4.10: Arcos y Curvas. Conjuntos Conectados
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Se puede obtener una visión más profunda de la continuidad y la propiedad Darboux generalizando las nociones de un conjunto convexo y un conjunto conectado a polígonos para obtener los llamados conjuntos conectados.
I. Como primer paso, consideramos arcos y curvas.
Un conjunto\( A \subseteq ( S , \rho ) \) se llama arco iff\( A \) es una imagen continua de un intervalo compacto\( [ a , b ] \subset E ^ { 1 } , \) es decir, iff hay un mapeo continuo
\ [
f: [a, b]\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} A.
\]
Si, además,\( f \) es uno a uno,\( A \) se llama un arco simple con puntos finales\( f ( a ) \) y\( f ( b ) \).
Si en cambio\( f ( a ) = f ( b ) , \) hablamos de una curva cerrada.
Una curva es una imagen continua de cualquier intervalo finito o infinito en\( E ^ { 1 } \).
Cada arco es un conjunto compacto (por lo tanto cerrado y acotado) (por el Teorema 1 de §8).
\( A \subseteq ( S , \rho ) \)Se dice que un conjunto está conectado en sentido del arco si cada dos puntos\( p , q \in A \) están en algún arco simple contenido en\( A . \) (Luego también decimos que el\( p \) y se\( q \) puede unir por un arco en\( A . ) \)
(a) Cada segmento de línea cerrada\( L [ \overline { a } , \overline { b } ] \) en\( E ^ { n } \left( ^ { * } \text { or in any other normed space } \right) \) es un arco simple (considere el mapa\( f \) en el Ejemplo (1) de §8).
(b) Cada polígono
\ [
A =\ bigcup _ {i = 0} ^ {m - 1} L\ left [\ overline {p} _ _ {i},\ overline {p} _ _ {i + 1}\ right]
\]
es un arco (ver Problema 18 en §8). Es un arco simple si los segmentos semicerrados\( L \left[ \overline { p } _ { i } , \overline { p } _ { i + 1 } \right) \) no se cruzan y los puntos\( \overline { p } _ { i } \) son distintos, pues entonces el mapa\( f \) en el Problema 18 de §8 es uno a uno.
(c) Se deduce fácilmente que cada conjunto conectado a polígonos también está conectado en sentido de arco; uno solo tiene que mostrar que cada polígono que une dos puntos\( \overline { p } _ { 0 } , \overline { p } _ { m } \) puede reducirse a un polígono simple (no uno autointersecante). Ver Problema\( 2 . \)
Sin embargo, lo contrario es falso. Por ejemplo, dos discos\( E ^ { 2 } \) conectados por un arco parabólico forman juntos un conjunto conectado a lo largo del arco (pero no en el polígono).
(d) Dejar\( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \ldots , f _ { n } \) ser funciones continuas reales en un intervalo\( I \subseteq E ^ { 1 } \). Trátelos como componentes de una función\( f : I \rightarrow E ^ { n } \),
\ [
f=\ left (f_ {1},\ ldots, f_ {n}\ right).
\]
Entonces\(f\) es continuo por el Teorema 2 en §3. Así el conjunto de imágenes\(f[I]\) es una
curva en\(E^{n} ;\) ella es un arco si\(I\) es un intervalo cerrado.
Introduciendo un parámetro que\(t\) varía sobre\(I,\) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la curva, a saber,
\ [
x_ {k} =f_ {k} (t),\ quad k=1,2,\ ldots, n.
\]
Entonces como\(t\) varía sobre\(I\), el punto \(\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\)describe la curva
\(f[I] .\) Esta es la forma habitual de tratar las curvas en\(E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)\).
No es difícil demostrar que el Teorema 1 en §9 sostiene también si solo\(B\) está conectado en sentido de arco (ver Problema 3 a continuación). Sin embargo, se puede probar mucho más introduciendo la noción general de un conjunto conectado. Esto lo hacemos a continuación.
II. Para este tema, necesitaremos los Teoremas 2-4 del Capítulo 3, §12, y el Problema 15 del Capítulo 4, §2. Se aconseja al lector que los revise. En particular, tenemos el siguiente teorema.
\(A\)la función\(f :(A, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es continua en\(A\) iff\(f^{-1}[B]\) se cierra\((A, \rho)\) para cada conjunto cerrado de\(B \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right) ;\) manera similar para conjuntos abiertos.
En efecto, esto es parte del Problema 15 en §2 con\((S, \rho)\) reemplazado por\((A, \rho)\).
Se dice que un espacio métrico\((S, \rho)\) está conectado si no\(S\) es la unión\(P \cup Q\) de dos conjuntos cerrados disjuntos no vacíos; de lo contrario se desconecta.
Un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) se llama conectado iff\((A, \rho)\) está conectado como un subespacio de\((S, \rho) ;\) es decir, iff no\(A\) es una unión de dos conjuntos disjuntos\(P, Q \neq \emptyset\) que están cerrados (de ahí también abiertos) en\((A, \rho),\) como un subespacio de\((S, \rho) .\)
Nota 1. Por el Teorema 4 del Capítulo 3, §12, esto significa que
\ [
P=A\ cap P_ {1}\ texto {y} Q=A\ cap Q_ {1}
\]
para algunos conjuntos\(P_{1}, Q_{1}\) que están cerrados en\((S, \rho) .\) Observe que, a diferencia de los conjuntos compactos, un conjunto que está cerrado o abierto en no\((A, \rho)\) necesita ser cerrado o abierto en\((S, \rho) .\)
(a')\(\emptyset\) está conectado.
(b') Entonces es cualquier conjunto de un punto\(\{p\} .\) (¿Por qué?)
(c') Cualquier conjunto finito de dos o más puntos se desconecta. (¿Por qué?)
Otros ejemplos son proporcionados por los teoremas que siguen.
Los únicos conjuntos conectados en\(E^{1}\) son exactamente todos los conjuntos convexos, es decir, intervalos finitos e infinitos, incluido\(E^{1}\) él mismo.
- Prueba
-
La prueba de que tales intervalos son exactamente todos los conjuntos convexos en\(E^{1}\) se deja como un ejercicio.
Buscando una contradicción, supongamos que\(p \notin A\) para algunos\(p \in(a, b), a, b \in A .\)
\ [
P=A\ cap (-\ infty, p)\ text {y} Q=A\ cap (p, +\ infty).
\]Entonces\(A=P \cup Q, a \in P, b \in Q,\) y\(P \cap Q=\emptyset .\) Por otra parte,\((-\infty, p)\) y\((p,+\infty)\) son sets abiertos en\(E^{1} .\) (¿Por qué?) De ahí\(P\) y\(Q\) están abiertos en\(A,\) cada uno siendo la intersección de\(A\) con un conjunto abierto en\(E^{1}\) (ver Nota 1 anterior). Al igual\(P \cap Q=\emptyset,\) que\(A=P \cup Q,\) con ello se deduce que\(A\) se desconecta. Esto demuestra que si\(A\) está conectado en\(E^{1},\) ella debe ser convexa.
Por el contrario, let\(A\) be convex in\(E^{1} .\) La prueba que\(A\) está conectada es una copia casi exacta de la prueba dada para el Teorema 1 de §9, por lo que solo la
bosquejamos brevemente aquí.Si\(A\) se desconectaron, entonces\(A=P \cup Q\) para algunos conjuntos disjuntos\(P, Q \neq \emptyset\), ambos cerrados en\(A .\) Fijar cualquiera\(p \in P\) y\(q \in Q .\) Exactamente como en el Teorema 1 de §9, seleccionar una secuencia de contracciones de segmentos de línea (intervalos)\(\left[p_{m}, q_{m}\right] \subseteq A\) tal que\(p_{m} \in P, q_{m} \in Q,\)\(\left|p_{m}-q_{m}\right| \rightarrow 0,\) y y obtener un punto
\ [
r\ in\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda [p_ {m}, q_ {m}\ derecha]\ subseteq A
\]de manera que\(p_{m} \rightarrow r, q_{m} \rightarrow r,\) y\(r \in A .\) como los conjuntos\(P\) y\(Q\) están cerrados en el\((A, \rho),\) Teorema 4 del Capítulo\(3, \$ 16\) muestra que ambos\(P\) y\(Q\) deben contener el límite común\(r\) de las secuencias\(\left\{p_{m}\right\} \subseteq P\) y\(\left\{q_{m}\right\} \subseteq Q .\) Esto es imposible, sin embargo, ya que \(P \cap Q=\emptyset,\)por suposición. Esta contradicción demuestra que\(A\) no se puede desconectar. Así todo está probado. \(\square\)
Nota 2. Por la misma prueba, cualquier conjunto convexo en un espacio normado está conectado. En particular,\(E^{n}\) y todos los demás espacios normados están conectados ellos mismos.
Si una función\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) con\(A \subseteq(S, \rho)\) es relativamente continua en un conjunto conectado\(B \subseteq A,\), entonces\(f[B]\) es un conjunto conectado en\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\).
- Prueba
-
Por definición (§1), la continuidad relativa\(B\) se convierte en continuidad ordinaria cuando\(f\) se restringe a\(B .\) Así podemos tratar\(f\) como un mapeo de\(B\) en\(f[B],\) sustitución\(S\) y\(T\) por sus subespacios\(B\) y\(f[B] .\)
Buscando una contradicción, supongamos que\(f[B]\) está desconectado, es decir,
\ [
f [B] =P\ taza Q
\]para algunos conjuntos disjuntos\(P, Q \neq \emptyset\) cerrados en\(\left(f[B], \rho^{\prime}\right) .\) Entonces por Teorema\(1,\) con\(T\) reemplazados por\(f[B],\) los conjuntos\(f^{-1}[P]\) y\(f^{-1}[Q]\) están cerrados en\((B, \rho) .\) También son no voides y disjuntos (como son\(P\) y\(Q )\) y satisfacer
\ [
b=f^ {-1} [P\ copa Q] =f^ {-1} [P]\ taza f^ {-1} [Q]
\]\ [
(ver Capítulo 1, §4-7, Problema 6). Así\(B\) se desconecta, contrariamente a la suposición. \(\square\)
Todos los arcos y curvas son conjuntos conectados (por Definición 2 y Teoremas 2 y 3).
\(A\)set\(A \subseteq(S, \rho)\) está conectado si dos puntos cualesquiera\(p, q \in A\) están en algún subconjunto conectado\(B \subseteq A .\) Por lo tanto, cualquier conjunto conectado a lo largo del arco está conectado.
- Prueba
-
Buscando una contradicción, supongamos que la condición señalada en el Lema 1 se mantiene pero\(A\) está desconectada, por lo que\(A=P \cup Q\) para algunos conjuntos disjuntos\(P \neq \emptyset, Q \neq \emptyset\) ambos cerraron en\((A, \rho)\).
Elija cualquiera\(p \in P\) y\(q \in Q .\) Por supuesto,\(p\) y\(q\) están en algunos conectados\(\operatorname{set} B \subseteq A .\) Tratar\((B, \rho)\) como un subespacio de\((A, \rho),\) y dejar
\ [
P^ {\ prime} =B\ cap P\ text {y} Q^ {\ prime} =B\ cap Q.
\]Entonces por el Teorema 4 del Capítulo\(3, §12, P^{\prime}\) y\(Q^{\prime}\) se cierran en\(B\). Además, son disjuntas (para\(P\) y\(Q\) son\()\) y no voides (para\(p \in P^{\prime}, q \in Q^{\prime} ),\) y
\ [
B=B\ cap A=B\ cap (P\ cup Q) =( B\ cap P)\ cup (B\ cap Q) =P^ {\ prime}\ copa Q^ {\ prime}.
\]Así\(B\) se desconecta, contrariamente a la suposición. Esta contradicción prueba el lema (la prueba contraria es trivial).
En particular, si\(A\) está conectado en sentido de arco, entonces cualquier punto\(p, q\) en\(A\) es en algún arco\(B \subseteq A,\) un conjunto conectado por Corolario\(2 .\) Así todo está demostrado. \(\square\)
Cualquier conjunto convexo o polígono-conectado\((e . g ., a \text { globe})\) en\(E^{n}\) (o en cualquier otro espacio normado) está conectado en sentido del arco, por lo tanto conectado.
- Prueba
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Use Lema 1 y Ejemplo\((\mathrm{c})\) en la parte I de esta sección. \(\square\)
Precaución: Lo contrario falla. Un conjunto conectado no necesita estar conectado en sentido del arco, y mucho menos conectado a un polígono (ver Problema 17). Sin embargo, tenemos el siguiente
teorema.
Cada conjunto abierto conectado\(A\) en\(E^{n}\) (* o en otro espacio normado) también está conectado en sentido del arco e incluso está conectado por polígono.
- Prueba
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Si\(A=\emptyset,\) esto es “vacuamente” cierto, así que vamos\(A \neq \emptyset\) y arreglemos\(\overline{a} \in A\).
Dejemos\(P\) ser el conjunto de todo\(\overline{p} \in A\) lo que se pueda unir con\(\overline{a}\) un polígono\(K \subseteq A\) Let\(Q=A-P .\) Claramente,\(\overline{a} \in P,\) así\(P \neq \emptyset\). Demostraremos que\(P\) está abierto, es decir, que cada uno\(\overline{p} \in P\) está en un globo\(G_{\overline{p}} \subseteq P .\)
Así arreglamos cualquier\(\overline{p} \in P .\) As\(A\) está abierto y ciertamente\(\overline{p} \in A,\) hay un globo\(G_{\overline{p}}\) contenido en\(A\). Además, como\(G_{\overline{p}}\) es convexo, cada punto\(\overline{x} \in G_{\overline{p}}\) se une con\(\overline{p}\) el segmento de línea\(L[\overline{x}, \overline{p}] \subseteq G_{\overline{p}} .\) También, como\(\overline{p} \in P,\) algunos polígonos\(K \subseteq A\) se une\(\overline{p}\) con\(\overline{a}\). Entonces
\ [
K\ copa L [\ overline {x},\ overline {p}]
\]es un polígono uniendo\(\overline{x}\) y\(\overline{a},\) y por lo tanto por definición\(\overline{x} \in P .\) Así cada uno\(\overline{x} \in G_{\overline{p}}\) está en\(P,\) modo que\(G_{\overline{p}} \subseteq P,\) según se requiera, y\(P\) está abierto (también apen en\(A\) como subespacio).
A continuación, mostramos que el set también\(Q=A-P\) está abierto. Como antes, si\(Q \neq \emptyset\), arreglar cualquiera\(\overline{q} \in Q\) y un globo\(G_{\overline{q}} \subseteq A,\) y demostrar que\(G_{\overline{q}} \subseteq Q .\) Efectivamente, si algunos\(\overline{x} \in G_{\overline{q}}\) estuvieran\(n o t\) en\(Q,\) él estaría en\(P,\) y así estaría unido con\(\overline{a}\) (fijado arriba) por un polígono\(K \subseteq A .\) Entonces, sin embargo,\(\overline{q}\) sí mismo podría ser así unidos por el polígono
\ [
L [\ overline {q},\ overline {x}]\ copa K,
\]lo que implica que\(\overline{q} \in P,\) no\(\overline{q} \in Q .\) Esto demuestra que\(G_{\overline{q}} \subset Q\) efectivamente, como se afirma.
Así,\(A=P \cup Q\) con\(P, Q\) disjoint y open (de ahí clopen) en\(A .\) La conectividad de\(A\) entonces implica eso\(Q=\emptyset . \quad(P \text { is not empty, as has been }\) señalado.) De ahí que\(A=P .\) por la definición de\(P,\) entonces, cada punto se\(\overline{b} \in A\) pueda unir a\(\overline{a}\) través de un polígono. Como\(\overline{a} \in A\) era arbitrario,\(A\) es polígono conectado. \(\square\)
Finalmente, se obtiene una versión más fuerte del teorema del valor intermedio.
Si una función\(f : A \rightarrow E^{1}\) es relativamente continua en un conectado\(\operatorname{set} B \subseteq A \subseteq(S, \rho),\), entonces\(f\) tiene la propiedad Darboux en\(B\).
De hecho, por Teoremas 3 y\(2, f[B]\) es un conjunto conectado en\(E^{1},\) i.e., un intervalo. Esto, sin embargo, implica la propiedad Darboux.