4.2.E: Más Problemas en Límites y Continuidad
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Completar el comprobante del Corolario 1.
\(\left[\text { Hint: Consider }\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} \text { and }\left\{f\left(x_{m}^{\prime}\right)\right\}, \text { with }\right.\)
\ [
x_ {m}\ fila derecha p\ texto {y} x_ {m} ^ {\ prime}\ fila derecha p.
\]
Por Capítulo 3, §14, Corolario\(4, p\) es también el límite de
\ [
x_ {1}, x_ {1} ^ {\ prime}, x_ {2}, x_ {2} ^ {\ prime},\ ldots,
\]
así, por suposición,
\ [
f\ left (x_ {1}\ right), f\ left (x_ {1} ^ {prime\ }\ derecha),\ lpuntos\ texto {converge (a} q,\ texto {decir}).
\]
Por lo tanto\(\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}\) y\(\left\{f\left(x_{m}^{\prime}\right)\right\}\) debe tener el mismo límite\(q .(\mathrm{Why} ?) ]\)
Completar la prueba converse del Teorema 2 (cf. prueba del Teorema 1 en
el Capítulo 3, §17).
Definir\(f, g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) fijando
(i)\(f(x)=2 ; g(y)=3\) si\(y \neq 2,\) y\(g(2)=0 ;\) o
(ii)\(f(x)=2\) si\(x\) es racional y de\(f(x)=2 x\) otra manera;\(g\) como en\((\mathrm{i})\).
En ambos casos, mostrar que
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow 1} f (x) =2\ text {y}\ lim _ {y\ rightarrow 2} g (y) =3\ text {pero no}\ lim _ {x\ rightarrow 1} g (f (x)) =3.
\]
Demostrar Teorema 3 a partir de definiciones\(\varepsilon, \delta\) "”. También probar (en ambos sentidos) que si\(f\) es relativamente continuo encendido\(B,\) y\(g\) encendido\(f[B],\) entonces\(g \circ f\) es relativamente continuo en\(B\).
Complete los detalles que faltan en los Ejemplos (A) y (B).
[Pista para (B): Verifica que
\ [\ left (1-\ frac {1} {n+1}\ right) ^ {-n-1} =\ left (\ frac {n} {n+1}\ right) ^ {-n-1} =\ left (\ frac {n+1} {n}\ right) ^ {n+1} =\ left (1+\ frac {1} {n}\ derecha)\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\ fila derecha e.]
\]
\(\Rightarrow 6 .\)Dado\(f, g, h : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),\) con
\ [
f (x)\ leq h (x)\ leq g (x)
\]
\(x \in G_{\neg p}(\delta) \cap A\) para algunos\(\delta>0 .\) Demostrar que si
\ [\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =\ lim _ {x\ fila derecha p} g (x) =q,
\]
también entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p} h (x) =q.
\]
Usa el Teorema 1.
[Pista: Tome cualquier
\ [
\ izquierda\ {x_ {m}\ derecha\}\ subseteq A-\ {p\}\ texto {con} x_ {m}\ fila derecha p.
\]
Entonces\(f\left(x_{m}\right) \rightarrow q, g\left(x_{m}\right) \rightarrow q,\) y
\ [
\ izquierda (\ forall x_ {m}\ en A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ derecha)\ quad f\ izquierda (x_ {m}\ derecha)\ leq h\ izquierda (x_ {m}\ derecha)\ leq g\ izquierda (x_ {m}\ derecha).
\]
Ahora aplica el Corolario 3 del Capítulo\(3, §15 . ]\)
\(\Rightarrow 7 .\)Dado\(f, g : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),\) con\(f(x) \rightarrow q\) y\(g(x) \rightarrow r\) como\(x \rightarrow p\)\((p \in S),\) probar lo siguiente:
(i) Si\(q>r,\) entonces
\ [
(\ existe\ delta>0)\ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad f (x) >g (x).
\]
(ii) (Pasaje al límite en las desigualdades.) Si
\ [
(\ forall\ delta>0)\ left (\ existe x\ in A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad f (x)\ leq g (x),
\]
entonces\(q \leq r .\) (Observe que aquí los\(A\) clústeres en\(p\) necesariamente, entonces los límites son únicos.)
[Pista: Proceder como en Problema de\(6 ;\) uso Corolario 1 del Capítulo\(3, §15 .]\)
Hacer Problemas 6 y 7 usando solo la Definición 2 de §1.
\([\text { Hint: Here prove } 7(\text { ii }) \text { first. }]\)
Hacer Ejemplos\((a)-(d)\) de §1 usando el Teorema 1.
[Pista: Para\((\mathrm{c}),\) usar también el Ejemplo (a) en el Capítulo\(3, §16 . ]\)
La suma y multiplicación en\(E^{1}\) pueden tratarse como funciones
\ [
f, g: E^ {2}\ fila derecha E^ {1}
\]
con
\ [
f (x, y) =x+y\ text {y} g (x, y) =x y.
\]
Demostrar eso\(f\) y\(g\) son continuos\(E^{2}\) (ver nota 2 en el Capítulo 3 §15). Del mismo modo, mostrar que la métrica estándar
\ [\ rho (x, y) =|x-y|
\]
es un mapeo continuo de\(E^{2}\) a\(E^{1}\).
\([\text { Hint: Use Theorems } 1,2, \text { and, } 4 \text { of Chapter } 3, §15 \text { and the sequential criterion. }]\)
Usando el Corolario 2 y el\((9),\) hallazgo de fórmula\(\lim _{x \rightarrow 0}(1 \pm m x)^{1 / x}\) para un fijo\(m \in N .\)
\(\Rightarrow 12 .\)Déjalo\(a>0\) entrar\(E^{1} .\) Demostrar eso\(\lim _{x \rightarrow 0} a^{x}=1\).
\(\left[\text { Hint: Let } n=f(x) \text { be the integral part of } \frac{1}{x}(x \neq 0) . \text { Verify that }\right.\)
\ [
a^ {-1/(n+1)}\ leq a^ {x}\ leq a^ {1/n}\ texto {si} a\ geq 1,
\]
con desigualdades invertidas si\(0<a<1 .\) Luego proceder como en Ejemplo\((\mathrm{A}),\) señalando que
\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} a^ {1/n} =1=\ lim _ {n\ rightarrow\ infty} a^ {-1/(n+1)}
\]
por Problema 20 del Capítulo\(3, §15 .(\text { Explain! })]\)
\(\Rightarrow 13 .\)Dado\(f, g : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),\) con
\ [
f\ leq g\ quad\ text {for} x\ text {in} G_ {\ neg p} (\ delta)\ cap A.
\]
Demostrar que
(a) si\(\lim _{x \rightarrow p} f(x)=+\infty,\) entonces también\(\lim _{x \rightarrow p} g(x)=+\infty\);
(b) si\(\lim _{x \rightarrow p} g(x)=-\infty,\) entonces también\(\lim _{x \rightarrow p} f(x)=-\infty\).
Hazlo de dos maneras:
(i) Usar definiciones únicamente, como\(\left(2^{\prime}\right)\) en\(§1\).
(ii) Utilizar el Problema 10 del Capítulo 2, §13 y el criterio secuencial.
\(\Rightarrow 14 .\)Demostrar que
(i) si\(a>1\) en\(E^{1},\) entonces
\ [\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x} =+\ infty\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x} =0;
\]
(ii) si\(0<a<1,\) entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x} =0\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x} =+\ infty;
\]
(iii) si\(a>1\) y\(0 \leq q \in E^{1},\) luego
\ [\ lim _ {x\ derecha +\ infty}\ frac ac {a^ {x}} {x^ {q}} =+\ infty\ texto { y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x^ {q}} =0;
\]
\((\text { iv })\) si\(0<a<1\) y\(0 \leq q \in E^{1},\) entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x^ {q}} =0\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ ty}\ frac {a^ {-x}} {x^ {q}} =+\ infty.
\]
[Pista: (i) De los Problemas 17 y 10 del Capítulo\(3, §15,\) obtener
\ [
\ lim\ frac {a^ {n}} {n} =+\ infty.
\]
Luego proceder como en los Ejemplos\((\mathrm{A})-(\mathrm{C}) ;\) (iii) reduce a (i) por el método utilizado en el
Problema 18 del Capítulo\(3, §15 . ]\)
\(\Rightarrow * 15 .\)Para un mapa\(f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\) mostrar que las siguientes declaraciones son equivalentes:
(i)\(f\) es continuo en\(S\).
ii)\((\forall A \subseteq S) f[\overline{A}] \subseteq \overline{f[A]}\).
iii)\((\forall B \subseteq T) f^{-1}[\overline{B}] \supseteq \overline{f^{-1}[B]}\).
(iv)\(f^{-1}[B]\) se cierra en\((S, \rho)\) cada vez que\(B\) se cierra en\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\).
(v)\(f^{-1}[B]\) está abierto en\((S, \rho)\) siempre que\(B\) esté abierto en\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\).
[Consejos:\( (i) \Longrightarrow(\mathrm{ii})\): Usa el Teorema 3 del Capítulo} 3, §16 y el criterio secuencial para mostrar que
\ [
p\ in\ overline {A}\ Longrightarrow f (p)\ in\ overline {f [A]}.
\]
(ii)\(\Longrightarrow(\text { iii }) :\) Vamos\(A=f^{-1}[B] .\)\(f[A] \subseteq B,\) Entonces por\((\text { ii })\),
\ [
f [\ overline {A}]\ subseteq\ overline {f [A]}\ subseteq\ overline {B}.
\]
De ahí
\ [
\ overline {f^ {-1} [B]} =\ overline {A}\ subseteq f^ {-1} [f [\ overline {A}]]\ subseteq f^ {-1} [\ overline {B}]. \ quad\ text {(¿Por qué?) }
\]
(iii)\(\Longrightarrow(\mathrm{iv}) :\) Si\(B\) está cerrado,\(B=\overline{B}\) (Capítulo 3, §16, Teorema 4 (ii)), así por (iii),
\ [
f^ {-1} [B] =f^ {-1} [\ overline {B}]\ supseteq\ overline {f^ {-1} [B]};\ text {deducir (iv)}.
\]
\((\mathrm{iv}) \Longrightarrow(\mathrm{v}) :\) Pasar a complementos en\((\mathrm{iv})\).
\((\mathrm{v}) \Longrightarrow(\mathrm{i}) :\)Asumir\((\mathrm{v}) .\) Tome cualquiera\(p \in S\) y use la Definición 1 en\(§1 . ]\)
Dejar\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser continuo. Definir\(g : E^{1} \rightarrow E^{2}\) por
\ [
g (x) =( x, f (x)).
\]
Demostrar que
(a)\(g\) y\(g^{-1}\) son uno a uno y continuos;
(b) el rango de\(g,\) i.e., el conjunto
\ [
D_ {g} ^ {\ prime} =\ left\ {(x, f (x)) | x\ in E^ {1}\ right\},
\]
es cerrado en\(E^{2}\).
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 3, §15, Teorema 4 del Capítulo 3, §16, y el criterio secuencial.]