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# 5.7.E: Problemas en la Variación Total y Longitud de la Gráfica

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

En los siguientes casos muestran que$$V_{f}[I]=+\infty,$$ aunque$$f$$ está acotado en$$I .(\text { In case (iii), } f \text { is continuous, and in case (iv), it is even differentiable }$$$$\text { on } I .)$$
(i) Para$$I=[a, b](a<b), f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } x \in R(\text { rational }), \text { and }} \\ {0} & {\text { if } x \in E^{1}-R.}\end{array}\right.$$
(ii)$$f(x)=\sin \frac{1}{x} ; f(0)=0 ; I=[a, b], a \leq 0 \leq b, a<b$$.
iii)$$f(x)=x \cdot \sin \frac{\pi}{2 x} ; f(0)=0 ; I=[0,1]$$.
iv)$$f(x)=x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}} ; f(0)=0 ; I=[0,1]$$.
[Consejos: (i) Para cualquiera$$m$$ hay$$P,$$ con
\ [
\ izquierda|\ Delta_ {i} f\ derecha|=1,\ quad i=1,2,\ ldots, m,
\]
así$$S(f, P)=m \rightarrow+\infty$$.
(iii) Dejar
\ [
P_ {m} =\ izquierda\ {0,\ frac {1} {m},\ frac {1} {m-1},\ puntos,\ frac {1} {2}, 1\ derecha\}.
\]
$$\left.\text { Prove that } S\left(f, P_{m}\right) \geq \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} \rightarrow+\infty .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$Sea monótona en cada uno de los intervalos

\ [\ left [a_ {k-1}, a_ {k}\ right],\ quad k=1,\ ldots, n\ quad\ left (\ text {"piecewise monótona"}\ right).
\]
Demostrar que
\ [
V_ {f}\ izquierda [a_ {0}, a_ {n}\ derecha] =\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|f\ izquierda (a_ {k}\ derecha) -f\ izquierda (a_ {k-1}\ derecha)\ derecha|.
\]
En particular, mostrar que esto aplica si$$f(x)=\sum_{i=1}^{n} c_{i} x^{i}$$ (polinomio), con$$c_{i} \in E^{1}$$.
[Pista: Se sabe que un polinomio de grado$$n$$ tiene como mucho raíces$$n$$ reales. Así es monótona por partes, pues su derivada se desvanece en muchos puntos finitamente (siendo de$$\text { degree } n-1) . \text { Use Theorem } 1 \text { in } §2 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar que si$$f$$ es finito y relativamente continuo on$$I=[a, b],$$ con una derivada acotada,$$\left|f^{\prime}\right| \leq M,$$ on$$I-Q(\text { see } §4),$$ entonces
\ [
V_ {f} [a, b]\ leq M (b-a).
\]
Sin embargo, es posible que tengamos$$V_{f}[I]<+\infty,$$ y sin embargo$$\left|f^{\prime}\right|=+\infty$$ en algunos$$p \in I .$$
$$\text { [Hint: Take } f(x)=\sqrt[3]{x} \text { on }[-1,1] .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Completar las pruebas de Corolario 4 y Teoremas 2 y 4.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar Nota 3.
[Pista: Si$$|h| \geq \varepsilon$$ se$$I,$$ muestra que
\ [
\ izquierda|\ frac {1} {h\ izquierda (t_ {i}\ derecha)} -\ frac {1} {h\ izquierda (t_ {i-1}\ derecha)}\ derecha|\ leq\ frac {\ izquierda|\ Delta_ {i} h\ derecha|} {\ varepsilon^ {2}}
]
y por lo tanto
\ [
S\ left (\ frac {1} {h}, P\ derecha)\ leq\ frac {S (h, P)} {\ varepsilon^ {2}}\ leq\ frac {V_ {h}} {\ varepsilon^ {2}}.
\]
Deducir que$$\frac{1}{h}$$ es de variación acotada sobre$$I$$ si$$h$$ es. Luego aplicar el Teorema 2$$(\text { iii) to }$$$$\left.\frac{1}{h} \cdot f .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$g : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ (real) y$$f : E^{1} \rightarrow E$$ ser relativamente continuo en$$J=[c, d]$$ y$$I=[a, b],$$ respectivamente, con$$a=g(c)$$ y$$b=g(d) .$$ Let
\ [
h=f\ circ g.
\]
Demostrar que si$$g$$ es uno a uno en$$J,$$ entonces
(i)$$g[J]=I,$$ así$$f$$ y$$h$$ describir uno y el mismo arco$$A=f[I]=h[J]$$;
(ii)$$V_{f}[I]=V_{h}[J] ;$$ es decir,$$\ell_{f} A=\ell_{h} A$$.
[Pista para (ii): Dado$$P=\left\{a=t_{0}, \ldots, t_{m}=b\right\},$$ muestran que los puntos$$s_{i}=g^{-1}\left(t_{i}\right)$$ forman una partición$$P^{\prime}$$ de$$J=[c, d],$$ con$$S\left(h, P^{\prime}\right)=S(f, P) .$$ De ahí deducir$$V_{f}[I] \leq$$$$V_{h}[J] .$$
Entonces demostrar que$$V_{h}[J] \leq V_{f}[I],$$ tomando un arbitrario$$P^{\prime}=\left\{c=s_{0}, \ldots, s_{m}=d\right\}$$,$$\left.\text { and defining } P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}, \text { with } t_{i}=g\left(s_{i}\right) . \text { What if } g(c)=b, g(d)=a ?\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si$$f, h : E^{1} \rightarrow E$$ son relativamente continuos y uno a uno encendido$$I=[a, b]$$ y$$J=[c, d],$$ respectivamente, y si
\ [
f [I] =h [J] =A
\]
$$\text { (i.e., } f \text { and } h \text { describe the same simple arc } A),$$ entonces

\ [\ ell_ {f} A=\ ell_ {h} A.
\]
Así, para arcos simples,$$\ell_{f} A$$ es independiente de$$f .$$
[Pista: Definir$$g : J \rightarrow E^{1}$$ por$$g=f^{-1} \circ h .$$ Uso Problema 6 y$$4, §9,$$ Teorema de Capítulo$$3 .$$ Primero verifique que Problema 6 funcione también si$$g(c)=b$$ y$$g(d)=a,$$ i.e.,$$g \downarrow$$ $$\text { on } J .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$I=[0,2 \pi]$$ y definir$$f, g, h : E^{1} \rightarrow E^{2}(C)$$ por
\ [
\ begin {array} {l} {f (x) = (\ sin x,\ cos x),}\\ {g (x) =(\ sin 3 x,\ cos 3 x),}\\ {h (x) =\ left (\ sin\ frac {1} {x},\ cos\ frac {1} {x}\ derecha)\ text {con} h (0) =( 0,1).} \ end {array}
\]
$$\text { Show that } f[I]=g[I]=h[I] \text { (the unit circle; call it } \mathrm{A}),$$ todavía$$\ell_{f} A=2 \pi$$,$$\ell_{g} A=6 \pi,$$ while$$V_{h}[I]=+\infty .$$ (Por lo tanto, el resultado del Problema 7 falla para$$\text { closed curves and } \text {nonsimple} \text { arcs. })$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

En Teorema$$3,$$ definir dos funciones$$G, H : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por
\ [
G (x) =\ frac {1} {2}\ left [V_ {f} [a, x] +f (x) -f (a)\ right]\]
y

\ [
H (x) =G (x) -f (x) +f (a) +f (a).
\]
$$(G \text { and } H \text { are called, respectively, the positive and negative variation }$$$$\text { functions for } f .)$$ Demostrar que
(i)$$G \uparrow$$ y$$H \uparrow$$ on$$[a, b]$$;
(ii)$$f(x)=G(x)-[H(x)-f(a)]$$ (así las funciones$$f$$ y$$g$$ del Teorema 3 no son únicas);
(iii)$$V_{f}[a, x]=G(x)+H(x)$$;
(iv) si $$f=g-h,$$con$$g \uparrow$$ y$$h \uparrow$$$$[a, b],$$ luego
\ [
V_ {G} [a, b]\ leq V_ {g} [a, b],\ texto {y} V_ {H} [a, b]\ leq V_ {h}\ izquierda [a, b\ derecha];
\]
(v)$$G(a)=H(a)=0$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{10*}$$

Demostrar que si$$f : E^{1} \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ es de variación limitada en$$I=[a, b],$$ entonces$$f$$ tiene a lo sumo contablemente muchas discontinuidades en$$I .$$
[Pista: Aplicar Problema 5 del Capítulo 4,$$§5 .$$ Proceder como en la prueba del Teorema 4 en
$$\text { §7. Finally, use Theorem 2 of Chapter 1, } §9 .]$$

5.7.E: Problemas en la Variación Total y Longitud de la Gráfica is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.