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# 5.3.E: Problemas en$$L^{\prime}$$ Hôpital's Rule

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

Las fórmulas elementales de diferenciación se suponen conocidas.

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar la prueba de la regla de L'Hôpital. Verificar que la suposición de diferenciabilidad pueda ser reemplazada por continuidad más existencia de derivadas finitas o infinitas (pero no ambas juntas infinitas)$$f^{\prime}$$ y$$g^{\prime}$$ on$$G_{\neg p}$$ (misma prueba).

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Mostrar que la regla falla para funciones complejas. Ver, sin embargo, Problemas$$3,$$$$7,$$ y$$8 .$$
[Pista: Tomar$$p=0$$ con
\ [
f (x) =x\ text {y} g (x) =x+x^ {2} e^ {i/x^ {2}} =x+x^ {2}\ left (\ cos\ frac {1} {x^ {2}} +i\ cdot\ sin\ frac {1} {x^ {2}} derecha).
\]
Entonces
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {f (x)} {g (x)} =1,\ texto {aunque}\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {f^ {\ prime} (x)} {g^ {\ prime} (x)} =\ lim _ {x\ fila derecha 0}\ frac {1} {g^ ^ {\ prime} (x)} =0.
\]
En efecto,$$g^{\prime}(x)-1=(2 x-2 i / x) e^{i / x^{2}} .$$ (¡Verifica!) De ahí
\ [
\ izquierda. \ izquierda|g^ {\ prime} (x)\ derecha|+1\ geq|2 x-2 i/x|\ quad\ texto {(para}\ izquierda|e^ {i/x^ {2}}\ derecha|=1\ derecha),
\]
así que
\ [
\ izquierda|g^ {\ prime} (x)\ derecha|\ geq-1+\ frac {2} {x}. \ quad (\ text {¿Por qué? })
\]
Deducir que
\ [
\ izquierda. \ izquierda|\ frac {1} {g^ {\ prime} (x)}\ derecha|\ leq\ izquierda|\ frac {x} {2-x}\ derecha|\ derecha 0. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar la “regla simplificada de$$L^{\prime}$$ Hôpital” para funciones reales o complejas$$\text { (also for vector-valued } f \text { and scalar-valued } g) :$$ Si$$f$$ y$$g$$ son diferenciables en$$p,$$ con$$g^{\prime}(p) \neq 0$$ y$$f(p)=g(p)=0$$, entonces

\ [\ lim _ {x\ rightarrow p}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ frac {f^ {\ prime} (p)} {g^ {\ prime} (p)}.
\]
[Pista:
\ [
\ frac {f (x)} {g (x)} =\ frac {f (x) -f (p)} {g (x) -g (p)} =\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}/\ frac {\ Delta g} {\ Delta x}\ fila derecha\ frac {f^ {\ prime} (p)} {g^ {\ prime} (p)}.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

¿Por qué$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$$ no existe, aunque$$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$ sí, en el siguiente ejemplo? Verificar y explicar.
\ [
f (x) =e^ {-2 x} (\ cos x+2\ sin x),\ quad g (x) =e^ {-x} (\ cos x+\ sin x).
\]
[Pista:$$g^{\prime}$$ desaparece muchas veces en cada$$G_{+\infty} .$$ uso de la propiedad Darboux para$$\text { proof. }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra$$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1 / x}}{x}$$.
$$\left.\text { [Hint: Substitute } z=\frac{1}{x} \rightarrow+\infty . \text { Then use the rule. }\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Verificar que se mantengan los supuestos de la regla de L'Hôpital, y encuentre los siguientes límites.
a)$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\ln (e-x)+x-1}$$;
b)$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2 x}{x-\sin x}$$;
c)$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / x}-e}{x}$$;
d)$$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{q} \ln x\right), q>0$$; e
)$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{-q} \ln x\right), q>0$$; f
)$$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}$$; g
)$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{q} a^{-x}\right), a>1, q>0$$; h
)$$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\operatorname{cotan}^{2} x\right)$$; i
)$$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{1 / \ln x}$$;
j)$$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1 /(1-\cos x)}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar la regla de L'Hôpital para$$f : E^{1} \rightarrow E^{n}(C)$$ y$$g : E^{1} \rightarrow E^{1},$$ con

\ [\ lim _ {k\ rightarrow p} |f (x) |=0=\ lim _ {x\ rightarrow p} |g (x) |, p\ en E^ {*}\ text {y} r\ en E^ {n},
\]
dejando sin cambios los demás supuestos.
$$\left.\left.\text { [Hint: Apply the rule to the components of } \frac{f}{g} \text { (respectively, to }\left(\frac{f}{g}\right)_{\mathrm{re}} \text { and }\left(\frac{f}{g}\right)_{\mathrm{im}}\right) .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$f$$ y$$g$$ ser complejo y diferenciable en$$G_{\neg p}, p \in E^{1} .$$ Let
\ [
\ lim _ {x\ rightarrow p} f (x) =\ lim _ {x\ rightarrow p} g (x) =0,\ lim _ {x\ rightarrow p} f^ {\ prime} (x) =q,\ text {y}\ lim _ {x\ rightarrow p} g^ {\ prime} (x) =r\ neq 0.
\]
Demuéstralo$$\lim _{x \rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{q}{r}$$.
[Pista:
\ [
\ frac {f (x)} {g (x)} =\ frac {f (x)} {x-p}/\ frac {g (x)} {x-p}.
\]
Aplica el Problema 7 para encontrar

\ [\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {f (x)} {x-p}\ texto {y}\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {g (x)} {x-p}.]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{*9}$$

Hacer Problema 8 para$$f : E^{1} \rightarrow C^{n}$$ y$$g : E^{1} \rightarrow C$$.

5.3.E: Problemas en$$L^{\prime}$$ Hôpital's Rule is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.