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# 4.13: Serie Absolutamente Convergente. Serie Power

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I.$$\sum f_{m}$$ Se dice que una serie es absolutamente convergente en un conjunto$$B$$ si la serie$$\sum\left|f_{m}(x)\right|$$ (brevemente,$$\sum\left|f_{m}\right| )$$ de los valores absolutos de$$f_{m}$$ converge en$$B$$ (puntual o uniformemente). Notación:

\ [
f=\ suma\ izquierda|f_ {m}\ derecha|\ texto {(puntual o uniformemente})\ texto {on} B.
\]

En general,$$\sum f_{m}$$ puede converger mientras$$\sum\left|f_{m}\right|$$ no lo hace (ver Problema 12$$) .$$ En este caso,$$\sum f_{m}$$ se dice que la convergencia de es condicional. (Puede ser absoluta para algunos$$x$$ y condicional para otros.) Como veremos, la convergencia absoluta asegura la ley conmutativa para las series, e implica la convergencia ordinaria (es decir, la de$$\sum f_{m} ),$$ si el espacio de rango del$$f_{m}$$ es completo.

Nota 1. Let

\ [
\ sigma_ {m} =\ suma_ {k=1} ^ {m}\ izquierda|f_ {k}\ derecha|.
\]

Entonces

\ [
\ sigma_ {m+1} =\ sigma_ {m} +\ izquierda|f_ {m+1}\ derecha|\ geq\ sigma_ {m}\ quad\ texto {on} B;
\]

es decir, la$$\sigma_{m}(x)$$ forma de una secuencia monótona para cada$$x \in B .$$ De ahí por el Teorema 3 del Capítulo 3, §15,

\ [
\ lim _ {m\ fila derecha\ infty}\ sigma_ {m} =\ suma_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|\ texto {siempre existe en} E^ {*};
\]

$$\sum\left|f_{m}\right|$$converge iff$$\sum_{m=1}^{\infty}\left|f_{m}\right|<+\infty$$.

Para el resto de esta sección consideramos solo espacios de gama completa.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Deje que el espacio de rango de las funciones$$f_{m}$$ (todas definidas en$$A )$$ ser$$E^{1}$$,$$C,$$ o$$E^{n}\left(^{*} \text { or another complete normed space). Then for } B \subseteq A, \text { we have the }\right.$$ siguientes:

(i) Si$$\sum\left|f_{m}\right|$$ converge sobre$$B$$ (puntual o uniformemente), también lo hace$$\sum f_{m}$$ él mismo. Por otra parte,

\ [
\ izquierda|\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}\ derecha|\ leq\ suma_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|\ quad\ texto {on} B.
\]

ii) (Derecho conmutativo para la convergencia absoluta.) Si$$\sum\left|f_{m}\right|$$ converge (puntual o uniformemente,$$B,$$ también lo hace cualquier serie$$\sum\left|g_{m}\right|$$ obtenida reordenando el$$f_{m}$$ en cualquier orden diferente. Por otra parte,

\ [
\ sum_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m} =\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} g_ {m}\ quad (\ texto {ambos existen en} B)/
\]

Nota 2. Más precisamente, una secuencia$$\left\{g_{m}\right\}$$ se llama un reordenamiento de$$\left\{f_{m}\right\}$$ iff hay un mapa$$u : N \longleftrightarrow_{onto} N$$ tal que

\ [
(\ forall m\ in N)\ quad g_ {m} =f_ {u (m)}.
\]

Prueba

(i) Si$$\sum\left|f_{m}\right|$$ converge uniformemente$$B,$$ entonces por el Teorema$$3^{\prime}$$ del §12,

\ [
\ begin {array} {l} {(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k) (\ forall n>m>k) (\ forall x\ in B)}\\ {\ qquad\ varepsilon>\ sum_ {i=m} ^ {n}\ izquierda|f_ {i} (x)\ derecha|\ geq\ ft|\ sum_ {i=m} ^ {n} f_ {i} (x)\ derecha|\ text {(ley del triángulo)}}\ end {array}.
\]

Sin embargo, esto demuestra que$$\sum f_{n}$$ satisface el criterio de Cauchy (6) de §12, por lo que converge uniformemente sobre$$B$$.

Además, dejando$$n \rightarrow \infty$$ entrar la desigualdad

\ [
\ izquierda|\ suma_ {m=1} ^ {n} f_ {m}\ derecha|\ leq\ suma_ {m=1} ^ {n}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|,
\]

conseguimos

\ [
\ izquierda|\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}\ derecha|\ leq\ suma_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|<+\ infty\ quad\ text {on} B,\ text {como se reivindica.}
\]

Por Nota$$1,$$ esto también prueba el teorema para la convergencia puntual.

(ii) Nuevamente, si$$\sum f_{m} |$$ converge uniformemente sobre$$B,$$ las desigualdades que se$$(1)$$ mantienen para todos$$f_{i}$$ excepto (posiblemente) para$$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k}$$. Ahora cuando$$\sum f_{m}$$ se reordene, estas$$k$$ funciones serán renumeradas como ciertas$$g_{i} .$$ Let$$q$$ be the largest of their new subíndices i. Entonces todas ellas (y posiblemente algunas funciones más) están entre$$g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{q}$$ (así que de$$q \geq k ) .$$ ahí si excluimos$$g_{1}, \ldots, g_{q},$$ las desigualdades $$(1)$$sin duda sostendrá para el restante$$g_{i}$$$$(i>q) .$$ Así

\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe q) (\ forall n>m>q) (\ forall x\ in B)\ quad\ varepsilon>\ suma_ {i=m} ^ {n}\ izquierda|g_ {i}\ derecha|\ geq\ izquierda|\ sum_ {i=m} ^ {n} g_ {i}\ derecha|.
\]

Por criterio de Cauchy, entonces, ambos$$\sum g_{i}$$ y$$\sum\left|g_{i}\right|$$ convergen uniformemente.

Además, por construcción, las dos sumas parciales

\ [
s_ {k} =\ suma_ {i=1} ^ {k} f_ {i}\ texto {y} s_ {q} ^ {\ prime} =\ suma_ {i=1} ^ {q} g_ {i}
\]

puede diferir sólo en aquellos términos cuyos subíndices originales (antes del reordenamiento) eran$$>k . \mathrm{By}(1),$$ sin embargo, cualquier suma finita de tales términos es menor que$$\varepsilon$$ en valor absoluto. Así$$\left|s_{q}^{\prime}-s_{k}\right|<\varepsilon$$.

Este argumento se mantiene también si$$k$$ in$$(1)$$ es reemplazado por un entero más grande.
(Entonces también$$q$$ aumenta, ya que$$q \geq k$$ como se señaló anteriormente.) Así podremos dejar entrar$$k \rightarrow+\infty(\text { hence also } q \rightarrow+\infty)$$ la desigualdad$$\left|s_{q}^{\prime}-s_{k}\right|<\varepsilon,$$ con lo$$\varepsilon$$ fijo. Entonces

\ [
s_ {k}\ fila derecha\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}\ texto {y} s_ {q} ^ {\ prime}\ fila derecha\ suma_ {i=1} ^ {\ infty} g_ {i},
\]

por lo

\ [
\ izquierda|\ suma_ {i=1} ^ {\ infty} g_ {i} -\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}\ derecha|\ leq\ varepsilon.
\]

Ahora vamos$$\varepsilon \rightarrow 0$$ a conseguir

\ [
\ suma_ {i=1} ^ {\ infty} g_ {i} =\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m};
\]

de manera similar para la convergencia puntual. $$\square$$

II. A continuación, desarrollamos algunas pruebas simples para la convergencia absoluta.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(prueba de comparación). Supongamos

\ [
(\ forall m)\ quad\ izquierda|f_ {m}\ derecha|\ leq\ izquierda|g_ {m}\ derecha|\ text {on} B.
\]

Entonces

i)$$\sum_{m=1}^{\infty}\left|f_{m}\right| \leq \sum_{m=1}^{\infty}\left|g_{m}\right|$$ en$$B$$;

(ii)$$\sum_{m=1}^{\infty}\left|f_{m}\right|=+\infty$$ implica$$\sum_{m=1}^{\infty}\left|g_{m}\right|=+\infty$$ sobre$$B ;$$ y

(iii) Si$$\sum\left|g_{m}\right|$$ converge (puntualmente o uniformemente$$)$$ en$$B,$$ así lo hace$$\sum\left|f_{m}\right|$$.

Prueba

La conclusión i) sigue dejando$$n \rightarrow \infty$$ entrar

\ [
\ suma_ {m=1} ^ {n}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|\ leq\ suma_ {m=1} ^ {n}\ izquierda|g_ {m}\ derecha|.
\]

A su vez, (ii) es consecuencia directa de$$(\mathrm{i})$$.

Asimismo, por (i),

\ [
\ suma_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda|g_ {m}\ derecha|<+\ infty\ texto {implica}\ suma_ {m=1} ^ {\ infty}\ izquierda|f_ {m}\ derecha|<+\ infty.
\]

Esto prueba (iii) para el caso puntual (ver Nota 1$$) .$$ El caso uniforme sigue exactamente como en el Teorema 1$$(\mathrm{i})$$ sobre señalar que

\ [
\ sum_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|f_ {k}\ derecha|\ leq\ suma_ {k=m} ^ {n}\ izquierda|g_ {k}\ derecha|
\]

y que las funciones$$\left|f_{k}\right|$$ y$$\left|g_{k}\right|$$ son reales (por lo que el Teorema$$3^{\prime}$$ en §12 sí aplica). $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$ (Weierstrass "M-test")

Si$$\sum M_{n}$$ es una serie convergente de constantes reales$$M_{n} \geq 0$$ y si

$(\forall n) \quad\left|f_{n}\right| \leq M_{n}$

en un conjunto$$B,$$ luego$$\sum\left|f_{n}\right|$$ converge uniformemente en$$B.$$ Por otra parte,

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} \quad \text { on } B.$

Prueba

Utilice el Teorema 2 con$$\left|g_{n}\right|=M_{n},$$ señalar que$$\sum\left|g_{n}\right|$$ converge uniformemente ya que los$$\left|g_{n}\right|$$ son constantes (§12, Problema 7). $$\square$$

## Ejemplos

(a) Dejar

$f_{n}(x)=\left(\frac{1}{2} \sin x\right)^{n} \text { on } E^{1}.$

Entonces

$(\forall n)\left(\forall x \in E^{1}\right) \quad\left|f_{n}(x)\right| \leq 2^{-n},$

y$$\sum 2^{-n}$$ converge (series geométricas con relación$$\frac{1}{2}$$; ver §12, Problema 18). Así, fijando$$M_{n}=2^{-n}$$ en el Teorema 3, inferimos que la serie$$\sum\left|\frac{1}{2} \sin x\right|^{n}$$ converge uniformemente sobre$$E^{1},$$ como lo hace$$\sum\left(\frac{1}{2} \sin x\right)^{n};$$ además,

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}=1.$

## Teorema$$\PageIndex{4}$$ (necessary condition of convergence)

Si$$\sum f_{m}$$ o$$\sum\left|f_{m}\right|$$ converge on$$B$$ (puntual o uniformemente), entonces$$\left|f_{m}\right| \rightarrow 0$$ on$$B$$ (en el mismo sentido).

Así una serie no puede converger a menos que su término general tienda a 0 (respectivamente,$$\overline{0})$$.

Prueba

Si$$\sum f_{m}=f,$$ decir, entonces$$s_{m} \rightarrow f$$ y también$$s_{m-1} \rightarrow f .$$ Por lo tanto

$s_{m}-s_{m-1} \rightarrow f-f=\overline{0}.$

No obstante,$$s_{m}-s_{m-1}=f_{m} .$$ así$$f_{m} \rightarrow \overline{0},$$ y$$\left|f_{m}\right| \rightarrow 0,$$ como se reivindica.

Esto se mantiene para convergencia puntual y uniforme por igual (ver Problema 14 en §12). $$\quad \square$$

Precaución: La condición$$\left|f_{m}\right| \rightarrow 0$$ es necesaria pero no suficiente. En efecto, hay series divergentes con término general tendiendo a$$0,$$ como mostramos a continuación.

## Ejemplos (Continuación)

b)$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=+\infty$$ (la llamada serie armónica).

En efecto, mediante la Nota 1,

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \text { exists }\left(\text {in } E^{*}\right),$

por lo que se aplica el Teorema 4 de §12. Agrupamos la serie de la siguiente manera:

\begin{aligned} \sum \frac{1}{n} &=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)+\cdots \\ & \geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}\right)+\cdots. \end{aligned}

Cada expresión entre corchetes ahora es igual a$$\frac{1}{2}.$$ Así

$\sum \frac{1}{n} \geq \sum g_{m}, \quad g_{m}=\frac{1}{2}.$

Como$$g_{m}$$ no tiende a$$0, \sum g_{m}$$ divergir, es decir,$$\sum_{m=1}^{\infty} g_{m}$$ es infinito, por el Teorema 4. A fortiori, así es$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$ (root and ratio tests)

Una serie de constantes$$\sum a_{n}\left(\left|a_{n}\right| \neq 0\right)$$ converge absolutamente si

$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 \text { or } \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)<1.$

Se diverge si

$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}>1 \text { or } \underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)>1.$

Puede converger o divergir si

$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1$

o si

$\underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right) \leq 1 \leq \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right).$

(Los$$a_{n}$$ pueden ser escalares o vectores.)

Prueba

Si$$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1,$$ elige$$r>0$$ tal que

$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<r<1.$

Entonces por el Corolario 2 del Capítulo 2, §13,$$\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<r$$ para todos menos finitamente muchos$$n .$$ Así, dejando caer un número finito de términos (§12, Problema 17), podemos suponer que

$\left|a_{n}\right|<r^{n} \text { for all } n.$

A medida$$0<r<1,$$ que$$\sum r^{n}$$ converge la serie geométrica. De ahí lo hace$$\sum\left|a_{n}\right|$$ por el Teorema 2.

En el caso

$\overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)<1,$

de manera similar obtenemos por$$(\exists m)(\forall n \geq m)\left|a_{n+1}\right|<\left|a_{n}\right| r;$$ lo tanto por inducción,

$(\forall n \geq m) \quad\left|a_{n}\right| \leq\left|a_{m}\right| r^{n-m}. \quad \text { (Verify!) }$

Así$$\sum\left|a_{n}\right|$$ converge, como antes.

Si$$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}>1,$$ entonces por el Corolario 2 del Capítulo 2, §13,\ izquierda|a_ {n}\ right|>1\) para infinitamente muchos$$n .$$ De ahí$$\left|a_{n}\right|$$ no puede tender$$0,$$ y así$$\sum a_{n}$$ diverge por el Teorema 4.

Del mismo modo, si

$\underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)>1,$

entonces$$\left|a_{n+1}\right|>\left|a_{n}\right|$$ para todos pero finitamente muchos$$n,$$ así que$$\left|a_{n}\right|$$ no puede tender a 0 otra vez. $$\quad \square$$

Nota 3. Tenemos

$\underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right) \leq \underline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leq \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right).$

Por lo tanto

$\begin{array}{l}{\quad \overline{\lim }\left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)<1 \text { implies } \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 ; \text { and }} \\ {\qquad \underline{\lim } \left(\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}\right)>1 \text { implies } \overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}>1.}\end{array}$

De ahí que siempre que la prueba de ratio indique convergencia o divergencia, ciertamente lo hace la prueba raíz. Por otro lado, hay casos en los que la prueba raíz arroja un resultado mientras que la prueba de relación no. Por lo tanto, la prueba raíz es más fuerte (pero la prueba de relación suele ser más fácil de aplicar).

## Ejemplos (continuación)

(c) Dejar$$a_{n}=2^{-k}$$ si$$n=2 k-1$$ (impar) y$$a_{n}=3^{-k}$$ si$$n=2 k$$ (par). Por lo tanto

$\sum a_{n}=\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\cdots.$

Aquí

$\underline{\lim } \left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{3^{-k}}{2^{-k}}=0 \text { and } \overline{\lim }\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{2^{-k-1}}{3^{-k}}=+\infty,$

mientras

$\overline{\lim } \sqrt[n]{a_{n}}=\lim \sqrt[2n-1]{2^{-n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1.\quad(\text {Verify!})$

Por lo tanto, la prueba de relación falla, pero la prueba raíz demuestra convergencia.

Nota 4. La suposición$$\left|a_{n}\right| \neq 0$$ es necesaria solo para la prueba de ratio.

III. Serie Power. Como aplicación, ahora consideramos la llamada serie de potencia,

$\sum a_{n}(x-p)^{n},$

donde$$x, p, a_{n} \in E^{1}(C);$$ también$$a_{n}$$ pueden ser vectores.

## Teorema$$\PageIndex{6}$$

Para cualquier serie de potencia$$\sum a_{n}(x-p)^{n},$$ hay un único$$r \in E^{*}$$$$(0 \leq r \leq+\infty),$$ llamado su radio de convergencia, tal que la serie converge absolutamente para cada una$$x$$ con$$|x-p|<r$$ y no converge (incluso condicionalmente) si$$|x-p|>r.$$

Específicamente,

$r=\frac{1}{d}, \text { where } d=\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \quad \text { (with } r=+\infty \text { if } d=0).$

Prueba

Arreglar cualquier$$x=x_{0}.$$ Por Teorema 5, la serie$$\sum a_{n}\left(x_{0}-p\right)^{n}$$ converge absolutamente si$$\overline{\lim } \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\left|x_{0}-p\right|<1,$$ es decir, si

$\left|x_{0}-p\right|<r \quad\left(r=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}=\frac{1}{d}\right),$

y diverge si$$\left|x_{0}-p\right|>r . \quad$$ (Aquí asumimos$$d \neq 0;$$ pero si$$d=0,$$ la condición$$d\left|x_{0}-p\right|<1$$ es trivial para alguna$$x_{0},$$ así$$r=+\infty$$ en este caso.) Así$$r$$ es el radio requerido, y claramente solo puede haber uno de esos$$r.$$ (¿Por qué?) $$\square$$

Nota 5. Si$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}$$ existe, es igual$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|},$$ por Nota 3 (para$$\overline{lim}$$ y$$\underline{lim}$$ coinciden aquí). En este caso, se puede utilizar la prueba de ratio para encontrar

$d=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}$

y por lo tanto (si$$d \neq 0 )$$

$r=\frac{1}{d}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n}\right|}{\left|a_{n+1}\right|}.$

## Teorema$$\PageIndex{7}$$

Si una serie de potencias$$\sum a_{n}(x-p)^{n}$$ converge absolutamente para algunos$$x=x_{0} \neq p,$$ entonces$$\sum\left|a_{n}(x-p)^{n}\right|$$ converge uniformemente en el globo cerrado$$\overline{G}_{p}(\delta)$$$$\delta=\left|x_{0}-p\right|.$$ Así lo hace$$\sum a_{n}(x-p)^{n}$$ si el espacio de rango está completo (Teorema 1).

Prueba

Supongamos que$$\sum\left|a_{n}\left(x_{0}-p\right)^{n}\right|$$ converge. Let

$\delta=\left|x_{0}-p\right| \text { and } M_{n}=\left|a_{n}\right| \delta^{n};$

$$\sum M_{n}$$converge así.

Ahora si$$x \in \overline{G}_{p}(\delta),$$ entonces$$|x-p| \leq \delta,$$ es así

$\left|a_{n}(x-p)^{n}\right| \leq\left|a_{n}\right| \delta^{n}=M_{n}.$

De ahí que por el Teorema 3,$$\sum\left|a_{n}(x-p)^{n}\right|$$ converge uniformemente sobre$$\overline{G}_{p}(\delta). \square$$

## Ejemplos (Continuación)

d) Considerar$$\sum \frac{x^{n}}{n !}$$ aquí

$p=0 \text { and } a_{n}=\frac{1}{n !}, \text { so } \frac{\left|a_{n}\right|}{\left|a_{n+1}\right|}=n+1 \rightarrow+\infty.$

Por Nota 5, entonces,$$r=+\infty ;$$ es decir, la serie converge absolutamente en todo De$$E^{1} .$$ ahí por Teorema 7, converge uniformemente en cualquiera de$$\overline{G}_{0}(\delta),$$ ahí en cualquier intervalo finito en$$E^{1}$$. (La convergencia puntual está en todos$$E^{1}$$.)

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