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# 6.1: Derivadas direccionales y parciales

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En el Capítulo 5 consideramos funciones$$f : E^{1} \rightarrow E$$ de una variable real.

Ahora retomamos funciones$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ donde ambos$$E^{\prime}$$ y$$E$$ son espacios normados.

El campo escalar de ambos siempre se asume igual:$$E^{1}$$ o$$C$$ (el campo complejo). Aquí$$E=E^{*}$$ se excluye el caso; así todo se asume finito.

Utilizamos mayormente letras con flecha$$\vec{p}, \vec{q}, \ldots, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$$ para vectores en el espacio de dominio$$E^{\prime},$$ y letras sin flecha para aquellos en$$E$$ y para escalares.

Como antes, adoptamos la convención que$$f$$ se define en todos$$E^{\prime},$$ con$$f(\vec{x})=0$$ si no se define de otra manera.

Tenga en cuenta que, si$$\vec{p} \in E^{\prime},$$ uno puede expresar algún punto$$\vec{x} \in E^{\prime}$$ como

$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u},$

con$$t \in E^{1}$$ y$$\vec{u}$$ un vector unitario. Para si se$$\vec{x} \neq \vec{p},$$ establece

$t=|\vec{x}-\vec{p}| \text { and } \vec{u}=\frac{1}{t}(\vec{x}-\vec{p});$

y si$$\vec{x}=\vec{p},$$ se establece$$t=0,$$ y cualquiera$$\vec{u}$$ servirá. A menudo usamos la notación

$\vec{t}=\Delta \vec{x}=\vec{x}-\vec{p}=t \vec{u} \quad\left(t \in E^{1}, \vec{t}, \vec{u} \in E^{\prime}\right).$

En primer lugar, generalizamos la Definición 1 en el Capítulo 5, §1.

## Definición 1

Dado$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ y$$\vec{p}, \vec{u} \in E^{\prime}(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}),$$ definimos la derivada direccional de$$f$$ along$$\vec{u}$$ (o$$\vec{u}$$ -direct derivada de$$f )$$ at$$\vec{p}$$ by

$D_{\vec{u}} f(\vec{p})=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}[f(\vec{p}+t \vec{u})-f(\vec{p})],$

si este límite existe en$$E$$ (finito).

También definimos la función derivada$$\vec{u}$$ -dirigida,

$D_{\vec{u}} f : E^{\prime} \rightarrow E,$

como se indica a continuación. Para cualquier$$\vec{p} \in E^{\prime}$$,

$D_{\vec{u} f(\vec{p})}=\left\{\begin{array}{ll}{\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}[f(\vec{p}+t \vec{u})-f(\vec{p})]} & {\text { if this limit exists, }} \\ {0} & {\text { otherwise. }}\end{array}\right.$

Así siempre$$D_{\vec{u}} f$$ se define, pero el nombre derivado se usa sólo si el límite (1) existe (finito). Si existe para cada uno$$\vec{p}$$ en un conjunto$$B \subseteq E^{\prime},$$ llamamos$$D_{\vec{u}} f$$ (en notación clásica$$\partial f / \partial \vec{u} )$$ la derivada$$\vec{u}$$ -dirigida de$$f$$ on$$B$$.

Tenga en cuenta que, como$$t \rightarrow 0, \vec{x}$$ tiende a$$\vec{p}$$ sobre la línea$$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u}.$$ Así se$$D_{\vec{u}} f(\vec{p})$$ puede tratar como un límite relativo sobre esa línea. Observe que depende tanto de la dirección como de la longitud de$$\vec{u}.$$ Indeed, tenemos el siguiente resultado.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Dado$$f : E^{\prime} \rightarrow E, \vec{u} \neq \overrightarrow{0},$$ y un escalar$$s \neq 0,$$ tenemos

$D_{s \vec{u}} f=s D_{\vec{u}} f.$

Por otra parte,$$D_{s \vec{u}} f(\vec{p})$$ es un derivado genuino iff$$D_{\vec{u}} f(\vec{p})$$ es.

Prueba

Establecer$$t=s \theta$$ en (1) para obtener

$s D_{\vec{u}} f(\vec{p})=\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\theta}[f(\vec{p}+\theta s \vec{u})-f(\vec{p})]=D_{s \vec{u}} f(\vec{p}). \quad \square$

En particular, tomando$$s=1 /|\vec{u}|,$$ tenemos

$|s \vec{u}|=\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|}=1 \text { and } D_{\vec{u}} f=\frac{1}{s} D_{s \vec{u}} f.$

Así todo se reduce al caso$$D_{\vec{v}} f,$$ donde$$\vec{v}=s \vec{u}$$ se encuentra un vector unitario. Este dispositivo, llamado normalización, es de uso frecuente, pero en realidad no simplifica las cosas.

Si$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),$$ entonces$$f$$ es una función de variables$$n$$ escalares$$x_{k}(k=1, \ldots, n)$$ y$$E^{\prime}$$ tiene los vectores unitarios$$n$$ básicos$$\vec{e}_{k}.$$ Este ejemplo nos lleva a la siguiente definición.

## Definición 2

Si en la fórmula (1),$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)$$ y$$\vec{u}=\vec{e}_{k}$$ para un fijo$$k \leq n,$$ llamamos a$$D_{\vec{u}} f$$ la función parcialmente derivada para$$f,$$ con respecto a$$x_{k},$$ denotado

$D_{k} f \text { or } \frac{\partial f}{\partial x_{k}},$

y el límite (1) se llama la derivada parcial de$$f$$ at$$\vec{p},$$ con respecto a$$x_{k},$$ denotado

$D_{k} f(\vec{p}), \text { or } \frac{\partial}{\partial x_{k}} f(\vec{p}), \text { or }\left.\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right|_{\vec{x}=\vec{p}}.$

Si existe para todos$$\vec{p} \in B,$$ llamamos$$D_{k} f$$ la derivada parcial (brevemente, parcial) de$$f$$ on$$B,$$ con respecto a$$x_{k}$$.

En cualquier caso, las funciones derivadas siempre$$D_{k} f(k=1, \ldots, n)$$ se definen en todos$$E^{n}\left(C^{n}\right).$$

Si$$E^{\prime}=E^{3}\left(C^{3}\right),$$ escribimos a menudo$$x, y, z$$ para$$x_{1}, x_{2}, x_{3},$$ y

$\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \text { for } D_{k} f \quad(k=1,2,3).$

Nota 1. Si los$$E^{\prime}=E^{1},$$ escalares son también “vectores”, y$$D_{1} f$$ coincide con$$f^{\prime}$$ lo definido en el Capítulo 5, §1 (excepto donde$$f^{\prime}=\pm \infty$$). ¡Explique!

Nota 2. Como hemos observado, la derivada$$\vec{u}$$ -dirigida (1) se obtiene manteniendo$$\vec{x}$$ en la línea$$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u}.$$

Si$$\vec{u}=\vec{e}_{k},$$ la línea es paralela al eje$$k$$ th; así todas las coordenadas de$$\vec{x},$$ excepto$$x_{k},$$ permanecen fijas$$\left(x_{i}=p_{i}, i \neq k\right),$$ y$$f$$ se comporta como una función de una variable,$$x_{k}.$$ así podemos computar$$D_{k} f$$ por las reglas habituales de diferenciación, tratando a todos$$x_{i}(i \neq k)$$ como constantes y$$x_{k}$$ como única variable.

Por ejemplo, let$$f(x, y)=x^{2} y.$$ Entonces

$\frac{\partial f}{\partial x}=D_{1} f(x, y)=2 x y \text { and } \frac{\partial f}{\partial y}=D_{2} f(x, y)=x^{2}.$

Nota 3. De manera más general, dado$$\vec{p}$$ y$$\vec{u} \neq \overrightarrow{0},$$ establecido

$h(t)=f(\vec{p}+t \vec{u}), \quad t \in E^{1}.$

Entonces$$h(0)=f(\vec{p});$$ así

\begin{aligned} D_{\vec{u}} f(\vec{p}) &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}[f(\vec{p}+t \vec{u})-f(\vec{p})] \\ &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{h(t)-h(0)}{t-0} \\ &=h^{\prime}(0) \end{aligned}

si existe el límite. Así todo se reduce a una función$$h$$ de una variable real.

Para las funciones$$f : E^{1} \rightarrow E,$$ la existencia de una derivada finita (“diferenciabilidad”) en$$p$$ implica continuidad en$$p$$ (Teorema 1 del Capítulo 5, §1). Pero en el caso general,$$f : E^{\prime} \rightarrow E,$$ esto puede fallar aunque$$D_{\vec{u}} f(\vec{p})$$ exista para todos$$\vec{u} \neq \overrightarrow{0}$$.

## Ejemplos

a) Definir$$f : E^{2} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, \quad f(0,0)=0.$

Arreglar un vector de unidad$$\vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right)$$ en$$E^{2}.$$ Let$$\vec{p}=(0,0).$$ To find$$D_{\vec{u}} f(p),$$ use the$$h$$ of Nota 3:

$h(t)=f(\vec{p}+t \vec{u})=f(t \vec{u})=f\left(t u_{1}, t u_{2}\right)=\frac{t u_{1}^{2} u_{2}}{t^{2} u_{1}^{4}+u_{2}^{2}} \text { if } u_{2} \neq 0,$

y$$h=0$$ si$$u_{2}=0.$$ De ahí

$D_{\vec{u}} f(\vec{p})=h^{\prime}(0)=\frac{u_{1}^{2}}{u_{2}} \text { if } u_{2} \neq 0,$

y$$h^{\prime}(0)=0$$ si$$u_{2}=0.$$ Así$$D_{\vec{u}}(\overrightarrow{0})$$ existe para todos$$\vec{u}.$$ Sin embargo$$f$$ es discontinuo en$$\overrightarrow{0}$$ (ver Problema 9 en el Capítulo 4, §3).

b) Dejar

$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{x+y} & {\text { if } x y=0,} \\ {1} & {\text { otherwise.}}\end{array}\right.$

Entonces$$f(x, y)=x$$ en el$$x$$ eje -; entonces$$D_{1} f(0,0)=1$$.

Sin embargo,$$f$$ es discontinuo en$$\overrightarrow{0}$$ (incluso relativamente) sobre cualquier línea$$y=a x$$$$(a \neq 0).$$ Para en esa línea,$$f(x, y)=1$$ si es$$(x, y) \neq(0,0);$$ así$$f(x, y) \rightarrow 1$$ pero$$f(0,0)=0+0=0$$.

Así la continuidad en$$\overrightarrow{0}$$ falla. (¡Pero vea el Teorema 1 a continuación!)

De ahí que, para que la diferenciabilidad implique continuidad, ésta debe definirse de manera más fuerte. Lo hacemos en §3. Por ahora, demostramos sólo algunos teoremas sobre derivados parciales y direccionales, basados en los del Capítulo 5.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ tiene una derivada$$\vec{u}$$ -dirigida en$$\vec{p} \in E^{\prime},$$ entonces$$f$$ es relativamente continua en$$\vec{p}$$ sobre la línea

$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u} \quad\left(\overrightarrow{0} \neq \vec{u} \in E^{\prime}\right).$

Prueba

Set$$h(t)=f(\vec{p}+t \vec{u}), t \in E^{1}$$.

Por Nota 3, nuestra suposición implica que$$h$$ (una función en$$E^{1}$$) es diferenciable en$$0.$$

Por Teorema 1 en el Capítulo 5, §1, entonces,$$h$$ es continuo en$$0;$$ tan

$\lim _{t \rightarrow 0} h(t)=h(0)=f(\vec{p}),$

es decir,

$\lim _{t \rightarrow 0} f(\vec{p}+t \vec{u})=f(\vec{p}).$

Pero esto significa que$$f(\vec{x}) \rightarrow f(\vec{p})$$ como$$\vec{x} \rightarrow \vec{p}$$ sobre la línea$$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u},$$ para, en esa línea,$$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u}.$$

Así, en efecto,$$f$$ es relativamente continuo en$$\vec{p},$$ como se afirma. $$\quad \square$$

Tenga en cuenta que en realidad usamos la sustitución$$\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u}.$$ Esto es admisible ya que la dependencia entre$$x$$ y$$t$$ es de uno a tono (Corolario 2 (iii) del Capítulo 4, §2). ¿Por qué?

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Vamos$$E^{\prime} \ni \vec{u}=\vec{q}-\vec{p}, \vec{u} \neq \overrightarrow{0}$$.

Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es relativamente continuo en el segmento$$I=L[\vec{p}, \vec{q}]$$ y tiene una derivada$$\vec{u}$$ -dirigida en$$I-Q$$ ($$Q$$contable), entonces

$|f(\vec{q})-f(\vec{p})| \leq \sup \left|D_{\vec{u}} f(\vec{x})\right|, \quad \vec{x} \in I-Q.$

Prueba

Establecer de nuevo$$h(t)=f(\vec{p}+t \vec{u})$$ y$$g(t)=\vec{p}+t \vec{u}$$.

Entonces$$h=f \circ g,$$ y$$g$$ es continuo en$$E^{1}.$$ (¿Por qué?)

Como$$f$$ es relativamente continuo en$$I=L[\vec{p}, \vec{q}],$$ así es$$h=f \circ g$$ en el intervalo$$J=[0,1] \subset E^{1}$$ (cf. Capítulo 4, §8, Ejemplo (1)).

Ahora arregla$$t_{0} \in J.$$ Si$$\vec{x}_{0}=\vec{p}+t_{0} \vec{u} \in I-Q,$$ nuestras suposiciones implican la existencia de

\begin{aligned} D_{\vec{u}} f\left(\vec{x}_{0}\right) &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left[f\left(\vec{x}_{0}+t \vec{u}\right)-f\left(\vec{x}_{0}\right)\right] \\ &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left[f\left(\vec{p}+t_{0} \vec{u}+t \vec{u}\right)-f\left(\vec{p}+t_{0} \vec{u}\right)\right] \\ &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left[h\left(t_{0}+t\right)-h\left(t_{0}\right)\right] \\ &=h^{\prime}\left(t_{0}\right) . \quad \text {(Explain!)} \end{aligned}

Esto puede fallar durante como máximo un conjunto$$Q^{\prime}$$ de puntos contables$$t_{0} \in J$$ (aquellos para los cuales$$\vec{x}_{0} \in Q).$$

Así$$h$$ es diferenciable$$J-Q^{\prime};$$ y así, por el Corolario 1 en el Capítulo 5, §4,

$|h(1)-h(0)| \leq \sup _{t \in J-Q^{\prime}}\left|h^{\prime}(t)\right|=\sup _{\vec{x} \in I-Q}\left|D_{\vec{u}} f(\vec{x})\right|.$

Ahora como$$h(1)=f(\vec{p}+\vec{u})=f(\vec{q})$$ y la$$h(\overrightarrow{0})=f(\vec{p}),$$ fórmula (2) sigue. $$\quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si en el Teorema 2,$$E=E^{1}$$ y si$$f$$ tiene una derivada$$\vec{u}$$ -dirigida al menos en el segmento de línea abierta$$L(\vec{p}, \vec{q}),$$ entonces

$f(\vec{q})-f(\vec{p})=D_{\vec{u}} f\left(\vec{x}_{0}\right)$

para algunos$$\vec{x}_{0} \in L(\vec{p}, \vec{q})$$.

Prueba

La prueba es como en el Teorema 2, basado en el Corolario 3 en el Capítulo 5, §2 (en lugar del Corolario 1 en el Capítulo 5, §4).

Los teoremas 2 y 3 se utilizan a menudo en forma “normalizada”, de la siguiente manera.

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si en los Teoremas 2 y 3, establecemos

$r=|\vec{u}|=|\vec{q}-\vec{p}| \neq 0 \text { and } \vec{v}=\frac{1}{r} \vec{u},$

entonces las fórmulas (2) y (3) se pueden escribir como

$|f(\vec{q})-f(\vec{p})| \leq|\vec{q}-\vec{p}| \sup \left|D_{\vec{v}} f(\vec{x})\right|, \quad \vec{x} \in I-Q,$

y

$f(\vec{q})-f(\vec{p})=|\vec{q}-\vec{p}| D_{\vec{v}} f\left(\vec{x}_{0}\right)$

para algunos$$\vec{x}_{0} \in L(\vec{p}, \vec{q})$$.

Para por Corolario 1,

$D_{\vec{u}} f=r D_{\vec{v}} f=|\vec{q}-\vec{p}| D_{\vec{v}} f;$

así que (2') y (3') siguen.

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