5.1: Derivadas de funciones de una variable real
- Page ID
- 113999
En este capítulo, siempre\("E"\) denotará cualquiera de\(E^{1}, E^{*}, C\) (el campo complejo\(), E^{n},^{*}\) u otro espacio normado. Consideraremos funciones\(f : E^{1} \rightarrow E\) de una variable real con valores en\(E\). Se dice que las funciones\(f : E^{1} \rightarrow E^{*}\) (admitiendo valores finitos e infinitos) se extienden reales. Por lo tanto,\(f : E^{1} \rightarrow E\) puede ser real, extendido real, complejo, o vector valorado.
Las operaciones en\(E^{*}\) se definieron en el Capítulo 4, §4. Recordemos, en particular, nuestras convenciones\(\left(2^{*}\right)\) ahí. Debido a ellos, la suma, resta y multiplicación siempre se definen en\(E^{*}\) (con sumas y productos posiblemente “poco ortodoxos”).
Para simplificar las formulaciones, también adoptaremos la convención que
\ [
f (x) =0\ text {a menos que se defina lo contrario.}
\]
\(\left("0" \text { stands also for the zero-vector in } E \text { if } E \text { is a vector space.) Thus each }\right.\)\(f\)se define en todos los\(E^{1}\). Por conveniencia, llamamos\(f(x)\) “finito” si\(f(x) \neq \pm \infty(\text { also if it is a vector })\).
Para cada función\(f : E^{1} \rightarrow E,\) definimos su función derivada\(f^{\prime} : E^{1} \rightarrow E\)
estableciendo, para cada punto\(p \in E^{1}\),
\ [
f^ {\ prime} (p) =\ left\ {\ begin {array} {l} {\ lim _ {x\ rightarrow p}\ frac {f (x) -f (p)} {x-p}\ text {si existe este límite (finito o no);}}\\ {0,\ text {de otro modo.}}\ end {array}\ right.
\]
Así siempre\(f^{\prime}(p)\) se define.
Si el límite en\((1)\) existe, lo llamamos el derivado de\(f\) at\(p\).
Si, además, este límite es finito, decimos que\(f\) es diferenciable en\(p\).
Si esto se mantiene para cada uno\(p\) en un conjunto\(B \subseteq E^{1},\) decimos que\(f\) tiene una derivada (respectivamente, es diferenciable) on\(B,\) y llamamos a la función\(f^{\prime}\) thederivative of\(f\) on\(B\).
Si el límite en\((1)\) es unilateral (con\(x \rightarrow p^{-}\) o lo\(x \rightarrow p^{+} ),\) llamamos una derivada unilateral (izquierda o derecha) en\(p,\) denotado\(f_{-}^{\prime}\) o\(f_{+}^{\prime}\).
Dada una función\(f : E^{1} \rightarrow E,\) definimos su función derivada\(n\) th (o función derivada de orden\(n ),\) denotada\(f^{(n)} : E^{1} \rightarrow E,\) por inducción:
\ [
f^ {(0)} =f, f^ {(n+1)} =\ izquierda [f^ {(n)}\ derecha] ^ {\ prime},\ quad n=0,1,2,\ ldots
\]
Así\(f^{(n+1)}\) es la función derivada de\(f^{(n)} .\) Por nuestras convenciones,\(f^{(n)}\) se define sobre todas\(E^{1}\) para cada una\(n\) y cada una de las funciones que\(f : E^{1} \rightarrow E .\) tenemos\(f^{(1)}=f^{\prime},\) y escribimos\(f^{\prime \prime}\)\(f^{(2)}, f^{\prime \prime \prime}\) para\(f^{(3)},\) etc. decimos que\(f\) tiene\(n\) derivadas a una punto\(p\) iff los límites
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha q}\ frac {f^ {(k)} (x) -f^ {(k)} (q)} {x-q}
\]
existir para todos\(q\) en un barrio\(G_{p}\) de\(p\) y para\(k=0,1, \ldots, n-2,\) y también
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {f^ {(n-1)} (x) -f^ {(n-1)} (p)} {x-p}
\]
existe. Si todos estos límites son finitos, decimos que\(f\) es\(n\) tiempos diferenciables de\(I ;\) manera similar para derivados unilaterales.
Es un hecho importante que la diferenciabilidad implica continuidad.
Si una función\(f : E^{1} \rightarrow E\) es diferenciable en un punto\(p \in E^{1},\) es continua en\(p,\) y\(f(p)\) es finita (incluso si\(E=E^{*} )\).
- Prueba
-
\(\Delta x=x-p\)\(\Delta f=f(x)-f(p),\)Entornos y tenemos la identidad
\ [
|f (x) -f (p) |=\ izquierda|\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}\ cdot (x-p)\ derecha|\ quad\ texto {para} x\ neq p.
\]Por supuesto,
\ [
f^ {\ prime} (p) =\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}
\]existe y es finito. Así como\(x \rightarrow p,\) el lado derecho de\((2)\) (de ahí el lado izquierdo también) tiende a\(0,\)
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p} |f (x) -f (p) |=0,\ texto {o}\ lim _ {x\ fila derecha p} f (x) =f (p)
\]demostrando continuidad en\(p\).
Además,\(f(p) \neq \pm \infty,\) por lo demás\(|f(x)-f(p)|=+\infty\) para todos\(x,\) y así\(|f(x)-f(p)|\) no puede tender a\(0 . \quad \square\)
Nota 1. De igual manera, la existencia de una derivada finita izquierda (derecha) en\(p\) implica continuidad izquierda (derecha) en\(p\). La prueba es la misma.
Nota 2. La existencia de una derivada infinita no implica continuidad, ni la excluye. Por ejemplo, considere los dos casos
(i)\(f(x)=\frac{1}{x},\) con\(f(0)=0,\) y
ii)\(f(x)=\sqrt[3]{x}\).
Da tus comentarios para\(p=0\).
Precaución: Una función puede ser continua\(E^{1}\) sin ser diferenciable en ninguna parte (así falla lo contrario al Teorema 1). La primera función de este tipo fue indicada por Weierstrass. Damos un ejemplo debido a Olmsted (Cálculo Avanzado).
(a) Primero definimos una secuencia de funciones de la\(f_{n} : E^{1} \rightarrow E^{1}(n=1,2, \ldots)\) siguiente manera. Para cada\(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots,\) let
\ [
f_ {n} (x) =0\ texto {si} x=k\ cdot 4^ {-n},\ texto {y} f_ {n} (x) =\ frac {1} {2}\ cdot 4^ {-n}\ texto {si} x=\ izquierda (k+\ frac {1} {2}\ derecha)\ cdot 4^ {-n}.
\]
Entre\(k \cdot 4^{-n}\) y\(\left(k \pm \frac{1}{2}\right) \cdot 4^{-n}, f_{n}\) es lineal (ver Figura\(21 ),\) por lo que es continuo en\(E^{1} .\) La serie\(\sum f_{n}\) converge uniformemente en\(E^{1} .\) (Verify!)
Let
\ [
f=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} f_ {n}.
\]
Entonces\(f\) es continuo en\(E^{1}(\text { why? yet it is nowhere differentiable.}\)
Para probar este hecho, arregla cualquier\(p \in E^{1} .\) Para cada\(n,\) let
\ [
x_ {n} =p+d_ {n},\ texto {donde} d_ {n} =\ pm 4^ {-n-1},
\]
eligiendo el signo de\(d_{n}\) para que\(p\) y\(x_{n}\) estén en la misma mitad de un “diente de sierra” en la gráfica de\(f_{n}\) (Figura 21\()\). Entonces
\ [
f_ {n}\ izquierda (x_ {n}\ derecha) -f_ {n} (p) =\ pm d_ {n} =\ pm\ izquierda (x_ {n} -p\ derecha). \ quad (\ text {¿Por qué}?)
\]
También,
\ [
f_ {m}\ izquierda (x_ {n}\ derecha) -f_ {m} (p) =\ pm d_ {n}\ texto {si} m\ leq n
\]
pero desaparece por\(m>n .\) (¿Por qué?)
Por lo tanto, al momento de la computación\(f\left(x_{n}\right)-f(p),\) podemos reemplazar
\ [
f=\ suma_ {m=1} ^ {\ infty} f_ {m}\ texto {por} f=\ suma_ {m=1} ^ {n} f_ {m}.
\]
Desde
\ [
\ frac {f_ {m}\ izquierda (x_ {n}\ derecha) -f_ {m} (p)} {x_ {n} -p} =\ pm 1\ texto {para} m\ leq n.
\]
la fracción
\ [
\ frac {f\ izquierda (x_ {n}\ derecha) -f (p)} {x_ {n} -p}
\]
es un entero, impar si\(n\) es impar y par si\(n\) es par. Por lo tanto, esta fracción no puede tender a un límite finito como\(n \rightarrow \infty,\) es decir, as\(d_{n}=4^{-n-1} \rightarrow 0\) y\(x_{n}=p+d_{n} \rightarrow p .\) A fortiori, esto se aplica a
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {f (x) -f (p)} {x-p}.
\]
Por lo tanto, no\(f\) es diferenciable en ninguna\(p\).
Las expresiones\(f(x)-f(p)\) y\(x-p,\) brevemente denotadas\(\Delta f\)\(\Delta x,\) y y\(\Delta x,\) se llaman los incrementos de\(f\) y\(x\) (en\(p ),\) respectivamente. 2 Ahora demostramos que para funciones diferenciables,\(\Delta f\) y\(\Delta x\) son “casi proporcionales” cuando\(x\) enfoques es\(p ;\) decir,
\ [
\ frac {\ Delta f} {\ Delta x} =c+\ delta (x)
\]
con\(c\) constante y\(\lim _{x \rightarrow p} \delta(x)=0\).
Una función\(f : E^{1} \rightarrow E\) es diferenciable en\(p,\) e\(f^{\prime}(p)=c,\) iff hay una finita\(c \in E\) y una función\(\delta : E^{1} \rightarrow E\) tal que\(\lim _{x \rightarrow p} \delta(x)=\delta(p)=0,\) y tal que
\ [
\ Delta f= [c+\ delta (x)]\ Delta x\ quad\ texto {para todos} x\ en E^ {1}.
\]
- Prueba
-
Si\(f\) es diferenciable en\(p,\) poner\(c=f^{\prime}(p) .\) Definir\(\delta(p)=0\) y
\ [
\ delta (x) =\ frac {\ Delta f} {\ Delta x} -f^ {\ prime} (p)\ texto {para} x\ neq p.
\]Entonces\(\lim _{x \rightarrow p} \delta(x)=f^{\prime}(p)-f^{\prime}(p)=0=\delta(p) .\) También,\((3)\) sigue.
Por el contrario, si\((3)\) se mantiene, entonces
\ [
\ frac {\ Delta f} {\ Delta x} =c+\ delta (x)\ fila derecha c\ texto {as} x\ fila derecha p (\ texto {desde}\ delta (x)\ fila derecha 0).
\]Así, por definición,
\ [
c=\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {\ Delta f} {\ Delta x} =f^ {\ prime} (p)\ text {y} f^ {\ prime} (p) =c\ text {es finito.}\ cuadrado
\]
(regla de la cadena). Deje que las funciones\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}(\text { real })\) y\(f : E^{1} \rightarrow E\) (real o no) sean diferenciables en\(p\) y\(q,\) respectivamente, donde\(q=g(p) .\) Entonces la función compuesta\(h=f \circ g\) es diferenciable en\(p,\) y
\ [
h^ {\ prime} (p) =f^ {\ prime} (q) g^ {\ prime} (p).
\]
- Prueba
-
Ajuste
\ [
\ Delta h=h (x) -h (p) =f (g (x)) -f (g (p)) =f (g (x)) -f (q).
\]debemos demostrar que
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {\ Delta h} {\ Delta x} =f^ {\ prime} (q) g^ {\ prime} (p)\ neq\ pm\ infty.
\]Ahora como\(f\) es diferenciable en el\(q,\) Teorema 2 rinde una función\(\delta : E^{1} \rightarrow E\) tal que\(\lim _{x \rightarrow q} \delta(x)=\delta(q)=0\) y tal que
\ [
\ izquierda (\ para todos y\ en E^ {1}\ derecha)\ quad f (y) -f (q) =\ izquierda [f^ {\ prime} (q) +\ delta (y)\ derecha]\ Delta y,\ Delta y=y-q.
\]Tomando\(y=g(x),\) obtenemos
\ [
\ izquierda (\ para todos x\ en E^ {1}\ derecha)\ quad f (g (x)) -f (q) =\ izquierda [f^ {\ prime} (q) +\ delta (g (x))\ derecha] [g (x) -g (p)],
\]donde
\ [
g (x) -g (p) =y-q=\ Delta y\ texto {y} f (g (x)) -f (q) =\ Delta h,
\]como se señaló anteriormente. De ahí
\ [
\ frac {\ Delta h} {\ Delta x} =\ izquierda [f^ {\ prime} (q) +\ delta (g (x))\ derecha]\ cdot\ frac {g (x) -g (p)} {x-p}\ quad\ texto {para todos} x\ neq p.
\]Vamos\(x \rightarrow p .\) Entonces obtenemos\(h^{\prime}(p)=f^{\prime}(q) g^{\prime}(p),\) para, por la continuidad de\(\delta \circ g\) at\(p\) (Capítulo 4, §2, Teorema 3),
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha p}\ delta (g (x)) =\ delta (g (p)) =\ delta (q) =0. \ cuadrado
\]
Las pruebas de los dos teoremas siguientes se dejan al lector.
Si\(f, g,\) y\(h\) son reales o complejos y son diferenciables al igual\(p,\) que lo son
\ [
f\ pm g, h f,\ texto {y}\ frac {f} {h}
\]
(este último si\(h(p) \neq 0 ),\) y en el punto\(p\) tenemos
i)\((f \pm g)^{\prime}=f^{\prime} \pm g^{\prime}\);
ii)\((h f)^{\prime}=h f^{\prime}+h^{\prime} f ;\) y
iii)\(\left(\frac{f}{h}\right)^{\prime}=\frac{h f^{\prime}-h^{\prime} f}{h^{2}}\).
Todo esto se mantiene también si\(f\) y\(g\) son vectoriales valorados y\(h\) se valoran escalar. También se aplica a las derivadas infinitas (incluso unilaterales), excepto cuando los límites involucrados se vuelven indeterminados (Capítulo 4, §4).
Nota 3. Por inducción, si\(f, g,\) y\(h\) son\(n\) tiempos diferenciables en un punto\(p,\) así son\(f \pm g\) y\(h f,\) y, denotando por\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\) los coeficientes binomiales, tenemos
(i*)\((f \pm g)^{(n)}=f^{(n)} \pm g^{(n)} ;\) y
(ii*)\((h f)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) h^{(k)} f^{(n-k)}\).
La fórmula (ii\()\) es conocida como la fórmula de Leibniz; su prueba es análoga a la del teorema binomial. Está escrito simbólicamente como\((h f)^{(n)}=(h+f)^{n},\) con el último término interpretado en consecuencia.
(diferenciación componentwise). Una función\(f : E^{1} \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) es diferenciable en\(p\) iff cada uno de sus\(n\) componentes\(\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\) es, y luego
\ [
f^ {\ prime} (p) =\ izquierda (f_ {1} ^ {\ prime} (p),\ ldots, f_ {n} ^ {\ prime} (p)\ derecha) =\ suma_ {k=1} ^ {n} f_ {k} ^ {\ prime} (p)\ overline {e} _ _ {k},
\]
con\(\overline{e}_{k}\) como en el Teorema 2 del Capítulo 3, §§1-3.
En particular, una función compleja\(f : E^{1} \rightarrow C\) es diferenciable si sus partes reales e imaginarias son, y\(f^{\prime}=f_{\mathrm{re}}^{\prime}+i \cdot f_{\text { im }}^{\prime}\) Capítulo 4, §3, Nota 5).
b) Considerar el complejo exponencial
\ [
f (x) =\ cos x+i\ cdot\ sin x=e^ {x i} (\ text {Capítulo} 4, §3).
\]
Asumimos las derivadas de\(\cos x\) y\(\sin x\) que se conozcan (ver Problema 8\() .\) Por Teorema\(5,\) tenemos
\ [
f^ {\ prime} (x) =-\ sin x+i\ cdot\ cos x=\ cos\ izquierda (x+\ frac {1} {2}\ pi\ derecha) +i\ cdot\ sin\ izquierda (x+\ frac {1} {2}\ pi\ derecha) =e^ {\ izquierda (x+\ frac {1} {2}\ pi derecha) i}.
\]
De ahí que por inducción,
\ [
f^ {(n)} (x) =e^ {\ izquierda (x+\ frac {1} {2} n\ pi\ derecha) i}, n=1,2,\ lpuntos. (\ text {¡Verifica! })
\]
(c) Definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{3}\) por
\ [
f (x) =( 1,\ cos x,\ sin x),\ quad x\ en E^ {1}.
\]
Aquí Teorema 5 rendimientos
\ [
f^ {\ prime} (p) =( 0, -\ sin p,\ cos p),\ quad p\ en E^ {1}.
\]
Para un fijo\(p=p_{0},\) podemos considerar la línea
\ [
\ overline {x} =\ overline {a} +t\ vec {u},
\]
donde
\ [
\ overline {a} =f\ left (p_ {0}\ right)\ text {and}\ vec {u} =f^ {\ prime}\ left (p_ {0}\ right) =\ left (0, -\ sin p_ {0},\ cos p_ {0}\ right).
\]
Esto es, por definición, el vector tangente\(p_{0}\) a la curva\(f\left[E^{1}\right]\) en\(E^{3}\).
Más generalmente, si\(f : E^{1} \rightarrow E\) es diferenciable en\(p\) y continuo en algún globo alrededor\(p,\) definimos la tangente\(p\) a la curva\(f\left[G_{p}\right]\) para ser la línea
\ [
\ overline {x} =f (p) +t\ cdot f^ {\ prime} (p);
\]
\(f^{\prime}(p)\)es su vector de dirección en\(E,\) while\(t\) es el parámetro real variable. Para funciones reales usualmente\(f : E^{1} \rightarrow E^{1},\) consideramos no\(f\left[E^{1}\right]\) sino la curva\(y=f(x)\) en\(E^{2},\) i.e., el conjunto
\ [
\ izquierda\ {(x, y) | y=f (x), x\ en E^ {1}\ derecha\}.
\]
La tangente a esa curva en\(p\) es la línea a través\((p, f(p))\) con pendiente\(f^{\prime}(p)\).
En conclusión, observemos que la diferenciación (es decir, tomar derivados) es un proceso de límite local en algún momento\(p .\) De ahí (cf. Capítulo 4, §1, Nota 4) la existencia y el valor de no\(f^{\prime}(p)\) se ve afectada por restringir\(f\) a algún globo\(G_{p}\) alrededor\(p\) o arbitrariamente redefiniendo\(f\) afuera\(G_{p} .\) Para derivados unilaterales, podemos sustituir\(G_{p}\) por su correspondiente “mitad”.