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# 5.8: Arcos Rectificables. Continuidad Absoluta

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Si una función$$f : E^{1} \rightarrow E$$ es de variación acotada (§7) en un intervalo$$I=[a, b],$$ podemos definir una función real$$v_{f}$$ on$$I$$ by

$v_{f}(x)=V_{f}[a, x](=\text { total variation of } f \text { on }[a, x]) \text { for } x \in I;$

$$v_{f}$$se llama la función de variación total, o función de longitud, generada por$$f$$ on$$I$$. Tenga en cuenta que$$v_{f} \uparrow$$ en$$I.$$ (¿Por qué?) Consideramos ahora el caso donde también$$f$$ es relativamente continuo$$I,$$ para que el conjunto$$A=f[I]$$ sea un arco rectificable (ver §7, Nota 1 y Definición 2).

## Definición 1

Una función$$f : E^{1} \rightarrow E$$ es (débilmente) absolutamente continua en$$I=[a, b]$$ iff$$V_{f}[I]<+\infty$$ y$$f$$ es relativamente continua en$$I$$.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Los siguientes son equivalentes:

i)$$f$$ es (débilmente) absolutamente continuo$$I=[a, b]$$;

(ii)$$v_{f}$$ es finito y relativamente continuo sobre$$I ;$$ y

iii)$$(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I | 0 \leq y-x<\delta) \text{ } V_{f}[x, y]<\varepsilon$$.

Prueba

Demostraremos que ii)$$\Rightarrow$$$$\Rightarrow$$ iii) i)$$\Rightarrow$$ ii).

ii)$$\Rightarrow$$ iii). Como$$I=[a, b]$$ es compacto, (ii) implica que$$v_{f}$$ es uniformemente continuo en$$I$$ (Teorema 4 del Capítulo 4, §8). Por lo tanto

$(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I | 0 \leq y-x<\delta) \quad v_{f}(y)-v_{f}(x)<\varepsilon.$

Sin embargo,

$v_{f}(y)-v_{f}(x)=V_{f}[a, y]-V_{f}[a, x]=V_{f}[x, y]$

iii$$\Rightarrow$$) i). Por Corolario 3 de §7,$$|f(x)-f(y)| \leq V_{f}[x, y].$$ Por lo tanto, (iii) implica que

$(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \delta>0) \text{ } (\forall x, y \in I| | x-y |<\delta) \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon,$

y así$$f$$ es relativamente (incluso uniformemente) continuo encendido$$I$$.

Ahora con$$\varepsilon$$ y$$\delta$$ como en (iii), tomar una partición$$P=\left\{t_{0}, \ldots, t_{m}\right\}$$ de$$I$$ tan fina que

$t_{i}-t_{i-1}<\delta, \quad i=1,2, \ldots,\text{ } m.$

Luego$$(\forall i) V_{f}\left[t_{i-1}, t_{i}\right]<\varepsilon.$$ sumando estas$$m$$ desigualdades y usando la aditividad de$$V_{f},$$ obtenemos

$V_{f}[I]=\sum_{i=1}^{m} V_{f}\left[t_{i-1}, t_{i}\right]<m \varepsilon<+\infty.$

Así sigue, por definición, i).

Ese (i)$$\Rightarrow$$ (ii) se da como el siguiente teorema. $$\quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$V_{f}[I]<+\infty$$ y si$$f$$ es relativamente continuo en algunos$$p \in I$$ (sobre$$I=[a, b]),$$ entonces lo mismo se aplica a la función length$$v_{f}$$.

Prueba

Consideramos primero la continuidad izquierda, con$$a<p \leq b$$.

Dejar$$\varepsilon>0.$$ Por suposición, hay$$\delta>0$$ tal que

$|f(x)-f(p)|<\frac{\varepsilon}{2} \text { when }|x-p|<\delta \text { and } x \in[a, p].$

Fijar cualquiera de tales$$x.$$ También,$$V_{f}[a, p]=\sup _{P} S(f, P)$$ sobre$$[a, p].$$ Así

$V_{f}[a, p]-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{i=1}^{k}\left|\Delta_{i} f\right|$

para alguna partición

$P=\left\{t_{0}=a, \ldots, t_{k-1}, t_{k}=p\right\} \text { of }[a, p]. \text { (Why?)}$

Podemos asumir$$t_{k-1}=x, x$$ como arriba. (Si se$$t_{k-1} \neq x,$$ agrega$$x$$ a$$P. )$$ Entonces

$\left|\Delta_{k} f\right|=|f(p)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2},$

y por lo tanto

$V_{f}[a, p]-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{i=1}^{k-1}\left|\Delta_{i} f\right|+\left|\Delta_{k} f\right|<\sum_{i=1}^{k-1}\left|\Delta_{i} f\right|+\frac{\varepsilon}{2} \leq V_{f}\left[a, t_{k-1}\right]+\frac{\varepsilon}{2}.$

Sin embargo,

$V_{f}[a, p]=v_{f}(p)$

y

$V_{f}\left[a, t_{k-1}\right]=V_{f}[a, x]=v_{f}(x).$

Así (1) rinde

$\left|v_{f}(p)-v_{f}(x)\right|=V_{f}[a, p]-V_{f}[a, x]<\varepsilon \text { for } x \in[a, p] \text { with }|x-p|<\delta.$

Esto demuestra que$$v_{f}$$ se deja continuo en$$p$$.

La continuidad correcta se demuestra de manera similar al señalar que

$v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, b]-V_{f}[x, b] \text { for } p \leq x<b. \text { (Why?)}$

Así$$v_{f}$$ es, en efecto, relativamente continuo en$$p.$$ Observe que también$$v_{f}$$ es de variación acotada al$$I,$$ ser monótona y finita (ver Teorema 3 (ii) de §7).

Esto completa la prueba tanto del Teorema 2 como del Teorema 1. $$\quad \square$$

También tenemos lo siguiente.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$f$$ es real y absolutamente continuo en$$I=[a, b]$$ (débilmente), también lo son las funciones no decrecientes$$g$$ y$$h(f=g-h)$$ definidas en el Teorema 3 de §7.

En efecto, la función tal$$g$$ como se define es simplemente$$v_{f}.$$ Así es relativamente continua y finita$$I$$ por el Teorema 1. De ahí que así también sea$$h=f-g.$$ Ambos son de variación acotada (¡monótona!) y por lo tanto absolutamente continuo (débilmente).

Nota 1. La prueba del Teorema 1 muestra que la continuidad absoluta (débil) implica continuidad uniforme. Lo contrario falla, sin embargo (ver Problema 1 (iv) en §7).

Ahora aplicamos nuestra teoría a los antiderivados (integrales).

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si está$$F=\int f$$ encendido$$I=[a, b]$$ y si$$f$$ está limitado$$\left(|f| \leq K \in E^{1}\right)$$ en$$I-Q$$ ($$Q$$contable), entonces$$F$$ es débilmente absolutamente continuo en$$I.$$

(En realidad, sigue incluso la variedad más fuerte de continuidad absoluta. Véase Capítulo 7, §11, Problema 17).

Prueba

Por definición,$$F=\int f$$ es finito y relativamente continuo por$$I,$$ lo que sólo tenemos que demostrar que$$V_{F}[I]<+\infty.$$ Esto, sin embargo, sigue fácilmente por el Problema 3 de §7 al señalar que$$F^{\prime}=f$$ on$$I-S$$ ($$S$$contable). Los detalles se dejan al lector. $$\quad \square$$

Nuestro siguiente teorema expresa la longitud del arco en forma de integral.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si$$f : E^{1} \rightarrow E$$ es continuamente diferenciable en$$I=[a, b]$$ (§6), entonces$$v_{f}=\int\left|f^{\prime}\right|$$ encendido$$I$$ y

$V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}\right|.$

Prueba

Let$$a<p<x \leq b, \Delta x=x-p,$$ y

$\Delta v_{f}=v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, x] . \quad \text {(Why?)}$

Como primer paso, demostraremos que

$\frac{\Delta v_{f}}{\Delta x} \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right|.$

Para cualquier partición$$P=\left\{p=t_{0}, \ldots, t_{m}=x\right\}$$ de$$[p, x],$$ tenemos

$S(f, P)=\sum_{i=1}^{m}\left|\Delta_{i} f\right| \leq \sum_{i=1}^{m} \sup _{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}\left|f^{\prime}\right|\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right| \Delta x.$

Dado que esto se mantiene para cualquier partición$$P,$$ tenemos

$V_{f}[p, x] \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right| \Delta x,$

lo que implica (2).

Por otra parte,

$\Delta v_{f}=V_{f}[p, x] \geq|f(x)-f(p)|=|\Delta f|.$

Combinando, obtenemos

$\left|\frac{\Delta f}{\Delta x}\right| \leq \frac{\Delta v_{f}}{\Delta x} \leq \sup _{[p, x]}\left|f^{\prime}\right|<+\infty$

ya que$$f^{\prime}$$ es relativamente continuo por$$[a, b],$$ lo tanto también uniformemente continuo y acotado. (Aquí asumimos$$a<p<x \leq b$$. Sin embargo, (3) sostiene también si$$a \leq x<p<b,$$ con$$\Delta v_{f}=-V[x, p]$$ y$$\Delta x<0.$$ Verificar!)

Ahora

$| | f^{\prime}(p)|-| f^{\prime}(x)| | \leq\left|f^{\prime}(p)-f^{\prime}(x)\right| \rightarrow 0 \quad \text { as } x \rightarrow p,$

así, tomando límites a medida$$x \rightarrow p,$$ que obtenemos

$\lim _{x \rightarrow p} \frac{\Delta v_{f}}{\Delta x}=\left|f^{\prime}(p)\right|.$

Así$$v_{f}$$ es diferenciable$$p$$ en cada uno$$(a, b),$$ con$$v_{f}^{\prime}(p)=\left|f^{\prime}(p)\right|.$$ También,$$v_{f}$$ es relativamente continuo y finito en$$[a, b]$$ (por Teorema 1). De ahí$$v_{f}=\int\left|f^{\prime}\right|$$ en$$[a, b],$$ y obtenemos

$\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}\right|=v_{f}(b)-v_{f}(a)=V_{f}[a, b], \text { as asserted.} \quad \square$

Nota 2. Si el espacio de rango$$E$$ es$$E^{n}$$ (*o$$C^{n}$$),$$f$$ tiene$$n$$ componentes

$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}.$

Por Teorema 5 en §1,$$f^{\prime}=\left(f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots, f_{n}^{\prime}\right),$$ entonces

$\left|f^{\prime}\right|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}\right|^{2}},$

y conseguimos

$V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}\right|^{2}}=\int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}^{\prime}(t)\right|^{2}} d t \quad\text {(classical notation).}$

En particular, para funciones complejas, tenemos (ver Capítulo 4, §3, Nota 5)

$V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{f_{\mathrm{re}}^{\prime}(t)^{2}+f_{\mathrm{im}}^{\prime}(t)^{2}} d t.$

En la práctica, la fórmula (5) se utiliza cuando una curva es dada paramétricamente por

$x_{k}=f_{k}(t), \quad k=1,2, \ldots, \text{ }n,$

con el$$f_{k}$$ diferenciable en$$[a, b].$$ Curvas en a menudo$$E^{2}$$ se dan en forma no paramétrica como

$y=F(x), \quad F : E^{1} \rightarrow E^{1}.$

Aquí$$F[I]$$ está$$n o t$$ la curva deseada pero simplemente un conjunto en$$E^{1}.$$ Para aplicar (5) aquí, primero reemplazamos "$$y=F(x)$$" por ecuaciones paramétricas adecuadas,

$x=f_{1}(t) \text { and } y=f_{2}(t);$

es decir, introducimos una función$$f : E^{1} \rightarrow E,$$ con$$f=\left(f_{1}, f_{2}\right).$$ Una forma obvia (pero no la única) de lograrla es establecer

$x=f_{1}(t)=t \text { and } y=f_{2}(t)=F(t)$

de modo que$$f_{1}^{\prime}=1$$ y$$f_{2}^{\prime}=F^{\prime}.$$ Entonces la fórmula (5) puede escribirse como

$V_{f}[a, b]=\int_{a}^{b} \sqrt{1+F^{\prime}(x)^{2}} d x, \quad f(x)=(x, F(x)).$

## Ejemplo

Encuentra la longitud del círculo

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

Aquí es conveniente usar las ecuaciones paramétricas

$x=r \cos t \text { and } y=r \sin t,$

es decir, definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{2}$$ por

$f(t)=(r \cos t, r \sin t),$

o, en notación compleja,

$f(t)=r e^{t i}.$

Luego se obtiene el círculo dejando$$t$$ variar a través de$$[0,2 \pi].$$ Así (5) rendimientos

$V_{f}[0,2 \pi]=\int_{a}^{b} r \sqrt{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t} d t=r \int_{a}^{b} 1 d t=r\left.t\right|_{0} ^{2 \pi}=2 r \pi.$

Tenga en cuenta que$$f$$ describe el mismo círculo$$A=f[I]$$ sobre$$I=[0,4 \pi].$$ Más generalmente, podríamos dejar$$t$$ variar a través de cualquier intervalo$$[a, b]$$ con$$b-a \geq 2 \pi.$$ Sin embargo, la longitud,$$V_{f}[a, b],$$ cambiaría (dependiendo de$$b-a)$$. Esto se debe a que el círculo no$$A=f[I]$$ es un simple arco (ver §7, Nota 1), por lo que$$\ell A$$ depende de$$f$$$$I,$$ y y hay que tener cuidado al seleccionar ambos apropiadamente.

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