5.7.E: Problemas en la Variación Total y Longitud de la Gráfica
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En los siguientes casos muestran que\(V_{f}[I]=+\infty,\) aunque\(f\) está acotado en\(I .(\text { In case (iii), } f \text { is continuous, and in case (iv), it is even differentiable }\)\(\text { on } I .)\)
(i) Para\(I=[a, b](a<b), f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } x \in R(\text { rational }), \text { and }} \\ {0} & {\text { if } x \in E^{1}-R.}\end{array}\right.\)
(ii)\(f(x)=\sin \frac{1}{x} ; f(0)=0 ; I=[a, b], a \leq 0 \leq b, a<b\).
iii)\(f(x)=x \cdot \sin \frac{\pi}{2 x} ; f(0)=0 ; I=[0,1]\).
iv)\(f(x)=x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}} ; f(0)=0 ; I=[0,1]\).
[Consejos: (i) Para cualquiera\(m\) hay\(P,\) con
\ [
\ izquierda|\ Delta_ {i} f\ derecha|=1,\ quad i=1,2,\ ldots, m,
\]
así\(S(f, P)=m \rightarrow+\infty\).
(iii) Dejar
\ [
P_ {m} =\ izquierda\ {0,\ frac {1} {m},\ frac {1} {m-1},\ puntos,\ frac {1} {2}, 1\ derecha\}.
\]
\(\left.\text { Prove that } S\left(f, P_{m}\right) \geq \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} \rightarrow+\infty .\right]\)
\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\)Sea monótona en cada uno de los intervalos
\ [\ left [a_ {k-1}, a_ {k}\ right],\ quad k=1,\ ldots, n\ quad\ left (\ text {"piecewise monótona"}\ right).
\]
Demostrar que
\ [
V_ {f}\ izquierda [a_ {0}, a_ {n}\ derecha] =\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|f\ izquierda (a_ {k}\ derecha) -f\ izquierda (a_ {k-1}\ derecha)\ derecha|.
\]
En particular, mostrar que esto aplica si\(f(x)=\sum_{i=1}^{n} c_{i} x^{i}\) (polinomio), con\(c_{i} \in E^{1}\).
[Pista: Se sabe que un polinomio de grado\(n\) tiene como mucho raíces\(n\) reales. Así es monótona por partes, pues su derivada se desvanece en muchos puntos finitamente (siendo de\(\text { degree } n-1) . \text { Use Theorem } 1 \text { in } §2 .]\)
\(\Rightarrow\)Demostrar que si\(f\) es finito y relativamente continuo on\(I=[a, b],\) con una derivada acotada,\(\left|f^{\prime}\right| \leq M,\) on\(I-Q(\text { see } §4),\) entonces
\ [
V_ {f} [a, b]\ leq M (b-a).
\]
Sin embargo, es posible que tengamos\(V_{f}[I]<+\infty,\) y sin embargo\(\left|f^{\prime}\right|=+\infty\) en algunos\(p \in I .\)
\(\text { [Hint: Take } f(x)=\sqrt[3]{x} \text { on }[-1,1] .]\)
Completar las pruebas de Corolario 4 y Teoremas 2 y 4.
Demostrar Nota 3.
[Pista: Si\(|h| \geq \varepsilon\) se\(I,\) muestra que
\ [
\ izquierda|\ frac {1} {h\ izquierda (t_ {i}\ derecha)} -\ frac {1} {h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)}\ derecha|\ leq\ frac {\ izquierda|\ Delta_ {i} h\ derecha|} {\ varepsilon^ {2}}
]
y por lo tanto
\ [
S\ left (\ frac {1} {h}, P\ derecha)\ leq\ frac {S (h, P)} {\ varepsilon^ {2}}\ leq\ frac {V_ {h}} {\ varepsilon^ {2}}.
\]
Deducir que\(\frac{1}{h}\) es de variación acotada sobre\(I\) si\(h\) es. Luego aplicar el Teorema 2\((\text { iii) to }\)\(\left.\frac{1}{h} \cdot f .\right]\)
Dejar\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) (real) y\(f : E^{1} \rightarrow E\) ser relativamente continuo en\(J=[c, d]\) y\(I=[a, b],\) respectivamente, con\(a=g(c)\) y\(b=g(d) .\) Let
\ [
h=f\ circ g.
\]
Demostrar que si\(g\) es uno a uno en\(J,\) entonces
(i)\(g[J]=I,\) así\(f\) y\(h\) describir uno y el mismo arco\(A=f[I]=h[J]\);
(ii)\(V_{f}[I]=V_{h}[J] ;\) es decir,\(\ell_{f} A=\ell_{h} A\).
[Pista para (ii): Dado\(P=\left\{a=t_{0}, \ldots, t_{m}=b\right\},\) muestran que los puntos\(s_{i}=g^{-1}\left(t_{i}\right)\) forman una partición\(P^{\prime}\) de\(J=[c, d],\) con\(S\left(h, P^{\prime}\right)=S(f, P) .\) De ahí deducir\(V_{f}[I] \leq\)\(V_{h}[J] .\)
Entonces demostrar que\(V_{h}[J] \leq V_{f}[I],\) tomando un arbitrario\(P^{\prime}=\left\{c=s_{0}, \ldots, s_{m}=d\right\}\),\(\left.\text { and defining } P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}, \text { with } t_{i}=g\left(s_{i}\right) . \text { What if } g(c)=b, g(d)=a ?\right]\)
Demostrar que si\(f, h : E^{1} \rightarrow E\) son relativamente continuos y uno a uno encendido\(I=[a, b]\) y\(J=[c, d],\) respectivamente, y si
\ [
f [I] =h [J] =A
\]
\(\text { (i.e., } f \text { and } h \text { describe the same simple arc } A),\) entonces
\ [\ ell_ {f} A=\ ell_ {h} A.
\]
Así, para arcos simples,\(\ell_{f} A\) es independiente de\(f .\)
[Pista: Definir\(g : J \rightarrow E^{1}\) por\(g=f^{-1} \circ h .\) Uso Problema 6 y\(4, §9,\) Teorema de Capítulo\(3 .\) Primero verifique que Problema 6 funcione también si\(g(c)=b\) y\(g(d)=a,\) i.e.,\(g \downarrow\) \(\text { on } J .]\)
Dejar\(I=[0,2 \pi]\) y definir\(f, g, h : E^{1} \rightarrow E^{2}(C)\) por
\ [
\ begin {array} {l} {f (x) = (\ sin x,\ cos x),}\\ {g (x) =(\ sin 3 x,\ cos 3 x),}\\ {h (x) =\ left (\ sin\ frac {1} {x},\ cos\ frac {1} {x}\ derecha)\ text {con} h (0) =( 0,1).} \ end {array}
\]
\(\text { Show that } f[I]=g[I]=h[I] \text { (the unit circle; call it } \mathrm{A}),\) todavía\(\ell_{f} A=2 \pi\),\(\ell_{g} A=6 \pi,\) while\(V_{h}[I]=+\infty .\) (Por lo tanto, el resultado del Problema 7 falla para\(\text { closed curves and } \text {nonsimple} \text { arcs. })\)
En Teorema\(3,\) definir dos funciones\(G, H : E^{1} \rightarrow E^{1}\) por
\ [
G (x) =\ frac {1} {2}\ left [V_ {f} [a, x] +f (x) -f (a)\ right]\]
y
\ [
H (x) =G (x) -f (x) +f (a) +f (a).
\]
\((G \text { and } H \text { are called, respectively, the positive and negative variation }\)\(\text { functions for } f .)\) Demostrar que
(i)\(G \uparrow\) y\(H \uparrow\) on\([a, b]\);
(ii)\(f(x)=G(x)-[H(x)-f(a)]\) (así las funciones\(f\) y\(g\) del Teorema 3 no son únicas);
(iii)\(V_{f}[a, x]=G(x)+H(x)\);
(iv) si \(f=g-h,\)con\(g \uparrow\) y\(h \uparrow\)\([a, b],\) luego
\ [
V_ {G} [a, b]\ leq V_ {g} [a, b],\ texto {y} V_ {H} [a, b]\ leq V_ {h}\ izquierda [a, b\ derecha];
\]
(v)\(G(a)=H(a)=0\).
Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) es de variación limitada en\(I=[a, b],\) entonces\(f\) tiene a lo sumo contablemente muchas discontinuidades en\(I .\)
[Pista: Aplicar Problema 5 del Capítulo 4,\(§5 .\) Proceder como en la prueba del Teorema 4 en
\(\text { §7. Finally, use Theorem 2 of Chapter 1, } §9 .]\)