4.11: Espacios de Producto. Límites dobles e iterados

Dados dos espacios métricos\(\left(X, \rho_{1}\right)\) y\(\left(Y, \rho_{2}\right),\) podemos considerar el producto cartesiano\(X \times Y,\) adecuadamente metalizado. Dos métricas para\(X \times Y\) se sugieren en el Problema 10 en el Capítulo 3, §11. Adoptaremos el primero de ellos de la siguiente manera.

Definición

Por el producto de dos espacios métricos\(\left(X, \rho_{1}\right)\) y\(\left(Y, \rho_{2}\right)\) se entiende el espacio\((X \times Y, \rho),\) donde la métrica\(\rho\) se define por

\ [
\ rho\ izquierda ((x, y),\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime}\ derecha)\ derecha) =\ max\ izquierda\ {\ rho_ {1}\ izquierda (x, x^ {\ prime}\ derecha),\ rho_ {2}\ izquierda (y, y^ {\ prime}\ derecha)\ derecha\}
\]

para\(x, x^{\prime} \in X\) y\(y, y^{\prime} \in Y\).

Así, la distancia entre\((x, y)\) y\(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) es la mayor de las dos distancias

\ [
\ rho_ {1}\ izquierda (x, x^ {\ prime}\ derecha)\ texto {en} X\ texto {y}\ rho_ {2}\ izquierda (y, y^ {\ prime}\ derecha)\ texto {en} Y.
\]

La verificación de que\(\rho\) en\((1)\) es, efectivamente, una métrica se deja al lector. Ahora obtenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

(i) Un globo\(G_{(p, q)}(\varepsilon)\) en\((X \times Y, \rho)\) es el producto cartesiano de los\(\varepsilon\) globos correspondientes en\(X\) y\(Y\),

\ [
G_ {(p, q)} (\ varepsilon) =G_ {p} (\ varepsilon)\ veces G_ {q} (\ varepsilon).
\]

(ii) La convergencia de secuencias\(\left\{\left(x_{m}, y_{m}\right)\right\}\) en\(X \times Y\) es componente. Es decir, tenemos

\ [
\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha)\ fila derecha (p, q)\ texto {en} X\ veces Y\ texto {iff} x_ {m}\ fila derecha p\ texto {en} X\ texto {y} y_ {m}\ fila derecha q\ texto {en} Y.
\]

Prueba

Nuevamente, la prueba fácil se deja como ejercicio.

En este sentido, recordemos que por el Teorema 2 del Capítulo 3, §15, la convergencia adentro\(E^{2}\) es también por componentes, aunque la métrica estándar en no\(E^{2}\) es la métrica del producto,\((1) ;\) es más bien la métrica (ii) del Problema 10 en el Capítulo 3, §11. Podríamos haber adoptado esta segunda métrica\(X \times Y\) también para. Entonces la parte (i) del Teorema 1 fallaría, pero la parte (ii) seguiría haciendo

\ [
\ rho_ {1}\ izquierda (x_ {m}, p\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {2}}\ texto {y}\ rho_ {2}\ izquierda (y_ {m}, q\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {2}}.
\]

De ello se deduce que, en lo que respecta a la convergencia, las dos opciones de\(\rho\) son equivalentes.

Nota 1. De manera más general,\(S\) se dice que dos métricas para un espacio son equivalentes si convergen exactamente las mismas secuencias (a los mismos límites) bajo ambas métricas. Entonces también todos los límites de función son los mismos ya que los límites reduenciales, por el Teorema 1 de §2; de manera similar para nociones tales como continuidad, compacidad, completitud, cerramiento, apertura, etc.

Ante esto, a menudo llamaremos a\(X \times Y\) un espacio de producto (en el sentido más amplio) aunque su métrica no sea la\(\rho\) de fórmula\((1)\) sino equivalente a ella. En este sentido,\(E^{2}\) es el espacio de producto\(E^{1} \times E^{1},\) y\(X \times Y\) es su generalización.

Varias ideas válidas en\(E^{2}\) extenderse de manera bastante natural a\(X \times Y .\) Así, las funciones definidas en un conjunto\(A \subseteq X \times Y\) pueden tratarse como funciones de dos variables de\(x,\)\(y\) tal manera que\((x, y) \in A .\) Dado\((p, q) \in X \times Y,\) podemos considerar límites ordinarios o relativos en,\((p, q),\) por ejemplo, límites sobre una ruta

\ [
B=\ {(x, y)\ en X\ veces Y | y=q\}
\]

(brevemente llamada la “línea\(y=q^{\prime \prime} ) .\) En este caso,\(y\) permanece fija\((y=q)\) mientras entonces\(x \rightarrow p ;\) hablamos de límites y continuidad en una variable en\(x,\) contraposición a los de ambas variables conjuntamente, es decir, los límites ordinarios (cf. §3, parte\(\mathrm{IV} )\).

Algunos otros tipos de límites se van a definir a continuación. Por simplicidad, consideramos solo funciones\(f :(X \times Y) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) definidas en todos\(X \times Y .\) Si la confusión es poco probable, escribimos\(\rho\) para todas las métricas involucradas (como\(\rho^{\prime}\) en\(T ) .\) Abajo,\(p\) y\(q\) siempre denotan puntos de clúster de\(X\) y\(Y,\) respectivamente (esto justifica la notación “lim”. Por supuesto, nuestras definiciones se aplican en particular\(E^{2}\) como el caso especial más simple de\(X \times Y\).

Definición

\(f :(X \times Y) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\)Se dice que una función tiene el doble límite\(s \in T\) en\((p, q),\) denotado

\ [
s=\ lim _ {x\ fila derecha p\ arriba y\ fila derecha q} f (x, y),
\]

si para cada uno\(\varepsilon>0,\) hay\(\delta>0\) tal que\(f(x, y) \in G_{s}(\varepsilon)\) siempre\(x \in G_{\neg p}(\delta)\) y\(y \in G_{\neg q}(\delta) .\) en símbolos,

\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0)\ izquierda (\ forall x\ en G_ {\ neg p} (\ delta)\ derecha)\ izquierda (\ forall y\ en G_ {-q} (\ delta)\ derecha)\ quad f (x, y)\ en G_ {s} (\ varepsilon).
\]

Observe que este es el límite relativo sobre el camino

\ [
D =( X-\ {p\})\ veces (Y-\ {q\})
\]

excluyendo las dos “líneas”\(x=p\) y\(y=q\). Si\(f\) se restringieran a\(D,\) esto coincidiría con el límite ordinario no relativo (ver §1), denotado

\ [
s=\ lim _ {(x, y)\ fila derecha (p, q)} f (x, y),
\]

donde sólo\((p, q)\) se excluye el punto. Entonces tendríamos

\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0)\ izquierda (\ forall (x, y)\ en G_ {\ neg (p, q)} (\ delta)\ derecha)\ quad f (x, y)\ en G_ {s} (\ varepsilon).
\]

Ahora considere límites en una variable, digamos,

\ [
\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y)\ texto {con} x\ texto {fijo.}
\]

Si este límite existe para cada elección\(x\) de algún conjunto\(B \subseteq X,\), define una función

\ [
g: B\ fila derecha T
\]

con valor

\ [
g (x) =\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y),\ cuádruple x\ en B.
\]

Esto significa que

\ [
(\ forall x\ in B) (\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0)\ left (\ forall y\ in G_ {\ neg q} (\ delta)\ derecha)\ quad\ rho (g (x), f (x, y)) <\ varepsilon.
\]

Aquí, en general,\(\delta\) depende de ambos\(\varepsilon\) y\(x .\) Sin embargo, en algunos casos (parecido a una continuidad uniforme), uno y lo mismo\(\delta\) (dependiendo de\(\varepsilon\) solo\()\) se ajusta a todas las opciones de\(x\) desde\(B .\) Esto sugiere la siguiente definición.

Definición

Con la notación anterior, supongamos
\ [
\ lim _ {y\ rightarrow q} f (x, y) =g (x)\ text {existe para cada} x\ in B (B\ subseteq X).
\]
Decimos que este límite es uniforme en\(x(\text {on } B),\) y escribimos
\ [
“g (x) =\ lim _ {y\ rightarrow q} f (x, y) (\ text {uniformemente para} x\ in B),”
\]
iff para cada uno\(\varepsilon>0,\) hay\(\delta>0\) tal que\(\rho(g(x), f(x, y))<\varepsilon\) para todos \(x \in B\)y todos\(y \in G_{\neg q}(\delta) .\) En símbolos,
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0) (\ forall x\ in B)\ left (\ forall y\ in G_ {\ neg q} (\ delta)\ right)\ quad\ rho (g (x), f (x, y)) <\ varepsilon.
\]

Por lo general, el conjunto\(B\) en fórmulas\((4)\) y\((5)\) es una vecindad eliminada de\(p\) en\(X,\) e.g.,
\ [
B=G_ {\ neg p} (r),\ text {o} B=X-\ {p\}.
\]
Supongamos\((4)\) para tal\(B,\) así

\ [\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y) =g (x)\ text {existe para cada} x\ en B.
\]
Si, además,
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow p} g (x) =s
\]
existe, llamamos s el límite iterado de\(f\) at\((p, q)\) (primero en\(y,\) luego en\(x ),\) denotado
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow p}\ lim _ {y\ rightarrow q} f (x, y).
\]
Este límite se obtiene primero dejando\(y \rightarrow q\) (con\(x\) fijo\()\) y luego dejando\(x \rightarrow p .\) bastante similar, definimos
\ [
\ lim _ {y\ rightarrow q}\ lim _ {x\ rightarrow p} f (x, y).
\]
En general, los dos límites iterados (si existen) son diferentes, y su existencia no implica la del doble límite y\((2),\) mucho menos\((3),\) tampoco implica la igualdad de todos estos límites. (Ver Problemas 4ff más abajo.) Sin embargo, tenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(Osgood). \(\left(T, \rho^{\prime}\right)\)Déjese completar. Asumir la existencia de los siguientes límites de la función\(f : X \times Y \rightarrow T :\)
(i)\(\lim _{y \rightarrow q} f(x, y)=g(x)\) (uniformemente para\(x \in X-\{p\} )\) y
(ii)\(\lim _{x \rightarrow p} f(x, y)=h(y)\) para\(y \in Y-\{q\}\).
Entonces el doble límite y los dos límites iterados de\(f\) at\((p, q)\) existen y los
tres coinciden.

Prueba

Vamos\(\varepsilon>0 .\) Por nuestra suposición (i), hay\(\delta>0\) tal que
\ [
(\ forall x\ in X-\ {p\})\ left (\ forall y\ in G_ {\ neg q} (\ delta)\ derecha)\ quad\ rho (g (x), f (x, y)) <\ frac {\ varepsilon} {4}\ quad (\ mathrm {cf}. (5)).
\]
Ahora toma cualquier\(y^{\prime}, y^{\prime \prime} \in G_{\neg q}(\delta) .\) Por suposición (ii), hay un\(x^{\prime} \in X-\{p\}\) tan cercano a\(p\) eso
\ [
\ rho\ left (h\ left (y^ {\ prime}\ right), f\ left (x^ {\ prime}, y^ {\ prime}\ right)\ right) <\ frac {\ varepsilon} {4}\ text {y}\ rho\ left (h\ izquierda (y^ {\ prime\ prime}\ derecha), f\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {4}\ cdot (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Por lo tanto, usando\(\left(5^{\prime}\right)\) y la ley del triángulo (repetidamente), obtenemos para tal\(y^{\prime}, y^{\prime \prime}\)

\ [\ begin {alineado}\ rho\ left (h\ left (y^ {\ prime}\ right), h\ left (y^ {\ prime\ prime}\ right)\ leq &\ rho\ left (h\ left (y^ {\ prime}\ derecha), f\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime}\ derecha)\ derecha) +\ rho\ izquierda (f\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime}\ derecha), g\ izquierda (x^ {\ prime}\ derecha)\ derecha)\\ &+\ rho\ izquierda (g\ izquierda (x^ {\ prime}\ derecha), f\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ derecha) +\ rho\ izquierda (f\ izquierda (x^ {\ prime}, y^ {\ prime\ prime}\ derecha), h\ izquierda (y^ {\ prime\ prime}\ derecha) \ right)\\ <&\ frac {\ varepsilon} {4} +\ frac {\ varepsilon} {4} +\ frac {\ varepsilon} {4} +\ frac {\ varepsilon} {4} =\ varepsilon\ end {alineado}
\] De
ello se deduce que la función\(h\) satisface el criterio Cauchy del Teorema 2 en §2. (Sí aplica ya que\(T\) está completo.) Así\(\lim _{y \rightarrow q} h(y)\) existe, y, por suposición (ii), es igual a\(\lim _{y \rightarrow q} \lim _{x \rightarrow p} f(x, y)\) (que por lo tanto existe).
Vamos entonces\(H=\lim _{y \rightarrow q} h(y) .\) Con\(\delta\) como arriba, arregle algunos\(y_{0} \in G_{\neg q}(\delta)\) tan cercanos a\(q\) eso
\ [
\ rho\ left (h\ left (y_ {0}\ right), H\ right) <\ frac {\ varepsilon} {4}.
\]
Además, usando la suposición (ii), elija una\(\delta^{\prime}>0\left(\delta^{\prime} \leq \delta\right)\) tal que

\ [\ rho\ izquierda (h\ izquierda (y_ {0}\ derecha), f\ izquierda (x, y_ {0}\ derecha)\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {4}\ quad\ text {for} x\ in G_ {\ neg p}\ left (\ delta^\ prime}\ derecho).
\]
Combinando con\(\left(5^{\prime}\right),\) obtener\(\left(\forall x \in G_{-p}\left(\delta^{\prime}\right)\right)\)
\ [
\ rho (H, g (x))\ leq\ rho\ izquierda (H, h\ izquierda (y_ {0}\ derecha)\ derecha) +\ rho\ izquierda (h\ izquierda (y_ {0}\ derecha), f\ izquierda (x, y_ {0}\ derecha)\ derecha) +\ rho\ izquierda (f\ izquierda (x, y_ {0}\ derecha), g (x)\ derecha) <\ frac {3\ varepsilon} {4}.
\]
Así
\ [
\ izquierda (\ forall x\ in G_ {\ neg p}\ izquierda (\ delta^ {\ prime}\ derecha)\ derecha)\ quad\ rho (H, g (x)) <\ varepsilon.
\]
De ahí\(\lim _{x \rightarrow p} g(x)=H,\) i.e., el segundo límite iterado,\(\lim _{x \rightarrow p} \lim _{y \rightarrow q} f(x, y),\) igualmente existe y es igual\(H .\)
Finalmente, con\(\delta^{\prime} \leq \delta,\) lo mismo combinamos\((6)\) y\(\left(5^{\prime}\right)\) para obtener
\ [
\ begin {array} {l } {\ izquierda (\ forall x\ in G_ {\ neg p}\ izquierda (\ delta^ {\ prime}\ derecha)\ izquierda (\ forall y\ en G_ {\ neg q}\ izquierda (\ delta^ {\ prime}\ derecha)\ rho (H, f (x, y))\ leq\ rho (H, g (x)) +\ rho (g (x), f (x, y)) <\ frac {3\ varepsilon} {4} +\ frac {\ varepsilon} {4} =\ varepsilon}\ end {array}
\]
De ahí la doble límite\((2)\) también existe y es igual\(H . \square\)

Nota 2. La misma prueba funciona también con\(f\) restringido a para\((X-\{p\}) \times(Y-\{q\})\) que las “líneas”\(x=p\) y\(y=q\) se excluyan de\(D_{f} .\) En este caso,
fórmulas\((2)\) y\((3)\) significan lo mismo; es decir,

\ [\ lim _ {x\ rightarrow p\ arriba y\ fila derecha q} f (x, y) =\ lim _ {(x, y)\ fila derecha (p, q)} f (x, y).
\]

Nota 3. En teorema\(2,\) podemos tomar\(E^{*}\) (adecuadamente metrizado) para\(X\) o\(Y\) o\(T .\) Entonces el teorema también se aplica a los límites en\(\pm \infty,\) y límites infinitos. También podemos tomar\(X=Y=N \cup\{+\infty\}\) (los naturales junto\(+\infty ),\) con el mismo\(E^{*}\) -métrico, y considerar límites en\(p=+\infty .\) Además, por Nota\(2,\) podemos restringir\(f\) para\(N \times N,\) que\(f : N \times N \rightarrow T\) se convierta en una secuencia doble (Capítulo 1, §9). Escribiendo\(m\) y\(n\) para\(x\)\(y,\) y\(u_{m n}\) para entonces\(f(x, y),\) obtenemos el teorema de Osgood para secuencias dobles (también llamado teorema de Moore-Smith) de la siguiente manera.

Teorema\(\PageIndex{2'}\)

Dejar\(\left\{u_{m n}\right\}\) ser una secuencia doble en un espacio completo\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\) Si
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =q_ {m}\ text {existe para cada} m
\]
y si
\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =p_ {n} (\ text {uniformemente en} n)\ text {igualmente existe,}
\]
entonces el doble límite y los dos límites iterados de\(\left\{u_{m n}\right\}\) existir y
\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty\ arriba n\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =\ lim _ {m _ m \ fila derecha\ infty}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} u_ {m n}.
\]
Aquí la suposición de que\(\lim _{m \rightarrow \infty} u_{m n}=p_{n}\) (uniformemente en\(n )\) medias, por\((5),\) eso
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall n) (\ forall m>k)\ quad\ rho\ left (u_ {m n}, p_ {n}\ right) <\ varepsilon.
\]
Del mismo modo, la sentencia "\(\lim _{m \rightarrow \infty \atop n \rightarrow \infty} u_{m n}=s^{\prime \prime}(\operatorname{see}(2))\)equivale a
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall m, n>k)\ quad\ rho\ left (u_ {m n}, s\ right) <\ varepsilon.
\]

Nota 4. Dada cualquier secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq(S, \rho),\) podemos considerar el doble\(\operatorname{limit} \lim _{m \rightarrow \infty \atop n \rightarrow \infty} \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)\) en\(E^{1} .\) Al usar\((8),\) uno fácilmente ve que
\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty\ arriba n\ fila derecha\ infty}\ rho\ izquierda (x_ {m}, x_ {n}\ derecha) =0
\]
iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall m, n>k)\ quad\ rho\ left (x_ {m}, x_ {n}\ right) <\ varepsilon,
\] es
decir,\(i f f\left\{x_{m}\right\}\) es una secuencia de Cauchy. Así, las secuencias de Cauchy son aquellas para las cuales\(\lim _{n \rightarrow \infty \atop n \rightarrow \infty} \rho\left(x_{m}, x_{n}\right)=0\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

En cada espacio métrico,\((S, \rho),\) la métrica\(\rho :(S \times S) \rightarrow E^{1}\) es una función continua en el espacio del producto\(S \times S\).

Prueba

Fijar cualquier\((p, q) \in S \times S .\) Por Teorema 1 de §2,\ rho\) es continuo en\((p, q)\) iff
\ [
\ rho\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha)\ derecha)\ derecha\ rho (p, q)\ texto {siempre}\ izquierda (x_ {m}, y_ {m}\ derecha)\ derecha)\ fila derecha (p, q),
\]
es decir, cuando\(x_{m} \rightarrow p\) y \(y_{m} \rightarrow q .\)Sin embargo, esto sigue por el Teorema 4 en el Capítulo 3, §15. Así se demuestra la continuidad. \(\square\)