5.6.E: Problemas en el teorema de Tayior
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Completar las pruebas de Teoremas\(1,1^{\prime},\) y 2.
Verificar Nota 1 y Ejemplos (b) y\(\left(\mathrm{b}^{\prime \prime}\right)\).
Tomando\(g(t)=(a-t)^{s}, s>0,\) en\((6),\) hallazgo
\ [
R_ {n} =\ frac {f^ {(n+1)} (q)} {n! s} (x-p) ^ {s} (x-q) ^ {n+1-s}\ quad (\ texto {resto Schloemilch-Roche}).
\]
Obtener\(\left(5^{\prime}\right)\) y\(\left(5^{\prime \prime}\right)\) de ella.
Demostrar que\(P_{n}\) (como se define) es el único polinomio de grado\(n\) tal que
\ [
f^ {(k)} (p) =P_ {n} ^ {(k)} (p),\ quad k=0,1,\ ldots, n.
\]
[Pista: Diferenciar\(P_{n} n\) tiempos para verificar que satisface esta propiedad.
Por singularidad, supongamos que esto también se mantiene para
\ [
P (x) =\ sum_ {k=0} ^ {n} a_ {k} (x-p) ^ {k}.
\]
Diferenciar\(P n\) tiempos para mostrar que
\ [
P^ {(k)} (p) =f^ {(k)} (p) =a_ {k} k! ,
\]
\(\left.\text { so } P=P_{n} . \text { (Why?) }\right]\)
Con\(P_{n}\) como se define, probar que si\(f\) es\(n\) tiempos diferenciables en\(p,\) entonces
\ [
f (x) -P_ {n} (x) =o\ left ((x-p) ^ {n}\ right)\ text {as} x\ rightarrow p
\]
(teorema de Taylor con término de resto Peano).
[Pista: Dejar\(R(x)=f(x)-P_{n}(x)\) y
\ [
\ delta (x) =\ frac {R (x)} {(x-p) ^ {n}}\ texto {con}\ delta (p) =0.
\]
Usando la regla “simplificada” L'Hôpital (Problema 3 in\(§3\)) repetidamente\(n\) veces, probar\(\left.\text { that } \lim _{x \rightarrow p} \delta(x)=0 .\right]\)
Utilice el Teorema\(1^{\prime}\) con\(p=0\) para verificar las siguientes expansiones, y probarlo\(\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}=0\).
(a)\(\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots-\frac{(-1)^{m} x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}+\frac{(-1)^{m} x^{2 m+1}}{(2 m+1) !} \cos \theta_{m} x\)
para todos\(x \in E^{1}\);
(b)\(\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+\frac{(-1)^{m} x^{2 m}}{(2 m) !}-\frac{(-1)^{m} x^{2 m+2}}{(2 m+2) !} \sin \theta_{m} x\) para
todos\(x \in E^{1} .\)
[Consejos: Let\(f(x)=\sin x\) e\(g(x)=\cos x .\) Inducción muestra que
\ [
f^ {(n)} (x) =\ sin\ left (x+\ frac {n\ pi} {2}\ right)\ text {y} g^ {(n)} (x) =\ cos\ izquierda (x+\ frac {n\ pi} {2}\ derecha).
\]
Usando fórmula\(\left(5^{\prime}\right),\) demostrar que
\ [
\ izquierda|R_ {n} (x)\ derecha|\ leq\ izquierda|\ frac {x^ {n+1}} {(n+1)!} \ derecha|\ fila derecha 0.
\]
En efecto,\(x^{n} / n !\) es el término general de una serie convergente
\ [
\ left. \ suma\ frac {x^ {n}} {n!} \ quad\ text {(ver Capítulo} 4, §13,\ text {Ejemplo} (\ mathrm {d})\ right).
\]
\(\left.\text { Thus } x^{n} / n ! \rightarrow 0 \text { by Theorem } 4 \text { of the same section. }\right]\)
Para cualquiera\(s \in E^{1}\) y\(n \in N,\) definir
\ [
\ left (\ begin {array} {l} {s}\\ {n}\ end {array}\ right) =\ frac {s (s-1)\ cdots (s-n+1)} {n!} \ text {con}\ left (\ begin {array} {l} {s}\\ {0}\ end {array}\ right) =1.
\]
Entonces prueba lo siguiente.
(i)\(\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\begin{array}{l}{s} \\ {n}\end{array}\right)=0\) si\(s>0\),
(ii)\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l}{s} \\ {n}\end{array}\right)=0\) si\(s>-1\),
(iii) Para cualquier fijo\(s \in E^{1}\) y\(x \in(-1,1)\).
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ left (\ begin {array} {l} {s}\\ {n}\ end {array}\ right) n x^ {n} =0;
\]
por lo tanto
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ left (\ begin {array} {c} {s}\\ {n}\ end {array}\ derecha) x^ {n} =0.
\]
\(\left[\text { Hints: }(\mathrm{i}) \text { Let } a_{n}=\left|n\left(\begin{array}{l}{s} \\ {n}\end{array}\right)\right| . \text { Verify that }\right.\)
\ [
a_ {n} =|s|\ izquierda|1-\ frac {s} {1}\ derecha|\ izquierda|1-\ frac {s} {2}\ derecha|\ cdots\ izquierda|1-\ frac {s} {n-1}\ derecha|.
\]
Si\(s>0,\left\{a_{n}\right\} \downarrow\) por\(n>s+1,\) eso podemos poner\(L=\lim a_{n}=\lim a_{2 n} \geq 0 .\) (¡Explique!)
Demostrar que
\ [\ frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} <\ izquierda|1-\ frac {s} {2 n}\ derecha|^ {n}\ fila derecha e^ {-\ frac {1} {2} s}\ texto {as} n\ fila derecha\ infty,
\]
así para grande\(n\),
\ [
\ frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} <e^ {- \ frac {1} {2} s} +\ varepsilon;\ text {i.e.,} a_ {2 n} <\ left (e^ {-\ frac {1} {2} s} +\ varepsilon\ derecha) a_ {n}.
\]
Con\(\varepsilon\) fijo, vamos\(n \rightarrow \infty\) a obtener\(L \leq\left(e^{-\frac{1}{2} s}+\varepsilon\right) L .\) Luego con\(\varepsilon \rightarrow 0,\) obtener\(L e^{\frac{1}{2} s} \leq L\).
\(\left.\text { As } e^{\frac{1}{2} s}>1 \text { (for } s>0\right),\)esto implica\(L=0,\) como se reclama.
(ii) Para\(s>-1, s+1>0,\) así por\((i)\),
\ [
(n+1)\ left (\ begin {array} {c} {s+1}\\ {n+1}\ end {array}\ right)\ rightarrow 0;\ text {i.e.,} (s+1)\ left (\ begin {array} {c} {s}\\ {n}\ end {array}\ right)\ right tarrow 0. \ quad (\ text {¿Por qué? })
\]
(iii) Usa la prueba de ratio para mostrar que la serie\(\sum\left(\begin{array}{l}{s} \\ {n}\end{array}\right) n x^{n}\) converge cuando\(|x|<1\).
\(\text { Then apply Theorem } 4 \text { of Chapter } 4, §13 .]\)
Continuar Problemas 6 y\(7,\) demostrar que
\ [
(1+x) ^ {s} =\ sum_ {k=0} ^ {n}\ left (\ begin {array} {l} {s}\\ {k}\ end {array}\ right) x^ {k} +R_ {n} (x),
\]
donde\(R_{n}(x) \rightarrow 0\) si cualquiera\(|x|<1,\) o\(x=1\) y\(s>-1,\) o\(x=-1\) y\(s>0 .\)
[Consejos: (a) Si se\(0 \leq x \leq 1,\) usa\(\left(5^{\prime}\right)\) para
\ [
R_ {n-1} (x) =\ left (\ begin {array} {c} {s}\\ {n}\ end {array}\ right) x^ {n}\ left (1+\ theta_ {n} x\ right) ^ {s-n},\ quad 0<\ theta_ {n} <1. \ text {(¡Verifica!) }
\]
Deducir que\(\left|R_{n-1}(x)\right| \leq\left|\left(\begin{array}{c}{s} \\ {n}\end{array}\right) x^{n}\right| \rightarrow 0 .\) Use Problema 7\((\text { iii) if }|x|<1 \text { or Problem } 7(\text { ii })\) si\(x=1\).
(b) Si\(-1 \leq x<0,\) escribe\(\left(5^{\prime \prime}\right)\) como
\ [
R_ {n-1} (x) =\ left (\ begin {array} {c} {s}\\ {n}\ end {array}\ right) n x^ {n}\ left (1+\ theta_ {n} ^ {\ prime} x\ right) s^ {-1}\ left (\ frac {1-\ theta_ {n} ^ {\ prime}} {1+\ theta_ {n} ^ {\ prime} x}\ derecha) ^ {n-1}. \ text {(¡Cheque!) }
\]
Como es\(-1 \leq x<0,\) la última fracción\(\leq 1 .\) (¿Por qué?) Además,
\ [
\ izquierda (1+\ theta_ {n} ^ {\ prime} x\ derecha) ^ {s-1}\ leq 1\ texto {si} s>1,\ texto {y}\ leq (1+x) ^ {s-1}\ texto {si} s\ leq 1.
\]
Así, con\(x\) fijo, estas expresiones están delimitadas, mientras que\(\left(\begin{array}{c}{s} \\ {n}\end{array}\right) n x^{n} \rightarrow 0\) por Problema 7\((\mathrm{i})\)\(\left.\text { or }(\text { iii }) . \text { Deduce that } R_{n-1} \rightarrow 0, \text { hence } R_{n} \rightarrow 0 .\right]\)
Demostrar que
\ [\ ln (1+x) =\ suma_ {k=1} ^ {n} (-1) ^ {k+1}\ frac {x^ {k}} {k} +R_ {n} (x),
\]
donde\(\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0\) si\(-1<x \leq 1\).
[Consejos: Si\(0 \leq x \leq 1,\) usa fórmula\(\left(5^{\prime}\right)\).
Si\(-1<x<0,\) usa fórmula\((6)\) con\(g(t)=\ln (1+t)\) para obtener
\ [
R_ {n} (x) =\ frac {\ ln (1+x)} {(-1) ^ {n}}\ left (\ frac {1-\ theta_ {n}} {1+\ theta_ {n} x}\ cdot x\ derecha) ^ {n}.
\]
\(\text { Proceed as in Problem } 8 .]\)
Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow E^{*}\) es de clase\(\mathrm{CD}^{1}\) on\([a, b]\) y si\(-\infty<f^{\prime \prime}<0\) on\((a, b),\) entonces para cada\(x_{0} \in(a, b)\),
\ [
f\ left (x_ {0}\ right) >\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}\ left (x_ {0} -a\ right) +f (a);
\]
es decir, la curva\(y=f(x)\) se encuentra por encima de la secante through\((a, f(a))\) y\((b, f(b)) .\)
[Pista: Esta fórmula es equivalente a
\ [
\ frac {f\ left (x_ {0}\ right) -f (a)} {x_ {0} -a} >\ frac {f (b) -f (a)} {b-a},
\]
es decir, el promedio de\(f^{\prime}\) on\(\left[a, x_{0}\right]\) es estrictamente mayor que el promedio de\(f^{\prime}\) en\([a, b],\)\(\left.\text { which follows because } f^{\prime} \text { decreases on }(a, b) .(\text { Explain! })\right]\)
Demostrar que si\(a, b, r,\) y\(s\) son reales positivos y\(r+s=1,\) luego
\ [
a^ {r} b^ {s}\ leq r a+s b.
\]
(Esta desigualdad es importante para la teoría de los llamados\(L^{p}\) -espacios.)
[Consejos: Si\(a=b\), todo es trivial.
Por lo tanto, asuma\(a<b\). Entonces
\ [
a =( r+s) a<r a+s b<b.
\]
Usa el Problema 10 con\(x_{0}=r a+s b \in(a, b)\) y
\ [
f (x) =\ ln x, f^ {\ prime\ prime} (x) =-\ frac {1} {x^ {2}} <0.
\]
Verifica que
\ [
x_ {0} -a=x_ {0} - (r+s) a=s (b-a)
\]
y de\(r \cdot \ln a=(1-s) \ln a ;\) ahí deducir que
\ [
r\ cdot\ ln a+s\ cdot\ ln b-\ ln a=s (\ ln b-\ ln a) =s (f (b) -f (a)).
\]
Después de las sustituciones, obtener
\ [\ izquierda.f\ izquierda (x_ {0}\ derecha) =\ ln (r a+s b) >r\ cdot\ ln a+s\ cdot\ ln b=\ ln\ izquierda (a^ {r} b^ {s}\ derecha). \ derecho]
\]
Utilice el teorema de Taylor (Teorema 1') para probar las siguientes desigualdades:
(a)\(\sqrt[3]{1+x}<1+\frac{x}{3}\) si\(x>-1, x \neq 0\).
b)\(\cos x>1-\frac{1}{2} x^{2}\) si\(x \neq 0\).
c)\(\frac{x}{1+x^{2}}<\arctan x<x\) si\(x>0\).
d)\(x>\sin x>x-\frac{1}{6} x^{3}\) si\(x>0\).