6.7.E: Problemas en funciones inversas e implícitas, mapas abiertos y cerrados

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Discutir: En la Definición 1,\(\overline{G}\) puede ser reemplazado de manera equivalente por\(G=G_{\vec{p}}(\delta)\) (un globo abierto).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que si el conjunto\(D\) está abierto (cerrado) en\((S, \rho),\) entonces el mapa\(f : S \rightarrow T\) está abierto (cerrado, respectivamente) en\(D\) iff\(f_{D}(f \text { restricted to } D)\) tiene esta propiedad como un mapa de\(D\) into\(f[D]\).
[Pista: Usar el Teorema 4 en el Capítulo 3, §12.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Completar los detalles faltantes en las pruebas de Teoremas 1-4.

Ejercicio\(\PageIndex{3'}\)

Verificar las notas a pie de página 2 y 3.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Mostrar que un mapa\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) puede no ser uno a uno en todos\(E^{\prime}\) incluso si\(f\) satisface el Teorema 1 cerca de cada\(\vec{p} \in E^{\prime}.\) Sin embargo, mostrar que esto no puede ocurrir si\(E^{\prime}=E=E^{1}\).
[Consejos: Para la primera parte, tome\(E^{\prime}=C, f(x+i y)=e^{x}(\cos y+i \sin y).\) Para la segunda, use el Teorema 1 en el Capítulo 5, §2.]

Ejercicio\(\PageIndex{4'}\)

(i) Para los mapas\(f : E^{1} \rightarrow E^{1},\) prueben que la existencia de una biyectiva\(d f(p ; \cdot)\) equivale a\(f^{\prime}(p) \neq 0\).
(ii) Vamos
\[f(x)=x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, \quad f(0)=0.\]
Mostrar eso\(f^{\prime}(0) \neq 0,\) y\(f \in C D^{1}\) cerca de cualquier\(p \neq 0;\) todavía no\(f\) es uno a uno cerca de 0. ¿Qué es lo que pasa?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Mostrar que un mapa\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right), f \in C D^{1},\) puede ser biyective aunque\(\operatorname{det}\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]=0\) en algunos\(\vec{p},\) pero luego\(f^{-1}\) no puede ser diferenciable en\(\vec{q}=f(\vec{p}).\)
[Pista: Para la primera cláusula, tome\(f(x)=x^{3}, p=0;\) por la segunda, tenga en cuenta que si\(f^{-1}\) es diferenciable en\(\vec{q},\) entonces la Nota 2 en §4 implica que det\([d f(\vec{p} ; \cdot)] \cdot \operatorname{det}\left[d f^{-1}(\vec{q} ; \cdot)\right]=1 \neq 0,\) ya que\(f \circ f^{-1}\) es el mapa de identidad.]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar Corolario 2 para el caso general de completo\(E^{\prime}\) y\(E\).
[Esquema: Dada una\(X \subseteq \overline{G},\) toma cerrada cualquier secuencia convergente\(\left\{\vec{y}_{n}\right\} \subseteq f[X].\) Por Problema 8 en el Capítulo 4, §8,\(f^{-1}\left(\vec{y}_{n}\right)=\vec{x}_{n}\) es una secuencia Cauchy en\(X\) (¿por qué?). Por la completitud de\(E^{\prime},(\exists \vec{x} \in X) \vec{x}_{n} \rightarrow \vec{x}\) (Teorema 4 del Capítulo 3, §16). Inferir que\(\lim \vec{y}_{n}=f(\vec{x}) \in f[X],\) así\(f[X]\) está cerrado.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que “el compuesto de dos mapas abiertos (cerrados) es abierto (cerrado)”. Exponer el teorema con precisión. Demuéstralo también para la propiedad uniforme de Lipschitz.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar en detalle que\(f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) está abierto en\(f\) mapas\(D \subseteq S\) iff el interior de\(D\) en el de\(f[D];\) eso es,\(f\left[D^{0}\right] \subseteq(f[D])^{0}\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Verificar con ejemplos que\(f\) pueden ser:
(i) cerrado pero no abierto;
(ii) abierto pero no cerrado.
[Consejos: (i) Considerar\(f=\) constante. (ii) Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por\(f(x, y)=x\) y dejar
\[D=\left\{(x, y) \in E^{2} | y=\frac{1}{x}, x>0\right\};\]
usar el Teorema 4 (iii) en el Capítulo 3, §16 y continuidad para mostrar que\(D\) está cerrado en\(E^{2},\) pero no\(f[D]=(0,+\infty)\) está cerrado en\(E^{1}.\) Sin embargo,\(f\) está abierto en todos\(E^{2}\) por Problema 8. (¡Verifica!)]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Continuando Problema 9 (ii), definir\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) (o\(C^{n} \rightarrow C)\) por\(f(\vec{x})=\)\(x_{k}\) para un fijo\(k \leq n\) (el "\(k\)th mapa de proyección”). Espectáculo que\(f\) está abierto, pero no cerrado, encendido\(E^{n}\left(C^{n}\right)\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

(i) En el Ejemplo (a), tomar\((p, q)=(5,0)\) o\((-5,0).\) ¿Están satisfechas las condiciones del Teorema 4? ¿Se mantienen las conclusiones?
(ii) Verificar Ejemplo (b).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(i) Tratar\(z\) como una función de\(x\) y\(y,\) dado implícitamente por
\[f(x, y, z)=z^{3}+x z^{2}-y z=0, \quad f : E^{3} \rightarrow E^{1},\]
discutir las elecciones de\(P\) y\(Q\) que satisfacen el Teorema 4. Encontrar\(\frac{\partial z}{\partial x}\) y\(\frac{\partial z}{\partial y}\).
(ii) Hacer lo mismo para\(f(x, y, z)=e^{x y z}-1=0\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Dado\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E^{m}\left(C^{m}\right), n>m,\) demostrar que si\(f \in C D^{1}\) en un globo\(G, f\) no puede ser uno a uno.
[Pista para\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}:\) Si, digamos,\(D_{1} f \neq 0\) en\(G, \operatorname{set} F(x, y)=(f(x, y), y)\).]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Supongamos que\(f\) satisface el Teorema 1 para cada uno\(\vec{p}\) en un conjunto abierto\(A \subseteq E^{\prime}\), y es uno a uno encendido\(A\) (cf. Problema 4). Dejar\(g=f_{A}^{-1}\) (restringir\(f\) a\(A\) y tomar su inversa). Demostrar que\(f\) y\(g\) son abiertos y de clase\(C D^{1}\) en\(A\) y\(f[A],\) respectivamente.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Dado\(\vec{v} \in E\) y un escalar\(c \neq 0,\) definen\(T_{\vec{v}} : E \rightarrow E\) (“traducción por\(\vec{v}\) “) y\(M_{c} : E \rightarrow E\) (“dilatación por\(c\) “), estableciendo
\[T_{\vec{v}}(\vec{x})=\vec{x}+\vec{v} \text { and } M_{c}(\vec{x})=c \vec{x}.\]
Demostrar lo siguiente.
(i)\(T_{\vec{v}}\) y\(T_{\vec{v}}^{-1}\left(=T_{-\vec{v}}\right)\) son biyectivas, continuas, y “clopen” en\(E;\) lo que también son\(M_{c}\) y\(M_{c}^{-1}\left(=M_{1 / c}\right).\)
(ii) De manera similar para la propiedad Lipschitz en\(E\).
(iii) Si\(G=G_{\vec{q}}(\delta) \subset E,\) entonces\(T_{\vec{v}}[G]=G_{\vec{q}+\vec{v}}(\delta),\) y\(M_{c}[G]=G_{c \vec{q}}(|c \delta|)\).
(iv) Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es lineal, y\(\vec{v}=f(\vec{p})\) para algunos\(\vec{p} \in E^{\prime},\) entonces\(T_{\vec{v}} \circ f=f \circ T_{\vec{p}}^{\prime}\) y\(M_{c} \circ f=f \circ M_{c}^{\prime},\) dónde\(T_{\vec{p}}^{\prime}\) y\(M_{c}^{\prime}\) son los mapas correspondientes en\(E^{\prime}.\) Si, además,\(f\) es continuo en\(\vec{p},\) él es continuo en todos\(E^{\prime}.\)
[Pista para (iv): Corregir cualquier\(\vec{x} \in E^{\prime}.\) Conjunto\(\vec{v}=f(\vec{x}-\vec{p}), g=T_{\vec{v}} \circ f \circ T_{\vec{p}-\vec{x}}^{\prime}.\) Verifica eso\(g=f, T_{\vec{p}-\vec{x}}^{\prime}(\vec{x})=\vec{p},\) y\(g\) es continuo en\(\vec{x}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Mostrar que si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es lineal y si\(f\left[G^{*}\right]\) está abierto en\(E\) para algunos\(G^{*}=G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq E^{\prime},\) entonces
(i)\(f\) está abierto en todos\(E^{\prime}\);
(ii)\(f\) está encendido\(E\).
[Consejos: (i) Por Problema 8, basta con mostrar que el set\(f[G]\) está abierto, para cualquier globo\(G\) (¿por qué?). Primero toma\(G=G_{\overrightarrow{0}}(\delta).\) Luego usa Problemas 7 y 15 (i) - (iv), con adecuado\(\vec{v}\) y\(c.\)
(ii) Para probar\(E=f\left[E^{\prime}\right],\) arreglar cualquier\(\vec{y} \in E.\) Como\(f=G_{\overrightarrow{0} (\delta\) está abierto, contiene un globo\(G^{\prime}=G_{\overrightarrow{0}}(r).\) Para pequeños\(c, c \vec{y} \in G^{\prime} \subseteq f\left[E^{\prime}\right].\) De ahí\(\vec{y} \in f\left[E^{\prime}\right]\) (Problema 10 en §2).]

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Continuando Problema 16, demuestre que si también\(f\) está uno a uno encendido\(G^{*},\) entonces
\[f : E^{\prime} \stackrel{\longleftrightarrow}{\text { onto }} E,\]
\(f \in L\left(E^{\prime}, E\right), f^{-1} \in L\left(E, E^{\prime}\right), f\) está clopen encendido\(E^{\prime},\) y\(f^{-1}\) es así sucesivamente\(E\).
[Consejos: Para probar que\(f\) es uno a uno en\(E^{\prime},\) let\(f(\vec{x})=\vec{y}\) para algunos\(\vec{x}, \vec{x}^{\prime} \in E^{\prime}\).
\[(\exists c, \varepsilon>0) \quad c \vec{y} \in G_{\overrightarrow{0}}(\varepsilon) \subseteq f\left[G_{\overrightarrow{0}}(\delta)\right] \text { and } f(c \vec{x}+\vec{p})=f\left(c \vec{x}^{\prime}+\vec{p}\right) \in f\left[G_{\vec{p}}(\delta)\right]=f\left[G^{*}\right].\]
Demostrar que Deduce eso\(c \vec{x}+\vec{p}=c \vec{x}^{\prime}+\vec{p}\) y\(\vec{x}=\vec{x}^{\prime}.\) Luego usa el Problema 15 (v) en el Capítulo 4, §2, y la Nota 1.]

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Se dice que un mapa
\[f :(S, \rho)\stackrel{\longleftrightarrow}{\text { onto }} (T, \rho^{\prime})\]
es bicontinuo, o un homeomorfismo, (de\(S\) hacia\(T)\) iff ambos\(f\) y\(f^{-1}\) son continuos. Asumiendo esto, probar lo siguiente.
(i)\(x_{n} \rightarrow p\) en\(S\) iff\(f\left(x_{n}\right) \rightarrow f(p)\) en\(T\);
(ii)\(A\) está cerrado (abierto, compacto, perfecto) en\(S\) iff\(f[A]\) es así en\(T\);
(iii)\(B=\overline{A}\) en\(S\) iff\(f[B]=\overline{f[A]}\) en\(T\);
(iv) \(B=A^{0}\)in\(S\) iff\(f[B]=(f[A])^{0}\) in\(T\);
(v)\(A\) es denso en\(B\) (es decir,\(A \subseteq B \subseteq \overline{A} \subseteq S\)) en\((S, \rho)\) iff\(f[A]\) es denso en\(f[B] \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right).\)
[Pista: Use el teorema 1 del Capítulo 4, §2, y el Teorema 4 en el Capítulo 3, §16, para conjuntos cerrados; véase también Nota 1.]

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Dado\(A, B \subseteq E, \vec{v} \in E\) y un\(c,\) conjunto escalar
\[A+\vec{v}=\{\vec{x}+\vec{v} | \vec{x} \in A\} \text { and } c A=\{c \vec{x} | \vec{x} \in A\}.\]
Suponiendo\(c \neq 0,\) probar que
(i)\(A\) está cerrado (abierto, compacto, perfecto) en\(E\) iff\(c A+\vec{v}\) es;
(ii)\(B=\overline{A}\) iff\(c B+\vec{v}=\overline{c A+\vec{v}}\);
(iii)\(B=A^{0}\) iff \(c B+\vec{v}=(c A+\vec{v})^{0}\);
(iv)\(A\) es denso en\(B\) iff\(c A+\vec{v}\) es denso en\(c B+\vec{v}\).
[Pista: Aplicar el Problema 18 a los mapas\(T_{\vec{v}}\) y\(M_{c}\) del Problema 15, señalando que\(A+\vec{v}= T_{\vec{v}}[A]\) y\(c A=M_{c}[A].\)]

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Demostrar Teorema 2, para una reducida\(\delta,\) asumiendo que sólo uno de\(E^{\prime}\)\(E^{n}\left(C^{n}\right),\) y\(E\) es y el otro es apenas completo.
[Pista: Si, digamos,\(E=E^{n}\left(C^{n}\right),\) entonces\(f[\overline{G}]\) es compacto (siendo cerrado y acotado), y también lo es\(\overline{G}=f^{-1}[f[\overline{G}]].\) (¿Por qué?) Así el Lema funciona como antes, es decir,\(f[G] \supseteq G_{\overline{q}}(\alpha)\).
Ahora usa la continuidad de\(f\) para obtener un globo\(G^{\prime}=G_{\vec{p}}\left(\delta^{\prime}\right) \subseteq G\) tal que\(f\left[G^{\prime}\right] \subseteq G_{\vec{q}}(\alpha).\) Vamos\(g=f_{G}^{-1},\) más restringido a\(G_{\vec{q}}(\alpha).\) Aplicar Problema 15 (v) en el Capítulo 4, §2, a\(g,\) con\(S=G_{\vec{q}}(\alpha), T=E^{\prime}\).]