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# 6.7.E: Problemas en funciones inversas e implícitas, mapas abiertos y cerrados

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Discutir: En la Definición 1,$$\overline{G}$$ puede ser reemplazado de manera equivalente por$$G=G_{\vec{p}}(\delta)$$ (un globo abierto).

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que si el conjunto$$D$$ está abierto (cerrado) en$$(S, \rho),$$ entonces el mapa$$f : S \rightarrow T$$ está abierto (cerrado, respectivamente) en$$D$$ iff$$f_{D}(f \text { restricted to } D)$$ tiene esta propiedad como un mapa de$$D$$ into$$f[D]$$.
[Pista: Usar el Teorema 4 en el Capítulo 3, §12.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Completar los detalles faltantes en las pruebas de Teoremas 1-4.

## Ejercicio$$\PageIndex{3'}$$

Verificar las notas a pie de página 2 y 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Mostrar que un mapa$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ puede no ser uno a uno en todos$$E^{\prime}$$ incluso si$$f$$ satisface el Teorema 1 cerca de cada$$\vec{p} \in E^{\prime}.$$ Sin embargo, mostrar que esto no puede ocurrir si$$E^{\prime}=E=E^{1}$$.
[Consejos: Para la primera parte, tome$$E^{\prime}=C, f(x+i y)=e^{x}(\cos y+i \sin y).$$ Para la segunda, use el Teorema 1 en el Capítulo 5, §2.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4'}$$

(i) Para los mapas$$f : E^{1} \rightarrow E^{1},$$ prueben que la existencia de una biyectiva$$d f(p ; \cdot)$$ equivale a$$f^{\prime}(p) \neq 0$$.
(ii) Vamos
$f(x)=x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, \quad f(0)=0.$
Mostrar eso$$f^{\prime}(0) \neq 0,$$ y$$f \in C D^{1}$$ cerca de cualquier$$p \neq 0;$$ todavía no$$f$$ es uno a uno cerca de 0. ¿Qué es lo que pasa?

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Mostrar que un mapa$$f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right), f \in C D^{1},$$ puede ser biyective aunque$$\operatorname{det}\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]=0$$ en algunos$$\vec{p},$$ pero luego$$f^{-1}$$ no puede ser diferenciable en$$\vec{q}=f(\vec{p}).$$
[Pista: Para la primera cláusula, tome$$f(x)=x^{3}, p=0;$$ por la segunda, tenga en cuenta que si$$f^{-1}$$ es diferenciable en$$\vec{q},$$ entonces la Nota 2 en §4 implica que det$$[d f(\vec{p} ; \cdot)] \cdot \operatorname{det}\left[d f^{-1}(\vec{q} ; \cdot)\right]=1 \neq 0,$$ ya que$$f \circ f^{-1}$$ es el mapa de identidad.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar Corolario 2 para el caso general de completo$$E^{\prime}$$ y$$E$$.
[Esquema: Dada una$$X \subseteq \overline{G},$$ toma cerrada cualquier secuencia convergente$$\left\{\vec{y}_{n}\right\} \subseteq f[X].$$ Por Problema 8 en el Capítulo 4, §8,$$f^{-1}\left(\vec{y}_{n}\right)=\vec{x}_{n}$$ es una secuencia Cauchy en$$X$$ (¿por qué?). Por la completitud de$$E^{\prime},(\exists \vec{x} \in X) \vec{x}_{n} \rightarrow \vec{x}$$ (Teorema 4 del Capítulo 3, §16). Inferir que$$\lim \vec{y}_{n}=f(\vec{x}) \in f[X],$$ así$$f[X]$$ está cerrado.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que “el compuesto de dos mapas abiertos (cerrados) es abierto (cerrado)”. Exponer el teorema con precisión. Demuéstralo también para la propiedad uniforme de Lipschitz.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar en detalle que$$f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ está abierto en$$f$$ mapas$$D \subseteq S$$ iff el interior de$$D$$ en el de$$f[D];$$ eso es,$$f\left[D^{0}\right] \subseteq(f[D])^{0}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Verificar con ejemplos que$$f$$ pueden ser:
[Consejos: (i) Considerar$$f=$$ constante. (ii) Definir$$f : E^{2} \rightarrow E^{1}$$ por$$f(x, y)=x$$ y dejar
$D=\left\{(x, y) \in E^{2} | y=\frac{1}{x}, x>0\right\};$
usar el Teorema 4 (iii) en el Capítulo 3, §16 y continuidad para mostrar que$$D$$ está cerrado en$$E^{2},$$ pero no$$f[D]=(0,+\infty)$$ está cerrado en$$E^{1}.$$ Sin embargo,$$f$$ está abierto en todos$$E^{2}$$ por Problema 8. (¡Verifica!)]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Continuando Problema 9 (ii), definir$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}$$ (o$$C^{n} \rightarrow C)$$ por$$f(\vec{x})=$$$$x_{k}$$ para un fijo$$k \leq n$$ (el "$$k$$th mapa de proyección”). Espectáculo que$$f$$ está abierto, pero no cerrado, encendido$$E^{n}\left(C^{n}\right)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

(i) En el Ejemplo (a), tomar$$(p, q)=(5,0)$$ o$$(-5,0).$$ ¿Están satisfechas las condiciones del Teorema 4? ¿Se mantienen las conclusiones?
(ii) Verificar Ejemplo (b).

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

(i) Tratar$$z$$ como una función de$$x$$ y$$y,$$ dado implícitamente por
$f(x, y, z)=z^{3}+x z^{2}-y z=0, \quad f : E^{3} \rightarrow E^{1},$
discutir las elecciones de$$P$$ y$$Q$$ que satisfacen el Teorema 4. Encontrar$$\frac{\partial z}{\partial x}$$ y$$\frac{\partial z}{\partial y}$$.
(ii) Hacer lo mismo para$$f(x, y, z)=e^{x y z}-1=0$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Dado$$f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E^{m}\left(C^{m}\right), n>m,$$ demostrar que si$$f \in C D^{1}$$ en un globo$$G, f$$ no puede ser uno a uno.
[Pista para$$f : E^{2} \rightarrow E^{1}:$$ Si, digamos,$$D_{1} f \neq 0$$ en$$G, \operatorname{set} F(x, y)=(f(x, y), y)$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Supongamos que$$f$$ satisface el Teorema 1 para cada uno$$\vec{p}$$ en un conjunto abierto$$A \subseteq E^{\prime}$$, y es uno a uno encendido$$A$$ (cf. Problema 4). Dejar$$g=f_{A}^{-1}$$ (restringir$$f$$ a$$A$$ y tomar su inversa). Demostrar que$$f$$ y$$g$$ son abiertos y de clase$$C D^{1}$$ en$$A$$ y$$f[A],$$ respectivamente.

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Dado$$\vec{v} \in E$$ y un escalar$$c \neq 0,$$ definen$$T_{\vec{v}} : E \rightarrow E$$ (“traducción por$$\vec{v}$$ “) y$$M_{c} : E \rightarrow E$$ (“dilatación por$$c$$ “), estableciendo
$T_{\vec{v}}(\vec{x})=\vec{x}+\vec{v} \text { and } M_{c}(\vec{x})=c \vec{x}.$
Demostrar lo siguiente.
(i)$$T_{\vec{v}}$$ y$$T_{\vec{v}}^{-1}\left(=T_{-\vec{v}}\right)$$ son biyectivas, continuas, y “clopen” en$$E;$$ lo que también son$$M_{c}$$ y$$M_{c}^{-1}\left(=M_{1 / c}\right).$$
(ii) De manera similar para la propiedad Lipschitz en$$E$$.
(iii) Si$$G=G_{\vec{q}}(\delta) \subset E,$$ entonces$$T_{\vec{v}}[G]=G_{\vec{q}+\vec{v}}(\delta),$$ y$$M_{c}[G]=G_{c \vec{q}}(|c \delta|)$$.
(iv) Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es lineal, y$$\vec{v}=f(\vec{p})$$ para algunos$$\vec{p} \in E^{\prime},$$ entonces$$T_{\vec{v}} \circ f=f \circ T_{\vec{p}}^{\prime}$$ y$$M_{c} \circ f=f \circ M_{c}^{\prime},$$ dónde$$T_{\vec{p}}^{\prime}$$ y$$M_{c}^{\prime}$$ son los mapas correspondientes en$$E^{\prime}.$$ Si, además,$$f$$ es continuo en$$\vec{p},$$ él es continuo en todos$$E^{\prime}.$$
[Pista para (iv): Corregir cualquier$$\vec{x} \in E^{\prime}.$$ Conjunto$$\vec{v}=f(\vec{x}-\vec{p}), g=T_{\vec{v}} \circ f \circ T_{\vec{p}-\vec{x}}^{\prime}.$$ Verifica eso$$g=f, T_{\vec{p}-\vec{x}}^{\prime}(\vec{x})=\vec{p},$$ y$$g$$ es continuo en$$\vec{x}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Mostrar que si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es lineal y si$$f\left[G^{*}\right]$$ está abierto en$$E$$ para algunos$$G^{*}=G_{\vec{p}}(\delta) \subseteq E^{\prime},$$ entonces
(i)$$f$$ está abierto en todos$$E^{\prime}$$;
(ii)$$f$$ está encendido$$E$$.
[Consejos: (i) Por Problema 8, basta con mostrar que el set$$f[G]$$ está abierto, para cualquier globo$$G$$ (¿por qué?). Primero toma$$G=G_{\overrightarrow{0}}(\delta).$$ Luego usa Problemas 7 y 15 (i) - (iv), con adecuado$$\vec{v}$$ y$$c.$$
(ii) Para probar$$E=f\left[E^{\prime}\right],$$ arreglar cualquier$$\vec{y} \in E.$$ Como$$f=G_{\overrightarrow{0} (\delta$$ está abierto, contiene un globo$$G^{\prime}=G_{\overrightarrow{0}}(r).$$ Para pequeños$$c, c \vec{y} \in G^{\prime} \subseteq f\left[E^{\prime}\right].$$ De ahí$$\vec{y} \in f\left[E^{\prime}\right]$$ (Problema 10 en §2).]

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Continuando Problema 16, demuestre que si también$$f$$ está uno a uno encendido$$G^{*},$$ entonces
$f : E^{\prime} \stackrel{\longleftrightarrow}{\text { onto }} E,$
$$f \in L\left(E^{\prime}, E\right), f^{-1} \in L\left(E, E^{\prime}\right), f$$ está clopen encendido$$E^{\prime},$$ y$$f^{-1}$$ es así sucesivamente$$E$$.
[Consejos: Para probar que$$f$$ es uno a uno en$$E^{\prime},$$ let$$f(\vec{x})=\vec{y}$$ para algunos$$\vec{x}, \vec{x}^{\prime} \in E^{\prime}$$.
$(\exists c, \varepsilon>0) \quad c \vec{y} \in G_{\overrightarrow{0}}(\varepsilon) \subseteq f\left[G_{\overrightarrow{0}}(\delta)\right] \text { and } f(c \vec{x}+\vec{p})=f\left(c \vec{x}^{\prime}+\vec{p}\right) \in f\left[G_{\vec{p}}(\delta)\right]=f\left[G^{*}\right].$
Demostrar que Deduce eso$$c \vec{x}+\vec{p}=c \vec{x}^{\prime}+\vec{p}$$ y$$\vec{x}=\vec{x}^{\prime}.$$ Luego usa el Problema 15 (v) en el Capítulo 4, §2, y la Nota 1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Se dice que un mapa
$f :(S, \rho)\stackrel{\longleftrightarrow}{\text { onto }} (T, \rho^{\prime})$
es bicontinuo, o un homeomorfismo, (de$$S$$ hacia$$T)$$ iff ambos$$f$$ y$$f^{-1}$$ son continuos. Asumiendo esto, probar lo siguiente.
(i)$$x_{n} \rightarrow p$$ en$$S$$ iff$$f\left(x_{n}\right) \rightarrow f(p)$$ en$$T$$;
(ii)$$A$$ está cerrado (abierto, compacto, perfecto) en$$S$$ iff$$f[A]$$ es así en$$T$$;
(iii)$$B=\overline{A}$$ en$$S$$ iff$$f[B]=\overline{f[A]}$$ en$$T$$;
(iv) $$B=A^{0}$$in$$S$$ iff$$f[B]=(f[A])^{0}$$ in$$T$$;
(v)$$A$$ es denso en$$B$$ (es decir,$$A \subseteq B \subseteq \overline{A} \subseteq S$$) en$$(S, \rho)$$ iff$$f[A]$$ es denso en$$f[B] \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right).$$
[Pista: Use el teorema 1 del Capítulo 4, §2, y el Teorema 4 en el Capítulo 3, §16, para conjuntos cerrados; véase también Nota 1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Dado$$A, B \subseteq E, \vec{v} \in E$$ y un$$c,$$ conjunto escalar
$A+\vec{v}=\{\vec{x}+\vec{v} | \vec{x} \in A\} \text { and } c A=\{c \vec{x} | \vec{x} \in A\}.$
Suponiendo$$c \neq 0,$$ probar que
(i)$$A$$ está cerrado (abierto, compacto, perfecto) en$$E$$ iff$$c A+\vec{v}$$ es;
(ii)$$B=\overline{A}$$ iff$$c B+\vec{v}=\overline{c A+\vec{v}}$$;
(iii)$$B=A^{0}$$ iff $$c B+\vec{v}=(c A+\vec{v})^{0}$$;
(iv)$$A$$ es denso en$$B$$ iff$$c A+\vec{v}$$ es denso en$$c B+\vec{v}$$.
[Pista: Aplicar el Problema 18 a los mapas$$T_{\vec{v}}$$ y$$M_{c}$$ del Problema 15, señalando que$$A+\vec{v}= T_{\vec{v}}[A]$$ y$$c A=M_{c}[A].$$]

## Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

Demostrar Teorema 2, para una reducida$$\delta,$$ asumiendo que sólo uno de$$E^{\prime}$$$$E^{n}\left(C^{n}\right),$$ y$$E$$ es y el otro es apenas completo.
[Pista: Si, digamos,$$E=E^{n}\left(C^{n}\right),$$ entonces$$f[\overline{G}]$$ es compacto (siendo cerrado y acotado), y también lo es$$\overline{G}=f^{-1}[f[\overline{G}]].$$ (¿Por qué?) Así el Lema funciona como antes, es decir,$$f[G] \supseteq G_{\overline{q}}(\alpha)$$.
Ahora usa la continuidad de$$f$$ para obtener un globo$$G^{\prime}=G_{\vec{p}}\left(\delta^{\prime}\right) \subseteq G$$ tal que$$f\left[G^{\prime}\right] \subseteq G_{\vec{q}}(\alpha).$$ Vamos$$g=f_{G}^{-1},$$ más restringido a$$G_{\vec{q}}(\alpha).$$ Aplicar Problema 15 (v) en el Capítulo 4, §2, a$$g,$$ con$$S=G_{\vec{q}}(\alpha), T=E^{\prime}$$.]

6.7.E: Problemas en funciones inversas e implícitas, mapas abiertos y cerrados is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.