4.6: Conjuntos Compactos

Ahora hacemos una pausa para considerar un tipo de conjuntos muy importante. En el Capítulo 3, §16, mostramos que cada secuencia\(\left\{\overline{z}_{m}\right\}\) tomada de un intervalo cerrado\([\overline{a}, \overline{b}]\) en\(E^{n}\) debe agruparse en él (Nota 1 del Capítulo 3, §16). Hay otros conjuntos con la misma propiedad notable. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición: compacto secuencialmente

Se dice que un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) es secuencialmente compacto (brevemente compacto) si cada secuencia se\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) agrupa en algún momento\(p\) en\(A .\)

Si todo\(S\) es compacto, decimos que el espacio métrico\((S, \rho)\) es compacto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(a) Cada intervalo cerrado en\(E^{n}\) es compacto (ver arriba).

(a') Sin embargo, los intervalos no cerrados, y\(E^{n}\) en sí mismos, no son compactos.

Por ejemplo, la secuencia\(x_{n}=1 / n\) está adentro\((0,1] \subset E^{1},\) pero se agrupa solo en el\(0,\) exterior\((0,1] .\) Como otro ejemplo, la secuencia no\(x_{n}=n\) tiene puntos de clúster en\(E^{1} .\) Así\((0,1]\)\(E^{1}\) y no puede ser compacta (aunque\(E^{1}\) esté completa); de manera similar para\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right) .\)

(b) Cualquier conjunto finito\(A \subseteq(S, \rho)\) es compacto. En efecto, una secuencia infinita en tal conjunto debe tener al menos un término infinitamente repetitivo\(p \in A .\) Entonces por definición, este\(p\) es un punto de cúmulo (ver Capítulo 3, §14, Nota 1).

(c) El conjunto vacío es compacto “al vacío” (no contiene secuencias).

d)\(E^{*}\) es compacto. Ver Ejemplo\((\mathrm{g})\) en el Capítulo 3, §14.

Otros ejemplos pueden derivarse de los teoremas que siguen.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si un conjunto\(B \subseteq(S, \rho)\) es compacto, también lo es cualquier subconjunto cerrado\(A \subseteq B\).

Prueba

Debemos demostrar que cada secuencia se\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) agrupa en alguna\(p \in A\). No obstante, como\(A \subseteq B,\left\{x_{m}\right\}\) es también en\(B,\) así por la compacidad de la\(B,\) misma se agrupa en algunos\(p \in B .\) Así queda por mostrar eso\(p \in A\) también.

Ahora por Teorema 1 del Capítulo\(3, §16,\left\{x_{m}\right\}\) tiene una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow p\). Como\(\left\{x_{m_{k}}\right\} \subseteq A\) y\(A\) está cerrado, esto implica\(p \in A\) (Teorema 4 en el Capítulo\(3,\)\(§16) . \quad \square\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Cada juego compacto\(A \subseteq(S, \rho)\) está cerrado.

Prueba

Dado que\(A\) es compacto, debemos mostrar (por el Teorema 4 en el Capítulo 3, §16) que\(A\) contiene el límite de cada secuencia convergente\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\).

Así vamos\(x_{m} \rightarrow p,\left\{x_{m}\right\} \subseteq A .\) As\(A\) es compacto, la secuencia se\(\left\{x_{m}\right\}\) agrupa en alguna\(q \in A,\) es decir, tiene una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow q \in A .\) Sin embargo, el límite de la subsecuencia debe ser el mismo que el de toda la secuencia. Así\(p=q \in A\); es decir,\(p\) está en\(A,\) lo requerido. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Cada conjunto compacto\(A \subseteq(S, \rho)\) está acotado.

Prueba

Por Problema 3 en el Capítulo 3, §13, basta con mostrar que\(A\) está contenido en alguna unión finita de globos. Así fijamos algún radio arbitrario\(\varepsilon>0\) y, buscando una contradicción, asumimos que\(A\) no puede por ningún número finito de globos de ese radio.

Entonces si\(x_{1} \in A,\) el globo\(G_{x_{1}}(\varepsilon)\) no cubre\(A,\) entonces hay un punto\(x_{2} \in A\) tal que

\[x_{2} \notin G_{x_{1}}(\varepsilon), \text{ i.e., } \rho\left(x_{1}, x_{2}\right) \geq \varepsilon\]

Por nuestra suposición, ni siquiera\(A\) está cubierto por\(G_{x_{1}}(\varepsilon) \cup G_{x_{2}}(\varepsilon) .\) Así hay un punto\(x_{3} \in A\) con

\[x_{3} \notin G_{x_{1}}(\varepsilon) \text{ and } x_{3} \notin G_{x_{2}}(\varepsilon), \text{ i.e., } \rho\left(x_{3}, x_{1}\right) \geq \varepsilon \text{ and } \rho\left(x_{3}, x_{2}\right) \geq \varepsilon.\]

Nuevamente, no\(A\) está cubierto por\(\bigcup_{i=1}^{3} G_{x_{i}}(\varepsilon),\) lo que hay un punto\(x_{4} \in A\) no en esa unión; sus distancias de\(x_{1}, x_{2},\) y por lo tanto\(x_{3}\) deben ser\(\geq \varepsilon\).

Dado que nunca\(A\) está cubierto por ningún número finito de\(\varepsilon\) -globos, podemos continuar este proceso indefinidamente (por inducción) y así seleccionar una secuencia infinita\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A,\) con todos sus términos al menos\(\varepsilon\) -aparte unos de otros.

Ahora bien, como\(A\) es compacta, esta secuencia debe tener una subsecuencia convergente\(\left\{x_{m_{k}}\right\},\) que es entonces ciertamente Cauchy (por el Teorema 1 del Capítulo 3, §17). Esto es imposible, sin embargo, ya que sus términos están a distancias\(\geq \varepsilon\) entre sí, contrariamente a la Definición 1 del Capítulo 3, §17. Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)

Nota 1. En realidad hemos demostrado más de lo requerido,\(\varepsilon>0\) es decir, que no importa lo pequeño que sea,\(A\) puede ser cubierto por finitamente muchos globos de radio\(\varepsilon\) con centros en\(A .\) Esta propiedad se llama total boundedness (Capítulo 3, §13, Problema 4).

Nota 2. Así, todos los conjuntos compactos están cerrados y acotados. Lo contrario falla en los espacios métricos en general (ver Problema 2 a continuación). En\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right),\) sin embargo, lo contrario es igualmente cierto, como mostramos a continuación.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

En\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)\) un conjunto es compacto iff está cerrado y acotado.

Prueba

De hecho, si un conjunto\(A \subseteq E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) está acotado, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass, cada secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) tiene una subsecuencia convergente\(x_{m_{k}} \rightarrow p .\) Si también\(A\) está cerrada, el punto límite\(p\) debe pertenecer a\(A\) sí mismo.

Por lo tanto, cada secuencia se\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A\) agrupa\(p\) en algunos en\(A,\) así\(A\) es compacta.

Lo contrario es obvio. \(\square\)

Nota 3. En particular, cada globo cerrado en\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)\) es compacto ya que está acotado y cerrado (Capítulo 3, §12, Ejemplo\((6) ),\) así se aplica el teorema 4.

Lo contrario es obvio. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{5}\)

(Principio de Cantor de conjuntos cerrados anidados). Cada secuencia de contracciones de conjuntos compactos no vacíos

\[F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots \supseteq F_{m} \supseteq \cdots\]

en un espacio métrico\((S, \rho)\) tiene una intersección no vacía; es decir, algunos\(p\) pertenecen a todos\(F_{m} .\)

Para juegos completos,\(F_{m},\) esto también se mantiene, siempre que los diámetros de los juegos\(F_{m}\) tiendan a\(0 : d F_{m} \rightarrow 0 .\)

Prueba

Primero probamos el teorema para series completas.

Como\(F_{m} \neq \emptyset,\) podemos escoger un punto\(x_{m}\) de cada uno\(F_{m}\) para obtener una secuencia\(\left\{x_{m}\right\}, x_{m} \in F_{m} .\) ya que\(d F_{m} \rightarrow 0,\) es fácil de ver que\(\left\{x_{m}\right\}\) es una secuencia de Cauchy. (Los detalles se dejan al lector.) Además,

\[(\forall m) \quad x_{m} \in F_{m} \subseteq F_{1}.\]

Así\(\left\{x_{m}\right\}\) es una secuencia de Cauchy en\(F_{1},\) un conjunto completo (por suposición).

Por lo tanto, por la definición de integridad (Capítulo 3, §17),\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene un límite\(p \in F_{1} .\) Este límite sigue siendo el mismo si bajamos un número finito de términos, digamos, el primero\(m-1\) de ellos. Entonces nos quedamos con la secuencia\(x_{m}, x_{m+1}, \ldots,\) que, por construcción, está enteramente contenida en\(F_{m}\) (¿por qué?) , con el mismo límite P. Entonces, sin embargo, la integridad de\(F_{m}\) implica eso\(p \in F_{m}\) también. Como aquí\(m\) es arbitrario, se deduce que\((\forall m) p \in F_{m},\) es decir,

\[p \in \bigcap_{m=1}^{\infty} F_{m}, \text{ as claimed.}\]

La prueba para conjuntos compactos es análoga e incluso más simple. Aquí no\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene por qué haber una secuencia de Cauchy. En su lugar, usando la compacidad de\(F_{1},\) seleccionamos de\(\left\{x_{m}\right\}\) una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow p \in F_{1}\) y luego procedemos como arriba. \(\square\)

Nota 4. En particular, en\(E^{n}\) podemos dejar que los conjuntos\(F_{m}\) sean intervalos cerrados (ya que son compactos). Entonces el Teorema 5 arroja el principio de intervalos anidados: Cada secuencia de contracciones de intervalos cerrados en\(E^{n}\) tiene una intersección no vacía. (Para una prueba independiente, vea el Problema 8 a continuación.)