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I. Algunos teoremas importantes adicionales se aplican a funciones que son continuas en un conjunto compacto (ver §6).

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho),$$ es relativamente continua en un conjunto compacto$$B \subseteq A,$$, entonces$$f[B]$$ es un conjunto compacto en$$\left(T, \rho^{\prime}\right) .$$ Brevemente,

$\text{the continuous image of a compact set is compact.}$

Prueba

Para demostrar que$$f[B]$$ es compacto, tomamos cualquier secuencia$$\left\{y_{m}\right\} \subseteq f[B]$$ y demostramos que se agrupa en alguna$$q \in f[B]$$.

En$$y_{m} \in f[B], y_{m}=f\left(x_{m}\right)$$ cuanto a algunos$$x_{m}$$ en$$B .$$ Escogemos tal$$x_{m} \in B$$ para cada uno obteniendo$$y_{m},$$ así una secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq B$$ con

$f\left(x_{m}\right)=y_{m}, \quad m=1,2, \ldots$

Ahora por la compacidad asumida de$$B,$$ la secuencia$$\left\{x_{m}\right\}$$ debe agruparse en alguna$$p \in B .$$ Así tiene una subsecuencia$$x_{m_{k}} \rightarrow p .$$ Como$$p \in B,$$ la función$$f$$ es relativamente continua a$$p$$ más$$B$$ (por suposición). Por lo tanto, por el criterio secuencial$$(§ 2), x_{m_{k}} \rightarrow p$$ implica$$f\left(x_{m_{k}}\right) \rightarrow f(p) ;$$ i.e.

$y_{m_{k}} \rightarrow f(p) \in f[B].$

Así$$q=f(p)$$ es el punto de agrupación deseado de$$\left\{y_{m}\right\} . \square$$

Este teorema puede ser utilizado para demostrar la compacidad de varios conjuntos.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(1) Un segmento de línea cerrada$$L[\overline{a}, \overline{b}]$$ adentro$$E^{n}\left(^{*} \text { and in other normed spaces }\right)$$ es compacto, para, por definición,

$L[\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t \leq 1\}, \text{ where } \vec{u}=\overline{b}-\overline{a}.$

Así$$L[\overline{a}, \overline{b}]$$ es la imagen del intervalo compacto$$[0,1] \subseteq E^{1}$$ bajo el$$\operatorname{map} f : E^{1} \rightarrow E^{n},$$ dado por el$$f(t)=\overline{a}+t \vec{u},$$ cual es continuo por el Teorema 3 de §3. (¿Por qué?)

(2) El elipsoide sólido cerrado en$$E^{3},$$

$\left\{(x, y, z) | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right\},$

es compacto, siendo la imagen de un globo compacto bajo un mapa continuo adecuado. Los detalles se dejan al lector como ejercicio.

## lema$$\PageIndex{1}$$

Cada conjunto compacto no vacío$$F \subseteq E^{1}$$ tiene un máximo y un mínimo.

Prueba

Por Teoremas 2 y 3 de §6,$$F$$ está cerrado y acotado. Así$$F$$ tiene un infimum y un supremo en$$E^{1}$$ (por el axioma completo), digamos,$$p=\inf F$$ y$$q=\sup F .$$ queda por demostrar que$$p, q \in F .$$

Supongamos lo contrario, digamos,$$q \notin F .$$ Entonces por propiedades de suprema, cada globo$$G_{q}(\delta)=(q-\delta, q+\delta)$$ contiene algunos$$x \in B$$ (específicamente,$$q-\delta<x<q )$$ otros que no sean$$q(\text { for } q \notin B, \text { while } x \in B) .$$ Así

$(\forall \delta>0) \quad F \cap G_{\neg q}(\delta) \neq \emptyset;$

es decir,$$F$$ los clústeres en$$q$$ y por lo tanto deben contener$$q$$ (estar cerrados). No obstante, ya que$$q \notin F,$$ esta es la contradicción deseada, y se prueba el lema. $$\square$$

El siguiente teorema tiene muchas aplicaciones importantes en el análisis.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(Weierstrass).

(i) Si una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es relativamente continua en un conjunto compacto,$$B \subseteq A,$$ entonces$$f$$ se limita en$$B ;$$ es decir,$$f[B]$$ se limita.

(ii) Si, además,$$B \neq \emptyset$$ y$$f$$ es real$$\left(f : A \rightarrow E^{1}\right),$$ entonces$$f[B]$$ tiene un máximo y un mínimo; es decir, f alcanza un valor mayor y uno menor en algunos puntos de$$B$$.

Prueba

En efecto, por teorema$$1, f[B]$$ es compacto, por lo que está acotado, como se afirma en$$(i)$$.

Si más lejos$$B \neq \emptyset$$ y$$f$$ es real, entonces$$f[B]$$ es un compacto no vacío ambientado en$$E^{1},$$ así por Lemma$$1,$$ tiene un máximo y un mínimo en$$E^{1} .$$ Así todo está probado. $$\square$$

Nota 1. Este y los otros teoremas de esta sección se mantienen, en particular, si$$B$$ es un intervalo cerrado en$$E^{n}$$ o un globo cerrado en$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)$$ (porque estos conjuntos son compactos - ver los ejemplos en §6). Esto puede fallar, sin embargo, si no$$B$$ es compacto, por ejemplo, si$$B=(\overline{a}, \overline{b}) .$$ Para un contraejemplo, vea el Problema 11 en el Capítulo 3, §13.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho)$$, es relativamente continua en un conjunto compacto$$B \subseteq A$$ y es uno a uno encendido$$B$$ (es decir, cuando se restringe a$$B$$), entonces su inverso$$f^{-1}$$,, es continuo encendido$$f[B]$$.

Prueba

Para demostrar que$$f^{-1}$$ es continuo en cada punto$$q \in f[B]$$, se aplica el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Así arreglamos una secuencia$$\left\{y_{m}\right\} \subseteq f[B], y_{m} \rightarrow q \in f[B]$$, y lo demostramos$$f^{-1}\left(y_{m}\right) \rightarrow f^{-1}(q)$$.

Vamos$$f^{-1}\left(y_{m}\right)=x_{m}$$ y$$f^{-1}(q)=p$$ para que

$y_{m}=f\left(x_{m}\right), q=f(p), \text { and } x_{m}, p \in B.$

Tenemos que demostrar que$$x_{m} \rightarrow p$$, es decir, que

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho\left(x_{m}, p\right)<\varepsilon.$

Buscando una contradicción, supongamos que esto falla, es decir, su negación se sostiene. Entonces (ver Capítulo 1, §§1—3) hay$$\epsilon > 0$$ tal que

$(\forall k)\left(\exists m_{k}>k\right) \quad \rho\left(x_{m_{k}}, p\right) \geq \varepsilon,$

donde escribimos “$$m_{k}$$” para “$$m$$” para enfatizar que el$$m_{k}$$ puede ser diferente para diferente$$k$$. Así por (1), fijamos algunos$$m_{k}$$ para cada uno para$$k$$ que (1) se mantenga, eligiendo paso a paso,

$m_{k+1}>m_{k}, \quad k=1,2, \ldots$

Entonces la$$x_{m_{k}}$$ forma una subsecuencia de$$\{x_{m}\}$$, y la$$y_{m_{k}}=f(x_{m_{k}})$$ forma correspondiente una subsecuencia de$$\left\{y_{m}\right\}$$. En adelante, por brevedad, vamos$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}$$ ellos mismos denotan estas dos subsecuencias. Entonces como antes,$$x_{m} \in B, y_{m}=f\left(x_{m}\right) \in f[B]$$, y$$y_{m} \rightarrow q, q=f(p)$$. Además, por (1),

$(\forall m) \quad \rho\left(x_{m}, p\right) \geq \varepsilon\left(x_{m} \text { stands for } x_{m_{k}}\right).$

Ahora como$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq B$$ y$$B$$ es compacto,$$\left\{x_{m}\right\}$$ tiene una (sub) subsecuencia

$x_{m_{i}} \rightarrow p^{\prime} \text { for some } p^{\prime} \in B.$

Como$$f$$ es relativamente continuo$$B$$, esto implica

$f\left(x_{m_{i}}\right)=y_{m_{i}}\rightarrow f\left(p^{\prime}\right)$

Sin embargo, la subsecuencia$$\left\{y_{m_{i}}\right\}$$ debe tener el mismo límite que$$\left\{y_{m}\right\}$$, es decir,$$f(p)$$. Así$$f\left(p^{\prime}\right)=f(p)$$ de donde$$p=p^{\prime}$$ (para$$f$$ es uno a uno en$$B$$), entonces$$x_{m_{i}} \rightarrow p^{\prime}=p$$.

Esto contradice (2), sin embargo, y así la prueba es completa. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

(3) Para un fijo$$n \in N,$$ definir$$f :[0,+\infty) \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=x^{n}.$

Entonces$$f$$ es uno a uno (estrictamente creciente) y continuo (siendo un monomio; ver §3). Así, por el Teorema 3,$$f^{−1}$$ (la enésima función raíz) es relativamente continua en cada intervalo

$f=[a^{n}, b^{n}].$

de ahí en$$[0,+\infty).$$

Véase también el Ejemplo (a) en §6 y Problema 1 a continuación.

II. Continuidad Uniforme. Si$$f$$ es relativamente continuo$$B$$, entonces por definición,

$(\forall \varepsilon>0)(\forall p \in B)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon.$

Aquí, en general,$$\delta$$ depende de ambos$$\epsilon$$ y$$p$$ (ver Problema 4 en §1); es decir, dados$$\epsilon > 0$$, algunos valores de$$\delta$$ pueden ajustarse a una p dada pero fallar (3) para otros puntos.

Puede ocurrir, sin embargo, que uno y el mismo$$\delta$$ (dependiendo$$\epsilon$$ solo) satisfaga (3) para todos$$p \in B$$ simultáneamente, de manera que tengamos la fórmula más fuerte

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall p, x \in B | \rho(x, p)<\delta) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon.$

## Definición

Si (4) es cierto, decimos que$$f$$ es uniformemente continuo encendido$$B$$.

Claramente, esto implica (3), pero lo contrario falla.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Si una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho)$$, es relativamente continua en un conjunto compacto$$B \subset A$$, entonces también$$f$$ es uniformemente continua en$$B$$.

Prueba

(por contradicción). Supongamos que$$f$$ es relativamente continuo$$B$$, pero (4) falla. Entonces hay$$\epsilon > 0$$ tal que

$(\forall \delta>0)(\exists p, x \in B) \quad \rho(x, p)<\delta, \text { and } \text { yet } \rho^{\prime}(f(x), f(p)) \geq \varepsilon;$

aquí$$p$$ y$$x$$ en adelante$$\delta$$. Arreglamos tal$$\epsilon$$ y dejamos
$\delta=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{m}, \dots$ Entonces para cada uno$$\delta$$ (es decir, cada uno$$m$$), obtenemos dos puntos$$x_{m}, p_{m} \in B$$ con $\rho\left(x_{m}, p_{m}\right)<\frac{1}{m}$ y $\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(p_{m}\right)\right) \geq \varepsilon, \quad m=1,2, \ldots$ Así obtenemos dos secuencias,$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{p_{m}\right\}$$, en$$B$$. Como$$B$$ es compacto,$$\left\{x_{m}\right\}$$ tiene una subsecuencia$$x_{m_{k}} \rightarrow q(q \in B)$$. Por simplicidad, que sea ella$$\left\{x_{m}\right\}$$ misma; así $x_{m} \rightarrow q, \quad q \in B.$

De ahí que por (5), se deduce fácilmente que también$$p_{m} \rightarrow q$$ (porque$$\rho\left(x_{m}, p_{m}\right) \rightarrow 0$$. Por la supuesta continuidad relativa de$$f$$ on$$B$$, se deduce que

$f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(q) \text { and } f\left(p_{m}\right) \rightarrow f(q) \text { in }\left(T, \rho^{\prime}\right).$

Esto, a su vez, implica aquello$$\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(p_{m}\right)\right) \rightarrow 0$$, lo cual es imposible, a la vista de (6). Esta contradicción completa la prueba. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Una función$$f : A \rightarrow \left( T , \rho ^ { \prime } \right) , A \subseteq ( S , \rho )$$, ic llamada mapa de contracción (on$$A$$) iff

$\rho ( x , y ) \geq \rho ^ { \prime } ( f ( x ) , f ( y ) ) \text { for all } x , y \in A.$

Cualquier mapa de este tipo es uniformemente continuo en A. De hecho$$\varepsilon > 0$$, dado, simplemente tomamos$$\delta = \varepsilon$$. Entonces$$\forall x , p \in A$$

$\rho ( x , p ) < \delta \text { implies } \rho ^ { \prime } ( f ( x ) , f ( p ) ) \leq \rho ( x , p ) < \delta = \varepsilon,$

como se requiere en (3).

b) Como caso especial, considere el mapa de valores absolutos (mapa de normas) dado por

$f ( \overline { x } ) = | \overline { x } | \text { on } E ^ { n } \left( ^ { * } \text { or another normed space } \right).$

Es uniformemente continuo$$E^{n}$$ porque

$| | \overline { x } | - | \overline { p } | | \leq | \overline { x } - \overline { p } | , \text { i.e., } \rho ^ { \prime } ( f ( \overline { x } ) , f ( \overline { p } ) ) \leq \rho ( \overline { x } , \overline { p } ),$

que muestra que$$f$$ es un mapa de contracción, por lo que se aplica el Ejemplo (a).

c) Otros ejemplos de mapas de contracción son

(1) mapas constantes (ver §1, Ejemplo (a)) y

(2) mapas de proyección (ver la prueba del Teorema 3 en §3).

¡Verifica!

d) Definir$$f : E ^ { 1 } \rightarrow E ^ { 1 }$$ por

$f ( x ) = \sin x$

Por trigonometría elemental,$$| \sin x | \leq | x |$$. Así$$\left( \forall x , p \in E ^ { 1 } \right)$$

\begin{aligned} | f ( x ) - f ( p ) | & = | \sin x - \sin p | \\ & = 2 \left| \sin \frac { 1 } { 2 } ( x - p ) \cdot \cos \frac { 1 } { 2 } ( x + p ) \right| \\ & \leq 2 \left| \sin \frac { 1 } { 2 } ( x - p ) \right| \\ & \leq 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } | x - p | = | x - p | \end{aligned},

y$$f$$ es un mapa de contracción otra vez. Por lo tanto, la función sinusoidal es uniformemente continua$$E^{1}$$; de manera similar para la función coseno.

e) Dado$$\emptyset \neq A \subseteq ( S , \rho ) ,$$ definir$$f : S \rightarrow E ^ { 1 }$$ por

\ [
f (x) =\ rho (x, A)\ texto {donde}\ rho (x, A) =\ inf _ {y\ en A}\ rho (x, y)
\]

Es fácil demostrar que

\ [
(\ para todos x, p\ en S)\ cuádruple\ rho (x, A)\ leq\ rho (x, p) +\ rho (p, A)
\]

es decir,

\ [
f (x)\ leq\ rho (p, x) + f (p),\ texto {o} f (x) - f (p)\ leq\ rho (p, x)
\]

Del mismo modo,$$f ( p ) - f ( x ) \leq \rho ( p , x ) .$$ Así

\ [
| f (x) - f (p) |\ leq\ rho (p, x)
\]

es decir,$$f$$ es uniformemente continuo (siendo un mapa de contracción).

f) El mapa de identidad$$f : ( S , \rho ) \rightarrow ( S , \rho ) ,$$ dado por

\ [
f (x) = x
\]

es uniformemente continuo$$S$$ desde

\ [
\ rho (f (x), f (p)) =\ rho (x, p)\ texto {(¡un mapa de contracción!) }
\]

Sin embargo, incluso la continuidad relativa podría fallar si la métrica en el espacio de dominio no$$S$$ fuera la misma que en$$S$$ cuando se considera como el espacio de rango (por ejemplo, ¡haga$$\rho ^ { \prime }$$ discreto!)

g) Definir$$f : E ^ { 1 } \rightarrow E ^ { 1 }$$ por

\ [
f (x) = a + b x\ quad (b\ neq 0).
\]

Entonces

\ [
\ izquierda (\ para todos x, p\ en E ^ {1}\ derecha)\ cuádruple | f (x) - f (p) | = | b | | x - p |;
\]

es decir,

\ [
\ rho (f (x), f (p)) = | b |\ rho (x, p).
\]

Así, dado$$\varepsilon > 0 ,$$ toma$$\delta = \varepsilon / | b | .$$ Entonces

\ [
\ rho (x, p) <\ delta\ Fila derecha larga\ rho (f (x), f (p)) = | b |\ rho (x, p) < | b |\ delta =\ varepsilon,
\]

h) Dejar

\ [
f (x) =\ frac {1} {x}\ quad\ text {on} B = (0, +\ infty).
\]

Entonces$$f$$ es continuo$$B ,$$ pero no uniformemente así. En efecto, podemos probar la negación de$$( 4 ) ,$$ i.e.

\ [
(\ existe\ varepsilon > 0) (\ forall\ delta > 0) (\ existe x, p\ in B)\ quad\ rho (x, p) <\ delta\ text {y}\ rho ^ {\ prime} (f (x), f (p))\ geq\ varepsilon.
\]

Toma$$\varepsilon = 1$$ y cualquier$$\delta > 0 .$$ Buscamos$$x , p$$ tal que

\ [
| x - p | <\ delta\ texto {y} | f (x) - f (p) |\ geq\ varepsilon,
\]

es decir,

\ [
\ izquierda|\ frac {1} {x} -\ frac {1} {p}\ derecha|\ geq 1,
\]

Esto se logra tomando

\ [
p =\ min\ izquierda (\ delta,\ frac {1} {2}\ derecha), x =\ frac {p} {2}. \ quad (\ texto {¡Verifica! })
\]

Así$$( 4 )$$ falla$$B = ( 0 , + \infty ) ,$$ sin embargo, se aferra$$[ a , + \infty )$$ para cualquier$$a > 0$$.
(¡Verifica!)

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