4.2: Algunos teoremas generales sobre límites y continuidad

I. En el §1 dimos la llamada "\(\varepsilon, \delta\)" definición de continuidad. Ahora presentamos otra formulación (equivalente), conocida como la secuencial. A grandes rasgos, afirma que\(f\) es continuo si lleva secuencias convergentes\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq D_{f}\) en “secuencias de imágenes” convergentes\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} .\) Más precisamente, tenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (sequential criterion of continuity).

(i) Una función

\[f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\text{ with } A \subseteq(S, \rho),\]

es continuo en un punto\(p \in A\) iff para cada secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) tal que\(x_{m} \rightarrow p\) en\((S, \rho),\) tenemos\(f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p)\) en símbolos\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\) In,

\[\left(\forall\left\{x_{m}\right\} \subseteq A | x_{m} \rightarrow p\right) \quad f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p).\]

ii) Del mismo modo, un punto\(q \in T\) es un límite de\(f\) al\(p(p \in S)\) iff

\[\left(\forall\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\} | x_{m} \rightarrow p\right) \quad f\left(x_{m}\right) \rightarrow q.\]

Obsérvese que en (2') consideramos solo secuencias de términos distintos a\(p\).

Prueba

Primero probamos (ii). Supongamos que\(q\) es un límite de\(f\) a\(p,\) i.e. (ver §1),

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon).\]

Así, dado\(\varepsilon>0,\) que hay\(\delta>0\) (en adelante fijo) tal que

\[f(x) \in G_{q}(\varepsilon)\text{ whenever } x \in A, x \neq p,\text{ and } x \in G_{p}(\delta).\]

Queremos deducir (2'). Así arreglamos cualquier secuencia

\[\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}, x_{m} \rightarrow p.\]

Entonces

\[(\forall m) \quad x_{m} \in A\text{ and } x_{m} \neq p,\]

y\(G_{p}(\delta)\) contiene todos menos finitamente muchos\(x_{m} .\) Entonces estos\(x_{m}\) satisfacen las condiciones establecidas en (3). De ahí que\(f\left(x_{m}\right) \in G_{q}(\varepsilon)\) para todos menos finitamente muchos\(m .\) As\(\varepsilon\) sea arbitrario, esto implica\(f\left(x_{m}\right) \rightarrow q\) (por la definición de\(\lim _{m \rightarrow \infty} f\left(x_{m}\right) ),\) como se requiere en (2'). Así (2)\(\Longrightarrow\) (2').

Por el contrario, supongamos que (2) falla, es decir, su negación se mantiene. (Ver las reglas para formar negaciones de tales fórmulas en el Capítulo 1, §§1-3.) Por lo tanto

\[(\exists \varepsilon>0)(\forall \delta>0)\left(\exists x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \notin G_{q}(\varepsilon)\]

por las reglas para los cuantificadores. Arreglamos un\(\varepsilon\) satisfactorio (4), y dejamos

\[\delta_{m}=\frac{1}{m}, \quad m=1,2, \ldots\]

Por (4), para cada uno\(\delta_{m}\) hay\(x_{m}\left(\text {depending on } \delta_{m}\right)\) tal que

\[x_{m} \in A \cap G_{\neg p}\left(\frac{1}{m}\right)\]

y

\[f\left(x_{m}\right) \notin G_{q}(\varepsilon), \quad m=1,2,3, \ldots\]

Arreglamos estos\(x_{m} .\) As\(x_{m} \in A\) y\(x_{m} \neq p,\) obtenemos una secuencia

\[\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}.\]

También, como lo\(x_{m} \in G_{p}\left(\frac{1}{m}\right),\) hemos hecho\(\rho\left(x_{m}, p\right)<1 / m \rightarrow 0,\) y de ahí\(x_{m} \rightarrow p\). Por otro lado, por (6), la secuencia de imágenes\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) sondeará a\(q\) (¿por qué?) , es decir, (2') falla. Así vemos que (2') falla o se mantiene en consecuencia como (2) lo hace.

Esto prueba aseveración ii). Ahora, fijando\(q=f(p)\) en (2) y (2'), también obtenemos la primera cláusula del teorema, en cuanto a la continuidad. \(\square\)

Nota 1. El teorema también se aplica a los límites relativos y a la continuidad sobre un camino\(B\) (solo reemplazarlo\(A\) por\(B\) en la prueba), así como a los casos\(p=\pm \infty\) y\(q=\pm \infty\) en\(E^{*}\) (porque\(E^{*}\) puede tratarse como un espacio métrico; ver al final del Capítulo 3, §11).

Si el espacio de rango\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) está completo (Capítulo 3, §17), entonces las secuencias de imagen\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) convergen si son Cauchy. Esto lleva al siguiente corolario.

Corolario 1. \(\left(T, \rho^{\prime}\right)\)Déjese completar, como\(E^{n} .\) Let a map\(f : A \rightarrow T\) with\(A \subseteq(S, \rho)\) and a point\(p \in S\) be given. Entonces\(f\) para tener un límite en\(p,\) basta que\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) sea Cauchy en\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\) cuando\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}\) y\(x_{m} \rightarrow p\) en\((S, \rho).\)

En efecto, como se señaló anteriormente, todos esos\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) convergen. De esta manera solo queda demostrar que tienden a uno y el mismo límite que\(q,\) se requiere en la parte (ii) del Teorema 1. Dejamos esto como un ejercicio (Problema 1 a continuación).

Teorema\(\PageIndex{2}\) (Cauchy criterion for functions).

Con los supuestos del Corolario 1, la función\(f\) tiene un límite a\(p\) iff para cada uno\(\varepsilon>0,\) hay\(\delta>0\) tal que

\[\rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon\text{ for all } x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta).\]

En símbolos,

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon.\]

Prueba

Asumir (7). Para demostrar que\(f\) tiene un límite en\(p,\) utilizamos Corolario 1. Así tomamos cualquier secuencia

\[\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}\text{ with } x_{m} \rightarrow p\]

y muestran que\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) es Cauchy, es decir,

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(x_{n}\right)\right)<\varepsilon.\]

Para ello, arregle un\(\varepsilon>0.\) By arbitrario (7), tenemos

\[\left(\forall x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon,\]

para algunos\(\delta>0 .\) Ahora como\(x_{m} \rightarrow p,\) hay\(k\) tal que

\[(\forall m, n>k) \quad x_{m}, x_{n} \in G_{p}(\delta).\]

Como incluso\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\},\) tenemos\(x_{m}, x_{n} \in A \cap G_{\neg p}(\delta).\) Por lo tanto por (7'),

\[(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(x_{n}\right)\right)<\varepsilon;\]

es decir,\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) es Cauchy, como se requiere en el Corolario 1, y así\(f\) tiene un límite en\(p\). Esto demuestra que (7) implica la existencia de ese límite.

La prueba fácil de conversar se deja al lector. (Ver Problema 2.) \(\square\)

II. Funciones compuestas. El compuesto de dos funciones

\[f : S \rightarrow T\text{ and } g : T \rightarrow U,\]

denotado

\[g \circ f \quad(\text {in that order}),\]

es por definición un mapa de\(S\) en\(U\) dado por

\[(g \circ f)(x)=g(f(x)), \quad x \in S.\]

Nuestro siguiente teorema afirma, aproximadamente, que\(g \circ f\) es continuo si\(g\) y\(f\) son. Utilizaremos el Teorema 1 para probarlo.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\((S, \rho),\left(T, \rho^{\prime}\right),\) y\(\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)\) ser espacios métricos. Si una función\(f : S \rightarrow T\) es continua en un punto\(p \in S,\) y si\(g : T \rightarrow U\) es continua en el punto\(q=f(p),\) entonces la función compuesta\(g \circ f\) es continua en\(p\).

Prueba

El dominio de\(g \circ f\) es\(S .\) Así que toma cualquier secuencia

\[\left\{x_{m}\right\} \subseteq S\text{ with } x_{m} \rightarrow p.\]

Como\(f\) es continuo en la\(p,\) fórmula (1') rinde\(f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p),\) donde\(f\left(x_{m}\right)\) está en\(T=D_{g} .\) Por lo tanto, como\(g\) es continuo en\(f(p),\) tenemos

\[g\left(f\left(x_{m}\right)\right) \rightarrow g(f(p)),\text{ i.e., } (g \circ f)\left(x_{m}\right) \rightarrow(g \circ f)(p),\]

y esto se mantiene para cualquiera\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq S\) con\(x_{m} \rightarrow p.\) Así\(g \circ f\) satisface la condición (1') y es continuo en\(p.\)\(\square\)

Precaución: El hecho de que

\[\lim _{x \rightarrow p} f(x)=q\text{ and } \lim _{y \rightarrow q} g(y)=r\]

no implica

\[\lim _{x \rightarrow p} g(f(x))=r\]

(ver Problema 3 para ejemplos de contraejemplos).

En efecto, si\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq S-\{p\}\) y\(x_{m} \rightarrow p,\) obtenemos, como antes,\(f\left(x_{m}\right) \rightarrow q,\) pero no\(f\left(x_{m}\right) \neq q .\) Así no podemos r e-aplicar la fórmula (2') para obtener\(g\left(f\left(x_{m}\right)\right) \rightarrow r\) ya que (2') requiere que\(f\left(x_{m}\right) \neq q .\) El argumento todavía funciona si\(g\) es continuo en\(q\) (entonces (1') aplica) o si\(f(x)\) nunca es igual\(q\) entonces\(f(x_{m}) \neq q\). Incluso basta con que\(f(x) \neq q\)\(x\) en algún globo borrado sobre\(p(\) (ver §1, Nota 4). De ahí que obtengamos el siguiente corolario.

Corolario 2. Con la notación del Teorema 3, supongamos

\[f(x) \rightarrow q\) as \(x \rightarrow p,\text{ and } g(y) \rightarrow r\text{ as } y \rightarrow q.\]

Entonces

\[g(f(x)) \rightarrow r\text{ as } x \rightarrow p,\]

siempre que, sin embargo,

(i)\(g\) es continuo en\(q,\) o

(ii)\(f(x) \neq q\) para\(x\) en algún globo eliminado sobre\(p,\) o

(iii)\(f\) es uno a uno, al menos cuando se restringe a algunos\(G_{\neg p}(\delta)\).

Efectivamente, los incisos i) y ii) bastan, como se explicó anteriormente. Asumir así (iii). Entonces\(f\) puede tomar el valor\(q\) como máximo una vez, digamos, en algún momento

\[x_{0} \in G_{\neg p}(\delta).\]

Como\(x_{0} \neq p,\) dejar

\[\delta^{\prime}=\rho\left(x_{0}, p\right)>0.\]

\(x_{0} \notin G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),\)Entonces así\(f(x) \neq q\) sucesivamente\(G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),\) y el caso (iii) se reduce a (ii).

Ahora te mostramos cómo aplicar el Corolario 2.

Nota 2. Supongamos que sabemos que

\[r=\lim _{y \rightarrow q} g(y)\text{ exists.}\]

Utilizando este hecho, muchas veces pasamos a otra variable\(x,\) estableciendo\(y=f(x)\) donde\(f\) es tal que\(q=\lim _{x \rightarrow p} f(x)\) para algunos\(p .\) diremos que la sustitución (o “cambio de variable”)\(y=f(x)\) es admisible si se mantiene una de las condiciones (i), (ii), o (iii) del Corolario 2. Luego por Corolario 2,

\[\lim _{y \rightarrow q} g(y)=r=\lim _{x \rightarrow p} g(f(x))\]

(cediendo el segundo límite).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(A) Dejar

\[h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\text{ for } |x| \geq 1.\]

Entonces

\[\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=e.\]

Para una prueba, que\(n=f(x)=[x]\) sea la parte integral de\(x.\) Entonces para\(x>1\),

\[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \leq h(x) \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} . \quad(\text { Verify! })\]

Como\(x \rightarrow+\infty, n\) tiende a\(+\infty\) sobreenteros, y por reglas para secuencias,

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1 \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1 \cdot e=e,\]

con\(e\) como en el Capítulo 3, §15. Del mismo modo se demuestra que también

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=e.\]

Así (8) implica que también\(\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=e\) (ver Problema 6 más adelante).

Observación. Aquí se utilizó el Corolario 2 (ii) con

\[f(x)=[x], q=+\infty,\text{ and } g(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.\]

La sustitución\(n=f(x)\) es admisible ya que\(f(x)=n\) nunca iguala\(+\infty,\) su límite, satisfaciendo así el Corolario 2, inciso ii).

(B) Del mismo modo, se demuestra que también

\[\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e.\]

Ver Problema 5.

(C) En Ejemplos\((\mathrm{A})\) y ahora\((\mathrm{B}),\) sustituimos\(x=1 / z.\) Esto es admisible por Corolario 2 (ii) ya que la dependencia entre\(x\) y\(z\) es uno a uno. Entonces

\[z=\frac{1}{x} \rightarrow 0^{+}\text{ as } x \rightarrow+\infty,\text{ and } z \rightarrow 0^{-}\text{ as } x \rightarrow-\infty.\]

Así\((\mathrm{A})\) y\((\mathrm{B})\) rendimiento

\[\lim _{z \rightarrow 0^{+}}(1+z)^{1 / z}=\lim _{z \rightarrow 0^{-}}(1+z)^{1 / z}=e.\]

De ahí que por el Corolario 3 de §1, obtenemos

\[\lim _{z \rightarrow 0}(1+z)^{1 / z}=e.\]