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6.4.E: Otros problemas en las funciones diferenciables

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Para$$E=E^{r}\left(C^{r}\right)$$ probar el Teorema 2 directamente.
[Pista: Encontrar
$D_{k} h_{j}(\vec{p}), \quad j=1, \ldots, r,$
del Teorema 4 de §3, y Teorema 3 de §2. Verificar que
$D_{k} h(\vec{p})=\sum_{j=1}^{r} e_{j} D_{k} h_{j}(\vec{p}) \text { and } D_{i} g(\vec{q})=\sum_{j=1}^{r} e_{j} D_{i} g_{j}(\vec{q}),$
donde$$e_{j}$$ están los vectores unitarios básicos en$$E^{r}.$$ Proceder.]

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$g(x, y, z)=u, x=f_{1}(r, \theta), y=f_{2}(r, \theta), z=f_{3}(r, \theta),$$ y
$f=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) : E^{2} \rightarrow E^{3}.$
Asumiendo la diferenciabilidad, verificar (usando “variables”) eso
$d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+\frac{\partial u}{\partial z} d z=\frac{\partial u}{\partial r} d r+\frac{\partial u}{\partial \theta} d \theta$
calculando derivados de (8'). Luego haga todo en la notación de mapeo para$$H=g \circ f, d H(\vec{p} ; \vec{t}).$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Para las funciones específicas$$f, g, h,$$ y$$k$$ de los Problemas 4 y 5 de §2, configurar y resolver problemas análogos al Problema 2, utilizando
$\text {(a) } k \circ f ; \quad \text {(b) } g \circ k ; \quad \text {(c) } f \circ h ; \quad \text {(d) } h \circ g.$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Para las funciones del Problema 5 en §1, encuentra las fórmulas para$$d f(\vec{p} ; \vec{t}).$$ At que$$\vec{p}$$$$d f(\vec{p} ; \cdot)$$ existe en cada caso dado? Descríbalo para un elegido$$\vec{p}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Del Teorema 2, con$$E=E^{1}(C),$$ hallazgo
$\nabla h(\vec{p})=\sum_{k=1}^{n} D_{k} g(\vec{q}) \nabla f_{k}(\vec{p}).$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Use el Teorema 1 para una nueva solución del Problema 7 en §3 con$$E=E^{1}(C).$$
[Pista: Definir$$F$$ una$$E^{\prime}$$ y otra vez$$G$$ para
$F(\vec{x})=(f(\vec{x}), g(\vec{x})) \text { and } G(\vec{y})=a y_{1}+b y_{2}.$
Entonces$$h=a f+b g=G \circ F.$$ (¿Por qué?)$$E^{2}\left(C^{2}\right)$$ Problemas de uso 9 y 10 (ii) de §3. Hacer todo en notación “variable”, también.]

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Use el Teorema 1 para una nueva prueba del “solo si" en el Problema 9 en §3.
[Pista: Establecer$$f_{i}=g \circ f,$$ dónde$$g(\vec{x})=x_{i}$$ (el$$i$$ th “mapa de proyección”) es un monomio. ¡Verifica!]

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Haz el Problema 8 (I) en §3 para el caso$$E^{\prime}=E^{2}\left(C^{2}\right),$$ con
$f(\vec{x})=x_{1} \text { and } g(\vec{x})=x_{2}.$
(¡Simplifica!) Luego haga el caso general como en el Problema 6 anterior, con
$G(\vec{y})=y_{1} y_{2}.$

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Utilice el Teorema 2 para una nueva prueba del Teorema 4 en el Capítulo 5, §1. (Proceder como en Problemas 6 y 8, con$$E^{\prime}=E^{1},$$ para que$$D_{1} h=h^{\prime}$$). Hazlo en la notación “variable”, también.

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Bajo supuestos adecuados de diferenciabilidad, utilizar la fórmula (8') para expresar los parciales de$$u$$ if
(i)$$u=g(x, y), x=f(r) h(\theta), y=r+h(\theta)+\theta f(r)$$;
(ii)$$u=g(r, \theta), r=f(x+f(y)), \theta=f(x f(y))$$;
(iii)$$u=g\left(x^{y}, y^{z}, z^{x+y}\right)$$.
Entonces rehacer todo en la terminología de “mapeo”, también.

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Que el mapa$$g : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ sea diferenciable en$$E^{1}.$$ Buscar$$|\nabla h(\vec{p})|$$ si
$$h=g \circ f$$ e
(i)$$f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} x_{k}, \vec{x} \in E^{n}$$;
(ii)$$f(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}, \vec{x} \in E^{n}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

(Teorema de Euler.) Un mapa$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}$$ (o$$C^{n} \rightarrow C$$) se denomina homogéneo de grado$$m$$ en$$G$$ iff
$\left(\forall t \in E^{1}(C)\right) \quad f(t \vec{x})=t^{m} f(\vec{x})$
cuando$$\vec{x}, t \vec{x} \in G.$$ Probar las siguientes afirmaciones.
(i) Si es así, y$$f$$ es diferenciable en$$\vec{p} \in G$$ (un globo abierto), entonces
$\vec{p} \cdot \nabla f(\vec{p})=m f(\vec{p}).$
* (ii) Por el contrario, si este último se mantiene para todos$$\vec{p} \in G$$ y si$$\overrightarrow{0} \notin G,$$ entonces$$f$$ es homogéneo de grado$$m$$ on$$G.$$
( iii) ¿Qué pasa si$$\overrightarrow{0} \in G ?$$
[Consejos: (i) Let$$g(t)=f(t \vec{p}) .$$ Find$$g^{\prime}(1) .$$ (iii) Take$$f(x, y)=x^{2} y^{2}$$$$x \leq 0, f=0$$ if$$\left.x>0, G=G_{0}(1).\right]$$

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Prueba el Problema 12 para$$f : E^{\prime} \rightarrow E,$$ reemplazarlo$$\vec{p} \cdot \nabla f(\vec{p})$$ por$$d f(\vec{p} ; \vec{p})$$.

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Con todo como en el Teorema 1, probar lo siguiente.
(i) Si$$E^{\prime}=E^{1}$$ y$$\vec{s}=f^{\prime}(p) \neq \overrightarrow{0},$$ entonces$$h^{\prime}(p)=D_{\vec{s}} g(\vec{q})$$.
(ii) Si$$\vec{u}$$ y$$\vec{v}$$ son diferentes de cero en$$E^{\prime}$$ y$$a \vec{u}+b \vec{v} \neq \overrightarrow{0}$$ para algunos escalares$$a, b,$$ entonces
$D_{a \vec{u}+b \vec{v}} f(\vec{p})=a D_{\vec{u}} f(\vec{p})+b D_{\vec{v}} f(\vec{p}).$
(iii) Si$$f$$ es diferenciable en un globo$$G_{\vec{p}},$$ y$$\vec{u} \neq \overrightarrow{0}$$ en$$E^{\prime},$$ entonces
$D_{\vec{u}} f(\vec{p})=\lim _{\vec{x} \rightarrow \vec{u}} D_{\vec{x}}(\vec{p}).$
[Consejos: Utilice el Teorema 2 (ii) de §3 y la Nota 1.]

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Utilice el Teorema 2 para encontrar las funciones parcialmente derivadas de$$f,$$ if
(i)$$f(x, y, z)=(\sin (x y / z))^{x}$$;
(ii)$$f(x, y)=\log _{x}|\tan (y / x)|$$.
(Establecer$$f=0$$ donde sea indefinido.)

6.4.E: Otros problemas en las funciones diferenciables is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.