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# 4.10: Arcos y Curvas. Conjuntos Conectados

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Se puede obtener una visión más profunda de la continuidad y la propiedad Darboux generalizando las nociones de un conjunto convexo y un conjunto conectado a polígonos para obtener los llamados conjuntos conectados.

I. Como primer paso, consideramos arcos y curvas.

## Definición

Un conjunto$$A \subseteq ( S , \rho )$$ se llama arco iff$$A$$ es una imagen continua de un intervalo compacto$$[ a , b ] \subset E ^ { 1 } ,$$ es decir, iff hay un mapeo continuo
\ [
f: [a, b]\ underset {\ text {onto}} {\ longrightarrow} A.
\]
Si, además,$$f$$ es uno a uno,$$A$$ se llama un arco simple con puntos finales$$f ( a )$$ y$$f ( b )$$.
Si en cambio$$f ( a ) = f ( b ) ,$$ hablamos de una curva cerrada.
Una curva es una imagen continua de cualquier intervalo finito o infinito en$$E ^ { 1 }$$.

## corolario$$\PageIndex{1}$$

Cada arco es un conjunto compacto (por lo tanto cerrado y acotado) (por el Teorema 1 de §8).

## Definición

$$A \subseteq ( S , \rho )$$Se dice que un conjunto está conectado en sentido del arco si cada dos puntos$$p , q \in A$$ están en algún arco simple contenido en$$A .$$ (Luego también decimos que el$$p$$ y se$$q$$ puede unir por un arco en$$A . )$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Cada segmento de línea cerrada$$L [ \overline { a } , \overline { b } ]$$ en$$E ^ { n } \left( ^ { * } \text { or in any other normed space } \right)$$ es un arco simple (considere el mapa$$f$$ en el Ejemplo (1) de §8).
\ [
A =\ bigcup _ {i = 0} ^ {m - 1} L\ left [\ overline {p} _ _ {i},\ overline {p} _ _ {i + 1}\ right]
\]
es un arco (ver Problema 18 en §8). Es un arco simple si los segmentos semicerrados$$L \left[ \overline { p } _ { i } , \overline { p } _ { i + 1 } \right)$$ no se cruzan y los puntos$$\overline { p } _ { i }$$ son distintos, pues entonces el mapa$$f$$ en el Problema 18 de §8 es uno a uno.
(c) Se deduce fácilmente que cada conjunto conectado a polígonos también está conectado en sentido de arco; uno solo tiene que mostrar que cada polígono que une dos puntos$$\overline { p } _ { 0 } , \overline { p } _ { m }$$ puede reducirse a un polígono simple (no uno autointersecante). Ver Problema$$2 .$$
Sin embargo, lo contrario es falso. Por ejemplo, dos discos$$E ^ { 2 }$$ conectados por un arco parabólico forman juntos un conjunto conectado a lo largo del arco (pero no en el polígono).
(d) Dejar$$f _ { 1 } , f _ { 2 } , \ldots , f _ { n }$$ ser funciones continuas reales en un intervalo$$I \subseteq E ^ { 1 }$$. Trátelos como componentes de una función$$f : I \rightarrow E ^ { n }$$,
\ [
f=\ left (f_ {1},\ ldots, f_ {n}\ right).
\]
Entonces$$f$$ es continuo por el Teorema 2 en §3. Así el conjunto de imágenes$$f[I]$$ es una
curva en$$E^{n} ;$$ ella es un arco si$$I$$ es un intervalo cerrado.
Introduciendo un parámetro que$$t$$ varía sobre$$I,$$ obtenemos las ecuaciones paramétricas de la curva, a saber,
\ [
x_ {k} =f_ {k} (t),\ quad k=1,2,\ ldots, n.
\]
Entonces como$$t$$ varía sobre$$I$$, el punto $$\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$describe la curva
$$f[I] .$$ Esta es la forma habitual de tratar las curvas en$$E^{n}\left(^{*} \text { and } C^{n}\right)$$.

No es difícil demostrar que el Teorema 1 en §9 sostiene también si solo$$B$$ está conectado en sentido de arco (ver Problema 3 a continuación). Sin embargo, se puede probar mucho más introduciendo la noción general de un conjunto conectado. Esto lo hacemos a continuación.

II. Para este tema, necesitaremos los Teoremas 2-4 del Capítulo 3, §12, y el Problema 15 del Capítulo 4, §2. Se aconseja al lector que los revise. En particular, tenemos el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$A$$la función$$f :(A, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es continua en$$A$$ iff$$f^{-1}[B]$$ se cierra$$(A, \rho)$$ para cada conjunto cerrado de$$B \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right) ;$$ manera similar para conjuntos abiertos.

En efecto, esto es parte del Problema 15 en §2 con$$(S, \rho)$$ reemplazado por$$(A, \rho)$$.

## Definición

Se dice que un espacio métrico$$(S, \rho)$$ está conectado si no$$S$$ es la unión$$P \cup Q$$ de dos conjuntos cerrados disjuntos no vacíos; de lo contrario se desconecta.
Un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ se llama conectado iff$$(A, \rho)$$ está conectado como un subespacio de$$(S, \rho) ;$$ es decir, iff no$$A$$ es una unión de dos conjuntos disjuntos$$P, Q \neq \emptyset$$ que están cerrados (de ahí también abiertos) en$$(A, \rho),$$ como un subespacio de$$(S, \rho) .$$

Nota 1. Por el Teorema 4 del Capítulo 3, §12, esto significa que

\ [
P=A\ cap P_ {1}\ texto {y} Q=A\ cap Q_ {1}
\]

para algunos conjuntos$$P_{1}, Q_{1}$$ que están cerrados en$$(S, \rho) .$$ Observe que, a diferencia de los conjuntos compactos, un conjunto que está cerrado o abierto en no$$(A, \rho)$$ necesita ser cerrado o abierto en$$(S, \rho) .$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a')$$\emptyset$$ está conectado.

(b') Entonces es cualquier conjunto de un punto$$\{p\} .$$ (¿Por qué?)

(c') Cualquier conjunto finito de dos o más puntos se desconecta. (¿Por qué?)

Otros ejemplos son proporcionados por los teoremas que siguen.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Los únicos conjuntos conectados en$$E^{1}$$ son exactamente todos los conjuntos convexos, es decir, intervalos finitos e infinitos, incluido$$E^{1}$$ él mismo.

Prueba

La prueba de que tales intervalos son exactamente todos los conjuntos convexos en$$E^{1}$$ se deja como un ejercicio.

Buscando una contradicción, supongamos que$$p \notin A$$ para algunos$$p \in(a, b), a, b \in A .$$

\ [
P=A\ cap (-\ infty, p)\ text {y} Q=A\ cap (p, +\ infty).
\]

Entonces$$A=P \cup Q, a \in P, b \in Q,$$ y$$P \cap Q=\emptyset .$$ Por otra parte,$$(-\infty, p)$$ y$$(p,+\infty)$$ son sets abiertos en$$E^{1} .$$ (¿Por qué?) De ahí$$P$$ y$$Q$$ están abiertos en$$A,$$ cada uno siendo la intersección de$$A$$ con un conjunto abierto en$$E^{1}$$ (ver Nota 1 anterior). Al igual$$P \cap Q=\emptyset,$$ que$$A=P \cup Q,$$ con ello se deduce que$$A$$ se desconecta. Esto demuestra que si$$A$$ está conectado en$$E^{1},$$ ella debe ser convexa.

Por el contrario, let$$A$$ be convex in$$E^{1} .$$ La prueba que$$A$$ está conectada es una copia casi exacta de la prueba dada para el Teorema 1 de §9, por lo que solo la
bosquejamos brevemente aquí.

Si$$A$$ se desconectaron, entonces$$A=P \cup Q$$ para algunos conjuntos disjuntos$$P, Q \neq \emptyset$$, ambos cerrados en$$A .$$ Fijar cualquiera$$p \in P$$ y$$q \in Q .$$ Exactamente como en el Teorema 1 de §9, seleccionar una secuencia de contracciones de segmentos de línea (intervalos)$$\left[p_{m}, q_{m}\right] \subseteq A$$ tal que$$p_{m} \in P, q_{m} \in Q,$$$$\left|p_{m}-q_{m}\right| \rightarrow 0,$$ y y obtener un punto

\ [
r\ in\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda [p_ {m}, q_ {m}\ derecha]\ subseteq A
\]

de manera que$$p_{m} \rightarrow r, q_{m} \rightarrow r,$$ y$$r \in A .$$ como los conjuntos$$P$$ y$$Q$$ están cerrados en el$$(A, \rho),$$ Teorema 4 del Capítulo$$3, \ 16$$ muestra que ambos$$P$$ y$$Q$$ deben contener el límite común$$r$$ de las secuencias$$\left\{p_{m}\right\} \subseteq P$$ y$$\left\{q_{m}\right\} \subseteq Q .$$ Esto es imposible, sin embargo, ya que $$P \cap Q=\emptyset,$$por suposición. Esta contradicción demuestra que$$A$$ no se puede desconectar. Así todo está probado. $$\square$$

Nota 2. Por la misma prueba, cualquier conjunto convexo en un espacio normado está conectado. En particular,$$E^{n}$$ y todos los demás espacios normados están conectados ellos mismos.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ con$$A \subseteq(S, \rho)$$ es relativamente continua en un conjunto conectado$$B \subseteq A,$$, entonces$$f[B]$$ es un conjunto conectado en$$\left(T, \rho^{\prime}\right)$$.

Prueba

Por definición (§1), la continuidad relativa$$B$$ se convierte en continuidad ordinaria cuando$$f$$ se restringe a$$B .$$ Así podemos tratar$$f$$ como un mapeo de$$B$$ en$$f[B],$$ sustitución$$S$$ y$$T$$ por sus subespacios$$B$$ y$$f[B] .$$

Buscando una contradicción, supongamos que$$f[B]$$ está desconectado, es decir,

\ [
f [B] =P\ taza Q
\]

para algunos conjuntos disjuntos$$P, Q \neq \emptyset$$ cerrados en$$\left(f[B], \rho^{\prime}\right) .$$ Entonces por Teorema$$1,$$ con$$T$$ reemplazados por$$f[B],$$ los conjuntos$$f^{-1}[P]$$ y$$f^{-1}[Q]$$ están cerrados en$$(B, \rho) .$$ También son no voides y disjuntos (como son$$P$$ y$$Q )$$ y satisfacer

\ [
b=f^ {-1} [P\ copa Q] =f^ {-1} [P]\ taza f^ {-1} [Q]
\]

\ [
(ver Capítulo 1, §4-7, Problema 6). Así$$B$$ se desconecta, contrariamente a la suposición. $$\square$$

## corolario$$\PageIndex{2}$$

Todos los arcos y curvas son conjuntos conectados (por Definición 2 y Teoremas 2 y 3).

## lema$$\PageIndex{1}$$

$$A$$set$$A \subseteq(S, \rho)$$ está conectado si dos puntos cualesquiera$$p, q \in A$$ están en algún subconjunto conectado$$B \subseteq A .$$ Por lo tanto, cualquier conjunto conectado a lo largo del arco está conectado.

Prueba

Buscando una contradicción, supongamos que la condición señalada en el Lema 1 se mantiene pero$$A$$ está desconectada, por lo que$$A=P \cup Q$$ para algunos conjuntos disjuntos$$P \neq \emptyset, Q \neq \emptyset$$ ambos cerraron en$$(A, \rho)$$.

Elija cualquiera$$p \in P$$ y$$q \in Q .$$ Por supuesto,$$p$$ y$$q$$ están en algunos conectados$$\operatorname{set} B \subseteq A .$$ Tratar$$(B, \rho)$$ como un subespacio de$$(A, \rho),$$ y dejar

\ [
P^ {\ prime} =B\ cap P\ text {y} Q^ {\ prime} =B\ cap Q.
\]

Entonces por el Teorema 4 del Capítulo$$3, §12, P^{\prime}$$ y$$Q^{\prime}$$ se cierran en$$B$$. Además, son disjuntas (para$$P$$ y$$Q$$ son$$)$$ y no voides (para$$p \in P^{\prime}, q \in Q^{\prime} ),$$ y

\ [
B=B\ cap A=B\ cap (P\ cup Q) =( B\ cap P)\ cup (B\ cap Q) =P^ {\ prime}\ copa Q^ {\ prime}.
\]

Así$$B$$ se desconecta, contrariamente a la suposición. Esta contradicción prueba el lema (la prueba contraria es trivial).

En particular, si$$A$$ está conectado en sentido de arco, entonces cualquier punto$$p, q$$ en$$A$$ es en algún arco$$B \subseteq A,$$ un conjunto conectado por Corolario$$2 .$$ Así todo está demostrado. $$\square$$

## corolario$$\PageIndex{3}$$

Cualquier conjunto convexo o polígono-conectado$$(e . g ., a \text { globe})$$ en$$E^{n}$$ (o en cualquier otro espacio normado) está conectado en sentido del arco, por lo tanto conectado.

Prueba

Use Lema 1 y Ejemplo$$(\mathrm{c})$$ en la parte I de esta sección. $$\square$$

Precaución: Lo contrario falla. Un conjunto conectado no necesita estar conectado en sentido del arco, y mucho menos conectado a un polígono (ver Problema 17). Sin embargo, tenemos el siguiente
teorema.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Cada conjunto abierto conectado$$A$$ en$$E^{n}$$ (* o en otro espacio normado) también está conectado en sentido del arco e incluso está conectado por polígono.

Prueba

Si$$A=\emptyset,$$ esto es “vacuamente” cierto, así que vamos$$A \neq \emptyset$$ y arreglemos$$\overline{a} \in A$$.

Dejemos$$P$$ ser el conjunto de todo$$\overline{p} \in A$$ lo que se pueda unir con$$\overline{a}$$ un polígono$$K \subseteq A$$ Let$$Q=A-P .$$ Claramente,$$\overline{a} \in P,$$ así$$P \neq \emptyset$$. Demostraremos que$$P$$ está abierto, es decir, que cada uno$$\overline{p} \in P$$ está en un globo$$G_{\overline{p}} \subseteq P .$$

Así arreglamos cualquier$$\overline{p} \in P .$$ As$$A$$ está abierto y ciertamente$$\overline{p} \in A,$$ hay un globo$$G_{\overline{p}}$$ contenido en$$A$$. Además, como$$G_{\overline{p}}$$ es convexo, cada punto$$\overline{x} \in G_{\overline{p}}$$ se une con$$\overline{p}$$ el segmento de línea$$L[\overline{x}, \overline{p}] \subseteq G_{\overline{p}} .$$ También, como$$\overline{p} \in P,$$ algunos polígonos$$K \subseteq A$$ se une$$\overline{p}$$ con$$\overline{a}$$. Entonces

\ [
K\ copa L [\ overline {x},\ overline {p}]
\]

es un polígono uniendo$$\overline{x}$$ y$$\overline{a},$$ y por lo tanto por definición$$\overline{x} \in P .$$ Así cada uno$$\overline{x} \in G_{\overline{p}}$$ está en$$P,$$ modo que$$G_{\overline{p}} \subseteq P,$$ según se requiera, y$$P$$ está abierto (también apen en$$A$$ como subespacio).

A continuación, mostramos que el set también$$Q=A-P$$ está abierto. Como antes, si$$Q \neq \emptyset$$, arreglar cualquiera$$\overline{q} \in Q$$ y un globo$$G_{\overline{q}} \subseteq A,$$ y demostrar que$$G_{\overline{q}} \subseteq Q .$$ Efectivamente, si algunos$$\overline{x} \in G_{\overline{q}}$$ estuvieran$$n o t$$ en$$Q,$$ él estaría en$$P,$$ y así estaría unido con$$\overline{a}$$ (fijado arriba) por un polígono$$K \subseteq A .$$ Entonces, sin embargo,$$\overline{q}$$ sí mismo podría ser así unidos por el polígono

\ [
L [\ overline {q},\ overline {x}]\ copa K,
\]

lo que implica que$$\overline{q} \in P,$$ no$$\overline{q} \in Q .$$ Esto demuestra que$$G_{\overline{q}} \subset Q$$ efectivamente, como se afirma.

Así,$$A=P \cup Q$$ con$$P, Q$$ disjoint y open (de ahí clopen) en$$A .$$ La conectividad de$$A$$ entonces implica eso$$Q=\emptyset . \quad(P \text { is not empty, as has been }$$ señalado.) De ahí que$$A=P .$$ por la definición de$$P,$$ entonces, cada punto se$$\overline{b} \in A$$ pueda unir a$$\overline{a}$$ través de un polígono. Como$$\overline{a} \in A$$ era arbitrario,$$A$$ es polígono conectado. $$\square$$

Finalmente, se obtiene una versión más fuerte del teorema del valor intermedio.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Si una función$$f : A \rightarrow E^{1}$$ es relativamente continua en un conectado$$\operatorname{set} B \subseteq A \subseteq(S, \rho),$$, entonces$$f$$ tiene la propiedad Darboux en$$B$$.

De hecho, por Teoremas 3 y$$2, f[B]$$ es un conjunto conectado en$$E^{1},$$ i.e., un intervalo. Esto, sin embargo, implica la propiedad Darboux.

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