4.5: Función Monotone
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\(A \subseteq E^{*},\)Se dice que una función\(f : A \rightarrow E^{*},\) con no disminuye en un conjunto\(B \subseteq A\) iff
\[x \leq y\text{ implies } f(x) \leq f(y)\text{ for } x, y \in B.\]
Se dice que no está aumentando en\(B\) iff
\[x \leq y\text{ implies } f(x) \geq f(y)\text{ for } x, y \in B.\]
Notación:\(f \uparrow\) y\(f \downarrow(\text { on } B),\) respectivamente.
En ambos casos,\(f\) se dice que es monótona o monótona en\(B.\) Si también\(f\) es uno a uno en\(B\) (es decir, cuando se restringe a\(B\)), decimos que es estrictamente monótona (aumentando si\(f \uparrow\) y disminuyendo si\(f \downarrow\)).
Claramente,\(f\) es no decreciente si\(-f=(-1) f\) la función no aumenta. Así, en las pruebas, necesitamos considerar sólo el caso\(f \uparrow\). El caso se\(f \downarrow\) reduce al aplicar el resultado a\(-f.\)
Si una función\(f : A \rightarrow E^{*}\left(A \subseteq E^{*}\right)\) es monótona en\(A,\) ella tiene un límite izquierdo y uno derecho (posiblemente infinito) en cada punto\(p \in E^{*}\).
En particular, si\(f \uparrow\) en un intervalo\((a, b) \neq \emptyset,\) entonces
\[f\left(p^{-}\right)=\sup _{a<x<p} f(x)\text{ for } p \in(a, b]\]
y
\[f\left(p^{+}\right)=\inf _{p<x<b} f(x)\text{ for } p \in[a, b).\]
(En caso de\(f \downarrow,\) intercambio “sup” e “inf.”)
- Prueba
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Para arreglar ideas, asuma\(f \uparrow\).
Let\(p \in E^{*}\) and\(B=\{x \in A | x<p\} .\) Put\(q=\sup f[B]\) (este sup siempre existe en\(E^{*} ;\) ver Capítulo 2, §13). Demostraremos que\(q\) es un límite izquierdo de\(f\) at\(p\) (es decir, un límite izquierdo sobre\(B\)).
Hay tres casos posibles:
(1) Si\(q\) es finito, cualquier globo\(G_{q}\) es un intervalo\((c, d), c<q<d,\) en\(E^{1}\). Como\(c<q=\sup f[B], c\) no puede ser un límite superior de\(f[B]\) (¿por qué? , por lo que\(c\) es rebasado por algunos\(f\left(x_{0}\right), x_{0} \in B.\) Así
\[c<f\left(x_{0}\right), x_{0}<p.\]
De ahí como ciertamente\(f \uparrow,\) tenemos
\[c<f\left(x_{0}\right) \leq f(x)\text{ for all } x>x_{0}\text{ }(x \in B).\]
Además, como\(f(x) \in f[B],\) tenemos
\[f(x) \leq \sup f[B]=q<d,\]
por lo que\(c<f(x)<d ;\) es decir,\(f(x) \in(c, d)=G_{q}\).
Por lo tanto, hemos demostrado que
\[\left(\forall G_{q}\right)\left(\exists x_{0}<p\right)\left(\forall x \in B | x_{0}<x\right) \quad f(x) \in G_{q},\]
así\(q\) es un límite a la izquierda en\(p\).
(2) Si\(q=+\infty,\) la misma prueba funciona con\(G_{q}=(c,+\infty].\) Verify!
(3) Si\(q=-\infty,\) entonces
\[(\forall x \in B) \quad f(x) \leq \sup f[B]=-\infty,\]
es decir,\(f(x) \leq-\infty,\) entonces\(f(x)=-\infty\) (constante) encendido\(B\). De ahí también\(q\) hay un límite izquierdo en\(p\) (§1, Ejemplo (a)).
En particular, si\(f \uparrow\) en\(A=(a, b)\) con\(a, b \in E^{*}\) y\(a<b,\) luego\(B=\)\((a, p)\) para\(p \in(a, b] .\) Aquí\(p\) hay un punto de clúster de la ruta\(B\) (Capítulo 3, §14, Ejemplo (h)), por lo que\(f\left(p^{-}\right)\) existe un límite izquierdo único. Por lo que se mostró anteriormente,
\[q=f\left(p^{-}\right)=\sup f[B]=\sup _{a<x<p} f(x),\text{ as claimed.}\]
Así todo está probado para los límites izquierdos.
La prueba de los límites correctos es bastante similar; uno solo tiene que establecer
\[B=\{x \in A | x>p\}, q=\inf f[B] . \quad \square\]
Nota 1. La segunda cláusula del Teorema 1 sostiene aunque\((a, b)\) sea sólo un subconjunto de\(A,\) para los límites en cuestión no se ven afectados por la restricción\(f\) a\((a, b).\) (¿Por qué?) Los puntos finales\(a\) y\(b\) pueden ser finitos o infinitos.
Nota 2. Si\(D_{f}=A=N\) (los naturales), entonces por definición,\(f : N \rightarrow E^{*}\) es una secuencia con término general\(x_{m}=f(m), m \in N\) (ver §1, Nota 2). Después fijando\(p=+\infty\) en la prueba del Teorema 1, obtenemos el Teorema 3 del Capítulo 3, §15. (¡Verifica!)
La función exponencial\(F : E^{1} \rightarrow E^{1}\) a la base\(a>0\) viene dada por
\[F(x)=a^{x}.\]
Es monótona (Capítulo 2, §§11-12, fórmula (1)), así\(F\left(0^{-}\right)\) y\(F\left(0^{+}\right)\) existe. Por el criterio secuencial (Teorema 1 de §2), podemos usar una secuencia adecuada para encontrar\(F\left(0^{+}\right),\) y elegimos\(x_{m}=\frac{1}{m} \rightarrow 0^{+}.\) Entonces
\[F\left(0^{+}\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} F\left(\frac{1}{m}\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} a^{1 / m}=1\]
(véase Capítulo 3, §15, Problema 20).
De igual manera, tomando\(x_{m}=-\frac{1}{m} \rightarrow 0^{-},\) obtenemos\(F\left(0^{-}\right)=1.\) Así
\[F\left(0^{+}\right)=F\left(0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0} a^{x}=1.\]
(Ver también Problema 12 del §2.)
A continuación, arregle cualquier\(p \in E^{1} .\) Señalando que
\[F(x)=a^{x}=a^{p+x-p}=a^{p} a^{x-p},\]
nos fijamos\(y=x-p.\) (¿Por qué es admisible esta sustitución?) Entonces\(y \rightarrow 0\) como\(x \rightarrow p,\) así conseguimos
\[\lim _{x \rightarrow p} F(x)=\lim a^{p} \cdot \lim _{x \rightarrow p} a^{x-p}=a^{p} \lim _{y \rightarrow 0} a^{y}=a^{p} \cdot 1=a^{p}=F(p).\]
Como\(\lim _{x \rightarrow p} F(x)=F(p), F\) es continuo en cada\(p \in E^{1}.\) Así todos los exponenciales son continuos.
Si una función\(f : A \rightarrow E^{*}\left(A \subseteq E^{*}\right)\) no disminuye en un intervalo finito o infinito\(B=(a, b) \subseteq A\) y si\(p \in(a, b),\) entonces
\[f\left(a^{+}\right) \leq f\left(p^{-}\right) \leq f(p) \leq f\left(p^{+}\right) \leq f\left(b^{-}\right),\]
y para\(x \in(a, b)\) no tenemos
\[f\left(p^{-}\right)<f(x)<f(p)\text{ or } f(p)<f(x)<f\left(p^{+}\right) ;\]
de manera similar en caso\(f \downarrow\) (con todas las desigualdades invertidas).
- Prueba
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Por Teorema 1,\(f \uparrow\) on\((a, p)\) implica
\[f\left(a^{+}\right)=\inf _{a<x<p} f(x)\text{ and } f\left(p^{-}\right)=\sup _{a<x<p} f(x);\]
así ciertamente\(f\left(a^{+}\right) \leq f\left(p^{-}\right).\) Como también\(f \uparrow,\) tenemos\(f(p) \geq f(x)\) para todos de\(x \in\)\((a, p);\) ahí
\[f(p) \geq \sup _{a<x<p} f(x)=f\left(p^{-}\right).\]
Así
\[f\left(a^{+}\right) \leq f\left(p^{-}\right) \leq f(p);\]
de manera similar para el resto de (1).
Por otra parte, si\(a<x<p,\) entonces\(f(x) \leq f\left(p^{-}\right)\) desde
\[f\left(p^{-}\right)=\sup _{a<x<p} f(x).\]
Si, sin embargo,\(p \leq x<b,\) entonces\(f(p) \leq f(x)\) desde\(f \uparrow\). Así nunca lo hemos hecho de\(f\left(p^{-}\right)<f(x)<f(p).\) manera similar, se excluye\(f(p)<f(x)<f(x)<f\left(p^{+}\right) .\) Esto completa la prueba. \(\square\)
Nota 3. Si\(f\left(p^{-}\right), f\left(p^{+}\right),\) y\(f(p)\) existe (todo finito), entonces
\[\left|f(p)-f\left(p^{-}\right)\right|\text{ and } \left|f\left(p^{+}\right)-f(p)\right|\]
se llaman, respectivamente, los saltos izquierdo y derecho de\(f\) en\(p;\) su suma es el salto (total) en\(p.\) Si\(f\) es monótono, el salto es igual\(\left|f\left(p^{+}\right)-f\left(p^{-}\right)\right|.\)
Para un ejemplo gráfico, considere la Figura 14 en §1. Aquí\(f(p)=f\left(p^{-}\right)\) (ambos finitos\(),\) por lo que el salto izquierdo es\(0.\) Sin embargo,\(f\left(p^{+}\right)>f(p),\) por lo que el salto derecho es mayor que\(0.\) Desde
\[f(p)=f\left(p^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow p^{-}} f(x),\]
\(f\)se deja continuo (pero no continuo a la derecha) en\(p\).
Si\(f : A \rightarrow E^{*}\) es monótona en un intervalo finito o infinito\((a, b)\) contenido en\(A,\) entonces todas sus discontinuidades en\((a, b),\) si las hay, son “saltos”,
es decir, puntos\(p\) en los que\(f\left(p^{-}\right)\) y\(f\left(p^{+}\right)\) existen, pero\(f\left(p^{-}\right) \neq f(p)\) o\(f\left(p^{+}\right) \neq f(p).\)
- Prueba
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Por teorema 1,\(f\left(p^{-}\right)\) y\(f\left(p^{+}\right)\) existir en cada uno\(p \in(a, b)\).
Si, además,\(f\left(p^{-}\right)=f\left(p^{+}\right)=f(p),\) entonces
\[\lim _{x \rightarrow p} f(x)=f(p)\]
por Corolario 3 de §1, por lo que f es continuo en\(p\). Por lo tanto, las discontinuidades ocurren solo si\(f\left(p^{-}\right) \neq f(p)\) o\(f\left(p^{+}\right) \neq f(p). \square\)