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# 4.5.E: Problemas en las funciones monótona

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar las pruebas de Teoremas 1 y$$2 .$$ Dar también una prueba independiente (análoga) para funciones no crecientes.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Discutir Ejemplos$$(\mathrm{d})$$ y$$(\mathrm{e})$$ de §1 nuevamente usando Teoremas$$1-3$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que el Teorema 3 sostiene también si$$f$$ es monótona por partes en$$(a, b),$$ es decir, monótona en cada una de una secuencia de intervalos cuya unión es$$(a, b) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Considera la función monótona$$f$$ definida en los Problemas 5 y 6 del Capítulo 3, §11. Demostrar que bajo la métrica estándar en$$E^{1}, f$$ es continuo$$E^{1}$$ y$$f^{-1}$$ es continuo en$$(0,1) .$$ Además, discutir la continuidad bajo la métrica$$\rho^{\prime} .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$\Rightarrow$$5. Demostrar que si$$f$$ es monótona en$$(a, b) \subseteq E^{*},$$ ella tiene a lo sumo contablemente muchas discontinuidades en$$(a, b)$$.
[Pista: Dejar$$f \uparrow .$$ Por Teorema$$3,$$ todas las discontinuidades de$$f$$ corresponden a intervalos mutuamente disjuntos$$\left(f\left(p^{-}\right), f\left(p^{+}\right)\right) \neq \emptyset .$$ (¿Por qué?) Escoja un racional de cada uno de esos intervalos, de modo que estos racionales correspondan uno a uno a las discontinuidades y formen un conjunto contable (Capítulo 1, §9)].

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Continuando el Problema 17 del Capítulo 3, §14, vamos
\ [
G_ {11} =\ izquierda (\ frac {1} {3},\ frac {2} {3}\ derecha),\ quad G_ {21} =\ izquierda (\ frac {1} {9},\ frac {2} {9}\ derecha), G_ {22} =\ izquierda (\ frac {7} {9},\ frac {8} {9}\ derecha),\ text {y así sucesivamente;}
\] es
decir,$$G_{m i}$$ es el $$i$$th intervalo abierto eliminado de$$[0,1]$$ en el paso$$m$$ th del proceso$$(i=1,2, \ldots, 2^{m-1}, m=1,2, \ldots \text { ad infinitum} )$$.
Defina de la$$F :[0,1] \rightarrow E^{1}$$ siguiente manera:

(i)$$F(0)=0$$; (ii) si$$x \in G_{m i},$$ entonces$$F(x)=\frac{2 i-1}{2^{m}} ;$$ y
(iii) si$$x$$ está en ninguno de los$$G_{m i}(\text { i.e., } x \in P),$$ entonces
\ [
F (x) =\ sup\ {F (y) | y\ in\ bigcup_ {m, i} G_ {m i}, y<x\}.
\]
Mostrar que$$F$$ es no decreciente y continuo en$$[0,1]$$. ($$F$$se llama función de Cantor.)

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Replantear el teorema 3 para el caso donde$$f$$ es monótona sobre$$A,$$ donde$$A$$ es un intervalo (no necesariamente abierto). ¿Qué tal los puntos finales de$$A ?$$

4.5.E: Problemas en las funciones monótona is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.