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5.2.E: Problemas en Derivadas de Funciones Reales Extendidas

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completa los detalles faltantes en la prueba de Teoremas$$1,2,$$ y$$4,$$ Corolario$$4,$$ y Lema 1.
$$\text { [Hint for converse to Corollary } 4(\mathrm{ii}) : \text { Use Lemma } 1 \text { for an indirect proof. }]$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Hacer casos$$p \leq 0$$ en Ejemplo$$(\mathrm{A})$$.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que Teoremas$$1,2,$$ y 4 y Corolarios 2 a 4 sostienen también si$$f$$ es discontinuo en$$a$$ y$$b$$ pero$$f\left(a^{+}\right)$$ y$$f\left(b^{-}\right)$$ existen y son finitos. (En Corolario$$2,$$ asumir también$$f\left(a^{+}\right)=f\left(b^{-}\right) ;$$ en los Teoremas 1 y 4 y Corolario$$2,$$ finitud es innecesaria.)
$$\text { [Hint: Redefine } f(a) \text { and } f(b) .]$$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Bajo los supuestos de Corolario$$3,$$ muestran que$$f^{\prime}$$ no puede permanecer infinito en ningún intervalo$$(p, q), a \leq p<q \leq b .$$
$$\text { [Hint: Apply Corollary } 3 \text { to the interval }[p, q] .]$$

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Justificar nota al pie$$1 .$$
[Pista: Vamos
\ [
f (x) =x+2 x^ {2}\ sin\ frac {1} {x^ {2}}\ texto {con} f (0) =0.
\]
Al$$0,$$ encontrar$$f^{\prime}$$ de la Definición 1 en §1. Utilice también Problema 8 de §1. Demostrar que no$$f$$ es$$\left.\text { monotone on any } G_{0}(\delta) .\right]$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Mostrar que no es$$f^{\prime}$$ necesario que sea continuo o acotado$$[a, b]$$ (bajo la métrica estándar), aunque allí$$f$$ sea diferenciable.
$$\text { [Hint: Take } f \text { as in Problem } 5 .]$$

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Con$$f$$ como en Corolarios 3 y$$4,$$ demostrar que si está$$f^{\prime} \geq 0\left(f^{\prime} \leq 0\right)$$ encendido$$(a, b)$$ y si no$$f^{\prime}$$ es constantemente 0 en cualquier subintervalo$$(p, q) \neq \emptyset,$$ entonces$$f$$ es estrictamente monótona en$$[a, b] .$$

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$x=f(t), y=g(t),$$ donde$$t$$ varía a lo largo de un intervalo abierto$$I \subseteq E^{1}$$, definir una curva en$$E^{2}$$ paramétricamente. Demostrar que si$$f$$ y$$g$$ tener derivadas on$$I$$ y$$f^{\prime} \neq 0,$$ luego la función$$h=f^{-1}$$ tiene una derivada on$$f[I]$$, y la pendiente de la tangente a la curva en$$t_{0}$$ iguales$$g^{\prime}\left(t_{0}\right) / f^{\prime}\left(t_{0}\right)$$.
$$\text { [Hint: The word "curve" implies that } f \text { and } g \text { are continuous on } I \text { (Chapter } 4, §10),$$así se aplican los Teoremas 1 y 3, y$$h=f^{-1}$$ es una función. También,$$y=g(h(x)) .$$ Use$$\text { Theorem } 3 \text { of } §1 .]$$

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Demostrar que si$$f$$ es continuo y tiene una derivada sobre$$(a, b)$$ y si$$f^{\prime}$$ tiene un límite finito o infinito (incluso unilateral) en algunos$$p \in(a, b),$$ entonces este límite es igual a$$f^{\prime}(p) .$$ Deducir que$$f^{\prime}$$ es continuo en$$p$$ si$$f^{\prime}\left(p^{-}\right)$$ y$$f^{\prime}\left(p^{+}\right)$$ existe.
[Pista: Por Corolario$$3,$$ para cada uno$$x \in(a, b),$$ hay algunos$$q_{x}$$ entre$$p$$ y$$x$$ tal que
\ [
f^ {\ prime}\ left (q_ {x}\ right) =\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}\ rightarrow f^ {\ prime} (p)\ text {as} x\ right tarrow p.
\]
$$\left.\text { Set } y=q_{x}, \text { so } \lim _{y \rightarrow p} f^{\prime}(y)=f^{\prime}(p) .\right]$$

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Del Teorema 3 y Problema 8 en §1, deducir las fórmulas de diferenciación
\ [
(\ arcsin x) ^ {\ prime} =\ frac {1} {\ sqrt {1-x^ {2}}} ;(\ arccos x) ^ {\ prime} =\ frac {-1} {\ sqrt {1-x^ {2}}} ;(\ arctan x) ^ {prime\} =\ frac {1} {1+x^ {2}}.
\]

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que si$$f$$ tiene un derivado en$$p,$$ entonces$$f(p)$$ es finito, siempre$$f$$ que no sea constantemente infinito en ningún intervalo$$(p, q)$$ o$$(q, p), p \neq q$$.
[Pista: Si$$f(p)=\pm \infty,$$ cada uno$$G_{p}$$ tiene puntos en los que así$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=+\infty,$$ como aquellos$$x$$$$\left.\text { with } \frac{\Delta f}{\Delta x}=-\infty .\right]$$

5.2.E: Problemas en Derivadas de Funciones Reales Extendidas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.