6.5.E: Problemas en Diferenciación Repetida y Expansiones Taylor

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completa todos los detalles en la prueba del Teorema 1. ¿Cuál es la motivación para introducir las funciones auxiliares\(h_{t}\) y\(g_{s}\) de esta manera particular?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿La “multiplicación” simbólica en la Nota 2 es siempre conmutativa? (Ver Ejemplo (A).) ¿Por qué fue posible recolectar términos “similares”
\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} d x d y \text { and } \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} d y d x\]
en el Ejemplo (B)? Usando (5), encuentra la fórmula general para\(d^{3} f.\) Expandirlo!

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Llevar a cabo la inducción en Teorema 2 y Corolario 2. (Use una notación adecuada para subíndices:\(k_{1} k_{2} \ldots\) en lugar de\(j k \ldots\).)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Hacer Ejemplo (C) con\(m=3\) (en lugar de\(m=2\)) y con\(\vec{p}=(0,0)\). Demostrar que\(R_{m} \rightarrow 0,\) i.e.,\(f\) admite una serie de Taylor sobre\(\vec{p}.\)
Hazlo de las siguientes dos maneras.
(i) Usar Teorema 2.
(ii) Ampliar\(\sin y\) como en el Problema 6 (a) en el Capítulo 5, §6, y luego multiplicar en términos por\(x.\)
Dar una estimación para\(R_{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Utilice el Teorema 2 para expandir las siguientes funciones en potencias de\(x-3\) y\(y+2\) exactamente (eligiendo\(m\) así que\(R_{m}=0\)).
i)\(f(x, y)=2 x y^{2}-3 y^{3}+y x^{2}-x^{3}\);
ii)\(f(x, y)=x^{4}-x^{3} y^{2}+2 x y-1\);
iii)\(f(x, y)=x^{5} y-a x y^{5}-x^{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Para las funciones del Problema 15 en §4, dar sus expansiones Taylor hasta\(R_{2},\) con
\[\vec{p}=\left(1, \frac{\pi}{4}, 1\right)\]
en el caso (i) y
\[\vec{p}=\left(e, \frac{\pi}{4} e\right)\]
en (ii). Encuadernado\(R_{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

(Teorema de Taylor generalizado.) Let\(\vec{u}=\vec{x}-\vec{p} \neq \overrightarrow{0}\) in\(E^{\prime}\) (no\(E^{\prime}\) necesita ser\(E^{n}\) o\(C^{n}\)); let\(I=L[\vec{p}, \vec{x}].\) Demostrar la siguiente declaración:
Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) y las funciones derivadas\(D_{\vec{u}}^{i} f(i \leq m)\) son relativamente continuas\(I\) y tienen derivadas\(\vec{u}\) -dirigidas en\(I-Q\) (\(Q\) contable), luego la fórmula (6) y la Nota 3 se mantienen, con\(d^{i} f(\vec{p} ; \vec{u})\) reemplazados por\(D_{\vec{u}}^{i} f(\vec{p})\).
[Pista: Proceder como en el Teorema 2 sin usar la regla de la cadena o cualquier parcial o componente. En lugar de (8), probarlo\(h^{(i)}(t)=D_{\vec{u}}^{i} f(\vec{p}+t \vec{u})\) el\(J-Q^{\prime}, Q^{\prime}= g^{-1}[Q]\).]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

(i) Modificar Problema 7 configurando
\[\vec{u}=\frac{\vec{x}-\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{p}|}.\]
Así ampliar\(f(\vec{x})\) en poderes de\(|\vec{x}-\vec{p}|.\)
(ii) Deducir el Teorema 2 del Problema 7, utilizando el Corolario 2.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dado\(f : E^{2}\left(C^{2}\right) \rightarrow E, f \in C D^{m}\) en un conjunto abierto\(A,\) y\(\vec{s} \in A,\) demostrar que\(\left(\forall \vec{u} \in E^{2}\left(C^{2}\right)\right)\)
\[d^{i} f(\vec{s} ; \vec{u})=\sum_{j=0}^{i}\left(\begin{array}{c}{i} \\ {j}\end{array}\right) u_{1}^{j} u_{2}^{i-j} D_{k_{1} \dots k_{i}} f(\vec{s}), \quad 1 \leq i \leq m,\]
donde\(\left(\begin{array}{l}{i} \\ {j}\end{array}\right)\) están los coeficientes binomiales, y en el término\(j\) th,
\[k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{j}=2\]
y
\[k_{j+1}=\cdots=k_{i}=1.\]
luego reafirmar fórmula (6) para\(n=2\).
[Pista: Usar inducción, como en el teorema binomial.]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\Rightarrow\)Dado\(\vec{p} \in E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y\(f : E^{\prime} \rightarrow E,\) demostrar que\(f \in C D^{1}\) al\(\vec{p}\) iff\(f\) es diferenciable en\(\vec{p}\) y
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall \vec{x} \in G_{\vec{p}}(\delta)\right) \quad\left\|d^{1} f(\vec{p} ; \cdot)-d^{1} f(\vec{x} ; \cdot)\right\|<\varepsilon,\]
con norma\(\|\) como en la Definición 2 en §2. (¿Aplica?)
[Pista: Si\(f \in C D^{1},\) usa el Teorema 2 en §3. Para lo contrario, verificar que
\[\varepsilon \geq\left|d^{1} f(\vec{p} ; \vec{t})-d^{1} f(\vec{x} ; \vec{t})\right|=\left|\sum_{k=1}^{n}\left[D_{k} f(\vec{p})-D_{k} f(\vec{x})\right] t_{k}\right|\]
si\(\vec{x} \in G_{\vec{p}}(\delta)\) y\(|\vec{t}| \leq 1.\) Take\(\vec{t}=\vec{e}_{k},\) para probar la continuidad de\(D_{k} f\) al\(\vec{p}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(\phi : E^{n} \rightarrow E^{m}\) es lineal y\([\phi]=\left(v_{i k}\right),\) luego
\[\|\phi\|^{2} \leq \sum_{i, k}\left|v_{i k}\right|^{2}.\]
(ii) Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{m}\) es diferenciable en\(\vec{p},\) entonces
\[\|d f(\vec{p} ; \cdot)\|^{2} \leq \sum_{i, k}\left|D_{k} f_{i}(\vec{p})\right|^{2}.\]
(iii) De ahí encontrar una nueva prueba conversa en el Problema 10 para\(f : E^{n} \rightarrow E^{m}\).
Considera\(f : C^{n} \rightarrow C^{m},\) también.
[Consejos: (i) Por la desigualdad Cauchy-Schwarz,\(|\phi(\vec{x})|^{2} \leq|\vec{x}|^{2} \sum_{i, k}\left|v_{i k}\right|^{2}.\) (¿Por qué?) (ii) Utilizar la parte (i) y el Teorema 4 en §3.]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(i) Encontrar\(d^{2} u\) para las funciones del Problema 10 en §4, en las notaciones de “variable” y “mapeo”.
(ii) Hazlo también para
\[u=f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\]
y demuéstralo\(D_{11} f+D_{22} f+D_{33} f=0\).
iii) ¿Se sostiene este último para\(u=\arctan \frac{y}{x}?\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Dejar\(u=g(x, y), x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\) (pasaje a los polares).
Usando “variables” y luego la notación de “mapeos”, demostrar que si\(g\) es diferenciable, entonces
(i)\(\frac{\partial u}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial u}{\partial y}\) y
(ii)\(|\nabla g(x, y)|^{2}=\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^{2}\).
iii) Asumiendo\(g \in C D^{2},\) expreso\(\frac{\partial^{2} u}{\partial r \partial \theta}, \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}},\) y\(\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}\) como en el inciso i).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Let\(f, g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) be of class\(C D^{2}\) on\(E^{1}.\) Verify (en notación “variable”, también) las siguientes declaraciones.
(i)\(D_{11} h=a^{2} D_{22} h\) si\(a \in E^{1}\) (fijo) y
\[h(x, y)=f(a x+y)+g(y-a x).\]
(ii)\(x^{2} D_{11} h(x, y)+2 x y D_{12} h(x, y)+y^{2} D_{22} h(x, y)=0\) si
\[h(x, y)=x f\left(\frac{y}{x}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right).\]
(iii)\(D_{1} h \cdot D_{21} h=D_{2} h \cdot D_{11} h\) si
\[h(x, y)=g(f(x)+y)\]
Find\(D_{12} h,\) también.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Asumir\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\)\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}\) y\(E^{\prime \prime}=E^{m}\left(C^{m}\right).\) Let y\(g : E^{\prime \prime} \rightarrow E\) ser dos veces diferenciables en\(\vec{p} \in E^{\prime}\) y\(\vec{q}=f(\vec{p}) \in E^{\prime \prime}\), respectivamente, y establecer\(h=g \circ f\).
Demostrar que\(h\) es dos veces diferenciable en\(\vec{p},\)\(\vec{t} \in E^{\prime}, \vec{s}=d f(\vec{p} ; \vec{t}),\) y
\[d^{2} h(\vec{p} ; \vec{t})=d^{2} g(\vec{q} ; \vec{s})+d g(\vec{q} ; \vec{v}),\]
dónde y\(\vec{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \in E^{\prime \prime}\) satisface
\[v_{i}=d^{2} f_{i}(\vec{p} ; \vec{t}), \quad i=1, \ldots, m.\]
Así el segundo diferencial no es invariante en el sentido de la Nota 4 en §4.
[Pista: Demuestre que
\[D_{k l} h(\vec{p})=\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{m} D_{i j} g(\vec{q}) D_{k} f_{i}(\vec{p}) D_{l} f_{j}(\vec{p})+\sum_{i=1}^{m} D_{i} g(\vec{q}) D_{k l} f_{i}(\vec{p}).\]
Proceda.]

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Continuando Problema 15, probar la regla invariante:
\[d^{r} h(\vec{p} ; \vec{t})=d^{r} g(\vec{q} ; \vec{s}),\]
si\(f\) es un polinomio de primer grado y\(g\) es\(r\) tiempos diferenciables en\(\vec{q}\).
[Pista: Aquí todos los parciales de orden superior de\(f\) desaparecer. Usar inducción.]