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LibreTexts Español

5.5.E: Problemas en Antiderivados

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar en detalle Corolarios\(3,4,6,7,8,\) y 9 y Teorema 3\(\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)\) y\((\text { iv }) .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    En los Ejemplos (a) y (b) discuten la continuidad y diferenciabilidad de\(f\) y\(F\)\(0 .\) en In (a) muestran que\(\int f\) no existe en ningún intervalo\((-a, a) .\)
    [Pista: Usar Teorema 1.]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que el Teorema 2 sostiene también si\(g\) es relativamente continuo\(I\) y diferenciable en\(I-Q\).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Bajo los supuestos del Teorema\(2,\) muestran que si\(g\) es uno a uno en\(I,\) entonces automáticamente\(\int f\) es exacto en\(g[I-Q](Q \text { countable). }\)
    [Pista: Si\(F=\int f\) en\(g[I],\) entonces
    \ [
    F^ {\ prime} =f\ text {on} g [I] -P, P\ text {contable.}
    \]
    Dejar\(Q=g^{-1}[P] .\) Usar el Problema 6 del Capítulo\(1,§§4-7\) y el Problema 2 del Capítulo 1 §9 para mostrar que\(Q\) es contable y\(g[I]-P=g[I-Q] .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Prove Corolario 5 para productos punteados\(f \cdot g\) de funciones vectoriales.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que si\(\int f\) existe encendido\([a, p]\) y\([p, b],\) luego existe en\([a, b] .\) Por inducción, extienda esto a uniones de intervalos\(n\) adyacentes.
    [Pista: Elija\(F=\int f\) una\([a, p]\) y otra\(G=\int f\) de\([p, b]\) tal manera que\(F(p)=G(p)\). (¿Por qué\(F, G\) existen tales?) Luego construye una primitiva\(H=\int f\) que sea relativamente\(\text { continuous on } a l l \text { of }[a, b] .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar la ley ponderada de la media: Si\(g\) es real\(I=[a, b],\) y no negativo on\(\int g\) y si y\(\int g f\) existe en\(I\) para algunos\(f : E^{1} \rightarrow E,\) entonces hay un finito\(c \in E\) con
    \ [
    \ int_ {a} ^ {b} g f=c\ int_ {a} ^ {b} g.
    \]
    (El valor\(c\) se llama media\(g\) ponderada de\(f\).)
    [Pista: Si se\(\int_{a}^{b} g>0,\) pone
    \ [
    c=\ int_ {a} ^ {b} g f/\ int_ {a} ^ {b} g.
    \]
    \(\left.\text { If } \int_{a}^{b} g=0, \text { use Theorem } 3(\mathrm{i}) \text { and (iv) to show that also } \int_{a}^{b} g f=0, \text { so any } c \text { will do. }\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    En Problema\(7,\) probar que si, además,\(f\) es real y tiene la propiedad Darboux en\(I,\) entonces\(c=f(q)\) para algunos\(q \in I\) (la segunda ley de la media).
    [Pista: Elija\(c\) como en el Problema 7. Si se\(\int_{a}^{b} g>0,\) pone
    \ [
    m=\ inf [I]\ texto {y} M=\ sup f [I],\ texto {in} E^ {*},
    \]
    así\(m \leq f \leq M\) sucesivamente\(I .\) Deduce que
    \ [
    m\ int_ {a} ^ {b} g\ leq\ int_ {a} ^ {b} g f\ leq M\ int_ {a} ^ {b} g,
    \]
    de donde\(m \leq c \leq M\).
    Si\(m<c<M,\) entonces\(f(x)<c<f(y)\) para algunos\(x, y \in I\) (¿por qué?) , por lo que se aplica la propiedad Darboux.
    Si\(c=m,\) entonces\(g \cdot(f-c) \geq 0\) y Teorema 3\((\text { iv })\) rinde\(g f=g c\) sobre\(I-P .\) (¿Por qué?) Deducir que\(f(q)=c\) si\(g(q) \neq 0\) y\(q \in I-P .\) (¿Por qué\(q\) existe tal?)
    \(\text { What if } c=M ?]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Tomando\(g(x) \equiv 1\) en Problema\(8,\) obtener una nueva versión de Corolario\(9 .\) Estado precisamente!

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10.\)Demostrar que si\(f\) está\(F=\int f\) encendido\(I=(a, b)\) y está a la derecha (izquierda) continuo y finito en\(p \in I,\) entonces

    \ [\ left.f (p) =F_ {+} ^ {\ prime} (p)\ text {(respectivamente,} F_ {-} ^ {\ prime} (p)\ right).
    \]
    Deducir que si\(f\) es continuo y finito en\(I,\) todas sus primitivas en\(I\) son exactas en\(I .\)
    [Pista: Fijar\(\varepsilon>0 .\) Si\(f\) es correcto continuo en\(p,\) hay\(c \in I(c>p),\) con
    \ [
    |f (x) -f (p) |<\ varepsilon\ texto {para} x\ in [p, c).
    \]
    Se corrige tal\(x .\) Let
    \ [
    G (t) =F (t) -t f (p),\ quad t\ en E^ {1}.
    \]
    Deducir que\(G^{\prime}(t)=f(t)-f(p)\) para\(t \in I-Q\).
    Por Corolario 1 de §4,
    \ [
    |G (x) -G (p) |=|F (x) -F (p) - (x-p) f (p) |\ leq M (x-p),
    \]
    con\(M \leq \varepsilon .\) (¿Por qué?) De ahí
    \ [
    \ izquierda|\ frac {\ Delta F} {\ Delta x} -f (p)\ derecha|\ leq\ varepsilon\ text {for} x\ in [p, c),
    \]
    y así
    \ [
    \ lim _ {x\ fila derecha p^ {+}}\ frac {\ Delta F} {\ Delta x} =f (p)\ quad (\ text {¿por qué? });
    \]
    \(\text { similarly for a left-continuous } f .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Estado y resolver el Problema 10 para el caso\(I=[a, b]\).

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    (i) Demostrar que si\(f\) es constante\((f=c \neq \pm \infty)\) on\(I-Q,\) entonces

    \ [\ int_ {a} ^ {b} f =( b-a) c\ quad\ text {for} a, b\ in I.
    \]
    (ii) De ahí probar que si\(f=c_{k} \neq \pm \infty\) en
    \ [
    I_ {k} =\ izquierda [a_ {k}, a_ {k+1}\ derecha),\ quad a=a_ {0} <a_ {1} <\ cdots<a_ {n} =b,
    \]
    entonces\(\int f\) existe en\([a, b],\) y
    \ [
    \ int_ {a} ^ { b} f=\ suma_ {k=0} ^ {n-1}\ izquierda (a_ {k+1} -a_ {k}\ derecha) c_ {k}.
    \]
    Demuestre que esto es cierto también si está\(f=c_{k} \neq \pm \infty\) encendido\(I_{k}-Q_{k}\).
    \(\text { [Hint: Use Problem } 6 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Demostrar que si\(\int f\) existe en cada\(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right],\) lugar
    \ [
    a_ {n+1}\ leq a_ {n}\ leq b_ {n}\ leq b_ {n+1},\ quad n=1,2,\ ldots,
    \]
    entonces\(\int f\) existe en
    \ [
    I=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha],
    \]
    sí mismo un intervalo con puntos finales\(a=\inf a_{n}\) y\(b=\sup b_{n}, a, b \in E^{*}\).
    [Pista: Arreglar algunos\(c \in I_{1}\). Definir
    \ [
    H_ {n} (t) =\ int_ {c} ^ {t} f\ text {on} I_ {n}, n=1,2,\ ldots.
    \]
    Demostrar que
    \ [
    (\ forall n\ leq m)\ quad H_ {n} =H_ {m}\ text {on} I_ {n}\ left (\ text {since}\ left\ {I_ {n}\ right\}\ uparrow\ right\ uparrow\ right).
    \]
    Así\(H_{n}(t)\) es lo mismo para todos\(n\) tales que\(t \in I_{n},\) por lo que podemos simplemente escribir\(H\) para\(H_{n}\) en\(I=\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n} .\) Mostrar que\(H=\int f\) en todos\(I ;\) verificar que\(I\) es, de hecho, un intervalo.]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Continuando Problema\(13,\) probar que\(\int f\) existe en un\(I\) intervalo si existe en cada subintervalo cerrado\([a, b] \subseteq I .\)
    [Pista: Mostrar que cada uno\(I\) es la unión de una secuencia en expansión\(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right] .\) Por ejemplo, si se\(I=(a, b), a, b \in E^{1},\) pone
    \ [
    a_ {n} =a+ \ frac {1} {n}\ texto {y} b_ {n} =b-\ frac {1} {n}\ texto {para grande} n\ texto {(¿qué tan grande?) },
    \]
    y mostrar que
    \ [
    \ izquierda.i=\ bigcup_ {n}\ left [a_ {n}, b_ {n}\ right]\ text {sobre tal} n. \ derecho]
    \]


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