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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar Nota 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Demostrar Nota 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{1''}$$

Demostrar continuidad a 0 en Ejemplo$$(\mathrm{c})$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar el teorema 1 para conjuntos conectados a polígonos.
[Pista: Si
\ [
B\ supseteq\ bigcup_ {i=0} ^ {m-1} L\ izquierda [\ overline {p} _ {i},\ overline {p} _ {i+1}\ derecha]
\]
con
\ [
f\ izquierda (\ overline {p} _ _ {0}\ derecha) <c<f\ izquierda (\ overline {p} _ {m}\ derecha),
\]
mostrar que para al menos uno$$i,$$$$c=f\left(\overline{p}_{i}\right)$$ o$$f\left(\overline{p}_{i}\right)<c<f\left(\overline{p}_{i+1}\right) .$$ luego reemplazar$$\left.B \text { in the theorem by the convex segment } L\left[\overline{p}_{i}, \overline{p}_{i+1}\right] .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que, si$$f$$ está aumentando estrictamente el$$B \subseteq E,$$ entonces$$f^{-1}$$ tiene la misma propiedad on$$f[B],$$ y ambos son uno a uno; de manera similar para funciones decrecientes.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Para las funciones sobre el$$B=[a, b] \subset E^{1},$$ Teorema 1 se puede probar así: Si
\ [
f (a) <c<f (b),
\]
let
\ [
P=\ {x\ in B | f (x) <c\}
\]
y poner$$r=\sup P$$.
Demostrar que no$$f(r)$$ es ni mayor ni menor que$$c,$$ y así necesariamente$$f(r)=c .$$
[Pista: Si$$f(r)<c$$, continuidad en$$r$$ implica que$$f(x)<c$$ en algunos$$G_{r}(\delta)$$ (§2, Problema 7), contrario a$$r=\sup P$$. (¿Por qué?)]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Continuando Problema$$4,$$ probar el Teorema 1 en toda generalidad, de la siguiente manera.
Definir
\ [
g (t) =\ overline {p} +t (\ overline {q} -\ overline {p}),\ quad 0\ leq t\ leq 1.
\]
$$\text { Then } g \text { is continuous (by Theorem } 3 \text { in } §3)$$, y así es la función compuesta$$h=f \circ g,$$ en$$[0,1] .$$ By Problem$$4,$$ with$$B=[0,1],$$ there is a$$t \in(0,1)$$ with$$h(t)=c .$$ put$$\overline{r}=g(t),$$ and show that$$f(\overline{r})=c$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

\ [
f (x) =\ sum_ {k=0} ^ {n} a_ {k} x^ {k} =0\ quad\ left (n=2 m-1, a_ {n}\ neq 0\ right),
\]
tiene al menos una solución para$$x$$ in$$E^{1}$$.
[Pista: Mostrar que$$f$$ toma tanto valores negativos como positivos como$$x \rightarrow-\infty$$ o$$x \rightarrow+\infty$$; así por la propiedad Darboux, también$$f$$ debe tomar el valor intermedio 0 para algunos$$\left.x \in E^{1} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si las funciones$$f : A \rightarrow(0,+\infty)$$ y$$g : A \rightarrow E^{1}$$ son ambas continuas, también lo es la función$$h : A \rightarrow E^{1}$$ dada por
\ [
h (x) =f (x) ^ {g (x)}.
\]
$$\text { [Hint: See Example }(\mathrm{c})]$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Usando el Corolario 2 en §2, y las propiedades de límite de las funciones exponenciales y logarítmicas, prueban los Teoremas “taquigrafía”$$11-16$$ de §4.

## Ejercicio$$\PageIndex{8'}$$

Encuentra$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8''}$$

De igual manera, encontrar una nueva solución del Problema 27 en el Capítulo 3, §15, reduciéndolo a Problema$$26 .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Demuestre que si$$f : E^{1} \rightarrow E^{*}$$ tiene la propiedad Darboux en$$B(\mathrm{e} . g ., \text { if } B \text { is }$$$$\text { convex and } f \text { is relatively continuous on } B)$$ y si$$f$$ es uno a uno en$$B$$, entonces$$f$$ es necesariamente estrictamente monótona en$$B$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que si dos funciones reales$$f, g$$ son relativamente continuas on$$[a, b]$$$$(a<b)$$ y
\ [
f (x) g (x) >0\ text {for} x\ in [a, b],
\]
entonces la ecuación
\ [
(x-a) f (x) + (x-b) g (x) =0
\]
tiene una solución entre$$a$$ y de$$b ;$$ manera similar para la ecuación

\ [\ frac {f (x)} {x-a} +\ frac {g (x)} {x-b} =0\ quad\ left (a, b\ in E^ {1}\ right).
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{10'}$$

De igual manera, discutir las soluciones de

\ [\ frac {2} {x-4} +\ frac {9} {x-1} +\ frac {1} {x-2} =0.
\]

4.9.E: Problemas en la propiedad de Darboux y temas relacionados is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.