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5.2.E: Problemas en Derivadas de Funciones Reales Extendidas

  • Page ID
    114052
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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completa los detalles faltantes en la prueba de Teoremas\(1,2,\) y\(4,\) Corolario\(4,\) y Lema 1.
    \(\text { [Hint for converse to Corollary } 4(\mathrm{ii}) : \text { Use Lemma } 1 \text { for an indirect proof. }]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Hacer casos\(p \leq 0\) en Ejemplo\((\mathrm{A})\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Mostrar que Teoremas\(1,2,\) y 4 y Corolarios 2 a 4 sostienen también si\(f\) es discontinuo en\(a\) y\(b\) pero\(f\left(a^{+}\right)\) y\(f\left(b^{-}\right)\) existen y son finitos. (En Corolario\(2,\) asumir también\(f\left(a^{+}\right)=f\left(b^{-}\right) ;\) en los Teoremas 1 y 4 y Corolario\(2,\) finitud es innecesaria.)
    \(\text { [Hint: Redefine } f(a) \text { and } f(b) .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Bajo los supuestos de Corolario\(3,\) muestran que\(f^{\prime}\) no puede permanecer infinito en ningún intervalo\((p, q), a \leq p<q \leq b .\)
    \(\text { [Hint: Apply Corollary } 3 \text { to the interval }[p, q] .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Justificar nota al pie\(1 .\)
    [Pista: Vamos
    \ [
    f (x) =x+2 x^ {2}\ sin\ frac {1} {x^ {2}}\ texto {con} f (0) =0.
    \]
    Al\(0,\) encontrar\(f^{\prime}\) de la Definición 1 en §1. Utilice también Problema 8 de §1. Demostrar que no\(f\) es\(\left.\text { monotone on any } G_{0}(\delta) .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Mostrar que no es\(f^{\prime}\) necesario que sea continuo o acotado\([a, b]\) (bajo la métrica estándar), aunque allí\(f\) sea diferenciable.
    \(\text { [Hint: Take } f \text { as in Problem } 5 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Con\(f\) como en Corolarios 3 y\(4,\) demostrar que si está\(f^{\prime} \geq 0\left(f^{\prime} \leq 0\right)\) encendido\((a, b)\) y si no\(f^{\prime}\) es constantemente 0 en cualquier subintervalo\((p, q) \neq \emptyset,\) entonces\(f\) es estrictamente monótona en\([a, b] .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Dejar\(x=f(t), y=g(t),\) donde\(t\) varía a lo largo de un intervalo abierto\(I \subseteq E^{1}\), definir una curva en\(E^{2}\) paramétricamente. Demostrar que si\(f\) y\(g\) tener derivadas on\(I\) y\(f^{\prime} \neq 0,\) luego la función\(h=f^{-1}\) tiene una derivada on\(f[I]\), y la pendiente de la tangente a la curva en\(t_{0}\) iguales\(g^{\prime}\left(t_{0}\right) / f^{\prime}\left(t_{0}\right)\).
    \(\text { [Hint: The word "curve" implies that } f \text { and } g \text { are continuous on } I \text { (Chapter } 4, §10),\)así se aplican los Teoremas 1 y 3, y\(h=f^{-1}\) es una función. También,\(y=g(h(x)) .\) Use\(\text { Theorem } 3 \text { of } §1 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Demostrar que si\(f\) es continuo y tiene una derivada sobre\((a, b)\) y si\(f^{\prime}\) tiene un límite finito o infinito (incluso unilateral) en algunos\(p \in(a, b),\) entonces este límite es igual a\(f^{\prime}(p) .\) Deducir que\(f^{\prime}\) es continuo en\(p\) si\(f^{\prime}\left(p^{-}\right)\) y\(f^{\prime}\left(p^{+}\right)\) existe.
    [Pista: Por Corolario\(3,\) para cada uno\(x \in(a, b),\) hay algunos\(q_{x}\) entre\(p\) y\(x\) tal que
    \ [
    f^ {\ prime}\ left (q_ {x}\ right) =\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}\ rightarrow f^ {\ prime} (p)\ text {as} x\ right tarrow p.
    \]
    \(\left.\text { Set } y=q_{x}, \text { so } \lim _{y \rightarrow p} f^{\prime}(y)=f^{\prime}(p) .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Del Teorema 3 y Problema 8 en §1, deducir las fórmulas de diferenciación
    \ [
    (\ arcsin x) ^ {\ prime} =\ frac {1} {\ sqrt {1-x^ {2}}} ;(\ arccos x) ^ {\ prime} =\ frac {-1} {\ sqrt {1-x^ {2}}} ;(\ arctan x) ^ {prime\} =\ frac {1} {1+x^ {2}}.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Demostrar que si\(f\) tiene un derivado en\(p,\) entonces\(f(p)\) es finito, siempre\(f\) que no sea constantemente infinito en ningún intervalo\((p, q)\) o\((q, p), p \neq q\).
    [Pista: Si\(f(p)=\pm \infty,\) cada uno\(G_{p}\) tiene puntos en los que así\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=+\infty,\) como aquellos\(x\)\(\left.\text { with } \frac{\Delta f}{\Delta x}=-\infty .\right]\)


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