5.8: Arcos Rectificables. Continuidad Absoluta

Si una función\(f : E^{1} \rightarrow E\) es de variación acotada (§7) en un intervalo\(I=[a, b],\) podemos definir una función real\(v_{f}\) on\(I\) by

\[v_{f}(x)=V_{f}[a, x](=\text { total variation of } f \text { on }[a, x]) \text { for } x \in I;\]

\(v_{f}\)se llama la función de variación total, o función de longitud, generada por\(f\) on\(I\). Tenga en cuenta que\(v_{f} \uparrow\) en\(I.\) (¿Por qué?) Consideramos ahora el caso donde también\(f\) es relativamente continuo\(I,\) para que el conjunto\(A=f[I]\) sea un arco rectificable (ver §7, Nota 1 y Definición 2).

Definición 1

Una función\(f : E^{1} \rightarrow E\) es (débilmente) absolutamente continua en\(I=[a, b]\) iff\(V_{f}[I]<+\infty\) y\(f\) es relativamente continua en\(I\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Los siguientes son equivalentes:

i)\(f\) es (débilmente) absolutamente continuo\(I=[a, b]\);

(ii)\(v_{f}\) es finito y relativamente continuo sobre\(I ;\) y

iii)\((\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I | 0 \leq y-x<\delta) \text{ } V_{f}[x, y]<\varepsilon\).

Prueba

Demostraremos que ii)\(\Rightarrow\)\(\Rightarrow\) iii) i)\(\Rightarrow\) ii).

ii)\(\Rightarrow\) iii). Como\(I=[a, b]\) es compacto, (ii) implica que\(v_{f}\) es uniformemente continuo en\(I\) (Teorema 4 del Capítulo 4, §8). Por lo tanto

\[(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I | 0 \leq y-x<\delta) \quad v_{f}(y)-v_{f}(x)<\varepsilon.\]

Sin embargo,

\[v_{f}(y)-v_{f}(x)=V_{f}[a, y]-V_{f}[a, x]=V_{f}[x, y]\]

por aditividad (Teorema 1 en §7). Así sigue el inciso iii).

iii\(\Rightarrow\)) i). Por Corolario 3 de §7,\(|f(x)-f(y)| \leq V_{f}[x, y].\) Por lo tanto, (iii) implica que

\[(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I| | x-y |<\delta) \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon,\]

y así\(f\) es relativamente (incluso uniformemente) continuo encendido\(I\).

Ahora con\(\varepsilon\) y\(\delta\) como en (iii), tomar una partición\(P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}\) de\(I\) tan fina que

\[t_{i}-t_{i-1}<\delta, \quad i=1,2, \ldots,\text{ } m.\]

Luego\((\forall i) V_{f}\left[t_{i-1}, t_{i}\right]<\varepsilon.\) sumando estas\(m\) desigualdades y usando la aditividad de\(V_{f},\) obtenemos

\[V_{f}[I]=\sum_{i=1}^{m} V_{f}\left[t_{i-1}, t_{i}\right]<m \varepsilon<+\infty.\]

Así sigue, por definición, i).

Ese (i)\(\Rightarrow\) (ii) se da como el siguiente teorema. \(\quad \square\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(V_{f}[I]<+\infty\) y si\(f\) es relativamente continuo en algunos\(p \in I\) (sobre\(I=[a, b]),\) entonces lo mismo se aplica a la función length\(v_{f}\).

Prueba

Consideramos primero la continuidad izquierda, con\(a<p \leq b\).

Dejar\(\varepsilon>0.\) Por suposición, hay\(\delta>0\) tal que

\[|f(x)-f(p)|<\frac{\varepsilon}{2} \text { when }|x-p|<\delta \text { and } x \in[a, p].\]

Fijar cualquiera de tales\(x.\) También,\(V_{f}[a, p]=\sup _{P} S(f, P)\) sobre\([a, p].\) Así

\[V_{f}[a, p]-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{i=1}^{k}\left|\Delta_{i} f\right|\]

para alguna partición

\[P=\left\{t_{0}=a, \ldots, t_{k-1}, t_{k}=p\right\} \text { of }[a, p]. \text { (Why?)}\]

Podemos asumir\(t_{k-1}=x, x\) como arriba. (Si se\(t_{k-1} \neq x,\) agrega\(x\) a\(P. )\) Entonces

\[\left|\Delta_{k} f\right|=|f(p)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2},\]

y por lo tanto

\[V_{f}[a, p]-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{i=1}^{k-1}\left|\Delta_{i} f\right|+\left|\Delta_{k} f\right|<\sum_{i=1}^{k-1}\left|\Delta_{i} f\right|+\frac{\varepsilon}{2} \leq V_{f}\left[a, t_{k-1}\right]+\frac{\varepsilon}{2}.\]

Sin embargo,

\[V_{f}[a, p]=v_{f}(p)\]

y

\[V_{f}\left[a, t_{k-1}\right]=V_{f}[a, x]=v_{f}(x).\]

Así (1) rinde

\[\left|v_{f}(p)-v_{f}(x)\right|=V_{f}[a, p]-V_{f}[a, x]<\varepsilon \text { for } x \in[a, p] \text { with }|x-p|<\delta.\]

Esto demuestra que\(v_{f}\) se deja continuo en\(p\).

La continuidad correcta se demuestra de manera similar al señalar que

\[v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, b]-V_{f}[x, b] \text { for } p \leq x<b. \text { (Why?)}\]

Así\(v_{f}\) es, en efecto, relativamente continuo en\(p.\) Observe que también\(v_{f}\) es de variación acotada al\(I,\) ser monótona y finita (ver Teorema 3 (ii) de §7).

Esto completa la prueba tanto del Teorema 2 como del Teorema 1. \(\quad \square\)

También tenemos lo siguiente.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si\(f\) es real y absolutamente continuo en\(I=[a, b]\) (débilmente), también lo son las funciones no decrecientes\(g\) y\(h(f=g-h)\) definidas en el Teorema 3 de §7.

En efecto, la función tal\(g\) como se define es simplemente\(v_{f}.\) Así es relativamente continua y finita\(I\) por el Teorema 1. De ahí que así también sea\(h=f-g.\) Ambos son de variación acotada (¡monótona!) y por lo tanto absolutamente continuo (débilmente).

Nota 1. La prueba del Teorema 1 muestra que la continuidad absoluta (débil) implica continuidad uniforme. Lo contrario falla, sin embargo (ver Problema 1 (iv) en §7).

Ahora aplicamos nuestra teoría a los antiderivados (integrales).

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si está\(F=\int f\) encendido\(I=[a, b]\) y si\(f\) está limitado\(\left(|f| \leq K \in E^{1}\right)\) en\(I-Q\) (\(Q\)contable), entonces\(F\) es débilmente absolutamente continuo en\(I.\)

(En realidad, sigue incluso la variedad más fuerte de continuidad absoluta. Véase Capítulo 7, §11, Problema 17).

Prueba

Por definición,\(F=\int f\) es finito y relativamente continuo por\(I,\) lo que sólo tenemos que demostrar que\(V_{F}[I]<+\infty.\) Esto, sin embargo, sigue fácilmente por el Problema 3 de §7 al señalar que\(F^{\prime}=f\) on\(I-S\) (\(S\)contable). Los detalles se dejan al lector. \(\quad \square\)

Nuestro siguiente teorema expresa la longitud del arco en forma de integral.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(f : E^{1} \rightarrow E\) es continuamente diferenciable en\(I=[a, b]\) (§6), entonces\(v_{f}=\int\left|f^{\prime}\right|\) encendido\(I\) y

\[V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}\right|.\]

Prueba

Let\(a<p<x \leq b, \Delta x=x-p,\) y

\[\Delta v_{f}=v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, x] . \quad \text {(Why?)}\]

Como primer paso, demostraremos que

\[\frac{\Delta v_{f}}{\Delta x} \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right|.\]

Para cualquier partición\(P=\left\{p=t_{0}, \ldots, t_{m}=x\right\}\) de\([p, x],\) tenemos

\[S(f, P)=\sum_{i=1}^{m}\left|\Delta_{i} f\right| \leq \sum_{i=1}^{m} \sup _{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}\left|f^{\prime}\right|\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right| \Delta x.\]

Dado que esto se mantiene para cualquier partición\(P,\) tenemos

\[V_{f}[p, x] \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right| \Delta x,\]

lo que implica (2).

Por otra parte,

\[\Delta v_{f}=V_{f}[p, x] \geq|f(x)-f(p)|=|\Delta f|.\]

Combinando, obtenemos

\[\left|\frac{\Delta f}{\Delta x}\right| \leq \frac{\Delta v_{f}}{\Delta x} \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right|<+\infty\]

ya que\(f^{\prime}\) es relativamente continuo por\([a, b],\) lo tanto también uniformemente continuo y acotado. (Aquí asumimos\(a<p<x \leq b\). Sin embargo, (3) sostiene también si\(a \leq x<p<b,\) con\(\Delta v_{f}=-V[x, p]\) y\(\Delta x<0.\) Verificar!)

Ahora

\[| | f^{\prime}(p)|-| f^{\prime}(x)| | \leq\left|f^{\prime}(p)-f^{\prime}(x)\right| \rightarrow 0 \quad \text { as } x \rightarrow p,\]

así, tomando límites a medida\(x \rightarrow p,\) que obtenemos

\[\lim _{x \rightarrow p} \frac{\Delta v_{f}}{\Delta x}=\left|f^{\prime}(p)\right|.\]

Así\(v_{f}\) es diferenciable\(p\) en cada uno\((a, b),\) con\(v_{f}^{\prime}(p)=\left|f^{\prime}(p)\right|.\) También,\(v_{f}\) es relativamente continuo y finito en\([a, b]\) (por Teorema 1). De ahí\(v_{f}=\int\left|f^{\prime}\right|\) en\([a, b],\) y obtenemos

\[\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}\right|=v_{f}(b)-v_{f}(a)=V_{f}[a, b], \text { as asserted.} \quad \square\]

Nota 2. Si el espacio de rango\(E\) es\(E^{n}\) (*o\(C^{n}\)),\(f\) tiene\(n\) componentes

\[f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}.\]

Por Teorema 5 en §1,\(f^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots, f_{n}^{\prime}\right),\) entonces

\[\left|f^{\prime}\right|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}\right|^{2}},\]

y conseguimos

\[V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}\right|^{2}}=\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}(t)\right|^{2}} d t \quad\text {(classical notation).}\]

En particular, para funciones complejas, tenemos (ver Capítulo 4, §3, Nota 5)

\[V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{f_{\mathrm{re}}^{\prime}(t)^{2}+f_{\mathrm{im}}^{\prime}(t)^{2}} d t.\]

En la práctica, la fórmula (5) se utiliza cuando una curva es dada paramétricamente por

\[x_{k}=f_{k}(t), \quad k=1,2, \ldots, \text{ }n,\]

con el\(f_{k}\) diferenciable en\([a, b].\) Curvas en a menudo\(E^{2}\) se dan en forma no paramétrica como

\[y=F(x), \quad F : E^{1} \rightarrow E^{1}.\]

Aquí\(F[I]\) está\(n o t\) la curva deseada pero simplemente un conjunto en\(E^{1}.\) Para aplicar (5) aquí, primero reemplazamos "\(y=F(x)\)" por ecuaciones paramétricas adecuadas,

\[x=f_{1}(t) \text { and } y=f_{2}(t);\]

es decir, introducimos una función\(f : E^{1} \rightarrow E,\) con\(f=\left(f_{1}, f_{2}\right).\) Una forma obvia (pero no la única) de lograrla es establecer

\[x=f_{1}(t)=t \text { and } y=f_{2}(t)=F(t)\]

de modo que\(f_{1}^{\prime}=1\) y\(f_{2}^{\prime}=F^{\prime}.\) Entonces la fórmula (5) puede escribirse como

\[V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{1+F^{\prime}(x)^{2}} d x, \quad f(x)=(x, F(x)).\]

Ejemplo

Encuentra la longitud del círculo

\[x^{2}+y^{2}=r^{2}.\]

Aquí es conveniente usar las ecuaciones paramétricas

\[x=r \cos t \text { and } y=r \sin t,\]

es decir, definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{2}\) por

\[f(t)=(r \cos t, r \sin t),\]

o, en notación compleja,

\[f(t)=r e^{t i}.\]

Luego se obtiene el círculo dejando\(t\) variar a través de\([0,2 \pi].\) Así (5) rendimientos

\[V_{f}[0,2 \pi]=\int_{a}^{b} r \sqrt{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t} d t=r \int_{a}^{b} 1 d t=r\left.t\right|_{0} ^{2 \pi}=2 r \pi.\]

Tenga en cuenta que\(f\) describe el mismo círculo\(A=f[I]\) sobre\(I=[0,4 \pi].\) Más generalmente, podríamos dejar\(t\) variar a través de cualquier intervalo\([a, b]\) con\(b-a \geq 2 \pi.\) Sin embargo, la longitud,\(V_{f}[a, b],\) cambiaría (dependiendo de\(b-a)\). Esto se debe a que el círculo no\(A=f[I]\) es un simple arco (ver §7, Nota 1), por lo que\(\ell A\) depende de\(f\)\(I,\) y y hay que tener cuidado al seleccionar ambos apropiadamente.