6.4.E: Otros problemas en las funciones diferenciables
- Page ID
- 113740
Para\(E=E^{r}\left(C^{r}\right)\) probar el Teorema 2 directamente.
[Pista: Encontrar
\[D_{k} h_{j}(\vec{p}), \quad j=1, \ldots, r,\]
del Teorema 4 de §3, y Teorema 3 de §2. Verificar que
\[D_{k} h(\vec{p})=\sum_{j=1}^{r} e_{j} D_{k} h_{j}(\vec{p}) \text { and } D_{i} g(\vec{q})=\sum_{j=1}^{r} e_{j} D_{i} g_{j}(\vec{q}),\]
donde\(e_{j}\) están los vectores unitarios básicos en\(E^{r}.\) Proceder.]
Dejar\(g(x, y, z)=u, x=f_{1}(r, \theta), y=f_{2}(r, \theta), z=f_{3}(r, \theta),\) y
\[f=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) : E^{2} \rightarrow E^{3}.\]
Asumiendo la diferenciabilidad, verificar (usando “variables”) eso
\[d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+\frac{\partial u}{\partial z} d z=\frac{\partial u}{\partial r} d r+\frac{\partial u}{\partial \theta} d \theta\]
calculando derivados de (8'). Luego haga todo en la notación de mapeo para\(H=g \circ f, d H(\vec{p} ; \vec{t}).\)
Para las funciones específicas\(f, g, h,\) y\(k\) de los Problemas 4 y 5 de §2, configurar y resolver problemas análogos al Problema 2, utilizando
\[\text {(a) } k \circ f ; \quad \text {(b) } g \circ k ; \quad \text {(c) } f \circ h ; \quad \text {(d) } h \circ g.\]
Para las funciones del Problema 5 en §1, encuentra las fórmulas para\(d f(\vec{p} ; \vec{t}).\) At que\(\vec{p}\)\(d f(\vec{p} ; \cdot)\) existe en cada caso dado? Descríbalo para un elegido\(\vec{p}\).
Del Teorema 2, con\(E=E^{1}(C),\) hallazgo
\[\nabla h(\vec{p})=\sum_{k=1}^{n} D_{k} g(\vec{q}) \nabla f_{k}(\vec{p}).\]
Use el Teorema 1 para una nueva solución del Problema 7 en §3 con\(E=E^{1}(C).\)
[Pista: Definir\(F\) una\(E^{\prime}\) y otra vez\(G\) para
\[F(\vec{x})=(f(\vec{x}), g(\vec{x})) \text { and } G(\vec{y})=a y_{1}+b y_{2}.\]
Entonces\(h=a f+b g=G \circ F.\) (¿Por qué?)\(E^{2}\left(C^{2}\right)\) Problemas de uso 9 y 10 (ii) de §3. Hacer todo en notación “variable”, también.]
Use el Teorema 1 para una nueva prueba del “solo si" en el Problema 9 en §3.
[Pista: Establecer\(f_{i}=g \circ f,\) dónde\(g(\vec{x})=x_{i}\) (el\(i\) th “mapa de proyección”) es un monomio. ¡Verifica!]
Haz el Problema 8 (I) en §3 para el caso\(E^{\prime}=E^{2}\left(C^{2}\right),\) con
\[f(\vec{x})=x_{1} \text { and } g(\vec{x})=x_{2}.\]
(¡Simplifica!) Luego haga el caso general como en el Problema 6 anterior, con
\[G(\vec{y})=y_{1} y_{2}.\]
Utilice el Teorema 2 para una nueva prueba del Teorema 4 en el Capítulo 5, §1. (Proceder como en Problemas 6 y 8, con\(E^{\prime}=E^{1},\) para que\(D_{1} h=h^{\prime}\)). Hazlo en la notación “variable”, también.
Bajo supuestos adecuados de diferenciabilidad, utilizar la fórmula (8') para expresar los parciales de\(u\) if
(i)\(u=g(x, y), x=f(r) h(\theta), y=r+h(\theta)+\theta f(r)\);
(ii)\(u=g(r, \theta), r=f(x+f(y)), \theta=f(x f(y))\);
(iii)\(u=g\left(x^{y}, y^{z}, z^{x+y}\right)\).
Entonces rehacer todo en la terminología de “mapeo”, también.
Que el mapa\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) sea diferenciable en\(E^{1}.\) Buscar\(|\nabla h(\vec{p})|\) si
\(h=g \circ f\) e
(i)\(f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} x_{k}, \vec{x} \in E^{n}\);
(ii)\(f(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}, \vec{x} \in E^{n}\).
(Teorema de Euler.) Un mapa\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) (o\(C^{n} \rightarrow C\)) se denomina homogéneo de grado\(m\) en\(G\) iff
\[\left(\forall t \in E^{1}(C)\right) \quad f(t \vec{x})=t^{m} f(\vec{x})\]
cuando\(\vec{x}, t \vec{x} \in G.\) Probar las siguientes afirmaciones.
(i) Si es así, y\(f\) es diferenciable en\(\vec{p} \in G\) (un globo abierto), entonces
\[\vec{p} \cdot \nabla f(\vec{p})=m f(\vec{p}).\]
* (ii) Por el contrario, si este último se mantiene para todos\(\vec{p} \in G\) y si\(\overrightarrow{0} \notin G,\) entonces\(f\) es homogéneo de grado\(m\) on\(G.\)
( iii) ¿Qué pasa si\(\overrightarrow{0} \in G ?\)
[Consejos: (i) Let\(g(t)=f(t \vec{p}) .\) Find\(g^{\prime}(1) .\) (iii) Take\(f(x, y)=x^{2} y^{2}\)\(x \leq 0, f=0\) if\(\left.x>0, G=G_{0}(1).\right]\)
Prueba el Problema 12 para\(f : E^{\prime} \rightarrow E,\) reemplazarlo\(\vec{p} \cdot \nabla f(\vec{p})\) por\(d f(\vec{p} ; \vec{p})\).
Con todo como en el Teorema 1, probar lo siguiente.
(i) Si\(E^{\prime}=E^{1}\) y\(\vec{s}=f^{\prime}(p) \neq \overrightarrow{0},\) entonces\(h^{\prime}(p)=D_{\vec{s}} g(\vec{q})\).
(ii) Si\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\) son diferentes de cero en\(E^{\prime}\) y\(a \vec{u}+b \vec{v} \neq \overrightarrow{0}\) para algunos escalares\(a, b,\) entonces
\[D_{a \vec{u}+b \vec{v}} f(\vec{p})=a D_{\vec{u}} f(\vec{p})+b D_{\vec{v}} f(\vec{p}).\]
(iii) Si\(f\) es diferenciable en un globo\(G_{\vec{p}},\) y\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\) en\(E^{\prime},\) entonces
\[D_{\vec{u}} f(\vec{p})=\lim _{\vec{x} \rightarrow \vec{u}} D_{\vec{x}}(\vec{p}).\]
[Consejos: Utilice el Teorema 2 (ii) de §3 y la Nota 1.]
Utilice el Teorema 2 para encontrar las funciones parcialmente derivadas de\(f,\) if
(i)\(f(x, y, z)=(\sin (x y / z))^{x}\);
(ii)\(f(x, y)=\log _{x}|\tan (y / x)|\).
(Establecer\(f=0\) donde sea indefinido.)