4.5.E: Problemas en las funciones monótona
- Page ID
- 113861
Completar las pruebas de Teoremas 1 y\(2 .\) Dar también una prueba independiente (análoga) para funciones no crecientes.
Discutir Ejemplos\((\mathrm{d})\) y\((\mathrm{e})\) de §1 nuevamente usando Teoremas\(1-3\).
Mostrar que el Teorema 3 sostiene también si\(f\) es monótona por partes en\((a, b),\) es decir, monótona en cada una de una secuencia de intervalos cuya unión es\((a, b) .\)
Considera la función monótona\(f\) definida en los Problemas 5 y 6 del Capítulo 3, §11. Demostrar que bajo la métrica estándar en\(E^{1}, f\) es continuo\(E^{1}\) y\(f^{-1}\) es continuo en\((0,1) .\) Además, discutir la continuidad bajo la métrica\(\rho^{\prime} .\)
\(\Rightarrow\)5. Demostrar que si\(f\) es monótona en\((a, b) \subseteq E^{*},\) ella tiene a lo sumo contablemente muchas discontinuidades en\((a, b)\).
[Pista: Dejar\(f \uparrow .\) Por Teorema\(3,\) todas las discontinuidades de\(f\) corresponden a intervalos mutuamente disjuntos\(\left(f\left(p^{-}\right), f\left(p^{+}\right)\right) \neq \emptyset .\) (¿Por qué?) Escoja un racional de cada uno de esos intervalos, de modo que estos racionales correspondan uno a uno a las discontinuidades y formen un conjunto contable (Capítulo 1, §9)].
Continuando el Problema 17 del Capítulo 3, §14, vamos
\ [
G_ {11} =\ izquierda (\ frac {1} {3},\ frac {2} {3}\ derecha),\ quad G_ {21} =\ izquierda (\ frac {1} {9},\ frac {2} {9}\ derecha), G_ {22} =\ izquierda (\ frac {7} {9},\ frac {8} {9}\ derecha),\ text {y así sucesivamente;}
\] es
decir,\(G_{m i}\) es el \(i\)th intervalo abierto eliminado de\([0,1]\) en el paso\(m\) th del proceso\( (i=1,2, \ldots, 2^{m-1}, m=1,2, \ldots \text { ad infinitum} )\).
Defina de la\(F :[0,1] \rightarrow E^{1}\) siguiente manera:
(i)\(F(0)=0\); (ii) si\(x \in G_{m i},\) entonces\(F(x)=\frac{2 i-1}{2^{m}} ;\) y
(iii) si\(x\) está en ninguno de los\(G_{m i}(\text { i.e., } x \in P),\) entonces
\ [
F (x) =\ sup\ {F (y) | y\ in\ bigcup_ {m, i} G_ {m i}, y<x\}.
\]
Mostrar que\(F\) es no decreciente y continuo en\([0,1]\). (\(F\)se llama función de Cantor.)
Replantear el teorema 3 para el caso donde\(f\) es monótona sobre\(A,\) donde\(A\) es un intervalo (no necesariamente abierto). ¿Qué tal los puntos finales de\(A ?\)