5.10.E: Problemas en las Funciones Reguladas
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Completa todos los detalles en la prueba de Teoremas\(1-3\).
Explicar ejemplos\((a)-(g)\).
\(T\)Demostrar Nota De manera\(2 .\) más general, asumiendo estar completo, probar que si
\ [
g_ {n}\ fila derecha f (\ text {uniformemente})\ text {on} I= [a, b]
\]
y si los\(g_{n}\) están regulados en\(I,\) así es\(f\).
[Pista: Se corrige el Teorema de\(p \in(a, b] .\) Uso 2 del Capítulo\(4, §11\) con
\ [
X= [a, p], Y=N\ copa\ {+\ infty\}, q=+\ infty,\ text {y} F (x, n) =g_ {n} (x).
\]
Luego muestra que
\ [
f\ izquierda (p^ {-}\ derecha) =\ lim _ {x\ fila derecha p^ {-}}\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} g_ {n} (x)\ text {existe;}
\\]
\(\left.\text { similarly for } f\left(p^{+}\right) .\right]\)
Dado\(f, g : E^{1} \rightarrow E^{1},\) definir\(f \vee g\) y\(f \wedge g\) como en Problema 12 del Capítulo\(4, §8 .\) Usando la pista que ahí se da, mostrar que\(f \vee g\) y\(f \wedge g\) están regulados si\(f\) y\(g\) son.
Demostrar que la función no\(g \circ f\) necesita ser regulada aunque\(g\) y\(f\) sean.
[Pista: Vamos
\ [
f (x) =x\ cdot\ sin\ frac {1} {x}, g (x) =\ frac {x} {|x|},\ texto {y} f (0) =g (0) =0\ texto {con} I= [0,1].
\]
Proceder.]
\(\Rightarrow\)Dado\(f : E^{1} \rightarrow(T, \rho),\) regulado en\(I,\) put
\ [
j (p) =\ max\ izquierda\ {\ rho\ izquierda (f (p), f\ izquierda (p^ {-}\ derecha)\ derecha),\ rho\ izquierda (f (p), f\ izquierda (p^ {+}\ derecha)\ derecha),\ rho\ izquierda (f\ izquierda (p^ {-}\ derecha), f\ izquierda (p^ {+}\ derecha)\ derecha)\ derecha\};
\]
llamarlo el \(j u m p\)en\(p\).
(i) Demostrar que\(f\) es discontinuo en\(p \in I^{0}\) iff\(j(p)>0,\) es decir, iff
\ [
(\ existe n\ in N)\ quad j (p) >\ frac {1} {n}.
\]
(ii) Para una\(n \in N,\) prueba fija que un subintervalo cerrado\(J \subseteq I\) contiene como máximo finitamente muchos\(x\) con\(j(x)>1 / n\).
[Pista: De lo contrario, hay una secuencia de puntos distintos de\(x_{m} \in J, j\left(x_{m}\right)>\frac{1}{n},\) ahí una subsecuencia\(x_{m_{k}} \rightarrow p \in J .\) (¿Por qué?) Utilice el Teorema 1 del Capítulo\(4,\) §2,\(\left.\text { to show that } f\left(p^{-}\right) \text {or } f\left(p^{+}\right) \text {fails to exist. }\right]\)
\(\Rightarrow\)Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow(T, \rho)\) está regulado\(I,\) entonces tiene a lo sumo contablemente muchas discontinuidades en\(I ;\) todas son del tipo “salto” (Problema 5).
[Pista: Por Problema 5, cualquier subintervalo cerrado\(J \subseteq I\) contiene, para cada uno\(n,\) como mucho finitamente muchas discontinuidades\(x\) con\(j(x)>1 / n .\) Así para\(n=1,2, \ldots,\) obtener\(\text { countably many such } x .]\)
Demostrar que si\(E\) está completo, todos los mapas\(f : E^{1} \rightarrow E,\) con\(V_{f}[I]<+\infty\) on\(I=[a, b],\) están regulados en\(I .\)
[Pista: Use Corolario 1, Capítulo 4, §2, para mostrar eso\(f\left(p^{-}\right)\) y\(f\left(p^{+}\right)\) existir.
Digamos,
\ [
x_ {n}\ fila derecha p\ texto {con} x_ {n} <p\ quad\ izquierda (x_ {n}, p\ in I\ derecha),
\]
pero no\(\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}\) es Cauchy. Entonces encuentra una subsecuencia,\(\left\{x_{n_{k}}\right\} \uparrow,\) y\(\varepsilon>0\) tal que
\ [
\ izquierda|f\ izquierda (x_ {n_ {k+1}}\ derecha) -f\ izquierda (x_ {n_ {k}}\ derecha)\ derecha|\ geq\ varepsilon,\ quad k=1,3,5,\ ldots
\]
Deducir una contradicción a\(V_{f}[I]<+\infty .\)
\(\left.\quad \text { Provide a similar argument for the case } x_{n}>p .\right]\)
Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow(T, \rho)\) está regulado en\(I,\) entonces\(\overline{f[B]}\) (el cierre\(\text { of } f[B])\) es compacto en\((T, \rho)\) siempre que sea\(B\) un subconjunto compacto de\(I .\)
[Pista: Dado\(\left\{z_{m}\right\}\) en\(\overline{f[B]}\), encontrar\(\left\{y_{m}\right\} \subseteq f[B]\) tal que\(\rho\left(z_{m}, y_{m}\right) \rightarrow 0\) (use\(\text { Theorem } 3 \text { of Chapter } 3, §16) .\) Entonces “imitar” el prueba del Teorema 1 en Cap\(\text { ter } 4, §8\) adecuadamente. Distinguir los casos:
(i) todos pero finitamente muchos\(x_{m}\) son\(<p\);
(ii) infinitamente muchos\(x_{m}\) superan\(p ;\) o
(iii) infinitamente muchos\(x_{m}\) iguales\(p\).]