4.8: Continuidad en Juegos Compactos. Continuidad Uniforme

I. Algunos teoremas importantes adicionales se aplican a funciones que son continuas en un conjunto compacto (ver §6).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si una función\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho),\) es relativamente continua en un conjunto compacto\(B \subseteq A,\), entonces\(f[B]\) es un conjunto compacto en\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\) Brevemente,

\[\text{the continuous image of a compact set is compact.}\]

Prueba

Para demostrar que\(f[B]\) es compacto, tomamos cualquier secuencia\(\left\{y_{m}\right\} \subseteq f[B]\) y demostramos que se agrupa en alguna\(q \in f[B]\).

En\(y_{m} \in f[B], y_{m}=f\left(x_{m}\right)\) cuanto a algunos\(x_{m}\) en\(B .\) Escogemos tal\(x_{m} \in B\) para cada uno obteniendo\(y_{m},\) así una secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq B\) con

\[f\left(x_{m}\right)=y_{m}, \quad m=1,2, \ldots\]

Ahora por la compacidad asumida de\(B,\) la secuencia\(\left\{x_{m}\right\}\) debe agruparse en alguna\(p \in B .\) Así tiene una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow p .\) Como\(p \in B,\) la función\(f\) es relativamente continua a\(p\) más\(B\) (por suposición). Por lo tanto, por el criterio secuencial\((§ 2), x_{m_{k}} \rightarrow p\) implica\(f\left(x_{m_{k}}\right) \rightarrow f(p) ;\) i.e.

\[y_{m_{k}} \rightarrow f(p) \in f[B].\]

Así\(q=f(p)\) es el punto de agrupación deseado de\(\left\{y_{m}\right\} . \square\)

Este teorema puede ser utilizado para demostrar la compacidad de varios conjuntos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(1) Un segmento de línea cerrada\(L[\overline{a}, \overline{b}]\) adentro\(E^{n}\left(^{*} \text { and in other normed spaces }\right)\) es compacto, para, por definición,

\[L[\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t \leq 1\}, \text{ where } \vec{u}=\overline{b}-\overline{a}.\]

Así\(L[\overline{a}, \overline{b}]\) es la imagen del intervalo compacto\([0,1] \subseteq E^{1}\) bajo el\(\operatorname{map} f : E^{1} \rightarrow E^{n},\) dado por el\(f(t)=\overline{a}+t \vec{u},\) cual es continuo por el Teorema 3 de §3. (¿Por qué?)

(2) El elipsoide sólido cerrado en\(E^{3},\)

\[\left\{(x, y, z) | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right\},\]

es compacto, siendo la imagen de un globo compacto bajo un mapa continuo adecuado. Los detalles se dejan al lector como ejercicio.

lema\(\PageIndex{1}\)

Cada conjunto compacto no vacío\(F \subseteq E^{1}\) tiene un máximo y un mínimo.

Prueba

Por Teoremas 2 y 3 de §6,\(F\) está cerrado y acotado. Así\(F\) tiene un infimum y un supremo en\(E^{1}\) (por el axioma completo), digamos,\(p=\inf F\) y\(q=\sup F .\) queda por demostrar que\(p, q \in F .\)

Supongamos lo contrario, digamos,\(q \notin F .\) Entonces por propiedades de suprema, cada globo\(G_{q}(\delta)=(q-\delta, q+\delta)\) contiene algunos\(x \in B\) (específicamente,\(q-\delta<x<q )\) otros que no sean\(q(\text { for } q \notin B, \text { while } x \in B) .\) Así

\[(\forall \delta>0) \quad F \cap G_{\neg q}(\delta) \neq \emptyset;\]

es decir,\(F\) los clústeres en\(q\) y por lo tanto deben contener\(q\) (estar cerrados). No obstante, ya que\(q \notin F,\) esta es la contradicción deseada, y se prueba el lema. \(\square\)

El siguiente teorema tiene muchas aplicaciones importantes en el análisis.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(Weierstrass).

(i) Si una función\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es relativamente continua en un conjunto compacto,\(B \subseteq A,\) entonces\(f\) se limita en\(B ;\) es decir,\(f[B]\) se limita.

(ii) Si, además,\(B \neq \emptyset\) y\(f\) es real\(\left(f : A \rightarrow E^{1}\right),\) entonces\(f[B]\) tiene un máximo y un mínimo; es decir, f alcanza un valor mayor y uno menor en algunos puntos de\(B\).

Prueba

En efecto, por teorema\(1, f[B]\) es compacto, por lo que está acotado, como se afirma en\((i)\).

Si más lejos\(B \neq \emptyset\) y\(f\) es real, entonces\(f[B]\) es un compacto no vacío ambientado en\(E^{1},\) así por Lemma\(1,\) tiene un máximo y un mínimo en\(E^{1} .\) Así todo está probado. \(\square\)

Nota 1. Este y los otros teoremas de esta sección se mantienen, en particular, si\(B\) es un intervalo cerrado en\(E^{n}\) o un globo cerrado en\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)\) (porque estos conjuntos son compactos - ver los ejemplos en §6). Esto puede fallar, sin embargo, si no\(B\) es compacto, por ejemplo, si\(B=(\overline{a}, \overline{b}) .\) Para un contraejemplo, vea el Problema 11 en el Capítulo 3, §13.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si una función\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho)\), es relativamente continua en un conjunto compacto\(B \subseteq A\) y es uno a uno encendido\(B\) (es decir, cuando se restringe a\(B\)), entonces su inverso\(f^{-1}\),, es continuo encendido\(f[B]\).

Prueba

Para demostrar que\(f^{-1}\) es continuo en cada punto\(q \in f[B]\), se aplica el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Así arreglamos una secuencia\(\left\{y_{m}\right\} \subseteq f[B], y_{m} \rightarrow q \in f[B]\), y lo demostramos\(f^{-1}\left(y_{m}\right) \rightarrow f^{-1}(q)\).

Vamos\(f^{-1}\left(y_{m}\right)=x_{m}\) y\(f^{-1}(q)=p\) para que

\[y_{m}=f\left(x_{m}\right), q=f(p), \text { and } x_{m}, p \in B.\]

Tenemos que demostrar que\(x_{m} \rightarrow p\), es decir, que

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad \rho\left(x_{m}, p\right)<\varepsilon.\]

Buscando una contradicción, supongamos que esto falla, es decir, su negación se sostiene. Entonces (ver Capítulo 1, §§1—3) hay\(\epsilon > 0\) tal que

\[(\forall k)\left(\exists m_{k}>k\right) \quad \rho\left(x_{m_{k}}, p\right) \geq \varepsilon,\]

donde escribimos “\(m_{k}\)” para “\(m\)” para enfatizar que el\(m_{k}\) puede ser diferente para diferente\(k\). Así por (1), fijamos algunos\(m_{k}\) para cada uno para\(k\) que (1) se mantenga, eligiendo paso a paso,

\[m_{k+1}>m_{k}, \quad k=1,2, \ldots\]

Entonces la\(x_{m_{k}}\) forma una subsecuencia de\(\{x_{m}\}\), y la\(y_{m_{k}}=f(x_{m_{k}})\) forma correspondiente una subsecuencia de\(\left\{y_{m}\right\}\). En adelante, por brevedad, vamos\(\left\{x_{m}\right\}\) y\(\left\{y_{m}\right\}\) ellos mismos denotan estas dos subsecuencias. Entonces como antes,\(x_{m} \in B, y_{m}=f\left(x_{m}\right) \in f[B]\), y\(y_{m} \rightarrow q, q=f(p)\). Además, por (1),

\[(\forall m) \quad \rho\left(x_{m}, p\right) \geq \varepsilon\left(x_{m} \text { stands for } x_{m_{k}}\right).\]

Ahora como\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq B\) y\(B\) es compacto,\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene una (sub) subsecuencia

\[x_{m_{i}} \rightarrow p^{\prime} \text { for some } p^{\prime} \in B.\]

Como\(f\) es relativamente continuo\(B\), esto implica

\[f\left(x_{m_{i}}\right)=y_{m_{i}}\rightarrow f\left(p^{\prime}\right)\]

Sin embargo, la subsecuencia\(\left\{y_{m_{i}}\right\}\) debe tener el mismo límite que\(\left\{y_{m}\right\}\), es decir,\(f(p)\). Así\(f\left(p^{\prime}\right)=f(p)\) de donde\(p=p^{\prime}\) (para\(f\) es uno a uno en\(B\)), entonces\(x_{m_{i}} \rightarrow p^{\prime}=p\).

Esto contradice (2), sin embargo, y así la prueba es completa. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

(3) Para un fijo\(n \in N,\) definir\(f :[0,+\infty) \rightarrow E^{1}\) por

\[f(x)=x^{n}.\]

Entonces\(f\) es uno a uno (estrictamente creciente) y continuo (siendo un monomio; ver §3). Así, por el Teorema 3,\(f^{−1}\) (la enésima función raíz) es relativamente continua en cada intervalo

\[f=[a^{n}, b^{n}].\]

de ahí en\([0,+\infty).\)

Véase también el Ejemplo (a) en §6 y Problema 1 a continuación.

II. Continuidad Uniforme. Si\(f\) es relativamente continuo\(B\), entonces por definición,

\[(\forall \varepsilon>0)(\forall p \in B)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon.\]

Aquí, en general,\(\delta\) depende de ambos\(\epsilon\) y\(p\) (ver Problema 4 en §1); es decir, dados\(\epsilon > 0\), algunos valores de\(\delta\) pueden ajustarse a una p dada pero fallar (3) para otros puntos.

Puede ocurrir, sin embargo, que uno y el mismo\(\delta\) (dependiendo\(\epsilon\) solo) satisfaga (3) para todos\(p \in B\) simultáneamente, de manera que tengamos la fórmula más fuerte

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall p, x \in B | \rho(x, p)<\delta) \quad \rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon.\]

Definición

Si (4) es cierto, decimos que\(f\) es uniformemente continuo encendido\(B\).

Claramente, esto implica (3), pero lo contrario falla.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si una función\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho)\), es relativamente continua en un conjunto compacto\(B \subset A\), entonces también\(f\) es uniformemente continua en\(B\).

Prueba

(por contradicción). Supongamos que\(f\) es relativamente continuo\(B\), pero (4) falla. Entonces hay\(\epsilon > 0\) tal que

\[(\forall \delta>0)(\exists p, x \in B) \quad \rho(x, p)<\delta, \text { and } \text { yet } \rho^{\prime}(f(x), f(p)) \geq \varepsilon;\]

aquí\(p\) y\(x\) en adelante\(\delta\). Arreglamos tal\(\epsilon\) y dejamos

\[\delta=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{m}, \dots\] Entonces para cada uno\(\delta\) (es decir, cada uno\(m\)), obtenemos dos puntos\(x_{m}, p_{m} \in B\) con \[\rho\left(x_{m}, p_{m}\right)<\frac{1}{m}\] y \[\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(p_{m}\right)\right) \geq \varepsilon, \quad m=1,2, \ldots\] Así obtenemos dos secuencias,\(\left\{x_{m}\right\}\) y\(\left\{p_{m}\right\}\), en\(B\). Como\(B\) es compacto,\(\left\{x_{m}\right\}\) tiene una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow q(q \in B)\). Por simplicidad, que sea ella\(\left\{x_{m}\right\}\) misma; así \[x_{m} \rightarrow q, \quad q \in B.\]

De ahí que por (5), se deduce fácilmente que también\(p_{m} \rightarrow q\) (porque\(\rho\left(x_{m}, p_{m}\right) \rightarrow 0\). Por la supuesta continuidad relativa de\(f\) on\(B\), se deduce que

\[f\left(x_{m}\right) \rightarrow f(q) \text { and } f\left(p_{m}\right) \rightarrow f(q) \text { in }\left(T, \rho^{\prime}\right).\]

Esto, a su vez, implica aquello\(\rho^{\prime}\left(f\left(x_{m}\right), f\left(p_{m}\right)\right) \rightarrow 0\), lo cual es imposible, a la vista de (6). Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(a) Una función\(f : A \rightarrow \left( T , \rho ^ { \prime } \right) , A \subseteq ( S , \rho )\), ic llamada mapa de contracción (on\(A\)) iff

\[\rho ( x , y ) \geq \rho ^ { \prime } ( f ( x ) , f ( y ) ) \text { for all } x , y \in A.\]

Cualquier mapa de este tipo es uniformemente continuo en A. De hecho\(\varepsilon > 0\), dado, simplemente tomamos\(\delta = \varepsilon\). Entonces\( \forall x , p \in A \)

\[\rho ( x , p ) < \delta \text { implies } \rho ^ { \prime } ( f ( x ) , f ( p ) ) \leq \rho ( x , p ) < \delta = \varepsilon,\]

como se requiere en (3).

b) Como caso especial, considere el mapa de valores absolutos (mapa de normas) dado por

\[f ( \overline { x } ) = | \overline { x } | \text { on } E ^ { n } \left( ^ { * } \text { or another normed space } \right).\]

Es uniformemente continuo\(E^{n}\) porque

\[| | \overline { x } | - | \overline { p } | | \leq | \overline { x } - \overline { p } | , \text { i.e., } \rho ^ { \prime } ( f ( \overline { x } ) , f ( \overline { p } ) ) \leq \rho ( \overline { x } , \overline { p } ),\]

que muestra que\(f\) es un mapa de contracción, por lo que se aplica el Ejemplo (a).

c) Otros ejemplos de mapas de contracción son

(1) mapas constantes (ver §1, Ejemplo (a)) y

(2) mapas de proyección (ver la prueba del Teorema 3 en §3).

¡Verifica!

d) Definir\(f : E ^ { 1 } \rightarrow E ^ { 1 }\) por

\[f ( x ) = \sin x\]

Por trigonometría elemental,\(| \sin x | \leq | x |\). Así\(\left( \forall x , p \in E ^ { 1 } \right)\)

\[\begin{aligned} | f ( x ) - f ( p ) | & = | \sin x - \sin p | \\ & = 2 \left| \sin \frac { 1 } { 2 } ( x - p ) \cdot \cos \frac { 1 } { 2 } ( x + p ) \right| \\ & \leq 2 \left| \sin \frac { 1 } { 2 } ( x - p ) \right| \\ & \leq 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } | x - p | = | x - p | \end{aligned},\]

y\(f\) es un mapa de contracción otra vez. Por lo tanto, la función sinusoidal es uniformemente continua\(E^{1}\); de manera similar para la función coseno.

e) Dado\( \emptyset \neq A \subseteq ( S , \rho ) , \) definir\( f : S \rightarrow E ^ { 1 } \) por

\ [
f (x) =\ rho (x, A)\ texto {donde}\ rho (x, A) =\ inf _ {y\ en A}\ rho (x, y)
\]

Es fácil demostrar que

\ [
(\ para todos x, p\ en S)\ cuádruple\ rho (x, A)\ leq\ rho (x, p) +\ rho (p, A)
\]

es decir,

\ [
f (x)\ leq\ rho (p, x) + f (p),\ texto {o} f (x) - f (p)\ leq\ rho (p, x)
\]

Del mismo modo,\( f ( p ) - f ( x ) \leq \rho ( p , x ) . \) Así

\ [
| f (x) - f (p) |\ leq\ rho (p, x)
\]

es decir,\( f \) es uniformemente continuo (siendo un mapa de contracción).

f) El mapa de identidad\( f : ( S , \rho ) \rightarrow ( S , \rho ) , \) dado por

\ [
f (x) = x
\]

es uniformemente continuo\( S \) desde

\ [
\ rho (f (x), f (p)) =\ rho (x, p)\ texto {(¡un mapa de contracción!) }
\]

Sin embargo, incluso la continuidad relativa podría fallar si la métrica en el espacio de dominio no\( S \) fuera la misma que en\( S \) cuando se considera como el espacio de rango (por ejemplo, ¡haga\( \rho ^ { \prime } \) discreto!)

g) Definir\( f : E ^ { 1 } \rightarrow E ^ { 1 } \) por

\ [
f (x) = a + b x\ quad (b\ neq 0).
\]

Entonces

\ [
\ izquierda (\ para todos x, p\ en E ^ {1}\ derecha)\ cuádruple | f (x) - f (p) | = | b | | x - p |;
\]

es decir,

\ [
\ rho (f (x), f (p)) = | b |\ rho (x, p).
\]

Así, dado\( \varepsilon > 0 , \) toma\( \delta = \varepsilon / | b | . \) Entonces

\ [
\ rho (x, p) <\ delta\ Fila derecha larga\ rho (f (x), f (p)) = | b |\ rho (x, p) < | b |\ delta =\ varepsilon,
\]

demostrando una continuidad uniforme.

h) Dejar

\ [
f (x) =\ frac {1} {x}\ quad\ text {on} B = (0, +\ infty).
\]

Entonces\( f \) es continuo\( B , \) pero no uniformemente así. En efecto, podemos probar la negación de\( ( 4 ) , \) i.e.

\ [
(\ existe\ varepsilon > 0) (\ forall\ delta > 0) (\ existe x, p\ in B)\ quad\ rho (x, p) <\ delta\ text {y}\ rho ^ {\ prime} (f (x), f (p))\ geq\ varepsilon.
\]

Toma\( \varepsilon = 1 \) y cualquier\( \delta > 0 . \) Buscamos\( x , p \) tal que

\ [
| x - p | <\ delta\ texto {y} | f (x) - f (p) |\ geq\ varepsilon,
\]

es decir,

\ [
\ izquierda|\ frac {1} {x} -\ frac {1} {p}\ derecha|\ geq 1,
\]

Esto se logra tomando

\ [
p =\ min\ izquierda (\ delta,\ frac {1} {2}\ derecha), x =\ frac {p} {2}. \ quad (\ texto {¡Verifica! })
\]

Así\( ( 4 ) \) falla\( B = ( 0 , + \infty ) , \) sin embargo, se aferra\( [ a , + \infty ) \) para cualquier\( a > 0 \).
(¡Verifica!)