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# 4.6: Conjuntos Compactos

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Ahora hacemos una pausa para considerar un tipo de conjuntos muy importante. En el Capítulo 3, §16, mostramos que cada secuencia$$\left\{\overline{z}_{m}\right\}$$ tomada de un intervalo cerrado$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ en$$E^{n}$$ debe agruparse en él (Nota 1 del Capítulo 3, §16). Hay otros conjuntos con la misma propiedad notable. Esto nos lleva a la siguiente definición.

## Definición: compacto secuencialmente

Se dice que un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ es secuencialmente compacto (brevemente compacto) si cada secuencia se$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$ agrupa en algún momento$$p$$ en$$A .$$

Si todo$$S$$ es compacto, decimos que el espacio métrico$$(S, \rho)$$ es compacto.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Cada intervalo cerrado en$$E^{n}$$ es compacto (ver arriba).

(a') Sin embargo, los intervalos no cerrados, y$$E^{n}$$ en sí mismos, no son compactos.

Por ejemplo, la secuencia$$x_{n}=1 / n$$ está adentro$$(0,1] \subset E^{1},$$ pero se agrupa solo en el$$0,$$ exterior$$(0,1] .$$ Como otro ejemplo, la secuencia no$$x_{n}=n$$ tiene puntos de clúster en$$E^{1} .$$ Así$$(0,1]$$$$E^{1}$$ y no puede ser compacta (aunque$$E^{1}$$ esté completa); de manera similar para$$E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right) .$$

(b) Cualquier conjunto finito$$A \subseteq(S, \rho)$$ es compacto. En efecto, una secuencia infinita en tal conjunto debe tener al menos un término infinitamente repetitivo$$p \in A .$$ Entonces por definición, este$$p$$ es un punto de cúmulo (ver Capítulo 3, §14, Nota 1).

(c) El conjunto vacío es compacto “al vacío” (no contiene secuencias).

d)$$E^{*}$$ es compacto. Ver Ejemplo$$(\mathrm{g})$$ en el Capítulo 3, §14.

Otros ejemplos pueden derivarse de los teoremas que siguen.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si un conjunto$$B \subseteq(S, \rho)$$ es compacto, también lo es cualquier subconjunto cerrado$$A \subseteq B$$.

Prueba

Debemos demostrar que cada secuencia se$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$ agrupa en alguna$$p \in A$$. No obstante, como$$A \subseteq B,\left\{x_{m}\right\}$$ es también en$$B,$$ así por la compacidad de la$$B,$$ misma se agrupa en algunos$$p \in B .$$ Así queda por mostrar eso$$p \in A$$ también.

Ahora por Teorema 1 del Capítulo$$3, §16,\left\{x_{m}\right\}$$ tiene una subsecuencia$$x_{m_{k}} \rightarrow p$$. Como$$\left\{x_{m_{k}}\right\} \subseteq A$$ y$$A$$ está cerrado, esto implica$$p \in A$$ (Teorema 4 en el Capítulo$$3,$$$$§16) . \quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Cada juego compacto$$A \subseteq(S, \rho)$$ está cerrado.

Prueba

Dado que$$A$$ es compacto, debemos mostrar (por el Teorema 4 en el Capítulo 3, §16) que$$A$$ contiene el límite de cada secuencia convergente$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$.

Así vamos$$x_{m} \rightarrow p,\left\{x_{m}\right\} \subseteq A .$$ As$$A$$ es compacto, la secuencia se$$\left\{x_{m}\right\}$$ agrupa en alguna$$q \in A,$$ es decir, tiene una subsecuencia$$x_{m_{k}} \rightarrow q \in A .$$ Sin embargo, el límite de la subsecuencia debe ser el mismo que el de toda la secuencia. Así$$p=q \in A$$; es decir,$$p$$ está en$$A,$$ lo requerido. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Cada conjunto compacto$$A \subseteq(S, \rho)$$ está acotado.

Prueba

Por Problema 3 en el Capítulo 3, §13, basta con mostrar que$$A$$ está contenido en alguna unión finita de globos. Así fijamos algún radio arbitrario$$\varepsilon>0$$ y, buscando una contradicción, asumimos que$$A$$ no puede por ningún número finito de globos de ese radio.

Entonces si$$x_{1} \in A,$$ el globo$$G_{x_{1}}(\varepsilon)$$ no cubre$$A,$$ entonces hay un punto$$x_{2} \in A$$ tal que

$x_{2} \notin G_{x_{1}}(\varepsilon), \text{ i.e., } \rho\left(x_{1}, x_{2}\right) \geq \varepsilon$

Por nuestra suposición, ni siquiera$$A$$ está cubierto por$$G_{x_{1}}(\varepsilon) \cup G_{x_{2}}(\varepsilon) .$$ Así hay un punto$$x_{3} \in A$$ con

$x_{3} \notin G_{x_{1}}(\varepsilon) \text{ and } x_{3} \notin G_{x_{2}}(\varepsilon), \text{ i.e., } \rho\left(x_{3}, x_{1}\right) \geq \varepsilon \text{ and } \rho\left(x_{3}, x_{2}\right) \geq \varepsilon.$

Nuevamente, no$$A$$ está cubierto por$$\bigcup_{i=1}^{3} G_{x_{i}}(\varepsilon),$$ lo que hay un punto$$x_{4} \in A$$ no en esa unión; sus distancias de$$x_{1}, x_{2},$$ y por lo tanto$$x_{3}$$ deben ser$$\geq \varepsilon$$.

Dado que nunca$$A$$ está cubierto por ningún número finito de$$\varepsilon$$ -globos, podemos continuar este proceso indefinidamente (por inducción) y así seleccionar una secuencia infinita$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A,$$ con todos sus términos al menos$$\varepsilon$$ -aparte unos de otros.

Ahora bien, como$$A$$ es compacta, esta secuencia debe tener una subsecuencia convergente$$\left\{x_{m_{k}}\right\},$$ que es entonces ciertamente Cauchy (por el Teorema 1 del Capítulo 3, §17). Esto es imposible, sin embargo, ya que sus términos están a distancias$$\geq \varepsilon$$ entre sí, contrariamente a la Definición 1 del Capítulo 3, §17. Esta contradicción completa la prueba. $$\square$$

Nota 1. En realidad hemos demostrado más de lo requerido,$$\varepsilon>0$$ es decir, que no importa lo pequeño que sea,$$A$$ puede ser cubierto por finitamente muchos globos de radio$$\varepsilon$$ con centros en$$A .$$ Esta propiedad se llama total boundedness (Capítulo 3, §13, Problema 4).

Nota 2. Así, todos los conjuntos compactos están cerrados y acotados. Lo contrario falla en los espacios métricos en general (ver Problema 2 a continuación). En$$E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right),$$ sin embargo, lo contrario es igualmente cierto, como mostramos a continuación.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

En$$E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)$$ un conjunto es compacto iff está cerrado y acotado.

Prueba

De hecho, si un conjunto$$A \subseteq E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ está acotado, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass, cada secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$ tiene una subsecuencia convergente$$x_{m_{k}} \rightarrow p .$$ Si también$$A$$ está cerrada, el punto límite$$p$$ debe pertenecer a$$A$$ sí mismo.

Por lo tanto, cada secuencia se$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A$$ agrupa$$p$$ en algunos en$$A,$$ así$$A$$ es compacta.

Lo contrario es obvio. $$\square$$

Nota 3. En particular, cada globo cerrado en$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)$$ es compacto ya que está acotado y cerrado (Capítulo 3, §12, Ejemplo$$(6) ),$$ así se aplica el teorema 4.

Lo contrario es obvio. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

$F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots \supseteq F_{m} \supseteq \cdots$

en un espacio métrico$$(S, \rho)$$ tiene una intersección no vacía; es decir, algunos$$p$$ pertenecen a todos$$F_{m} .$$

Para juegos completos,$$F_{m},$$ esto también se mantiene, siempre que los diámetros de los juegos$$F_{m}$$ tiendan a$$0 : d F_{m} \rightarrow 0 .$$

Prueba

Primero probamos el teorema para series completas.

Como$$F_{m} \neq \emptyset,$$ podemos escoger un punto$$x_{m}$$ de cada uno$$F_{m}$$ para obtener una secuencia$$\left\{x_{m}\right\}, x_{m} \in F_{m} .$$ ya que$$d F_{m} \rightarrow 0,$$ es fácil de ver que$$\left\{x_{m}\right\}$$ es una secuencia de Cauchy. (Los detalles se dejan al lector.) Además,

$(\forall m) \quad x_{m} \in F_{m} \subseteq F_{1}.$

Así$$\left\{x_{m}\right\}$$ es una secuencia de Cauchy en$$F_{1},$$ un conjunto completo (por suposición).

Por lo tanto, por la definición de integridad (Capítulo 3, §17),$$\left\{x_{m}\right\}$$ tiene un límite$$p \in F_{1} .$$ Este límite sigue siendo el mismo si bajamos un número finito de términos, digamos, el primero$$m-1$$ de ellos. Entonces nos quedamos con la secuencia$$x_{m}, x_{m+1}, \ldots,$$ que, por construcción, está enteramente contenida en$$F_{m}$$ (¿por qué?) , con el mismo límite P. Entonces, sin embargo, la integridad de$$F_{m}$$ implica eso$$p \in F_{m}$$ también. Como aquí$$m$$ es arbitrario, se deduce que$$(\forall m) p \in F_{m},$$ es decir,

$p \in \bigcap_{m=1}^{\infty} F_{m}, \text{ as claimed.}$

La prueba para conjuntos compactos es análoga e incluso más simple. Aquí no$$\left\{x_{m}\right\}$$ tiene por qué haber una secuencia de Cauchy. En su lugar, usando la compacidad de$$F_{1},$$ seleccionamos de$$\left\{x_{m}\right\}$$ una subsecuencia$$x_{m_{k}} \rightarrow p \in F_{1}$$ y luego procedemos como arriba. $$\square$$

Nota 4. En particular, en$$E^{n}$$ podemos dejar que los conjuntos$$F_{m}$$ sean intervalos cerrados (ya que son compactos). Entonces el Teorema 5 arroja el principio de intervalos anidados: Cada secuencia de contracciones de intervalos cerrados en$$E^{n}$$ tiene una intersección no vacía. (Para una prueba independiente, vea el Problema 8 a continuación.)

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