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6.3: Funciones Diferenciables

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    113772
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    Como sabemos, una función\(f : E^{1} \rightarrow E\left(\text {on } E^{1}\right)\) es diferenciable en\(p \in E^{1}\) iff, con\(\Delta f=f(x)-f(p)\) y\(\Delta x=x-p\),

    \ [
    f^ {\ prime} (p) =\ lim _ {x\ fila derecha p}\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}\ texto {existe}\ quad (\ texto {finito}).
    \]

    Ajuste\(\Delta x=x-p=t, \Delta f=f(p+t)-f(p),\) y\(f^{\prime}(p)=v,\) podemos escribir esta ecuación como

    \ [
    \ lim _ {t\ fila derecha 0}\ izquierda|\ frac {\ Delta f} {t} -v\ derecha|=0,
    \]

    o

    \ [
    \ lim _ {t\ fila derecha 0}\ frac {1} {|t|} |f (p+t) -f (p) -v t|=0
    \]

    Ahora define un mapa\(\phi : E^{1} \rightarrow E\) por\(\phi(t)=t v, v=f^{\prime}(p) \in E\).

    Entonces\(\phi\) es lineal y continuo, es decir,\(\phi \in L\left(E^{1}, E\right) ;\) así por el Corolario 2 en §2, podemos expresar de la\((1)\) siguiente manera: hay un mapa\(\phi \in L\left(E^{1}, E\right)\) tal que

    \ [
    \ lim _ {t\ fila derecha 0}\ frac {1} {|t|} |\ Delta f-\ phi (t) |=0.
    \]

    Adoptamos esto como una definición en el caso general,\(f : E^{\prime} \rightarrow E,\) también.

    Definición: Diferenciable en un Punto

    Una función\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) donde\(E^{\prime}\) y\(E\) son espacios normados sobre el mismo campo escalar) se dice que es diferenciable en un\(\vec{p} \in E^{\prime}\) punto si hay un mapa

    \ [
    \ phi\ en L\ izquierda (E^ {\ prime}, E\ derecha)
    \]

    de tal manera que

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}}\ frac {1} {|\ vec {t} |} |\ Delta f-\ phi (\ vec {t}) |=0;
    \]

    es decir,

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}}\ frac {1} {|\ vec {t} |} [f (\ vec {p} +\ vec {t}) -f (\ vec {p}) -\ phi (\ vec {t})] =0.
    \]

    Como mostramos a continuación,\(\phi\) es único (para un fijo\(\vec{p} ),\) si existe.

    Llamamos\(\phi\) al diferencial de\(f\) al denotado\(\vec{p},\) brevemente\(d f .\) Como depende de\(\vec{p},\) nosotros también escribimos\(d f(\vec{p} ; \vec{t})\) para\(d f(\vec{t})\) y\(d f(\vec{p} ; \cdot)\) para\(d f\).

    Algunos autores escriben\(f^{\prime}(\vec{p})\)\(d f(\vec{p} ; \cdot)\) y lo llaman el derivado en\(\vec{p},\) pero no haremos esto (ver Prefacio). Siguiendo a M. Spivak, sin embargo, utilizaremos\("[f^{\prime}(\vec{p})] "\) para su matriz, de la siguiente manera.

    Definición: Matriz jacobiana

    Si\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y\(E=E^{m}\left(C^{m}\right),\) y\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es diferenciable en\(\vec{p},\) nos fijamos

    \ [
    \ izquierda [f^ {\ prime} (\ vec {p})\ derecha] = [d f (\ vec {p};\ cdot)]
    \]

    y llamarlo la matriz jacobiana de\(f\) al\(\vec{p}\).

    Nota 1. En el capítulo 5, §6, no definimos\(d f\) como mapeo. Sin embargo, si\(E^{\prime}=E^{1},\) el valor de la función

    \ [
    d f (p; t) =v t=f^ {\ prime} (p)\ Delta x
    \]

    es como en el Capítulo 5, §6.

    Además,\(\left[f^{\prime}(p)\right]\) es una\(1 \times 1\) matriz con un solo término\(f^{\prime}(p) .\) (¿Por qué?) Esto motivó Definición 2.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    (La singularidad de\(d f ) .\) Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es diferenciable en\(\vec{p},\) ese momento el mapa\(\phi\) descrito en la Definición 1 es único (dependiente de\(f\) y\(\vec{p}\) solo).

    Prueba

    Supongamos que hay otro mapa lineal\(g : E^{\prime} \rightarrow E\) tal que

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}}\ frac {1} {|\ vec {t} |} [f (\ vec {p} +\ vec {t}) -f (\ vec {p}) -g (\ vec {t})] =\ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}}\ frac {1} {|\ vec {t} |} [\ Delta f-g (\ vec {t})] =0.
    \]

    Dejar\(h=\phi-g .\) Por Corolario 1 en §2,\(h\) es lineal.

    Además, por la ley del triángulo,

    \ [
    |h (\ vec {t}) |=|\ phi (\ vec {t}) -g (\ vec {t}) |\ leq|\ Delta f-\ phi (\ vec {t}) |+|\ Delta f-g (\ vec {t}) |.
    \]

    Por lo tanto, dividiendo por\(|\vec{t}|\),

    \ [
    \ izquierda|h\ izquierda (\ frac {\ vec {t}} {|\ vec {t} |}\ derecha)\ derecha|=\ frac {1} {|\ vec {t} |} |h (\ vec {t}) |\ leq\ frac {1} {|\ vec {t} |} |\ Delta f-\ phi (\ vec {t} |\ vec {t} |\ Delta f-\ phi (\ vec {t} |\ vec c {t}) |+\ frac {1} {|\ vec {t} |} |\ Delta f-g (\ vec {t}) |.
    \]

    Por\((3)\) y\((2),\) las expresiones del lado derecho tienden a 0 como\(\vec{t} \rightarrow \overrightarrow{0} .\) Así

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}} h\ izquierda (\ frac {\ vec {t}} {|\ vec {t} |}\ derecha) =0.
    \]

    Esto sigue siendo válido también si\(\vec{t} \rightarrow \overrightarrow{0}\) sobre cualquier línea a través de\(\overrightarrow{0},\) modo que se\(\vec{t} /|\vec{t}|\) mantenga constante, digamos\(\vec{t} /|\vec{t}|=\vec{u},\) dónde\(\vec{u}\) está un vector unitario arbitrario (pero fijo).

    Entonces

    \ [
    h\ izquierda (\ frac {\ vec {t}} {|\ vec {t} |}\ derecha) =h (\ vec {u})
    \]

    es constante; por lo que puede tender a\(0\) solo si es igual a\(0,\) así\(h(\vec{u})=0\) para cualquier vector de unidad\(\vec{u} .\)

    Dado que cualquiera\(\vec{x} \in E^{\prime}\) puede escribirse como rendimientos de\(\vec{x}=|\vec{x}| \vec{u},\) linealidad

    \ [
    h (\ vec {x}) =|\ vec {x} | h (\ vec {u}) =0.
    \]

    Así\(h=\phi-g=0\) sucesivamente\(E^{\prime},\) y así\(\phi=g\) después de todo, demostrando la singularidad de\(\phi . \square\)

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f\) es diferenciable en\(\vec{p},\) entonces

    (i)\(f\) es continuo en\(\vec{p}\);

    (ii) para cualquiera\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0},\) tiene el derivado\(\vec{u}\) -dirigido

    \ [
    D_ {\ vec {u}} f (\ vec {p}) =d f (\ vec {p};\ vec {u}).
    \]

    Prueba

    Por suposición, la fórmula\((2)\) se mantiene para\(\phi=d f(\vec{p} ; \cdot)\).

    Así, dado que\(\varepsilon>0,\) hay\(\delta>0\) tal que, fijando\(\Delta f=f(\vec{p}+\vec{t})-f(\vec{p})\) tenemos

    \ [
    \ frac {1} {|\ vec {t} |} |\ Delta f-\ phi (\ vec {t}) |<\ varepsilon\ texto {siempre} 0<|\ vec {t} |<\ delta;
    \]

    o, por la ley del triángulo,

    \ [
    |\ Delta f|\ leq|\ Delta f-\ phi (\ vec {t}) |+|\ phi (\ vec {t}) |\ leq\ varepsilon|\ vec {t} |+|\ phi (\ vec {t}) |,\ quad 0<|\ vec {t} |<\ delta.
    \]

    Ahora, por Definición\(1, \phi\) es lineal y continuo; entonces

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}} |\ phi (\ vec {t}) |=|\ phi (\ overrightarrow {0}) |=0.
    \]

    Así, haciendo\(\vec{t} \rightarrow \overrightarrow{0}\) adentro\((5),\) con\(\varepsilon\) fijo, conseguimos

    \ [
    \ lim _ {\ vec {t}\ fila derecha\ overrightarrow {0}} |\ Delta f|=0.
    \]

    Como\(\vec{t}\) es sólo otra notación para\(\Delta \vec{x}=\vec{x}-\vec{p},\) esto prueba la aserción (i).

    A continuación, arregle cualquier\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\)\(E^{\prime},\) entrada y sustituya\(t \vec{u}\)\(\vec{t}\) en\((4)\).

    En otras palabras,\(t\) es una variable real,\(0<t<\delta /|\vec{u}|,\) así que eso\(\vec{t}=t \vec{u}\) satisface\(0<|\vec{t}|<\delta\).

    Multiplicando por\(|\vec{u}|,\) utilizamos la linealidad de\(\phi\) para obtener

    \ [
    \ varepsilon|\ vec {u} |>\ izquierda|\ frac {\ Delta f} {t} -\ frac {\ phi (t\ vec {u})} {t}\ derecha|=\ izquierda|\ frac {\ Delta f} {t} -\ phi (\ vec {u})\ derecha|=\ izquierda|\ frac {t} - f (\ vec {p} +t\ vec {u}) -f (\ vec {p})} {t} -\ phi (\ vec {u})\ derecha|.
    \]

    Como\(\varepsilon\) es arbitrario, tenemos

    \ [
    \ phi (\ vec {u}) =\ lim _ {t\ fila derecha 0}\ frac {1} {t} [f (\ vec {p} +t\ vec {u}) -f (\ vec {p})].
    \]

    Pero esto es simplemente\(D_{\vec{u}} f(\vec{p}),\) por la Definición 1 en §1.

    Así\(D_{\vec{u}} f(\vec{p})=\phi(\vec{u})=d f(\vec{p} ; \vec{u}),\) demostrando\((\mathrm{ii}) . \square\)

    Nota 2. Si\(E^{\prime}=E^{n}(C^{n}),\) Teorema 2 (iii) muestra que si\(f\) es diferenciable en\(\vec{p},\) él tiene\(n\) los parciales

    \[D_{k} f(\vec{p})=d f\left(\vec{p} ; \vec{e}_{k}\right), \quad k=1, \ldots, n.\]

    Pero lo contrario falla: la existencia del ni siquiera\(D_{k} f(\vec{p})\) implica continuidad, y mucho menos diferenciabilidad (ver §1). Además, tenemos el siguiente resultado.

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Si\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es diferenciable en\(\vec{p},\) ese momento

    \[d f(\vec{p} ; \vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}} f(\vec{p}),\]

    donde\(\vec{t}=\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\).

    Prueba

    Por definición,\(\phi=d f(\vec{p}; \cdot)\) es un mapa lineal para un fijo\(\vec{p}\).

    Si\(E^{\prime}=E^{n}\) o\(C^{n},\) podemos usar la fórmula (3) de §2, reemplazando\(f\) y\(\vec{x}\) por\(\phi\) y\(\vec{t},\) y obtener

    \[\phi(\vec{t})=d f(\vec{p}; \vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} d f\left(\vec{p}; \vec{e}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\]

    por Nota 2. \(\quad \square\)

    Nota 3. En notación clásica, se escribe\(\Delta x_{k}\) o\(d x_{k}\) para\(t_{k}\) en (6). Por lo tanto, omitir\(\vec{p}\) y la\(\vec{t},\) fórmula (6) a menudo se escribe como

    \[d f=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n}.\]

    En particular, si\(n=3,\) escribimos\(x, y, z\) para\(x_{1}, x_{2}, x_{3}.\) Esto rinde

    \[d f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z\]

    (una fórmula de cálculo familiar).

    Nota 4. Si el espacio de rango\(E\) en el Corolario 1 es\(E^{1}(C),\) entonces la\(D_{k} f(\vec{p})\) forma una\(n\) -tupla de escalares, es decir, un vector en\(E^{n}(C^{n}).\)

    En caso de\(f : E^{n} \rightarrow E^{1},\) que lo denotemos por

    \[\nabla f(\vec{p})=\left(D_{1} f(\vec{p}), \ldots, D_{n} f(\vec{p})\right)=\sum_{k=1}^{n} \vec{e}_{k} D_{k} f(\vec{p}).\]

    En caso de\(f : C^{n} \rightarrow C,\) que sustituyamos el\(D_{k} f(\vec{p})\) por sus conjugados\(\overline{D_{k} f(\vec{p})}\) y fijemos

    \[\nabla f(\vec{p})=\sum_{k=1}^{n} \vec{e}_{k} \overline{D_{k} f(\vec{p})}.\]

    El vector\(\nabla f(\vec{p})\) se llama el gradiente de\(f\) (“grad\(f\) “) at\(\vec{p}\).

    De (6) obtenemos

    \[d f(\vec{p};\vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})=\vec{t} \cdot \nabla f(\vec{p})\]

    (punto producto de\(\vec{t}\) por\(\nabla f(\vec{p}) ),\) proporcionado\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) (o\(f : C^{n} \rightarrow C )\) es diferenciable en\(\vec{p}\).

    Esto nos lleva al siguiente resultado.

    Corolario\(\PageIndex{2}\)

    Una función\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) (o\(f : C^{n} \rightarrow C\)) es diferenciable en\(\vec{p}\) iff

    \[\lim _{\vec{t} \rightarrow \overline{0}} \frac{1}{|\vec{t}|}|f(\vec{p}+\vec{t})-f(\vec{p})-\vec{t} \cdot \vec{v}|=0\]

    para algunos\(\vec{v} \in E^{n}(C^{n})\).

    En este caso, necesariamente\(\vec{v}=\nabla f(\vec{p})\) y\(\vec{t} \cdot \vec{v}=d f(\vec{p} ; \vec{t}), \vec{t} \in E^{n}(C^{n})\).

    Prueba

    Si\(f\) es diferenciable en\(\vec{p},\) podemos establecer\(\phi=d f(\vec{p} ; \cdot)\) y\(\vec{v}=\nabla f(\vec{p})\)

    Luego por (7),

    \[\phi(\vec{t})=d f(\vec{p} ; \vec{t})=\vec{t} \cdot \vec{v};\]

    así por Definición 1, (8) resultados.

    Por el contrario, si algunos\(\vec{v}\) satisface (8), conjunto\(\phi(\vec{t})=\vec{t} \cdot \vec{v}.\) Entonces (8) implica (2), y\(\phi\) es lineal y continuo.

    Así, por definición,\(f\) es diferenciable en\(\vec{p};\) tan (7) sostiene.

    Además,\(\phi\) es un lineal funcional en\(E^{n}(C^{n}).\) Por Teorema 2 (ii) en §2, el\(\vec{v}\) in\(\phi(\vec{t})=\vec{t} \cdot \vec{v}\) es único, como es\(\phi.\)

    Así por (7),\(\vec{v}=\nabla f(\vec{p})\) necesariamente. \(\quad \square\)

    Corolario\(\PageIndex{3}\) (law of the mean)

    Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) (real) es relativamente continuo en un segmento cerrado\(L[\vec{p}, \vec{q}], \vec{p} \neq \vec{q},\) y diferenciable en\(L(\vec{p}, \vec{q}),\) entonces

    \[f(\vec{q})-f(\vec{p})=(\vec{q}-\vec{p}) \cdot \nabla f(\vec{x}_{0})\]

    para algunos\(\vec{x}_{0} \in L(\vec{p}, \vec{q})\).

    Prueba

    Let

    \[r=|\vec{q}-\vec{p}|, \quad \vec{v}=\frac{1}{r}(\vec{q}-\vec{p}), \text { and } r \vec{v}=(\vec{q}-\vec{p}).\]

    Por (7) y Teorema 2 (ii),

    \[D_{\vec{v}} f(\vec{x})=d f(\vec{x} ; \vec{v})=\vec{v} \cdot \nabla f(\vec{x})\]

    para\(\vec{x} \in L(\vec{p}, \vec{q}).\) Así, por la fórmula (3') del Corolario 2 en §1,

    \[f(\vec{q})-f(\vec{p})=r D_{\vec{v}} f\left(\vec{x}_{0}\right)=r \vec{v} \cdot \nabla f(\vec{x}_{0})=(\vec{q}-\vec{p}) \cdot \nabla f(\vec{x}_{0})\]

    para algunos\(\vec{x}_{0} \in L(\vec{p}, \vec{q}). \quad \square\)

    Como sabemos, la mera existencia de parciales no implica diferenciabilidad. Pero la existencia de parciales continuos sí. En efecto, tenemos el siguiente teorema.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Vamos\(E^{\prime}=E^{n}(C^{n})\).

    Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) tiene las derivadas parciales\(D_{k} f(k=1, \ldots, n)\) en todo de un conjunto abierto\(A \subseteq E^{\prime},\) y si las\(D_{k} f\) son continuas en algunos\(\vec{p} \in A,\) entonces\(f\) es diferenciable en\(\vec{p}\).

    Prueba

    Con\(\vec{p}\) lo anterior, vamos

    \[\phi(\vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p}) \text { with } \vec{t}=\sum_{k=1}^{n} t_{k} \vec{e}_{k} \in E^{\prime}.\]

    Entonces\(\phi\) es continuo (¡un polinomio!) y lineal (Corolario 2 en §2).

    Así, por la Definición 1, queda por demostrar que

    \[\lim _{\vec{t} \rightarrow \overrightarrow{0}|\vec{t}|}|\Delta f-\phi(\vec{t})|=0;\]

    es decir;

    \[\lim _{\vec{t} \in \overrightarrow{0}} \frac{1}{|\vec{t}|}\left|f(\vec{p}+\vec{t})-f(\vec{p})-\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right|=0.\]

    Para ello, arreglar\(\varepsilon>0.\) As\(A\) está abierto y el\(D_{k} f\) son continuos en\(\vec{p} \in A\) hay\(\delta>0\) tal que\(G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq A\) y simultáneamente (¡explique esto!)

    \[(\forall \vec{x} \in G_{\vec{p}}(\delta)) \quad\left|D_{k} f(\vec{x})-D_{k} f(\vec{p})\right|<\frac{\varepsilon}{n}, k=1, \ldots, n.\]

    Por lo tanto, para cualquier conjunto\(I \subseteq G_{\vec{p}}(\delta)\)

    \[\sup _{\vec{x} \in I}\left|D_{k} f(\vec{x})-D_{k} f(\vec{p})\right| \leq \frac{\varepsilon}{n}. \quad (Why?)\]

    Ahora arregla cualquiera\(\vec{t} \in E^{\prime}, 0<|\vec{t}|<\delta,\) y vamos\(\vec{p}_{0}=\vec{p}\),

    \[\vec{p}_{k}=\vec{p}+\sum_{i=1}^{k} t_{i} e_{i}, \quad k=1, \ldots, n.\]

    Entonces

    \[\vec{p}_{n}=\vec{p}+\sum_{i=1}^{n} t_{i} \vec{e}_{i}=\vec{p}+\vec{t},\]

    \(\left|\vec{p}_{k}-\vec{p}_{k-1}\right|=\left|t_{k}\right|,\)y todos\(\vec{p}_{k}\) se encuentran\(G_{\vec{p}}(\delta),\) en

    \[\left|\vec{p}_{k}-\vec{p}\right|=\left|\sum_{i=1}^{k} t_{i} e_{i}\right|=\sqrt{\sum_{i=1}^{k}\left|t_{i}\right|^{2}} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|t_{i}\right|^{2}}=|\vec{t}|<\delta,\]

    según sea necesario.

    Como\(G_{p}(\delta)\) es convexo (Capítulo 4, §9),\(I_{k}=L\left[\vec{p}_{k-1}, \vec{p}_{k}\right]\) todos los segmentos se encuentran en\(G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq A;\) y por suposición,\(f\) tiene todos los parciales ahí.

    De ahí que por el Teorema 1 en §1,\(f\) sea relativamente continuo en todos\(I_{k}\).

    Todo esto también se aplica a las funciones\(g_{k},\) definidas por

    \[\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad g_{k}(\vec{x})=f(\vec{x})-x_{k} D_{k} f(\vec{p}), \quad k=1, \ldots, n.\]

    (¿Por qué?) Aquí

    \[D_{k} g_{k}(\vec{x})=D_{k} f(\vec{x})-D_{k} f(\vec{p}).\]

    (¿Por qué?)

    Así, por el Corolario 2 en §1, y (11) supra,

    \[\begin{aligned}\left|g_{k}\left(\vec{p}_{k}\right)-g_{k}\left(\vec{p}_{k-1}\right)\right| & \leq\left|\vec{p}_{k}-\vec{p}_{k-1}\right| \sup _{x \in I_{k}}\left|D_{k} f(\vec{x})-D_{k} f(\vec{p})\right| \\ & \leq \frac{\varepsilon}{n}\left|t_{k}\right| \leq \frac{\varepsilon}{n}|\vec{t}|, \end{aligned}\]

    desde

    \[\left|\vec{p}_{k}-\vec{p}_{k-1}\right|=\left|t_{k} \vec{e}_{k}\right| \leq|\vec{t}|,\]

    por construcción.

    Combinar con (12), recordando que las coordenadas\(k\) th\(x_{k},\) para\(\vec{p}_{k}\) y\(\vec{p}_{k-1}\) difieren por\(t_{k};\) lo que obtenemos

    \[\begin{aligned}\left|g_{k}\left(\vec{p}_{k}\right)-g_{k}\left(\vec{p}_{k-1}\right)\right| &=\left|f\left(\vec{p}_{k}\right)-f\left(\vec{p}_{k-1}\right)-t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right| \\ & \leq \frac{\varepsilon}{n}|\vec{t}|. \end{aligned}\]

    Además,

    \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\vec{p}_{k}\right)-f\left(\vec{p}_{k-1}\right)\right] &=f\left(\vec{p}_{n}\right)-f\left(\vec{p}_{0}\right) \\ &=f(\vec{p}+\vec{t})-f(\vec{p})=\Delta f(\text {see above}). \end{aligned}\]

    Por lo tanto,

    \[\begin{aligned}\left|\Delta f-\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right| &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\vec{p}_{k}\right)-f\left(\vec{p}_{k-1}\right)-t_{k} D_{k} f(\vec{p})\right]\right| \\ & \leq n \cdot \frac{\varepsilon}{n}|\vec{t}|=\varepsilon|\vec{t}|. \end{aligned}\]

    Como\(\varepsilon\) es arbitrario, (10) sigue, y todo está probado. \(\quad \square\)

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{m}\) (o\(f : C^{n} \rightarrow C^{m})\) es diferenciable en\(\vec{p},\) con\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right),\) entonces\(\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]\) es una\(m \times n\) matriz,

    \[\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]=\left[D_{k} f_{i}(\vec{p})\right], \quad i=1, \ldots, m, k=1, \ldots, n.\]

    Prueba

    Por definición,\(\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]\) es la matriz del mapa lineal\(\phi=d f(\vec{p} ; \cdot),\)\(\phi=\left(\phi_{1}, \ldots, \phi_{m}\right).\) Aquí

    \[\phi(\vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f(\vec{p})\]

    por Corolario 1.

    Como\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right),\) podemos calcular\(D_{k} f(\vec{p})\) componentwise por Teorema 5 del Capítulo 5, §1, y Nota 2 en §1 para obtener

    \[\begin{aligned} D_{k} f(\vec{p}) &=\left(D_{k} f_{1}(\vec{p}), \ldots, D_{k} f_{m}(\vec{p})\right) \\ &=\sum_{i=1}^{m} e_{i}^{\prime} D_{k} f_{i}(\vec{p}), \quad k=1,2, \ldots, n, \end{aligned}\]

    donde\(e_{i}^{\prime}\) están los vectores básicos en\(E^{m}\left(C^{m}\right).\) (Recordemos que los\(\vec{e}_{k}\) son los vectores básicos en\(E^{n}\left(C^{n}\right).)\)

    Por lo tanto

    \[\phi(\vec{t})=\sum_{i=1}^{m} e_{i}^{\prime} \phi_{i}(\vec{t}).\]

    Además,

    \[\phi(\vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} \sum_{i=1}^{m} e_{i}^{\prime} D_{k} f_{i}(\vec{p})=\sum_{i=1}^{m} e_{i}^{\prime} \sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f_{i}(\vec{p}).\]

    La singularidad de la descomposición (Teorema 2 en el Capítulo 3, §§1-3) ahora rinde

    \[\phi_{i}(\vec{t})=\sum_{k=1}^{n} t_{k} D_{k} f_{i}(\vec{p}), \quad i=1, \ldots, m, \quad \vec{t} \in E^{n}\left(C^{n}\right).\]

    Si aquí\(\vec{t}=\vec{e}_{k},\) entonces\(t_{k}=1,\) mientras\(t_{j}=0\) para\(j \neq k.\) Así obtenemos

    \[\phi_{i}\left(\vec{e}_{k}\right)=D_{k} f_{i}(\vec{p}), \quad i=1, \ldots, m, k=1, \ldots, n.\]

    Por lo tanto,

    \[\phi\left(\vec{e}_{k}\right)=\left(v_{1 k}, v_{2 k}, \ldots, v_{m k}\right),\]

    donde

    \[v_{i k}=\phi_{i}\left(\vec{e}_{k}\right)=D_{k} f_{i}(\vec{p}).\]

    Pero por la Nota 3 de §2,\(v_{1 k}, \ldots, v_{m k}\) (escrita verticalmente) es la\(k\) ésima columna de la\(m \times n\) matriz\([\phi]=\left[f^{\prime}(\vec{p})\right].\) Así resulta la fórmula (14) efectivamente. \(\quad \square\)

    En conclusión, recalquemos nuevamente que si bien\(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\) es una constante, para un fijo\(\vec{p}, d f(\vec{p} ; \cdot)\) es un mapeo

    \[\phi \in L\left(E^{\prime}, E\right),\]

    especialmente “adaptado” para\(\vec{p}\).

    El lector debe estudiar cuidadosamente al menos los problemas “arrojados” a continuación.


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