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4.12.E: Problemas en Secuencias y Series de Funciones

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completar la prueba de los Teoremas 2 y 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Completar la prueba del Teorema 4.

    Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

    En Ejemplo\((a),\) muestran eso\(f_{n} \rightarrow+\infty\) (puntual) encendido\((1,+\infty),\) pero no uniformemente así. Demostrar, sin embargo, que el límite es uniforme en cualquier intervalo\([a,+\infty), a>1 .\) (Definir “lim\(f_{n}=+\infty\) (uniformemente)” de manera adecuada.)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Usando el Teorema 1, discutir\(\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\) sobre\(B\) y\(C(\text { as in Example }(a))\) para cada uno de los siguientes.
    (i)\(f_{n}(x)=\frac{x}{n} ; B=E^{1} ; C=[a, b] \subset E^{1}\).
    ii)\(f_{n}(x)=\frac{\cos x+n x}{n} ; B=E^{1}\).
    iii)\(f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} x^{k} ; B=(-1,1) ; C=[-a, a],|a|<1\).
    iv)\(f_{n}(x)=\frac{x}{1+n x} ; C=[0,+\infty)\).
    \(\left.\text { [Hint: Prove that } Q_{n}=\sup \frac{1}{n} (1-\frac{1}{n x+1}\right)=\frac{1}{n} .]\)
    (v)\(f_{n}(x)=\cos ^{n} x ; B=\left(0, \frac{\pi}{2}\right), C=\left[\frac{1}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\).
    vi)\(f_{n}(x)=\frac{\sin ^{2} n x}{1+n x} ; B=E^{1}\).
    vii)\(f_{n}(x)=\frac{1}{1+x^{n}} ; B=[0,1) ; C=[0, a], 0<a<1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Usando los Teoremas 1 y\(2,\) discutir\(\lim f_{n}\) sobre los conjuntos que se dan a continuación, con
    \(f_{n}(x)\) como se indica y\(0<a<+\infty .\) (Las reglas de cálculo para máximos y mínimos se asumen conocidas en (v),\((\mathrm{vi}),\) y (vii).)
    (i)\(\frac{n x}{1+n x} ;[a,+\infty),(0, a)\).
    ii)\(\frac{n x}{1+n^{3} x^{3}} ;(a,+\infty),(0, a)\).
    iii)\(\sqrt[n]{\cos x} ;\left(0, \frac{\pi}{2}\right),[0, a], a<\frac{\pi}{2}\).
    iv)\(\frac{x}{n} ;(0, a),(0,+\infty)\).
    (v)\(x e^{-n x} ;[0,+\infty) ; E^{1}\).
    vi)\(n x e^{-n x} ;[a,+\infty),(0,+\infty)\).
    vii)\(n x e^{-n x^{2}} ;[a,+\infty),(0,+\infty)\).
    [Pista:\(\lim f_{n}\) no puede ser uniforme si los\(f_{n}\) son continuos en un conjunto, pero no lo\(\lim f_{n}\) es.
    [Para\((\mathrm{v}), f_{n}\) tiene un máximo en\(x=\frac{1}{n}\); de ahí encontrar\(Q_{n}\).]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Definir\(f_{n} : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
    \ [
    f_ {n} (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll} {n x} & {\ text {if} 0\ leq x\ leq\ frac {1} {n}}\\ {2-n x} & {\ text {if}\ frac {1} {n} <x\ leq\ frac {2} {n},\ texto {y}}\\ {0} & {\ text {de lo contrario}}\ end {array}\ derecho.
    \]
    Mostrar que todos\(f_{n}\) y\(\lim f_{n}\) son continuos en cada intervalo\((-a, a),\)\(\left.\text { though } \lim f_{n} \text { exists only pointwise. (Compare this with Theorem } 3 .\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    La función\(f\) que se encuentra en la prueba del Teorema 3 se determina de manera única. ¿Por qué?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(\Rightarrow 7.\)Demostrar que si cada una de las funciones\(f_{n}\) es constante on\(B,\) o si\(B\) es finita, entonces un límite puntual del\(f_{n}\) on también\(B\) es un límite uniforme; de manera similar para series.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(\Rightarrow 8.\)Demostrar que si está\(f_{n} \rightarrow f(\text { uniformly })\) encendido\(B\) y si\(C \subseteq B,\) entonces\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente)\(C\) también.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(\Rightarrow 9.\)Mostrar que si\(f_{n} \rightarrow f(\text { uniformly })\) en cada uno de\(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{m},\) entonces\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(\bigcup_{k=1}^{m} B_{k}\).
    Desmentirlo por uniones infinitas con un ejemplo. Haz lo mismo para las series.

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10.\)\(f_{n} \rightarrow f(\text { uniformly })\)Vamos\(B\). Demostrar la equivalencia de las siguientes afirmaciones:
    (i) Cada uno\(f_{n},\) de un cierto en\(n\) adelante, está acotado en\(B\).
    (ii)\(f\) está delimitado en\(B\).
    (iii) En última instancia,\(f_{n}\) se acoplan uniformemente sobre\(B ;\) esto es, todos los valores\(f_{n}(x), x \in B,\) de función a partir de un cierto en\(n=n_{0}\) adelante, están en un mismo globo\(G_{q}(K)\) en el espacio de rango.
    Para funciones reales, complejas y con valores vectoriales, esto significa que
    \ [
    \ left (\ existe K\ en E^ {1}\ right)\ left (\ forall n\ geq n_ {0}\ right) (\ forall x\ in B)\ quad\ left|f_ {n} (x)\ derecha|<k.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(\Rightarrow 11.\)Demostrar para funciones reales, complejas o vectoriales\(f_{n}, f, g_{n}, g\) que si
    \ [
    f_ {n}\ fila derecha f\ texto {y} g_ {n}\ fila derecha g\ texto {(uniformemente) en} B,
    \]
    entonces también\ [
    f_ {n}
    \ pm g_ {n}\ pm g_ {n}\ fila derecha f\ pm g (\ texto {uniformemente})\ texto {on} B.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(\Rightarrow 12.\)Demostrar que si las funciones\(f_{n}\) y\(g_{n}\) son reales o complejas (o si las\(g_{n}\) son valoradas vectoriales y las\(f_{n}\) son valoradas escalar), y si
    \ [
    f_ {n}\ fila derecha f\ text {y} g_ {n}\ fila derecha g\ text {(uniformemente) on} B,
    \]
    entonces
    \ [
    f_ {n} g_ {n}\ fila derecha f g\ texto {(uniformemente) en} B
    \]
    siempre que cualquiera\(f\) y\(g\) o el\(f_{n}\) y\(g_{n}\) estén delimitados en\(B\) (al menos de algunos en\(n\) adelante); cf. Problema\(11 .\)
    Desmentirlo por el caso donde solo uno de\(f\) y\(g\) está acotado.
    [Pista: Let\(f_{n}(x)=x\) y\(g_{n}(x)=1 / n\) (constante) on\(B=E^{1} .\) Dar algunos otros ejemplos.]

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(\Rightarrow 13.\)Demostrar que si\(\left\{f_{n}\right\}\) tiende a\(f\) (puntualmente o uniformemente), también lo hace cada subsecuencia\(\left\{f_{n_{k}}\right\}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(\Rightarrow 14.\)Dejar que las funciones\(f_{n}\)\(g_{n}\) y y las constantes\(a\) y\(b\) sean reales o complejas\(\left.\text { (or let } a \text { and } b \text { be scalars and } f_{n} \text { and } g_{n} \text { be vector valued }\right) .\) Demostrar que si
    \ [
    f=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} f_ {n}\ text {y} g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} g_ {n}\ text {(puntual o uniformemente)},
    \]
    entonces
    \ [
    a f+b g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ left (a f_ {n} +b g_ {n}\ right)\ text {en el mismo sentido.}
    \]
    (Se excluyen los límites infinitos.)
    En particular,
    \ [
    f\ pm g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ left (f_ {n}\ pm g_ {n}\ right)\ quad\ text {(regla de suma a término)}
    \]
    y
    \ [
    a f=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} a f_ {n}.
    \]
    \(\text { [Hint: Use Problems } 11 \text { and } 12 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(\Rightarrow 15.\)Dejar el espacio de alcance de las funciones\(f_{m}\) y\(g\) ser\(E^{n}\left(\text {*or } C^{n}\right),\) y dejar\(f_{m}=\left(f_{m 1}, f_{m 2}, \ldots, f_{m n}\right), g=\left(g_{1}, \ldots, g_{n}\right) ;\) ver §3, parte II. Demostrar que
    \ [
    f_ {m}\ fila derecha g\ quad\ text {(puntual o uniformemente)}
    \]
    iff cada componente\(f_{m k}\) de\(f_{m}\) converge (en el mismo sentido) al componente correspondiente\(g_{k}\) de\(g ;\) i.e.,
    \ [
    f_ {m k}\ fila derecha g_ {k}\ quad\ texto {(puntual o uniformemente),} k=1,2,\ lpuntos, n.
    \]
    Del mismo modo,
    \ [
    g=\ sum_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}
    \]
    iff
    \ [
    (\ forall k\ leq n)\ quad g_ {k} =\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m k}.
    \]
    \(\text { (See Chapter } 3, §15, \text { Theorem } 2)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(\Rightarrow 16.\)Del Problema 15 deducir para funciones complejas que\(f_{m} \rightarrow g\) (puntualmente o uniformemente) siff las partes reales e imaginarias del\(f_{m}\) convergen a las de\(g\) (puntual o uniformemente). Es decir,\(\left(f_{m}\right)_{r e} \rightarrow g_{r e}\) y\(\left(f_{m}\right)_{i m} \rightarrow g_{i m}\); de manera similar para series.

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(\Rightarrow 17.\)Demostrar que la convergencia o divergencia (puntual o uniformemente) de una
    secuencia\(\left\{f_{m}\right\},\) o una serie\(\sum f_{m},\) de funciones no se ve afectada al eliminar o agregar un número finito de términos.
    Demostrar también que\(\lim _{m \rightarrow \infty} f_{m}\) (en su caso) sigue siendo el mismo, pero\(\sum_{m=1}^{\infty} f_{m}\) se ve alterado por la diferencia entre los términos agregados y eliminados.

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(\Rightarrow 18.\)Mostrar que la serie geométrica con relación\(r\),
    \ [
    \ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a r^ {n}\ quad\ izquierda (a, r\ en E^ {1}\ texto {o} a, r\ en C\ derecha),
    \]
    converge iff\(|r|<1,\) en cuyo caso
    \ [
    \ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a r^ {n} =\ frac {a} {1-r}
    \]
    (de manera similar si\(a\) es un vector y\(r\) es un escalar). Deducir que\(\sum(-1)^{n}\) diverge. (Véase Capítulo 3, §15, Problema 19.)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    El teorema 4 muestra que una serie convergente no cambia su suma si cada varios términos consecutivos son reemplazados por su suma. Mostrar con un ejemplo que el proceso inverso (dividir cada término en varios términos) puede afectar la convergencia.
    [Pista: Considere\(\sum a_{n}\) con\(a_{n}=0 .\) Split\(a_{n}=1-1\) para obtener una serie divergente:\(\left.\sum(-1)^{n-1}, \text { with partial sums } 1,0,1,0,1, \ldots\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Encuentra\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\).
    \(\left.\text { [Hint: Verify: } \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} . \text { Hence find } s_{n}, \text { and let } n \rightarrow \infty .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(f_{n} : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho)\)Se dice que las funciones son equicontinuas en\(p \in A\) iff
    \ [
    (\ forall\ varepsilon>0) (\ existe\ delta>0) (\ forall n)\ left (\ forall x\ in A\ cap G_ {p} (\ delta)\ right)\ quad\ rho^ {\ prime}\ left (f_ {n} (x), f_ {n} (p)\ derecha) <\ varepsilon.
    \]
    Demostrar que si es así, y si\(f_{n} \rightarrow f\) (puntualmente) en\(A,\) entonces\(f\) es continuo en\(p .\)
    [Pista: “Imitar” la prueba del Teorema 2.]


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