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# 4.2.E: Más Problemas en Límites y Continuidad

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar el comprobante del Corolario 1.
$$\left[\text { Hint: Consider }\left\{f\left(x_{m}\right)\right\} \text { and }\left\{f\left(x_{m}^{\prime}\right)\right\}, \text { with }\right.$$
\ [
x_ {m}\ fila derecha p\ texto {y} x_ {m} ^ {\ prime}\ fila derecha p.
\]
Por Capítulo 3, §14, Corolario$$4, p$$ es también el límite de
\ [
x_ {1}, x_ {1} ^ {\ prime}, x_ {2}, x_ {2} ^ {\ prime},\ ldots,
\]
así, por suposición,
\ [
f\ left (x_ {1}\ right), f\ left (x_ {1} ^ {prime\ }\ derecha),\ lpuntos\ texto {converge (a} q,\ texto {decir}).
\]
Por lo tanto$$\left\{f\left(x_{m}\right)\right\}$$ y$$\left\{f\left(x_{m}^{\prime}\right)\right\}$$ debe tener el mismo límite$$q .(\mathrm{Why} ?) ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{*2}$$

Completar la prueba converse del Teorema 2 (cf. prueba del Teorema 1 en
el Capítulo 3, §17).

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Definir$$f, g : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ fijando
(i)$$f(x)=2 ; g(y)=3$$ si$$y \neq 2,$$ y$$g(2)=0 ;$$ o
(ii)$$f(x)=2$$ si$$x$$ es racional y de$$f(x)=2 x$$ otra manera;$$g$$ como en$$(\mathrm{i})$$.
En ambos casos, mostrar que
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow 1} f (x) =2\ text {y}\ lim _ {y\ rightarrow 2} g (y) =3\ text {pero no}\ lim _ {x\ rightarrow 1} g (f (x)) =3.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar Teorema 3 a partir de definiciones$$\varepsilon, \delta$$ "”. También probar (en ambos sentidos) que si$$f$$ es relativamente continuo encendido$$B,$$ y$$g$$ encendido$$f[B],$$ entonces$$g \circ f$$ es relativamente continuo en$$B$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Complete los detalles que faltan en los Ejemplos (A) y (B).
[Pista para (B): Verifica que

\ [\ left (1-\ frac {1} {n+1}\ right) ^ {-n-1} =\ left (\ frac {n} {n+1}\ right) ^ {-n-1} =\ left (\ frac {n+1} {n}\ right) ^ {n+1} =\ left (1+\ frac {1} {n}\ derecha)\ izquierda (1+\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {n}\ fila derecha e.]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\Rightarrow 6 .$$Dado$$f, g, h : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),$$ con
\ [
f (x)\ leq h (x)\ leq g (x)
\]
$$x \in G_{\neg p}(\delta) \cap A$$ para algunos$$\delta>0 .$$ Demostrar que si

\ [\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =\ lim _ {x\ fila derecha p} g (x) =q,
\]
también entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p} h (x) =q.
\]
Usa el Teorema 1.
[Pista: Tome cualquier
\ [
\ izquierda\ {x_ {m}\ derecha\}\ subseteq A-\ {p\}\ texto {con} x_ {m}\ fila derecha p.
\]
Entonces$$f\left(x_{m}\right) \rightarrow q, g\left(x_{m}\right) \rightarrow q,$$ y
\ [
\ izquierda (\ forall x_ {m}\ en A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ derecha)\ quad f\ izquierda (x_ {m}\ derecha)\ leq h\ izquierda (x_ {m}\ derecha)\ leq g\ izquierda (x_ {m}\ derecha).
\]
Ahora aplica el Corolario 3 del Capítulo$$3, §15 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow 7 .$$Dado$$f, g : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),$$ con$$f(x) \rightarrow q$$ y$$g(x) \rightarrow r$$ como$$x \rightarrow p$$$$(p \in S),$$ probar lo siguiente:
(i) Si$$q>r,$$ entonces
\ [
(\ existe\ delta>0)\ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad f (x) >g (x).
\]
(ii) (Pasaje al límite en las desigualdades.) Si
\ [
(\ forall\ delta>0)\ left (\ existe x\ in A\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad f (x)\ leq g (x),
\]
entonces$$q \leq r .$$ (Observe que aquí los$$A$$ clústeres en$$p$$ necesariamente, entonces los límites son únicos.)
[Pista: Proceder como en Problema de$$6 ;$$ uso Corolario 1 del Capítulo$$3, §15 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Hacer Problemas 6 y 7 usando solo la Definición 2 de §1.
$$[\text { Hint: Here prove } 7(\text { ii }) \text { first. }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Hacer Ejemplos$$(a)-(d)$$ de §1 usando el Teorema 1.
[Pista: Para$$(\mathrm{c}),$$ usar también el Ejemplo (a) en el Capítulo$$3, §16 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

La suma y multiplicación en$$E^{1}$$ pueden tratarse como funciones
\ [
f, g: E^ {2}\ fila derecha E^ {1}
\]
con
\ [
f (x, y) =x+y\ text {y} g (x, y) =x y.
\]
Demostrar eso$$f$$ y$$g$$ son continuos$$E^{2}$$ (ver nota 2 en el Capítulo 3 §15). Del mismo modo, mostrar que la métrica estándar

\ [\ rho (x, y) =|x-y|
\]
es un mapeo continuo de$$E^{2}$$ a$$E^{1}$$.
$$[\text { Hint: Use Theorems } 1,2, \text { and, } 4 \text { of Chapter } 3, §15 \text { and the sequential criterion. }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Usando el Corolario 2 y el$$(9),$$ hallazgo de fórmula$$\lim _{x \rightarrow 0}(1 \pm m x)^{1 / x}$$ para un fijo$$m \in N .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$\Rightarrow 12 .$$Déjalo$$a>0$$ entrar$$E^{1} .$$ Demostrar eso$$\lim _{x \rightarrow 0} a^{x}=1$$.
$$\left[\text { Hint: Let } n=f(x) \text { be the integral part of } \frac{1}{x}(x \neq 0) . \text { Verify that }\right.$$
\ [
a^ {-1/(n+1)}\ leq a^ {x}\ leq a^ {1/n}\ texto {si} a\ geq 1,
\]
con desigualdades invertidas si$$0<a<1 .$$ Luego proceder como en Ejemplo$$(\mathrm{A}),$$ señalando que

\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} a^ {1/n} =1=\ lim _ {n\ rightarrow\ infty} a^ {-1/(n+1)}
\]
por Problema 20 del Capítulo$$3, §15 .(\text { Explain! })]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\Rightarrow 13 .$$Dado$$f, g : A \rightarrow E^{*}, A \subseteq(S, \rho),$$ con
\ [
f\ leq g\ quad\ text {for} x\ text {in} G_ {\ neg p} (\ delta)\ cap A.
\]
Demostrar que
(a) si$$\lim _{x \rightarrow p} f(x)=+\infty,$$ entonces también$$\lim _{x \rightarrow p} g(x)=+\infty$$;
(b) si$$\lim _{x \rightarrow p} g(x)=-\infty,$$ entonces también$$\lim _{x \rightarrow p} f(x)=-\infty$$.
Hazlo de dos maneras:
(i) Usar definiciones únicamente, como$$\left(2^{\prime}\right)$$ en$$§1$$.
(ii) Utilizar el Problema 10 del Capítulo 2, §13 y el criterio secuencial.

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\Rightarrow 14 .$$Demostrar que
(i) si$$a>1$$ en$$E^{1},$$ entonces

\ [\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x} =+\ infty\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x} =0;
\]
(ii) si$$0<a<1,$$ entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x} =0\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x} =+\ infty;
\]
(iii) si$$a>1$$ y$$0 \leq q \in E^{1},$$ luego

\ [\ lim _ {x\ derecha +\ infty}\ frac ac {a^ {x}} {x^ {q}} =+\ infty\ texto { y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {-x}} {x^ {q}} =0;
\]
$$(\text { iv })$$ si$$0<a<1$$ y$$0 \leq q \in E^{1},$$ entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha+\ infty}\ frac {a^ {x}} {x^ {q}} =0\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha+\ ty}\ frac {a^ {-x}} {x^ {q}} =+\ infty.
\]
[Pista: (i) De los Problemas 17 y 10 del Capítulo$$3, §15,$$ obtener
\ [
\ lim\ frac {a^ {n}} {n} =+\ infty.
\]
Luego proceder como en los Ejemplos$$(\mathrm{A})-(\mathrm{C}) ;$$ (iii) reduce a (i) por el método utilizado en el
Problema 18 del Capítulo$$3, §15 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$\Rightarrow * 15 .$$Para un mapa$$f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),$$ mostrar que las siguientes declaraciones son equivalentes:
(i)$$f$$ es continuo en$$S$$.
ii)$$(\forall A \subseteq S) f[\overline{A}] \subseteq \overline{f[A]}$$.
iii)$$(\forall B \subseteq T) f^{-1}[\overline{B}] \supseteq \overline{f^{-1}[B]}$$.
(iv)$$f^{-1}[B]$$ se cierra en$$(S, \rho)$$ cada vez que$$B$$ se cierra en$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$.
(v)$$f^{-1}[B]$$ está abierto en$$(S, \rho)$$ siempre que$$B$$ esté abierto en$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$.
[Consejos:$$(i) \Longrightarrow(\mathrm{ii})$$: Usa el Teorema 3 del Capítulo} 3, §16 y el criterio secuencial para mostrar que
\ [
p\ in\ overline {A}\ Longrightarrow f (p)\ in\ overline {f [A]}.
\]
(ii)$$\Longrightarrow(\text { iii }) :$$ Vamos$$A=f^{-1}[B] .$$$$f[A] \subseteq B,$$ Entonces por$$(\text { ii })$$,
\ [
f [\ overline {A}]\ subseteq\ overline {f [A]}\ subseteq\ overline {B}.
\]
De ahí
\ [
\ overline {f^ {-1} [B]} =\ overline {A}\ subseteq f^ {-1} [f [\ overline {A}]]\ subseteq f^ {-1} [\ overline {B}]. \ quad\ text {(¿Por qué?) }
\]
(iii)$$\Longrightarrow(\mathrm{iv}) :$$ Si$$B$$ está cerrado,$$B=\overline{B}$$ (Capítulo 3, §16, Teorema 4 (ii)), así por (iii),
\ [
f^ {-1} [B] =f^ {-1} [\ overline {B}]\ supseteq\ overline {f^ {-1} [B]};\ text {deducir (iv)}.
\]
$$(\mathrm{iv}) \Longrightarrow(\mathrm{v}) :$$ Pasar a complementos en$$(\mathrm{iv})$$.
$$(\mathrm{v}) \Longrightarrow(\mathrm{i}) :$$Asumir$$(\mathrm{v}) .$$ Tome cualquiera$$p \in S$$ y use la Definición 1 en$$§1 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Dejar$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ ser continuo. Definir$$g : E^{1} \rightarrow E^{2}$$ por
\ [
g (x) =( x, f (x)).
\]
Demostrar que
(a)$$g$$ y$$g^{-1}$$ son uno a uno y continuos;
(b) el rango de$$g,$$ i.e., el conjunto
\ [
D_ {g} ^ {\ prime} =\ left\ {(x, f (x)) | x\ in E^ {1}\ right\},
\]
es cerrado en$$E^{2}$$.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 3, §15, Teorema 4 del Capítulo 3, §16, y el criterio secuencial.]

4.2.E: Más Problemas en Límites y Continuidad is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.