6.5: Diferenciación repetida. Teorema de Taylor

En §1 definimos funciones derivadas\(\vec{u}\) -dirigidas,\(D_{\vec{u}} f\) para cualquiera\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) y cualquiera\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\) en\(E^{\prime}.\)

Por lo tanto, dada una secuencia, primero\(\left\{\vec{u}_{i}\right\} \subseteq E^{\prime}-\{\overrightarrow{0}\},\) podemos formar\(D_{\vec{u}_{1}} f,\) entonces\(D_{\vec{u}_{2}}\left(D_{\vec{u}_{1}} f\right)\) (la función derivada\(\vec{u}_{2}\) -dirigida de\(D_{\vec{u}_{1}} f ),\) entonces la función derivada\(\vec{u}_{3}\) -dirigida de\(D_{\vec{u}_{2}}\left(D_{\vec{u}_{1}} f\right),\) y así sucesivamente. Llamamos a todas las funciones así formadas las funciones derivadas direccionales de orden superior de\(f.\)

Si en cada paso el límite postulado en la Definición 1 de §1 existe para todos\(\vec{p}\) en un conjunto los\(B \subseteq E^{\prime},\) llamamos las derivadas direccionales de orden superior de\(f\) (on\(B\)).

Si todos\(\vec{u}_{i}\) son vectores unitarios básicos en\(E^{n}\left(C^{n}\right),\) decimos “parcial” en lugar de “direccional”.

También definimos\(D_{\vec{u}}^{1} f=D_{\vec{u}} f\) y

\[D_{\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} \ldots \vec{u}_{k}}^{k} f=D_{\vec{u}_{k}}\left(D_{\vec{u}_{1} \overline{u}_{2} \ldots \vec{u}_{k-1}}^{k-1} f\right), \quad k=2,3, \ldots,\]

y llaman a\(D_{\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} \ldots \vec{u}_{k}}^{k} f\) una función derivada direccional del orden\(k.\) (Algunos autores la denotan por\(D_{\vec{u}_{k} \vec{u}_{k-1} \ldots \vec{u}_{1}} f.)\)

Si todos\(\vec{u}_{i}\) iguales\(\vec{u},\) escribimos\(D_{\vec{u}}^{k} f\) en su lugar.

Para funciones derivadas parcialmente, simplificamos esta notación, escribiendo\(1 2 \ldots\)\(\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \ldots\) y omitiendo el "\(k\)" in\(D^{k}\) (excepto en notación clásica):

\[D_{12} f=D_{\vec{e}_{1} \vec{e}_{2}}^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}, \quad D_{11} f=D_{\vec{e}_{1} \vec{e}_{1}}^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}, \text { etc.}\]

También establecemos\(D_{\vec{u}}^{0} f=f\) para cualquier vector\(\vec{u}\).

Ejemplo

(A) Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por

\[f(0,0)=0, \quad f(x, y)=\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.\]

Entonces

\[\frac{\partial f}{\partial x}=D_{1} f(x, y)=\frac{y\left(x^{4}+4 x^{2} y^{2}-y^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}},\]

de donde\(D_{1} f(0, y)=-y\) si\(y \neq 0;\) y también

\[D_{1} f(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0. \quad \text {(Verify!)}\]

Así\(D_{1} f(0, y)=-y\) siempre, y así\(D_{12} f(0, y)=-1; D_{12} f(0,0)=-1\) Del mismo modo,

\[D_{2} f(x, y)=\frac{x\left(x^{4}-4 x^{2} y^{2}-y^{4}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\]

si\(x \neq 0\) y\(D_{2} f(0,0)=0.\) Así\((\forall x) D_{2} f(x, 0)=x\) y así

\[D_{21} f(x, 0)=1 \text { and } D_{21} f(0,0)=1 \neq D_{12} f(0,0)=-1.\]

El ejemplo anterior muestra que bien podemos tener\(D_{12} f \neq D_{21} f,\) o de manera más general,\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f \neq D_{\vec{v} \vec{u}}^{2} f.\) Sin embargo, obtenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dados vectores distintos de cero\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\) en\(E^{\prime},\) supongamos\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) tiene las derivadas

\[D_{\vec{u}} f, D_{\vec{v}} f, \text { and } D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f\]

en un set abierto\(A \subseteq E^{\prime}\).

Si\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f\) es continuo en algunos\(\vec{p} \in A,\) entonces la derivada\(D_{\vec{v} \vec{u}}^{2} f(\vec{p})\) también existe y es igual\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\).

Prueba

Por Corolario 1 en §1, todo se reduce al caso\(|\vec{u}|=1=|\vec{v}|.\) (¿Por qué?)

Dado\(\varepsilon>0,\) arreglo\(\delta>0\) tan pequeño que\(G=G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq A\) y simultáneamente

\[\sup _{\vec{x} \in G}\left|D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{x})-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\right| \leq \varepsilon\]

(por la continuidad de\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f\) at\(\vec{p})\).

Ahora\(\left(\forall s, t \in E^{1}\right)\) define\(H_{t} : E^{1} \rightarrow E\) por

\[H_{t}(s)=D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v}).\]

Let

\[I=\left(-\frac{\delta}{2}, \frac{\delta}{2}\right).\]

Si\(s, t \in I,\) el punto\(\vec{x}=\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v}\) está en\(G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq A,\) desde

\[|\vec{x}-\vec{p}|=|t \vec{u}+s \vec{v}|<\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta.\]

Así, por suposición, la derivada\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\) existe. Además,

\[\begin{aligned} H_{t}^{\prime}(s) &=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta s}\left[H_{t}(s+\Delta s)-H_{t}(s)\right] \\ &=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta s}\left[D_{\vec{u}} f(\vec{x}+\Delta s \cdot \vec{v})-D_{\vec{u}} f(\vec{x})\right]. \end{aligned}\]

Pero el último límite es\(D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{x}),\) por definición. Por lo tanto, el establecimiento

\[h_{t}(s)=H_{t}(s)-s D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p}),\]

conseguimos

\[\begin{aligned} h_{t}^{\prime}(s) &=H_{t}^{\prime}(s)-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p}) \\ &=D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{x})-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p}). \end{aligned}\]

Vemos que\(h_{t}\) es diferenciable en\(I,\) y por (2),

\[\sup _{s \in I}\left|h_{t}^{\prime}(s)\right| \leq \sup _{\vec{x} \in G}\left|D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{x})-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\right| \leq \varepsilon\]

para todos\(t \in I.\) De ahí por Corolario 1 del Capítulo 5, §4,

\[\left|h_{t}(s)-h_{t}(0) \leq\right| s\left|\sup _{\sigma \in I}\right| h_{t}^{\prime}(\sigma)| \leq| s | \varepsilon.\]

Pero por definición,

\[h_{t}(s)=D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v})-s D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\]

y

\[h_{t}(0)=D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u}).\]

Por lo tanto

\[\left|D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v})-D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u})-s D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\right| \leq|s| \varepsilon\]

para todos\(s, t \in I\).

Siguiente, set

\[G_{s}(t)=f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v})-f(\vec{p}+t \vec{u})\]

y

\[g_{s}(t)=G_{s}(t)-s t \cdot D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p}).\]

Como antes, uno encuentra que\((\forall s \in I) g_{s}\) es diferenciable en\(I\) y que

\[g_{s}^{\prime}(t)=D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v})-D_{\vec{u}} f(\vec{p}+t \vec{u})-s D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\]

para\(s, t \in I.\) (¡Verifica!)

De ahí por (3),

\[\sup _{t \in I}\left|g_{s}^{\prime}(t)\right| \leq|s| \varepsilon.\]

Nuevamente, por Corolario 1 del Capítulo 5, §4,

\[\left|g_{s}(t)-g_{s}(0)\right| \leq|s t| \varepsilon,\]

o por la definición de\(g_{s}\) (asumiendo\(s, t \in I-\{0\}\) y dividiendo por\(s t )\),

\[\left|\frac{1}{s t}[f(\vec{p}+t \vec{u}+s \vec{v})-f(\vec{p}+t \vec{u})]-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})-\frac{1}{s t}[f(\vec{p}+s \vec{v})-f(\vec{p})]\right| \leq \varepsilon.\]

(¡Verifica!) Haciendo\(s \rightarrow 0\) (con\(t\) fijo), obtenemos, por la definición de\(D_{\vec{v}} f\),

\[\left|\frac{1}{t} D_{\vec{v}} f(\vec{p}+t \vec{u})-\frac{1}{t} D_{\vec{v}} f(\vec{p})-D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})\right| \leq \varepsilon\]

cuando sea\(0<|t|<\delta / 2\).

Como\(\varepsilon\) es arbitrario, tenemos

\[D_{\vec{u} \vec{v}}^{2} f(\vec{p})=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left[D_{v} f(\vec{p}+t \vec{u})-D_{\vec{v}} f(\vec{p})\right].\]

Pero por definición, este límite es el derivado\(D_{\vec{v} \vec{u}}^{2} f(\vec{p}).\) Así todo está demostrado. \(\quad \square\)

Nota 1. Por inducción, el teorema se extiende a las derivadas de orden\(>2.\) Así la derivada\(D_{\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} \ldots \vec{u}_{k}} f\) es independiente del orden en el que se\(\vec{u}_{i}\) siguen si existe y es continua en un conjunto abierto\(A \subseteq E^{\prime},\) junto con derivadas apropiadas de orden\(<k\).

Si\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),\) esto aplica a los parciales como caso especial.

Por\(E^{n}\) y\(C^{n}\) sólo, formulamos también la siguiente definición.

Definición 1

\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right).\)Digamos que\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es\(m\) tiempos diferenciables en\(\vec{p} \in E^{\prime}\) iff\(f\) y todos sus parciales de orden\(<m\) son diferenciables en\(\vec{p}\).

Si esto se sostiene para todos\(\vec{p}\) en un conjunto\(B \subseteq E^{\prime},\) decimos que\(f\) es\(m\) tiempos diferenciables en\(B\).

Si, además, todos los parciales de orden\(m\) son continuos en\(\vec{p}\) (en\(B),\) decimos que\(f\) es de clase\(C D^{m},\) o\(m\) tiempos continuamente diferenciables allí, y escribimos\(f \in C D^{m}\) en\(\vec{p}\) (en\(B).\)

Por último, si esto se mantiene para todo natural\(m,\) escribimos\(f \in C D^{\infty}\) en\(\vec{p}\) (on\(B,\) respectivamente).

Definición 2

Dado el espacio\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),\) la función\(f : E^{\prime} \rightarrow E,\) y un punto\(\vec{p} \in E^{\prime},\) definimos las asignaciones

\[d^{m} f(\vec{p} ; \cdot), \quad m=1,2, \ldots,\]

de\(E^{\prime}\) a\(E\) configurando para cada\(\vec{t}=\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\)

\[\begin{aligned} d^{1} f(\vec{p} ; \vec{t}) &=\sum_{i=1}^{n} D_{i} f(\vec{p}) \cdot t_{i}, \\ d^{2} f(\vec{p} ; \vec{t}) &=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} D_{i j} f(\vec{p}) \cdot t_{i} t_{j}, \\ d^{3} f(\vec{p} ; \vec{t}) &=\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} D_{i j k} f(\vec{p}) \cdot t_{i} t_{j} t_{k}, \quad \text {and so on. } \end{aligned}\]

Llamamos\(d^{m} f(\vec{p} ; \cdot)\) al\(m t h\) diferencial (o diferencial de orden\(m)\) de\(f\) at\(\vec{p}\). Por nuestras convenciones, siempre se define\(E^{n}\left(C^{n}\right)\) como son las funciones parcialmente derivadas involucradas.

Si\(f\) es diferenciable en\(\vec{p}\) (pero no de otra manera), entonces\(d^{1} f(\vec{p} ; \vec{t})=d f(\vec{p} ; \vec{t})\) por Corolario 1 en §3;\(d^{1} f(\vec{p} ; \cdot)\) es lineal y continuo (¿por qué?) pero no es necesario satisfacer la Definición 1 en §3.

En notación clásica, escribimos\(d x_{i}\) para\(t_{i};\) e.g.,

\[d^{2} f=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{i} d x_{j}.\]

Nota 2. El análisis clásico tiende a definir diferenciales como los anteriores en términos de parciales. La fórmula (4) para a menudo\(d^{m} f\) se escribe simbólicamente:

\[d^{m} f=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial}{\partial x_{2}} d x_{2}+\cdots+\frac{\partial}{\partial x_{n}} d x_{n}\right)^{m} f, \quad m=1,2, \ldots\]

En efecto, elevando la expresión entre corchetes al\(m\) th “poder” como en álgebra (eliminando corchetes, sin recolectar términos “similares”) y luego “multiplicar” por\(f,\) obtenemos sumas que concuerdan con (4). (Por supuesto, esto no es una multiplicación genuina sino solo un dispositivo de memorización conveniente).

Ejemplo

(B) Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por

\[f(x, y)=x \sin y.\]

Toma cualquier\(\vec{p}=(x, y) \in E^{2}.\) Entonces

\[D_{1} f(x, y)=\sin y \text { and } D_{2} f(x, y)=x \cos y;\]

\[D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y)=\cos y,\]

\[D_{11} f(x, y)=0, \text { and } D_{22} f(x, y)=-x \sin y;\]

\[D_{111} f(x, y)=D_{112} f(x, y)=D_{121} f(x, y)=D_{211} f(x, y)=0,\]

\[D_{221} f(x, y)=D_{212} f(x, y)=D_{122} f(x, y)=-\sin y, \text { and}\]

\[D_{222} f(x, y)=-x \cos y; \text { etc.}\]

Como se ve fácilmente,\(f\) tiene parciales continuos de todos los órdenes; así\(f \in C D^{\infty}\) sucesivamente todos\(E^{2}.\) También,

\[\begin{aligned} d f(\vec{p} ; \vec{t}) &=t_{1} D_{1} f(\vec{p})+t_{2} D_{2} f(\vec{p}) \\ &=t_{1} \sin y+t_{2} x \cos y. \end{aligned}\]

En notación clásica,

\[\begin{aligned} d f &=d^{1} f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y \\ &=\sin y d x+x \cos y d y; \\ d^{2} f &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} d x^{2}+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} d x d y+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} d y^{2} \\ &=2 \cos y d x d y-x \sin y d y^{2}; \\ d^{3} f &=-3 \sin y d x d y^{2}-x \cos y d y^{3}; \end{aligned}\]

y así sucesivamente. (¡Verifica!)

Ahora podemos extender el teorema de Taylor (Teorema 1 en el Capítulo 5, §6) al caso\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right).\)

Teorema\(\PageIndex{2}\) (Taylor)

Dejar\(\vec{u}=\vec{x}-\vec{p} \neq \overrightarrow{0}\) entrar\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\).

Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es\(m+1\) tiempos diferenciables en el segmento de línea

\[I=L[\vec{p}, \vec{x}] \subset E^{\prime}\]

entonces

\[f(\vec{x})-f(\vec{p})=\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{i !} d^{i} f(\vec{p} ; \vec{u})+R_{m},\]

con

\[\left|R_{m}\right| \leq \frac{K_{m}}{(m+1) !}, K_{m} \in E^{1},\]

y

\[0 \leq K_{m} \leq \sup _{\vec{s} \in I}\left|d^{m+1} f(\vec{s} ; \vec{u})\right|.\]

Prueba

Definir\(g : E^{1} \rightarrow E^{\prime}\) y\(h : E^{1} \rightarrow E\) por\(g(t)=\vec{p}+t \vec{u}\) y\(h=f \circ g\).

Como\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),\) podemos considerar los componentes de\(g\),

\[g_{k}(t)=p_{k}+t u_{k}, \quad k \leq n.\]

Claramente,\(g_{k}\) es diferenciable,\(g_{k}^{\prime}(t)=u_{k}\).

Por supuesto, así está\(f\) encendido\(I=L[\vec{p}, \vec{x}].\) Así, por la regla de la cadena,\(h=f \circ g\) es diferenciable en el intervalo\(J=[0,1] \subset E^{1};\) para, por definición,

\[\vec{p}+t \vec{u} \in L[\vec{p}, \vec{x}] \text { iff } t \in[0,1].\]

Por Teorema 2 en §4,

\[h^{\prime}(t)=\sum_{k=1}^{n} D_{k} f(\vec{p}+t \vec{u}) \cdot u_{k}=d f(\vec{p}+t \vec{u} ; \vec{u}), \quad t \in J.\]

(¡Explique!)

Por suposición (y Definición 1), los\(D_{k} f\) son diferenciables en\(I.\) Por lo tanto, por (7),\(h^{\prime}\) es diferenciable en\(J.\) Reaplicar el Teorema 2 en §4, obtenemos

\[\begin{aligned} h^{\prime \prime}(t) &=\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} D_{k j} f(\vec{p}+t \vec{u}) \cdot u_{k} u_{j} \\ &=d^{2} f(\vec{p}+t \vec{u} ; \vec{u}), \quad t \in J. \end{aligned}\]

Por inducción,\(h\) es\(m+1\) tiempos diferenciables en\(J,\) y

\[h^{(i)}(t)=d^{i} f(\vec{p}+t \vec{u} ; \vec{u}), \quad t \in J, i=1,2, \ldots, m+1.\]

La diferenciabilidad de\(h^{(i)}(i \leq m)\) implica su continuidad en\(J=[0,1]\).

Así\(h\) satisface el Teorema 1 del Capítulo 5, §6 (con\(x=1, p=0,\) y\(Q=\emptyset);\) por lo tanto

\[\begin{aligned} h(1)-h(0) &=\sum_{i=1}^{m} \frac{h^{(i)}(0)}{i !}+R_{m}, \\\left|R_{m}\right| & \leq \frac{K_{m}}{(m+1) !}, \quad K_{m} \in E^{1}, \\ K_{m} & \leq \sup _{t \in J}\left|h^{(m+1)}(t)\right|. \end{aligned}\]

Por construcción,

\[h(t)=f(g(t))=f(\vec{p}+t \vec{u});\]

por lo

\[h(1)=f(\vec{p}+\vec{u})=f(\vec{x}) \text { and } h(0)=f(\vec{p}).\]

Así usando (8) también, vemos que (9) implica (6), efectivamente. \(\quad \square\)

Nota 3. La fórmula (3') del Capítulo 5, §6, combinada con (8), también rinde

\[\begin{aligned} R_{m} &=\frac{1}{m !} \int_{0}^{1} h^{(m+1)}(t) \cdot(1-t)^{m} d t \\ &=\frac{1}{m !} \int_{0}^{1} d^{m+1} f(\vec{p}+t \vec{u} ; \vec{u}) \cdot(1-t)^{m} d t. \end{aligned}\]

Corolario\(\PageIndex{1}\) (the Lagrange form of \(R_{m})\)

Si\(E=E^{1}\) en el Teorema 2, entonces

\[R_{m}=\frac{1}{(m+1) !} d^{m+1} f(\vec{s} ; \vec{u})\]

para algunos\(\vec{s} \in L(\vec{p}, \vec{x})\).

Prueba

Aquí la función\(h\) definida en la prueba del Teorema 2 es real; así se aplican el Teorema 1' y la fórmula (3') del Capítulo 5, §6. Esto rinde (10). ¡Explique! \(\quad\square\)

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E\) es\(m\) tiempos diferenciables en\(\vec{p}\) y si\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\)\(\left(\vec{p}, \vec{u} \in E^{n}\left(C^{n}\right)\right),\) entonces la derivada\(D_{\vec{u}}^{m} f(\vec{p})\) existe y es igual\(d^{m} f(\vec{p} ; \vec{u})\).

Esto sigue como en la prueba del Teorema 2 (con\(t=0).\) For por definición,

\[\begin{aligned} D_{\vec{u}} f(\vec{p}) &=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{1}{s}[f(\vec{p}+s \vec{u})-f(\vec{p})] \\ &=\lim \frac{1}{s}[h(s)-h(0)] \\ &=h^{\prime}(0)=d f(\vec{p} ; \vec{u}) \end{aligned}\]

por (7). Rendimientos de inducción

\[D_{\vec{u}}^{m} f(\vec{p})=h^{(m)}(0)=d^{m}(\vec{p} ; \vec{u})\]

por (8). (Ver Problema 3.

Ejemplo

(C) Continuando Ejemplo (B), fix

\[\vec{p}=(1,0);\]

así sustituir\((x, y)\) por\((1,0)\) ahí. En cambio, escribe\((x, y)\) para\(\vec{x}\) en Teorema 2. Entonces

\[\vec{u}=\vec{x}-\vec{p}=(x-1, y);\]

por lo

\[u_{1}=x-1=d x \text { and } u_{2}=y=d y,\]

y obtenemos

\[\begin{aligned} d f(\vec{p} ; \vec{u}) &=D_{1} f(1,0) \cdot(x-1)+D_{2} f(1,0) \cdot y \\ &=(\sin 0) \cdot(x-1)+(1 \cdot \cos 0) \cdot y \\ &=y; \\ d^{2} f(\vec{p} ; \vec{u}) &=D_{11} f(1,0) \cdot(x-1)^{2}+2 D_{12} f(1,0) \cdot(x-1) y \\ &+D_{22} f(1,0) \cdot y^{2} \\ &=(0) \cdot(x-1)^{2}+2(\cos 0) \cdot(x-1) y-(1 \cdot \sin 0) \cdot y^{2} \\ &=2(x-1) y; \end{aligned}\]

y para todos\(\vec{s}=\left(s_{1}, s_{2}\right) \in I\),

\[\begin{aligned} d^{3} f(\vec{s} ; \vec{u})=& D_{111} f\left(s_{1}, s_{2}\right) \cdot(x-1)^{3}+3 D_{112} f\left(s_{1}, s_{2}\right) \cdot(x-1)^{2} y \\ &+3 D_{122} f\left(s_{1}, s_{2}\right) \cdot(x-1) y^{2}+D_{222} f\left(s_{1}, s_{2}\right) \cdot y^{3} \\=&-3 \sin s_{2} \cdot(x-1) y^{2}-s_{1} \cos s_{2} \cdot y^{3}. \end{aligned}\]

De ahí por (6) y Corolario 1 (con\(m=2),\) señalar que\(f(\vec{p})=f(1,0)=0,\) obtenemos

\[\begin{aligned} f(x, y) &=x \cdot \sin y \\ &=y+(x-1) y+R_{2}, \end{aligned}\]

donde para algunos\(\vec{s} \in I\),

\[R_{2}=\frac{1}{3 !} d^{3} f(\vec{s} ; \vec{u})=\frac{1}{6}\left[-3 \sin s_{2} \cdot(x-1) y^{2}-s_{1} \cos s_{2} \cdot y^{3}\right].\]

Como\(\vec{s} \in L(\vec{p}, \vec{x}),\) donde\(\vec{p}=(1,0)\) y\(\vec{x}=(x, y), s_{1}\) es entre 1 y\(x;\) así

\[\left|s_{1}\right| \leq \max (|x|, 1) \leq|x|+1.\]

Por último, desde\(\left|\sin s_{2}\right| \leq 1\) y\(\left|\cos s_{2}\right| \leq 1,\) obtenemos

\[\left|R_{2}\right| \leq \frac{1}{6}[3|x-1|+(|x|+1)|y|] y^{2}.\]

Esto limita el error máximo que surge si usamos (11) para expresarnos\(x \sin y\) como polinomio de segundo grado en\((x-1)\) y\(y.\) (Ver también Problema 4 y Nota 4 a continuación.)

Nota 4. Fórmula (6), brevemente

\[\Delta f=\sum_{i=1}^{m} \frac{d^{i} f}{i !}+R_{2},\]

generaliza la fórmula (2) en el Capítulo 5, §6.

Como en el Capítulo 5, §6, establecemos

\[P_{m}(\vec{x})=f(\vec{p})+\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{i !} d^{i} f(\vec{p} ; \vec{x}-\vec{p})\]

y llamar\(P_{m}\) al polinomio\(m\) th Taylor por\(f\) sobre\(\vec{p},\) tratarlo como una función de\(n\) variables\(x_{k},\) con\(\vec{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\).

Cuando se expande como en el Ejemplo (C), la fórmula (6) se expresa\(f(\vec{x})\) en potencias de

\[u_{k}=x_{k}-p_{k}, \quad k=1, \ldots, n,\]

más el término restante\(R_{m}\).

Si\(f \in C D^{\infty}\) en algunos\(G_{\vec{p}}\) y si\(R_{m} \rightarrow 0\) como\(m \rightarrow \infty,\) podemos expresar\(f(\vec{x})\) como una serie de potencia convergente

\[f(\vec{x})=\lim _{m \rightarrow \infty} P_{m}(\vec{x})=f(\vec{p})+\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i !} d^{i} f(\vec{p} ; \vec{x}-\vec{p}).\]

Entonces decimos que\(f\) admite una serie de Taylor\(\vec{p},\) sobre el\(G_{\vec{p}}\).