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# 5.4.E: Problemas en Funciones Complejas y Vectorizadas en$$E^{1}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Hacer el caso$$g^{\prime}(r)=+\infty$$ en Lemma 1.
[Pista: Mostrar que hay$$s>r$$ con
\ [
g (x) -g (r)\ geq\ izquierda (\ izquierda|f^ {\ prime} (r)\ derecha|+1\ derecha) (x-r)\ geq|f (x) -f (r) |\ text {for} x\ in (r, s).
\]
$$\text { Such } x \text { are "good." }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Haz el caso$$r=p_{n} \in Q$$ en Lema$$1 .$$
[Pista: Mostrar por continuidad que hay$$s>r$$ tal que$$(\forall x \in(r, s))$$
\ [
|f (x) -f (r) |<\ frac {\ varepsilon} {2^ {n+1}}\ text {y} |g (x) -g (r) |<\ frac {\ varepsilon} {2^ {n+1}}.
\]
Mostrar que todos esos$$x$$ son “buenos” ya que$$x>r=p_{n}$$ implica

\ [\ izquierda.2^ {-n} +Q (r)\ leq Q (x). \ quad (\ text {¿Por qué? })\ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que el Corolario 3 en §2 (de ahí también el Teorema 2 en §2) falla para funciones complejas.
$$\left.\text { [Hint: Let } f(x)=e^{x i}=\cos x+i \cdot \sin x . \text { Verify that }\left|f^{\prime}\right|=1 \text { yet } f(2 \pi)-f(0)=0 .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

(i) Verificar que todas las proposiciones de §4 se mantengan también si$$f^{\prime}$$ y$$g^{\prime}$$ son únicamente derivadas correctas sobre$$I-Q$$.
ii) Hacer lo mismo para los derivados izquierdos. (Véase la nota 2 a pie de página.)

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

(i) Demostrar que si$$f : E^{1} \rightarrow E$$ es continuo y finito encendido$$I=(a, b)$$ y diferenciable encendido$$I-Q,$$ y si
\ [
\ sup _ {t\ in I-Q}\ izquierda|f^ {\ prime} (t)\ derecha|<+\ infty,
\]
entonces$$f$$ es uniformemente continuo encendido$$I$$.
(ii) Además, si$$E$$ está completo$$\left(\mathrm{e} . g ., E=E^{n}\right),$$ entonces$$f\left(a^{+}\right)$$ y$$f\left(b^{-}\right)$$ existen y son finitos.
$$\text { [Hints: (i) Use Corollary 1. (ii) See the "hint" to Problem 11 (iii) of Chapter } 4, §8 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que si$$f$$ es como en Teorema$$2,$$ con$$f^{\prime} \geq 0$$ on$$I-Q$$ y$$f^{\prime}>0$$ en algunos$$p \in I,$$ entonces$$f(a)<f(b) .$$ Hazlo también con$$f^{\prime}$$ tratado como derivado derecho (ver Problema 4).

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$f, g : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ ser relativamente continuo$$I=[a, b]$$ y tener derivadas correctas$$f_{+}^{\prime}$$ y$$g_{+}^{\prime}$$ (finitas o infinitas, pero no ambas infinitas) on$$I-Q$$.
(i) Demostrar que si
\ [
m g_ {+} ^ {\ prime}\ leq f_ {+} ^ {\ prime}\ leq M g_ {+} ^ {\ prime}\ text {on} I-Q
\]
para algunos fijos$$m, M \in E^{1},$$ entonces
\ [
m [g (b) -g (a)]\ leq f (b) -f (a)\ leq M [g (b) -g (a)].
\]
$$\text { [Hint: Apply Theorem } 2 \text { and Problem } 4 \text { to each of } M g-f \text { and } f-m g .]$$
(ii) De ahí demostrar que
\ [
m_ {0} (b-a)\ leq f (b) -f (a)\ leq M_ {0} (b-a),
\]
donde
\ [
m_ {0} =\ inf f_ {+} ^ {\ prime} [I-Q]\ text {y} M_ {0} = sup\ f_ {+} ^ {\ prime\} [I -Q]\ text {in} E^ {*}.
\]
$$\left.\text { [Hint: Take } g(x)=x \text { if } m_{0} \in E^{1} \text { or } M_{0} \in E^{1} . \text { The } \text {infinite case is simple. }\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

(i)$$f :(a, b) \rightarrow E$$ Sea finito, continuo, con una derivada derecha sobre$$(a, b) .$$ Prove que$$q=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f_{+}^{\prime}(x)$$ existe (finito) iff
\ [
q=\ lim _ {x, y\ rightarrow a^ {+}}\ frac {f (x) -f (y)} {x-y},
\]
es decir, iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe c>a) (\ forall x, y\ in (a, c) | x\ neq y)\ quad\ izquierda|\ frac {f (x) -f (y)} {x-y} -q\ derecha|<\ varepsilon.
\]
[Consejos: Si es así, vamos$$y \rightarrow x^{+}$$ (manteniendo$$x$$ fijo) obtener
\ [
(\ forall x\ in (a, c))\ quad\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (x) -q\ derecha|\ leq\ varepsilon. \ quad\ text {(¿Por qué?) }
\]
Por el contrario, si$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} f_{+}^{\prime}(x)=q,$$ entonces
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe c>a) (\ forall t\ in (a, c))\ quad\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (t) -q\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Poner
\ [
M=\ sup _ {a<t<c}\ izquierda|f_ {+} ^ {\ prime} (t) -q\ derecha|\ leq\ varepsilon\ quad (\ text {por qué}\ leq\ varepsilon?)
\]
y
$$h(t)=f(t)-t q, \quad t \in(a, b)$$.
Aplicar Corolario 1 y Problema 4 a$$h$$ en el intervalo$$[x, y] \subseteq(a, c),$$ para obtener
\ [
|f (y) -f (x) - (y-x) q|\ leq M (y-x)\ leq\ varepsilon (y-x).
\]
Proceder.]
ii) Demostrar declaraciones similares para los casos$$q=\pm \infty$$ y$$x \rightarrow b^{-}$$. $$\text {[Hint: In case } q=\pm \infty, \text { use Problem } 7 \text { (ii) instead of Corollary } 1 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Del Problema 8 deducir que si$$f$$ es como se indica y si$$f_{+}^{\prime}$$ se deja continuo en algunos$$p \in(a, b),$$ entonces$$f$$ también tiene una derivada izquierda en$$p .$$
Si también$$f_{+}^{\prime}$$ es derecha continua en$$p,$$ ese entonces$$f_{+}^{\prime}(p)=f_{-}^{\prime}(p)=f^{\prime}(p)$$.
$$\text { [Hint: Apply Problem } 8 \text { to }(a, p) \text { and }(p, b) .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

En Problema$$8,$$ probar que si, además,$$E$$ está completo y si
\ [
q=\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}} f_ {+} ^ {\ prime} (x)\ neq\ pm\ infty\ quad\ text {(finito)},
\]
entonces$$f\left(a^{+}\right) \neq \pm \infty$$ existe, y
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}}\ frac {f (x) -f\ izquierda (a^ {+}\ derecha)} {x-a} =q;
\] de
manera similar en caso$$\lim _{x \rightarrow b^{-}} f_{+}^{\prime}(x)=r$$.
Si ambos existen, set$$f(a)=f\left(a^{+}\right)$$ y$$f(b)=f\left(b^{-}\right) .$$ Show que luego$$f$$ se vuelve relativamente continuo$$[a, b],$$ con$$f_{+}^{\prime}(a)=q$$ y$$f_{-}^{\prime}(b)=r$$.
[Pista: Si
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha a^ {+}} f_ {+} ^ {\ prime} (x) =q\ neq\ pm\ infty,
\]
entonces$$f_{+}^{\prime}$$ se limita en algún subintervalo$$(a, c), a<c \leq b(\text { why?), so } f \text { is uniformly }$$ continuo$$(a, c),$$ por Problema$$5,$$ y$$f\left(a^{+}\right)$$ existe. Que$$y \rightarrow a^{+},$$ como en la pista$$\text {Problem } 8 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Hacer Problema 9 en §2 para funciones complejas y vectorizadas.
$$\text { [Hint: Use Corollary 1 of } §4 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Continuando Problema$$7,$$ mostrar que las igualdades
\ [
m=\ frac {f (b) -f (a)} {b-a} =M
\]
hold iff$$f$$ es lineal, es decir,$$f(x)=c x+d$$ para algunos$$c, d \in E^{1},$$ y luego$$c=m=M .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Seamos$$f : E^{1} \rightarrow C$$ como en Corolario$$1,$$ con$$f \neq 0$$ on$$I .$$ Let$$g$$ be the real part of$$f^{\prime} / f .$$
(i) Demostrar eso$$|f| \uparrow$$ en$$I$$ iff$$g \geq 0$$ on$$I-Q$$.
ii) Extender el Problema 4 a este resultado.

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Definir$$f : E^{1} \rightarrow C$$ por
\ [
f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll} {x^ {2} e^ {i/x} =x^ {2}\ left (\ cos\ frac {1} {x} +i\ cdot\ sin\ frac {1} {x}\ derecha)} & {\ text {if} x>0,\ text {y}}\\ 0} & {\ texto {si} x\ leq 0.} \ end {array}\ derecho.
\]
Mostrar que$$f$$ es diferenciable en$$I=(-1,1),$$ pero no$$f^{\prime}[I]$$ es un convexo$$\left.\text { set in } E^{2}=C \text { (thus there is no analogue to Theorem } 4 \text { of } §2\right) .$$

5.4.E: Problemas en Funciones Complejas y Vectorizadas en$$E^{1}$$ is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.