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6.8.E: Problemas en Categorías de Baire y Mapas Lineales

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verificar la equivalencia de las diversas formulaciones en la Definición 1. Discutir: no\(A\) es denso en ninguna parte iff no es denso en ningún conjunto abierto\(\neq \emptyset\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Verificar los Ejemplos (a) a (e). Demuestre que el set de Cantor\(P\) es incontable.
    [Pista: Cada uno\(p \in P\) corresponde a una “fracción ternaria”,\(p=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} / 3^{n},\) también escrita\(0 . x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots,\) donde\(x_{n}=0\) o de\(x_{n}=2\) acuerdo a si\(p\) está a la izquierda, o a la derecha, del intervalo abierto de longitud “eliminado” más cercano\(1/ 3^{n}\). Imitar la prueba del Teorema 3 en el Capítulo 1, §9, para la inccountabilidad. Véase también Capítulo 1, §9, Problema 2, inciso ii).]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Completa los detalles faltantes en la prueba de Teoremas 1 a 4.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar lo siguiente.
    (i) Si\(B \subseteq A\) y en ningún lugar\(A\) es denso o exiguo, así es\(B\).
    (ii) Si\(B \subseteq A\) y no\(B\) es exiguo, así es\(A\).
    [Pista: Supongamos que\(A\) es pobre y usa (i)).]
    (iii) Cualquier unión finita de conjuntos densos en ninguna parte es densa en ninguna parte. Desmentirlo por uniones infinitas.
    iv) Cualquier unión contable de conjuntos magros es exigua.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar que en un espacio discreto\((S, \rho),\) solo\(\emptyset\) es exiguo.
    [Pista: Use el Problema 8 en el Capítulo 3, §17, Ejemplo 7 en el Capítulo 3, §12, y nuestro Teorema actual 1.]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Utilice el Teorema 1 para dar una nueva prueba de la existencia de irracionales en\(E^{1}\).
    [Pista: Los racionales\(R\) son un conjunto exiguo, mientras que no lo\(E^{1}\) es.]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Qué hay de malo en esta “prueba” de que cada conjunto cerrado\(F \neq \emptyset\) en un espacio completo\((S, \rho)\) es residual: “Por el Teorema 5 del Capítulo 3, §17,\(F\) está completo como subespacio. Así, por el Teorema 1,\(F\) es residual”. ¡Da contraejemplos!

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Llamamos\(K\) a\(\mathcal{G}_{\delta}\) -set y escribimos\(K \in \mathcal{G}_{\delta}\) iff\(K=\bigcap_{n=1}^{\infty} G_{n}\) para algunos conjuntos abiertos\(G_{n}.\)
    (i) Probaremos que si\(K\) es un\(\mathcal{G}_{\delta}\) -set, y si\(K\) es denso en un espacio métrico completo\((S, \rho),\) es decir,\(\overline{K}=S,\) entonces\(K\) es residual en\(S\).
    [Pista: Vamos a\(F_{n}=-G_{n}.\) verificar que\((\forall n) G_{n}\) es denso en\(S,\) y no\(F_{n}\) es denso en ninguna parte. Deducir que\(-K=-\bigcap G_{n}=\cup F_{n}\) es exiguo. Uso Teorema 1.]
    (ii) Inferir que\(R\) (los racionales) no es un\(\mathcal{G}_{\delta}\) -set in\(E^{1}\) (cf. Ejemplo (c)).

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Mostrar que, en un espacio métrico completo\((S, \rho),\) un conjunto exiguo\(A\) no puede tener puntos interiores.
    [Pista: De lo contrario,\(A\) obtendría un globo\(G.\) Usar Teorema 1 y Problema 4 (ii).]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    (i) Un singleton no\(\{p\} \subseteq(S, \rho)\) es denso en ninguna parte si se\(S\) agrupa de\(p;\) otra manera, no es pobre en\(S\) (ser un globo, y no una unión de conjuntos densos en ninguna parte).
    (ii) Si\(A \subseteq S\) los clústeres en cada\(p \in A,\) conjunto contable\(B \subseteq A\) son escasos en\(S\).

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    (i) Mostrar que si\(\emptyset \neq A \in \mathcal{G}_{\delta}\) (ver Problema 8) en un espacio completo\((S, \rho),\) y\(A\) clústeres en cada\(p \in A,\) entonces\(A\) es incontable.
    (ii) Demostrar que cualquier conjunto perfecto no vacío (Capítulo 3, §14) en un espacio completo es incontable.
    (iii) ¿Qué tal\(R\) (los racionales) dentro\(E^{1}\) y dentro\(R\) como subespacio de\(E^{1}?\) Lo que está mal?
    [Consejos: (i) El subespacio\((\overline{A}, \rho)\) está completo (¿por qué?) ; así\(A\) es no exiguo en\(\overline{A},\) por el Problema 8. Uso Problema 10 (ii). ii) Utilizar la nota de pie de página 3.]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Si\(G\) está abierto en\((S, \rho),\) entonces no\(\overline{G}-G\) está en ninguna parte denso en\(S\).
    [Pista:\(\overline{G}-G=\overline{G} \cap(-G)\) está cerrada; así
    \[\overline{(\overline{G}-G)^{0}}=(\overline{G}-G)^{0}=(\overline{G} \cap-G)^{0}=\emptyset\]
    por Problema 15 en el Capítulo 3, §12 y Problema 15 en el Capítulo 3, §16.]

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    (Teorema de boundedness uniforme “simplificado”.) Dejar\(f_{n}: (S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) ser continuo para\(n=1,2, \ldots,\) con\(S\) completo. Si\(\left\{f_{n}(x)\right\}\) es una secuencia acotada en\(T\) para cada\(x \in S,\) entonces\(\left\{f_{n}\right\}\) se limita uniformemente en algunos abiertos\(G \neq \emptyset:\)
    \[(\forall p \in T)(\exists k)(\forall n)(\forall x \in G) \quad \rho^{\prime}\left(p, f_{n}(x)\right) \leq k.\]
    [Esquema: Fijar\(p \in T\) y\((\forall n)\) establecer
    \[F_{n}=\left\{x \in S |(\forall m) n \geq \rho^{\prime}\left(p, f_{m}(x)\right)\right\}.\]
    Usar la continuidad de\(f_{m}\) y de \(\rho^{\prime}\)para mostrar que\(F_{n}\) está cerrado en\(S,\) y\(S=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}\). Por el teorema 1,\(S\) es no exiguo; así que al menos uno no\(F_{n}\) está en ninguna parte denso-llamarlo\(F\), entonces\((\overline{F})^{0}=F^{0} \neq \emptyset\). Establecer\(G=F^{0}\) y mostrar que\(G\) es como se requiere.]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Dejar\(f_{n}: (S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) ser continuo para\(n=1,2, \ldots\). Mostrar que si\(f_{n} \rightarrow f\) (puntual) en\(S,\) entonces\(f\) es continuo\(S-Q,\) con\(Q\) exiguo en\(S.\)
    [Esquema:\((\forall k, m)\) let
    \[A_{k m}=\bigcup_{m=n}^{\infty}\left\{x \in S | \rho^{\prime}\left(f_{n}(x), f_{m}(x)\right)>\frac{1}{k}\right\}.\]
    Por la continuidad de\(\rho^{\prime}, f_{n}\) y\(f_{m}, A_{k m}\) está abierto en\(S.\) (¿Por qué?) Entonces por Problema 12,\(\bigcup_{m=1}^{\infty}\left(\overline{A_{k m}}-A_{k m}\right)\) es exiguo para\(k=1,2, \ldots\).
    También, como\(f_{n} \rightarrow f\) en\(S, \bigcap_{m=1}^{\infty} A_{k m}=\emptyset.\) (¡Verifica!) Así
    \[(\forall k) \quad \bigcap_{m=1}^{\infty} \overline{A_{k m}} \subseteq \bigcup_{m=1}^{\infty}\left(\overline{A_{k m}}-A_{k m}\right).\]
    (¿Por qué?) De ahí que el conjunto\(Q=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{m=1}^{\infty} \overline{A_{k m}}\) sea exiguo en\(S.\)
    Por otra parte,\(S-Q=\bigcap_{k=1}^{\infty} \cup_{m=1}^{\infty}\left(-A_{k m}\right)^{0}\) por el Problema 16 en el Capítulo 3, §16. Deducir que si\(p \in S-Q,\) entonces
    \[(\forall \varepsilon>0)\left(\exists m_{0}\right)\left(\exists G_{p}\right)\left(\forall n, m \geq m_{0}\right)\left(\forall x \in G_{0}\right) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f_{n}(x)\right)<\varepsilon.\]
    Mantenerse\(m\) fijo, vamos\(n \rightarrow \infty\) a obtener
    \[(\forall \varepsilon>0)\left(\exists m_{0}\right)\left(\exists G_{p}\right)\left(\forall m \geq m_{0}\right)\left(\forall x \in G_{p}\right) \quad \rho^{\prime}\left(f_{m}(x), f(x)\right) \leq \varepsilon.\]
    Ahora modifique la prueba del Teorema 2 del Capítulo 4, §12, para demostrar que esto implica la continuidad de\(f\) en cada uno\(p \in S-Q\).]


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