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LibreTexts Español

4.9.E: Problemas en la propiedad de Darboux y temas relacionados

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar Nota 1.

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Demostrar Nota 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{1''}\)

    Demostrar continuidad a 0 en Ejemplo\((\mathrm{c})\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar el teorema 1 para conjuntos conectados a polígonos.
    [Pista: Si
    \ [
    B\ supseteq\ bigcup_ {i=0} ^ {m-1} L\ izquierda [\ overline {p} _ {i},\ overline {p} _ {i+1}\ derecha]
    \]
    con
    \ [
    f\ izquierda (\ overline {p} _ _ {0}\ derecha) <c<f\ izquierda (\ overline {p} _ {m}\ derecha),
    \]
    mostrar que para al menos uno\(i,\)\(c=f\left(\overline{p}_{i}\right)\) o\(f\left(\overline{p}_{i}\right)<c<f\left(\overline{p}_{i+1}\right) .\) luego reemplazar\(\left.B \text { in the theorem by the convex segment } L\left[\overline{p}_{i}, \overline{p}_{i+1}\right] .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que, si\(f\) está aumentando estrictamente el\(B \subseteq E,\) entonces\(f^{-1}\) tiene la misma propiedad on\(f[B],\) y ambos son uno a uno; de manera similar para funciones decrecientes.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Para las funciones sobre el\(B=[a, b] \subset E^{1},\) Teorema 1 se puede probar así: Si
    \ [
    f (a) <c<f (b),
    \]
    let
    \ [
    P=\ {x\ in B | f (x) <c\}
    \]
    y poner\(r=\sup P\).
    Demostrar que no\(f(r)\) es ni mayor ni menor que\(c,\) y así necesariamente\(f(r)=c .\)
    [Pista: Si\(f(r)<c\), continuidad en\(r\) implica que\(f(x)<c\) en algunos\(G_{r}(\delta)\) (§2, Problema 7), contrario a\(r=\sup P\). (¿Por qué?)]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Continuando Problema\(4,\) probar el Teorema 1 en toda generalidad, de la siguiente manera.
    Definir
    \ [
    g (t) =\ overline {p} +t (\ overline {q} -\ overline {p}),\ quad 0\ leq t\ leq 1.
    \]
    \(\text { Then } g \text { is continuous (by Theorem } 3 \text { in } §3)\), y así es la función compuesta\(h=f \circ g,\) en\([0,1] .\) By Problem\(4,\) with\(B=[0,1],\) there is a\(t \in(0,1)\) with\(h(t)=c .\) put\(\overline{r}=g(t),\) and show that\(f(\overline{r})=c\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Mostrar que cada ecuación de grado impar, de la forma
    \ [
    f (x) =\ sum_ {k=0} ^ {n} a_ {k} x^ {k} =0\ quad\ left (n=2 m-1, a_ {n}\ neq 0\ right),
    \]
    tiene al menos una solución para\(x\) in\(E^{1}\).
    [Pista: Mostrar que\(f\) toma tanto valores negativos como positivos como\(x \rightarrow-\infty\) o\(x \rightarrow+\infty\); así por la propiedad Darboux, también\(f\) debe tomar el valor intermedio 0 para algunos\(\left.x \in E^{1} .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar que si las funciones\(f : A \rightarrow(0,+\infty)\) y\(g : A \rightarrow E^{1}\) son ambas continuas, también lo es la función\(h : A \rightarrow E^{1}\) dada por
    \ [
    h (x) =f (x) ^ {g (x)}.
    \]
    \(\text { [Hint: See Example }(\mathrm{c})]\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Usando el Corolario 2 en §2, y las propiedades de límite de las funciones exponenciales y logarítmicas, prueban los Teoremas “taquigrafía”\(11-16\) de §4.

    Ejercicio\(\PageIndex{8'}\)

    Encuentra\(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8''}\)

    De igual manera, encontrar una nueva solución del Problema 27 en el Capítulo 3, §15, reduciéndolo a Problema\(26 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Demuestre que si\(f : E^{1} \rightarrow E^{*}\) tiene la propiedad Darboux en\(B(\mathrm{e} . g ., \text { if } B \text { is }\)\(\text { convex and } f \text { is relatively continuous on } B)\) y si\(f\) es uno a uno en\(B\), entonces\(f\) es necesariamente estrictamente monótona en\(B\).

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demostrar que si dos funciones reales\(f, g\) son relativamente continuas on\([a, b]\)\((a<b)\) y
    \ [
    f (x) g (x) >0\ text {for} x\ in [a, b],
    \]
    entonces la ecuación
    \ [
    (x-a) f (x) + (x-b) g (x) =0
    \]
    tiene una solución entre\(a\) y de\(b ;\) manera similar para la ecuación

    \ [\ frac {f (x)} {x-a} +\ frac {g (x)} {x-b} =0\ quad\ left (a, b\ in E^ {1}\ right).
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{10'}\)

    De igual manera, discutir las soluciones de

    \ [\ frac {2} {x-4} +\ frac {9} {x-1} +\ frac {1} {x-2} =0.
    \]


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