde$$x$$ es racional e irracional.
Si$$p$$ es racional, usa el hecho de que cada uno$$G_{p}(\delta)$$ contiene irracionales$$x$$ en los que
\ [
f (x) =0\ LongRightArrow|f (x) -f (p) |=f (p).
\]
Tomar$$\varepsilon<f(p) . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Dados dos reales,$$p>0$$ y$$q>0,$$ definen$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
f (0) =0\ text {y} f (x) =\ left (\ frac {x} {p}\ right)\ cdot\ left [\ frac {q} {x}\ right]\ text {if} x\ neq 0.
\]
aquí$$[q / x]$$ está la parte integral de$$q / x$$.
(i) Es continua$$f$$ izquierda o derecha en 0$$?$$
(ii) La misma pregunta con$$f(x)=[x / p](q / x)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Demostrar que si$$(S, \rho)$$ es discreto, entonces todas las funciones$$f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ son continuas. ¿Y si$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es discreto pero no lo$$(S, \rho)$$ es?

4.1.E: Problemas de Límites y Continuidad is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.