4.11.E: Problemas en los Dobles Límites y Espacios de Productos
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Formular las Definiciones 2 y 3 para los casos i
)\(p=q=s=+\infty\)\(p=+\infty, q \in E^{1}, s=-\infty\); ii);
iii)\(p \in E^{1}, q=s=-\infty ;\) y
iv)\(p=q=s=-\infty\).
Demostrar Teorema\(2^{\prime}\) del Teorema 2 usando el Teorema 1 de §2. Dar una prueba directa también.
Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por
\ [
f (x, y) =\ frac {x y} {x^ {2} +y^ {2}}\ text {if} (x, y)\ neq (0,0),\ text {y} f (0,0) =0;
\]
ver §1, Ejemplo\((\mathrm{g}) .\) Mostrar que
\ [\ lim _ {y\ fila derecha 0}\ lim _ {x\ fila derecha 0} f (x, y) =0=\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ lim _ {y\ fila derecha 0} f (x, y),
\]
pero
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha 0\ arriba y\ fila derecha 0} f (x, y)\ text {no existe.}
\]
Explicar el aparente fracaso del Teorema 2.
Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por
\ [
f (x, y) =0\ texto {si} x y=0\ texto {y} f (x, y) =1\ texto {de lo contrario.}
\]
Mostrar que\(f\) satisface Teorema 2 en\((p, q)=(0,0),\) pero
\ [\ lim _ {(x, y)\ fila derecha (p, q)} f (x, y)
\ ]
no existe.
Hacer Problema\(4,\) con\(f\) definido como en Problemas 9 y 10 de §3.
Definir\(f\) como en el Problema 11 del §3. Mostrar que para\((\mathrm{c})\), tenemos
\ [
\ lim _ {(x, y)\ fila derecha (0,0)} f (x, y) =\ lim _ {x\ fila derecha 0\ arriba y\ fila derecha 0} f (x, y) =\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ lim _ {y\ fila derecha 0} f (x, y) =0,
\]
pero\(\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)\) no existe; para\((\mathrm{d})\),
\ [
\ lim _ {y\ fila derecha 0}\ lim _ {x\ fila derecha 0} f (x, y) =0,
\]
pero los límites iterados no existen; y para\((\mathrm{e}), \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\) falla en existir, pero
\ [\ lim _ {x\ fila derecha 0\ arriba y\ fila derecha 0} f (x, y) =\ lim _ {y\ fila derecha 0}\ lim _ {x\ fila derecha 0} f (x, y) =\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ lim _ {y\ fila derecha 0} f (x, y) =0.
\]
Da tus comentarios.
Encuentra (si es posible) lo ordinario, el doble, y los límites iterados de\(f\) al\((0,0)\) asumiendo que\(f(x, y)\) está dado por una de las expresiones a continuación, y\(f\) se define en aquellos puntos de\(E^{2}\) donde la expresión tiene sentido.
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(i)}\ frac {x^ {2}} {x^ {2} +y^ {2}};} & {\ text {(ii)}\ frac {y\ sin x y} {x^ {2} +y^ {2}}}\\ {\ text {(iii)}\ frac {x+2 y} {x-y};} & {\ texto {(iv)}\ frac {x^ {3} y} {x^ {6} +y^ {2}}}\\ {\ texto {(v)}\ frac {x^ {2} -y^ {2}} {x^ {2} +y^ {2}};} & {\ texto {(vi) }\ frac {x^ {5} +y^ {4}} {\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) ^ {2}}}\\ {\ text {(vii)}\ frac {y+x\ cdot 2^ {-y^ {2}}} {4+x^ {2}};} & {\ texto {(viii)}\ frac ac {\ sin x y} {\ sin x\ cdot\ sin y}}\ fin {matriz}
\]
Resolver Problema 7 con\(x\) y\(y\) tendiendo a\(+\infty\).
Considera la secuencia\(u_{m n}\) en\(E^{1}\) definida por
\ [
u_ {m n} =\ frac {m+2 n} {m+n}.
\]
Mostrar que
\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =2\ texto {y}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} u_ {m n} =1,
\]
pero el doble límite no existe. ¿Qué pasa aquí? (Ver Theo\(\left.\text { rem } 2^{\prime} .\right)\)
Demostrar teorema\(2,\) con (i) reemplazado por la suposición más débil (“límite subuni-forma”)
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0)\ left (\ forall x\ in G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ left (\ forall y\ in G_ {\ neg q} (\ delta)\ right)\ quad\ rho (g (x), f (x, y)) <\ varepsilon
\]
y con límites iterados definidos por
\ [
s=\ lim _ {x\ fila derecha p}\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y)
\]
iff\((\forall \varepsilon>0)\)
\ [
\ left (\ existe\ delta^ {\ prime} >0\ derecha)\ left (\ forall x\ in G_ {\ neg p}\ left (\ delta^ {\ prime}\ derecha)\ derecha)\ izquierda (\ existe\ delta_ {x} ^ {\ prime\ prime} >0\ derecha)\ izquierda (\ forall y\ in G_ {\ neg q}\ izquierda (\ delta_ {x} ^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ derecha)\ quad\ rho (f (x, y), s) <\ varepsilon.
\]
¿La continuidad de\(f\) on\(X \times Y\) implica la existencia de (i) límites iterados? ii) ¿el doble límite?
[Sugerencia: Ver Problema 6.]
Demostrar que la métrica estándar en\(E^{1}\) es equivalente al\(\rho^{\prime}\) del Problema 7 en el Capítulo 3, §11.
Definir productos de\(n\) espacios y probar el Teorema 1 para dichos espacios de producto.
Mostrar que la métrica estándar en\(E^{n}\) es equivalente a la métrica del producto para\(E^{n}\) tratado como un producto de\(n\) espacios\(E^{1} .\) Resolver un problema similar para\(C^{n} .\)
[Sugerencia: Usar Problema 13.]
Demostrar que\(\left\{\left(x_{m}, y_{m}\right)\right\}\) es una secuencia de Cauchy en\(X \times Y\) iff\(\left\{x_{m}\right\}\) y\(\left\{y_{m}\right\}\) son Cauchy. Deducir que\(X \times Y\) es completo iff\(X\) y\(Y\) son.
Demostrar que\(X \times Y\) es compacto iff\(X\) y\(Y\) son.
[Pista: Ver la prueba del Teorema 2 en el Capítulo 3, §16, para\(E^{2}\).]
(i) Demostrar la continuidad uniforme de los mapas de proyección\(P_{1}\) y\(P_{2}\) sobre\(X \times Y,\) dada por\(P_{1}(x, y)=x\) y\(P_{2}(x, y)=y .\)
(ii) Demostrar que para cada set abierto\(G\) en\(X \times Y, P_{1}[G]\) está abierto en\(X\) y\(P_{2}[G]\) está abierto en\(Y .\)
[Pista: Usar Corolario 1 de Capítulo\(3,\{12 .]\)
iii) Desmentir (ii) para conjuntos cerrados mediante un contraejemplo.
[Pista:\(X \times Y=E^{2} .\) Dejemos\(G\) ser la hipérbola\(x y=1 .\) Usa el Teorema 4 del Capítulo 3, §16 para probar que\(G\) está cerrado.]
Demostrar que si\(X \times Y\) está conectado, así son\(X\) y\(Y\).
[Sugerencia: Usar el Teorema 3 de §10 y los mapas de proyección\(P_{1}\) y\(P_{2}\) del Problema 17.]
Demostrar que si\(X\) y\(Y\) están conectados, así es por\(X \times Y\) debajo de la métrica del producto.
[Sugerencia: Usando mapas continuos adecuados y Teorema 3 en §10, muestran que dos “líneas” cualesquiera\(x=p\) y\(y=q\) son conjuntos conectados en\(X \times Y .\) Luego use Lema 1 y Problema 10 en §10.]
Demostrar el teorema 2 bajo los supuestos más débiles establecidos en nota al pie\(1 .\)
Demostrar lo siguiente:
(i) Si
\ [
g (x) =\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y)\ texto {y} H=\ lim _ {x\ fila derecha p\ arriba y\ fila derecha q} f (x, y)
\]
existen para\(x \in G_{\neg p}(r)\) y\(y \in G_{\neg q}(r),\) entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p }\ lim _ {y\ fila derecha q} f (x, y) =H.
\]
(ii) Si existen el límite doble y un límite iterado, son necesariamente iguales.
En Teorema\(2,\) sumamos los supuestos
\ [
h (y) =f (p, y)\ quad\ text {for} y\ in Y-\ {q\}
\]
y
\ [
g (x) =f (x, q)\ quad\ text {for} x\ in X-\ {p\}.
\]
Entonces muestra que
\ [
\ lim _ {(x, y)\ fila derecha (p, q)} f (x, y)
\]
existe y es igual a los límites dobles.
[Sugerencia: Mostrar que aquí (5) sostiene también para\(x=p\) y\(y \in G_{\neg q}(\delta)\) y para\(y=q\) y\( x \in G_{\neg p}(\delta) . ]\)
Del Problema 22 probar que una función\(f :(X \times Y) \rightarrow T\) es continua en\((p, q)\) if
\ [
f (p, y) =\ lim _ {x\ rightarrow p} f (x, y)\ text {y} f (x, q) =\ lim _ {y\ rightarrow q} f (x, y)
\]
porque\((x, y)\) en algunos\(G_{(p, q)}(\delta),\) y al menos uno de estos límites es uniforme.