5.8.E: Problemas en Continuidad Absoluta y Arcos Rectificables

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completar las pruebas de Teoremas 2 y\(3,\) dando todos los detalles faltantes.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\Rightarrow\)Mostrar que\(f\) es absolutamente continuo (en el sentido más débil) en\([a, b]\) si por cada\(\varepsilon>0\) hay\(\delta>0\) tal que
\ [
\ begin {alineado}\ sum_ {i=1} ^ {m}\ izquierda|f\ izquierda (t_ {i}\ derecha) -f\ izquierda (s_ {i}\ derecha)\ derecha|<\ varepsilon &\ text {siempre}\ sum_ { i=1} ^ {m}\ izquierda (t_ {i} -s_ {i}\ derecha) <\ delta\ texto {y}\\ a\ leq s_ {1}\ leq t_ {1}\ leq s_ {2}\ leq t_ {2}\ leq\ cdots\ leq s_ {m}\ leq t_ {m}\ leq b. \ end {alineado}
\]
(Esto es continuidad absoluta en el sentido más fuerte.)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que\(v_{f}\) es estrictamente monótona en\([a, b]\) iff no\(f\) es constante en ningún subintervalo no degenerado de\([a, b] .\)
\(\left.\text { [Hint: If } x<y, V_{f}[x, y]>0, \text { by Corollary 4 of } §7\right] .\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Con\(f, g, h\) como en el Teorema 2 de\(§7,\) demostrar que si\(f, g, h\) son absolutamente continuos (en el sentido más débil) en\(I,\) así son\(f \pm g, h f,\) y\(|f| ;\) así también lo es\(f / h\) si\((\exists \varepsilon>0)|h| \geq \varepsilon\) en\(I\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que
(i) Si\(f^{\prime}\) es finito y\(\neq 0\) encendido\(I=[a, b],\) así también es\(v_{f}^{\prime}(\text { with one-sided }\) derivados en los puntos finales del intervalo); además,
\ [
\ izquierda|\ frac {f^ {\ prime}} {v_ {f} ^ {\ prime}}\ derecha|=1\ text {on} I.
\]
\(\left.\text { Thus show that } f^{\prime} / v_{f}^{\prime} \text { is the tangent unit vector (see } §1\right)\).
(ii) Bajo los mismos supuestos,\(F=f \circ v_{f}^{-1}\) es diferenciable en\(J=\left[0, v_{f}(b)\right]\) (con derivadas unilaterales en los puntos finales del intervalo) y\(F[J]=f[I] ;\) es decir,\(F\) y\(f\) describir el mismo arco simple, con\(V_{F}[I]=V_{f}[I]\).
Tenga en cuenta que esto equivale a un cambio de parámetro. Ajuste\(s=v_{f}(t),\) i.e.,\(t=v_{f}^{-1}(s),\) tenemos\(f(t)=f\left(v_{f}^{-1}(s)\right)=F(s),\) con la arcllength\(s\) como parámetro.