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# 4.2: Algunos teoremas generales sobre límites y continuidad

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I. En el §1 dimos la llamada "$$\varepsilon, \delta$$" definición de continuidad. Ahora presentamos otra formulación (equivalente), conocida como la secuencial. A grandes rasgos, afirma que$$f$$ es continuo si lleva secuencias convergentes$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq D_{f}$$ en “secuencias de imágenes” convergentes$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} .$$ Más precisamente, tenemos el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (sequential criterion of continuity).

(i) Una función

$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\text{ with } A \subseteq(S, \rho),$

es continuo en un punto$$p \in A$$ iff para cada secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$ tal que$$x_{m} \rightarrow p$$ en$$(S, \rho),$$ tenemos$$f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p)$$ en símbolos$$\left(T, \rho^{\prime}\right) .$$ In,

$\left(\forall\left\{x_{m}\right\} \subseteq A | x_{m} \rightarrow p\right) \quad f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p).$

ii) Del mismo modo, un punto$$q \in T$$ es un límite de$$f$$ al$$p(p \in S)$$ iff

$\left(\forall\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\} | x_{m} \rightarrow p\right) \quad f\left(x_{m}\right) \rightarrow q.$

Obsérvese que en (2') consideramos solo secuencias de términos distintos a$$p$$.

Prueba

Primero probamos (ii). Supongamos que$$q$$ es un límite de$$f$$ a$$p,$$ i.e. (ver §1),

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon).$

Así, dado$$\varepsilon>0,$$ que hay$$\delta>0$$ (en adelante fijo) tal que

$f(x) \in G_{q}(\varepsilon)\text{ whenever } x \in A, x \neq p,\text{ and } x \in G_{p}(\delta).$

Queremos deducir (2'). Así arreglamos cualquier secuencia

$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}, x_{m} \rightarrow p.$

Entonces

$(\forall m) \quad x_{m} \in A\text{ and } x_{m} \neq p,$

y$$G_{p}(\delta)$$ contiene todos menos finitamente muchos$$x_{m} .$$ Entonces estos$$x_{m}$$ satisfacen las condiciones establecidas en (3). De ahí que$$f\left(x_{m}\right) \in G_{q}(\varepsilon)$$ para todos menos finitamente muchos$$m .$$ As$$\varepsilon$$ sea arbitrario, esto implica$$f\left(x_{m}\right) \rightarrow q$$ (por la definición de$$\lim _{m \rightarrow \infty} f\left(x_{m}\right) ),$$ como se requiere en (2'). Así (2)$$\Longrightarrow$$ (2').

Por el contrario, supongamos que (2) falla, es decir, su negación se mantiene. (Ver las reglas para formar negaciones de tales fórmulas en el Capítulo 1, §§1-3.) Por lo tanto

$(\exists \varepsilon>0)(\forall \delta>0)\left(\exists x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \notin G_{q}(\varepsilon)$

por las reglas para los cuantificadores. Arreglamos un$$\varepsilon$$ satisfactorio (4), y dejamos

$\delta_{m}=\frac{1}{m}, \quad m=1,2, \ldots$

Por (4), para cada uno$$\delta_{m}$$ hay$$x_{m}\left(\text {depending on } \delta_{m}\right)$$ tal que

$x_{m} \in A \cap G_{\neg p}\left(\frac{1}{m}\right)$

y

$f\left(x_{m}\right) \notin G_{q}(\varepsilon), \quad m=1,2,3, \ldots$

Arreglamos estos$$x_{m} .$$ As$$x_{m} \in A$$ y$$x_{m} \neq p,$$ obtenemos una secuencia

$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}.$

También, como lo$$x_{m} \in G_{p}\left(\frac{1}{m}\right),$$ hemos hecho$$\rho\left(x_{m}, p\right)<1 / m \rightarrow 0,$$ y de ahí$$x_{m} \rightarrow p$$. Por otro lado, por (6), la secuencia de imágenes$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ sondeará a$$q$$ (¿por qué?) , es decir, (2') falla. Así vemos que (2') falla o se mantiene en consecuencia como (2) lo hace.

Esto prueba aseveración ii). Ahora, fijando$$q=f(p)$$ en (2) y (2'), también obtenemos la primera cláusula del teorema, en cuanto a la continuidad. $$\square$$

Nota 1. El teorema también se aplica a los límites relativos y a la continuidad sobre un camino$$B$$ (solo reemplazarlo$$A$$ por$$B$$ en la prueba), así como a los casos$$p=\pm \infty$$ y$$q=\pm \infty$$ en$$E^{*}$$ (porque$$E^{*}$$ puede tratarse como un espacio métrico; ver al final del Capítulo 3, §11).

Si el espacio de rango$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ está completo (Capítulo 3, §17), entonces las secuencias de imagen$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ convergen si son Cauchy. Esto lleva al siguiente corolario.

Corolario 1. $$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$Déjese completar, como$$E^{n} .$$ Let a map$$f : A \rightarrow T$$ with$$A \subseteq(S, \rho)$$ and a point$$p \in S$$ be given. Entonces$$f$$ para tener un límite en$$p,$$ basta que$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ sea Cauchy en$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ cuando$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}$$ y$$x_{m} \rightarrow p$$ en$$(S, \rho).$$

En efecto, como se señaló anteriormente, todos esos$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ convergen. De esta manera solo queda demostrar que tienden a uno y el mismo límite que$$q,$$ se requiere en la parte (ii) del Teorema 1. Dejamos esto como un ejercicio (Problema 1 a continuación).

## Teorema$$\PageIndex{2}$$ (Cauchy criterion for functions).

Con los supuestos del Corolario 1, la función$$f$$ tiene un límite a$$p$$ iff para cada uno$$\varepsilon>0,$$ hay$$\delta>0$$ tal que

$\rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon\text{ for all } x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta).$

En símbolos,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon.$

Prueba

Asumir (7). Para demostrar que$$f$$ tiene un límite en$$p,$$ utilizamos Corolario 1. Así tomamos cualquier secuencia

$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\}\text{ with } x_{m} \rightarrow p$

y muestran que$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ es Cauchy, es decir,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(x_{n}\right)\right)<\varepsilon.$

Para ello, arregle un$$\varepsilon>0.$$ By arbitrario (7), tenemos

$\left(\forall x, x^{\prime} \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\varepsilon,$

para algunos$$\delta>0 .$$ Ahora como$$x_{m} \rightarrow p,$$ hay$$k$$ tal que

$(\forall m, n>k) \quad x_{m}, x_{n} \in G_{p}(\delta).$

Como incluso$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A-\{p\},$$ tenemos$$x_{m}, x_{n} \in A \cap G_{\neg p}(\delta).$$ Por lo tanto por (7'),

$(\forall m, n>k) \quad \rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(x_{n}\right)\right)<\varepsilon;$

es decir,$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ es Cauchy, como se requiere en el Corolario 1, y así$$f$$ tiene un límite en$$p$$. Esto demuestra que (7) implica la existencia de ese límite.

La prueba fácil de conversar se deja al lector. (Ver Problema 2.) $$\square$$

II. Funciones compuestas. El compuesto de dos funciones

$f : S \rightarrow T\text{ and } g : T \rightarrow U,$

$g \circ f \quad(\text {in that order}),$

es por definición un mapa de$$S$$ en$$U$$ dado por

$(g \circ f)(x)=g(f(x)), \quad x \in S.$

Nuestro siguiente teorema afirma, aproximadamente, que$$g \circ f$$ es continuo si$$g$$ y$$f$$ son. Utilizaremos el Teorema 1 para probarlo.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$(S, \rho),\left(T, \rho^{\prime}\right),$$ y$$\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)$$ ser espacios métricos. Si una función$$f : S \rightarrow T$$ es continua en un punto$$p \in S,$$ y si$$g : T \rightarrow U$$ es continua en el punto$$q=f(p),$$ entonces la función compuesta$$g \circ f$$ es continua en$$p$$.

Prueba

El dominio de$$g \circ f$$ es$$S .$$ Así que toma cualquier secuencia

$\left\{x_{m}\right\} \subseteq S\text{ with } x_{m} \rightarrow p.$

Como$$f$$ es continuo en la$$p,$$ fórmula (1') rinde$$f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(p),$$ donde$$f\left(x_{m}\right)$$ está en$$T=D_{g} .$$ Por lo tanto, como$$g$$ es continuo en$$f(p),$$ tenemos

$g\left(f\left(x_{m}\right)\right) \rightarrow g(f(p)),\text{ i.e., } (g \circ f)\left(x_{m}\right) \rightarrow(g \circ f)(p),$

y esto se mantiene para cualquiera$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq S$$ con$$x_{m} \rightarrow p.$$ Así$$g \circ f$$ satisface la condición (1') y es continuo en$$p.$$$$\square$$

Precaución: El hecho de que

$\lim _{x \rightarrow p} f(x)=q\text{ and } \lim _{y \rightarrow q} g(y)=r$

no implica

$\lim _{x \rightarrow p} g(f(x))=r$

(ver Problema 3 para ejemplos de contraejemplos).

En efecto, si$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq S-\{p\}$$ y$$x_{m} \rightarrow p,$$ obtenemos, como antes,$$f\left(x_{m}\right) \rightarrow q,$$ pero no$$f\left(x_{m}\right) \neq q .$$ Así no podemos r e-aplicar la fórmula (2') para obtener$$g\left(f\left(x_{m}\right)\right) \rightarrow r$$ ya que (2') requiere que$$f\left(x_{m}\right) \neq q .$$ El argumento todavía funciona si$$g$$ es continuo en$$q$$ (entonces (1') aplica) o si$$f(x)$$ nunca es igual$$q$$ entonces$$f(x_{m}) \neq q$$. Incluso basta con que$$f(x) \neq q$$$$x$$ en algún globo borrado sobre$$p($$ (ver §1, Nota 4). De ahí que obtengamos el siguiente corolario.

Corolario 2. Con la notación del Teorema 3, supongamos

$f(x) \rightarrow q\) as $$x \rightarrow p,\text{ and } g(y) \rightarrow r\text{ as } y \rightarrow q.$ Entonces $g(f(x)) \rightarrow r\text{ as } x \rightarrow p,$ siempre que, sin embargo, (i)\(g$$ es continuo en$$q,$$ o

(ii)$$f(x) \neq q$$ para$$x$$ en algún globo eliminado sobre$$p,$$ o

(iii)$$f$$ es uno a uno, al menos cuando se restringe a algunos$$G_{\neg p}(\delta)$$.

Efectivamente, los incisos i) y ii) bastan, como se explicó anteriormente. Asumir así (iii). Entonces$$f$$ puede tomar el valor$$q$$ como máximo una vez, digamos, en algún momento

$x_{0} \in G_{\neg p}(\delta).$

Como$$x_{0} \neq p,$$ dejar

$\delta^{\prime}=\rho\left(x_{0}, p\right)>0.$

$$x_{0} \notin G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),$$Entonces así$$f(x) \neq q$$ sucesivamente$$G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),$$ y el caso (iii) se reduce a (ii).

Ahora te mostramos cómo aplicar el Corolario 2.

Nota 2. Supongamos que sabemos que

$r=\lim _{y \rightarrow q} g(y)\text{ exists.}$

Utilizando este hecho, muchas veces pasamos a otra variable$$x,$$ estableciendo$$y=f(x)$$ donde$$f$$ es tal que$$q=\lim _{x \rightarrow p} f(x)$$ para algunos$$p .$$ diremos que la sustitución (o “cambio de variable”)$$y=f(x)$$ es admisible si se mantiene una de las condiciones (i), (ii), o (iii) del Corolario 2. Luego por Corolario 2,

$\lim _{y \rightarrow q} g(y)=r=\lim _{x \rightarrow p} g(f(x))$

(cediendo el segundo límite).

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(A) Dejar

$h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\text{ for } |x| \geq 1.$

Entonces

$\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=e.$

Para una prueba, que$$n=f(x)=[x]$$ sea la parte integral de$$x.$$ Entonces para$$x>1$$,

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \leq h(x) \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} . \quad(\text { Verify! })$

Como$$x \rightarrow+\infty, n$$ tiende a$$+\infty$$ sobreenteros, y por reglas para secuencias,

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1 \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1 \cdot e=e,$

con$$e$$ como en el Capítulo 3, §15. Del mismo modo se demuestra que también

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=e.$

Así (8) implica que también$$\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=e$$ (ver Problema 6 más adelante).

Observación. Aquí se utilizó el Corolario 2 (ii) con

$f(x)=[x], q=+\infty,\text{ and } g(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.$

La sustitución$$n=f(x)$$ es admisible ya que$$f(x)=n$$ nunca iguala$$+\infty,$$ su límite, satisfaciendo así el Corolario 2, inciso ii).

(B) Del mismo modo, se demuestra que también

$\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e.$

Ver Problema 5.

(C) En Ejemplos$$(\mathrm{A})$$ y ahora$$(\mathrm{B}),$$ sustituimos$$x=1 / z.$$ Esto es admisible por Corolario 2 (ii) ya que la dependencia entre$$x$$ y$$z$$ es uno a uno. Entonces

$z=\frac{1}{x} \rightarrow 0^{+}\text{ as } x \rightarrow+\infty,\text{ and } z \rightarrow 0^{-}\text{ as } x \rightarrow-\infty.$

Así$$(\mathrm{A})$$ y$$(\mathrm{B})$$ rendimiento

$\lim _{z \rightarrow 0^{+}}(1+z)^{1 / z}=\lim _{z \rightarrow 0^{-}}(1+z)^{1 / z}=e.$

De ahí que por el Corolario 3 de §1, obtenemos

$\lim _{z \rightarrow 0}(1+z)^{1 / z}=e.$

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