5.4.E: Problemas en Funciones Complejas y Vectorizadas en\(E^{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Hacer el caso\(g^{\prime}(r)=+\infty\) en Lemma 1.
[Pista: Mostrar que hay\(s>r\) con
\ [
g (x) -g (r)\ geq\ izquierda (\ izquierda|f^ {\ prime} (r)\ derecha|+1\ derecha) (x-r)\ geq|f (x) -f (r) |\ text {for} x\ in (r, s).
\]
\(\text { Such } x \text { are "good." }]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Haz el caso\(r=p_{n} \in Q\) en Lema\(1 .\)
[Pista: Mostrar por continuidad que hay\(s>r\) tal que\((\forall x \in(r, s))\)
\ [
|f (x) -f (r) |<\ frac {\ varepsilon} {2^ {n+1}}\ text {y} |g (x) -g (r) |<\ frac {\ varepsilon} {2^ {n+1}}.
\]
Mostrar que todos esos\(x\) son “buenos” ya que\(x>r=p_{n}\) implica

\ [\ izquierda.2^ {-n} +Q (r)\ leq Q (x). \ quad (\ text {¿Por qué? })\ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que el Corolario 3 en §2 (de ahí también el Teorema 2 en §2) falla para funciones complejas.
\(\left.\text { [Hint: Let } f(x)=e^{x i}=\cos x+i \cdot \sin x . \text { Verify that }\left|f^{\prime}\right|=1 \text { yet } f(2 \pi)-f(0)=0 .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

(i) Verificar que todas las proposiciones de §4 se mantengan también si\(f^{\prime}\) y\(g^{\prime}\) son únicamente derivadas correctas sobre\(I-Q\).
ii) Hacer lo mismo para los derivados izquierdos. (Véase la nota 2 a pie de página.)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

(i) Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow E\) es continuo y finito encendido\(I=(a, b)\) y diferenciable encendido\(I-Q,\) y si
\ [
\ sup _ {t\ in I-Q}\ izquierda|f^ {\ prime} (t)\ derecha|<+\ infty,
\]
entonces\(f\) es uniformemente continuo encendido\(I\).
(ii) Además, si\(E\) está completo\(\left(\mathrm{e} . g ., E=E^{n}\right),\) entonces\(f\left(a^{+}\right)\) y\(f\left(b^{-}\right)\) existen y son finitos.
\(\text { [Hints: (i) Use Corollary 1. (ii) See the "hint" to Problem 11 (iii) of Chapter } 4, §8 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que si\(f\) es como en Teorema\(2,\) con\(f^{\prime} \geq 0\) on\(I-Q\) y\(f^{\prime}>0\) en algunos\(p \in I,\) entonces\(f(a)<f(b) .\) Hazlo también con\(f^{\prime}\) tratado como derivado derecho (ver Problema 4).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(f, g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser relativamente continuo\(I=[a, b]\) y tener derivadas correctas\(f_{+}^{\prime}\) y\(g_{+}^{\prime}\) (finitas o infinitas, pero no ambas infinitas) on\(I-Q\).
(i) Demostrar que si
\ [
m g_ {+} ^ {\ prime}\ leq f_ {+} ^ {\ prime}\ leq M g_ {+} ^ {\ prime}\ text {on} I-Q
\]
para algunos fijos\(m, M \in E^{1},\) entonces
\ [
m [g (b) -g (a)]\ leq f (b) -f (a)\ leq M [g (b) -g (a)].
\]
\(\text { [Hint: Apply Theorem } 2 \text { and Problem } 4 \text { to each of } M g-f \text { and } f-m g .]\)
(ii) De ahí demostrar que
\ [
m_ {0} (b-a)\ leq f (b) -f (a)\ leq M_ {0} (b-a),
\]
donde
\ [
m_ {0} =\ inf f_ {+} ^ {\ prime} [I-Q]\ text {y} M_ {0} = sup\ f_ {+} ^ {\ prime\} [I -Q]\ text {in} E^ {*}.
\]
\(\left.\text { [Hint: Take } g(x)=x \text { if } m_{0} \in E^{1} \text { or } M_{0} \in E^{1} . \text { The } \text {infinite case is simple. }\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

(i)\(f :(a, b) \rightarrow E\) Sea finito, continuo, con una derivada derecha sobre\((a, b) .\) Prove que\(q=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f_{+}^{\prime}(x)\) existe (finito) iff
\ [
q=\ lim _ {x, y\ rightarrow a^ {+}}\ frac {f (x) -f (y)} {x-y},
\]
es decir, iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe c>a) (\ forall x, y\ in (a, c) | x\ neq y)\ quad\ izquierda|\ frac {f (x) -f (y)} {x-y} -q\ derecha|<\ varepsilon.
\]
[Consejos: Si es así, vamos\(y \rightarrow x^{+}\) (manteniendo\(x\) fijo) obtener
\ [
(\ forall x\ in (a, c))\ quad\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (x) -q\ derecha|\ leq\ varepsilon. \ quad\ text {(¿Por qué?) }
\]
Por el contrario, si\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f_{+}^{\prime}(x)=q,\) entonces
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe c>a) (\ forall t\ in (a, c))\ quad\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (t) -q\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Poner
\ [
M=\ sup _ {a<t<c}\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (t) -q\ derecha|\ leq\ varepsilon\ quad (\ text {por qué}\ leq\ varepsilon?)
\]
y
\(h(t)=f(t)-t q, \quad t \in(a, b)\).
Aplicar Corolario 1 y Problema 4 a\(h\) en el intervalo\([x, y] \subseteq(a, c),\) para obtener
\ [
|f (y) -f (x) - (y-x) q|\ leq M (y-x)\ leq\ varepsilon (y-x).
\]
Proceder.]
ii) Demostrar declaraciones similares para los casos\(q=\pm \infty\) y\(x \rightarrow b^{-}\). \(\text {[Hint: In case } q=\pm \infty, \text { use Problem } 7 \text { (ii) instead of Corollary } 1 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Del Problema 8 deducir que si\(f\) es como se indica y si\(f_{+}^{\prime}\) se deja continuo en algunos\(p \in(a, b),\) entonces\(f\) también tiene una derivada izquierda en\(p .\)
Si también\(f_{+}^{\prime}\) es derecha continua en\(p,\) ese entonces\(f_{+}^{\prime}(p)=f_{-}^{\prime}(p)=f^{\prime}(p)\).
\(\text { [Hint: Apply Problem } 8 \text { to }(a, p) \text { and }(p, b) .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

En Problema\(8,\) probar que si, además,\(E\) está completo y si
\ [
q=\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}} f_ {+} ^ {\ prime} (x)\ neq\ pm\ infty\ quad\ text {(finito)},
\]
entonces\(f\left(a^{+}\right) \neq \pm \infty\) existe, y
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}}\ frac {f (x) -f\ izquierda (a^ {+}\ derecha)} {x-a} =q;
\] de
manera similar en caso\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f_{+}^{\prime}(x)=r\).
Si ambos existen, set\(f(a)=f\left(a^{+}\right)\) y\(f(b)=f\left(b^{-}\right) .\) Show que luego\(f\) se vuelve relativamente continuo\([a, b],\) con\(f_{+}^{\prime}(a)=q\) y\(f_{-}^{\prime}(b)=r\).
[Pista: Si
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}} f_ {+} ^ {\ prime} (x) =q\ neq\ pm\ infty,
\]
entonces\(f_{+}^{\prime}\) se limita en algún subintervalo\((a, c), a<c \leq b(\text { why?), so } f \text { is uniformly }\) continuo\((a, c),\) por Problema\(5,\) y\(f\left(a^{+}\right)\) existe. Que\(y \rightarrow a^{+},\) como en la pista\(\text {Problem } 8 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Hacer Problema 9 en §2 para funciones complejas y vectorizadas.
\(\text { [Hint: Use Corollary 1 of } §4 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Continuando Problema\(7,\) mostrar que las igualdades
\ [
m=\ frac {f (b) -f (a)} {b-a} =M
\]
hold iff\(f\) es lineal, es decir,\(f(x)=c x+d\) para algunos\(c, d \in E^{1},\) y luego\(c=m=M .\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Seamos\(f : E^{1} \rightarrow C\) como en Corolario\(1,\) con\(f \neq 0\) on\(I .\) Let\(g\) be the real part of\(f^{\prime} / f .\)
(i) Demostrar eso\(|f| \uparrow\) en\(I\) iff\(g \geq 0\) on\(I-Q\).
ii) Extender el Problema 4 a este resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Definir\(f : E^{1} \rightarrow C\) por
\ [
f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll} {x^ {2} e^ {i/x} =x^ {2}\ left (\ cos\ frac {1} {x} +i\ cdot\ sin\ frac {1} {x}\ derecha)} & {\ text {if} x>0,\ text {y}}\\ 0} & {\ texto {si} x\ leq 0.} \ end {array}\ derecho.
\]
Mostrar que\(f\) es diferenciable en\(I=(-1,1),\) pero no\(f^{\prime}[I]\) es un convexo\(\left.\text { set in } E^{2}=C \text { (thus there is no analogue to Theorem } 4 \text { of } §2\right) .\)