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6.9.E: Problemas en Maxima y Mínima

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Verificar Nota 1.

Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Completa los detalles faltantes en la prueba de los Teoremas 2 y 3.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verificar los Ejemplos (A) y (B). Suplemento Ejemplo (A) aplicando el Teorema 2.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Prueba$$f$$ para extremos en$$E^{2}$$ si$$f(x, y)$$ es
(i)$$\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}(p>0, q>0)$$;
(ii)$$\frac{x^{2}}{2 p}-\frac{y^{2}}{2 q}(p>0, q>0)$$;
(iii)$$y^{2}+x^{4}$$;
(iv)$$y^{2}+x^{3}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

(i) Encontrar el volumen máximo de un intervalo$$A \subset E^{3}$$ (ver Capítulo 3, §7) cuyas longitudes de borde$$x, y, z$$ tengan una suma prescrita:$$x+y+z=a$$.
(ii) Hacer lo mismo en$$E^{4}$$ y en$$E^{n};$$ espectáculo que$$A$$ es un cubo.
(iii) De ahí deducir que
$\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leq \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} x_{k} \quad\left(x_{k} \geq 0\right),$
es decir, la media geométrica de los números$$n$$ no negativos es$$\leq$$ su media aritmética.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra el valor mínimo para la suma$$f(x, y, z, t)=x+y+z+t$$ de cuatro números positivos con la condición de que$$x y z t=c^{4}$$ (constante).
[Respuesta:$$x=y=z=t=c; f_{\max }=4c$$.]

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Entre todos los triángulos inscritos en un círculo de radio$$R,$$ encontramos el de área máxima.
[Pista: Conecta los vértices con el centro. $$x, y, z$$Dejen ser los ángulos en el centro. Demostrar que el área del triángulo$$=\frac{1}{2} R^{2}(\sin x+\sin y+\sin z),$$ con$$z=2 \pi-(x+y)$$.]

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Entre todos los intervalos$$A \subset E^{3}$$ inscritos en el elipsoide se
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
encuentra el de mayor volumen.
[Respuesta: las longitudes de los bordes son$$\frac{2 a}{\sqrt{3}}, \frac{2 b}{\sqrt{3}}, \frac{2 c}{\sqrt{3}}$$.]

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$P_{i}=\left(a_{i} \cdot b_{i}\right), i=1,2,3,$$ ser 3 puntos en la$$E^{2}$$ formación de un triángulo en el que un ángulo (digamos,$$\,easureangle P_{1})$$ es$$\geq 2 \pi / 3$$.
Encontrar un punto$$P=(x, y)$$ para el que la suma de las distancias,
$P P_{1}+P P_{2}+P P_{3}=\sum_{i=1}^{3} \sqrt{\left(x-a_{i}\right)^{2}+\left(y-b_{i}\right)^{2}},$
sea lo menos posible.
[Esquema: Vamos$$f(x, y)=\sum_{i=1}^{3} \sqrt{\left(x-a_{i}\right)^{2}+\left(y-b_{i}\right)^{2}}$$.
Demostrar que no$$f$$ tiene derivadas parciales en$$P_{1}, P_{2},$$ o$$P_{3}$$ ($$P_{1}, P_{2},$$y así y$$P_{3}$$ son puntos críticos en los que puede ocurrir un extremo), mientras que en otros puntos$$P,$$ los parciales existen pero nunca desaparecen simultáneamente, de manera que no hay otros críticos puntos.
En efecto, probar eso$$D_{1} f(P)=0=D_{2} f(P)$$ implicaría que
$\sum_{i=1}^{3} \cos \theta_{i}=0=\sum_{1}^{3} \sin \theta_{I},$
dónde$$\theta_{i}$$ está el ángulo entre$$\overline{P P_{i}}$$ y el$$x$$ -eje; de ahí
$\sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\sin \left(\theta_{2}-\theta_{3}\right)=\sin \left(\theta_{3}-\theta_{1}\right) \quad\text {(why?),}$
y tan$$\theta_{1}-\theta_{2}=\theta_{2}-\theta_{3}=\theta_{3}-\theta_{1}=2 \pi / 3,$$ contrario a$$\angle P_{1} \geq 2 \pi / 3.$$ (¿Por qué?)
A partir de consideraciones geométricas, concluimos que$$f$$ tiene un mínimo absoluto en$$P_{1}$$.
(Esto demuestra que no se pueden ignorar los puntos en los que no$$f$$ tiene parciales.)]

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Continuando Problema 8, mostrar que si ninguno de$$\angle P_{1}, \angle P_{2},$$ y$$\angle P_{3}$$ es$$\geq$$$$2 \pi / 3,$$ entonces$$f$$ alcanza su menor valor en algunos$$P$$ (dentro del triángulo) tal que$$\angle P_{1} P P_{2}=\angle P_{2} P P_{3}=\angle P_{3} P P_{1}=2 \pi / 3$$.
[Pista: Verifíquelo$$D_{1} f=0=D_{2} f$$ en$$P$$.
Utilizar la ley de los cosenos para demostrar eso$$P_{1} P_{2}>P P_{2}+\frac{1}{2} P P_{1}$$ y$$P_{1} P_{3}>P P_{3}+\frac{1}{2} P P_{1}$$.
Sumando, obtener$$P_{1} P_{3}+P_{1} P_{2}>P P_{1}+P P_{2}+P P_{3},$$ i.e.,$$f\left(P_{1}\right)>f(P).$$ Similarmente,$$f\left(P_{2}\right)>f(P)$$ y$$f\left(P_{3}\right)>f(P).$$
Combinando con el Problema 8, obtener el resultado.]

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

En un círculo de radio$$R$$ inscribe un polígono con$$n+1$$ lados de área máxima.
[Contorno: Dejen$$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}$$ ser los ángulos centrales subtendidos por los lados del polígono. Entonces su área$$A$$ es
$\frac{1}{2} R^{2} \sum_{k=1}^{n+1} \sin x_{k},$
con$$x_{n+1}=2 \pi-\sum_{k=1}^{n} x_{k}.$$ (¿Por qué?) Así todo se reduce a maximizar con
$f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \sin x_{k}+\sin \left(2 \pi-\sum_{k=1}^{r_{k}} x_{k}\right),$
la condición de que$$0 \leq x_{k}$$ y$$\sum_{k=1}^{n} x_{k} \leq 2 \pi.$$ (¿Por qué?)
Estas desigualdades definen un conjunto acotado$$D \subset E^{n}$$ (llamado simplex). Equiparando todos los parciales de$$f$$ para$$0,$$ mostrar que el único punto crítico interior a$$D$$ es$$\vec{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),$$ con$$x_{k}=\frac{2 \pi}{n+1}, k \leq n$$ (lo que implica eso$$x_{n+1}=\frac{2 \pi}{n+1},$$ también). Para eso$$\vec{x},$$ obtenemos
$f(\vec{x})=(n+1) \sin [2 \pi /(n+1)].$
Este valor debe compararse con los valores de “límite” de$$f,$$ en las “caras” del simplex D (ver Nota 4).
Haz esto por inducción. Para el$$n=2,$$ Problema 6 muestra que efectivamente$$f(\vec{x})$$ es el más grande cuando todos$$x_{k}$$ iguales$$\frac{2 \pi}{n+1}.$$ Ahora deja$$D_{n}$$ ser la “cara” de$$D,$$ donde$$x_{n}=0.$$ En esa cara, tratar$$f$$ como una función de solo$$n-1$$ variables,$$x_{1}, \ldots, x_{n-1}$$.
Por la hipótesis inductiva, el mayor valor de$$f$$ on$$D_{n}$$ es$$n \sin (2 \pi / n).$$ Similarmente para las otras “caras”. A medida$$n \sin (2 \pi / n)<(n+1) \sin 2 \pi /(n+1),$$ que la inducción es completa.
Así, el área$$A$$ es la más grande cuando el polígono es regular, para lo cual
$\left.A=\frac{1}{2} R^{2}(n+1) \sin \frac{2 \pi}{n+1}.\right]$

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Entre todos los triángulos de un perímetro prescrito$$2p,$$ encontramos el de área máxima.
[Pista: Maximizar con$$p(p-x)(p-y)(p-z)$$ la condición de que$$x+y+z=2 p$$.]

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Entre todos los triángulos de área$$A,$$ encontramos el de perímetro más pequeño.

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Encuentra la distancia más corta desde un punto dado$$\vec{p} \in E^{n}$$ a un plano determinado$$\vec{u} \cdot \vec{x}=c$$ (Capítulo 3, §§4-6). Respuesta:
$\pm \frac{\vec{u} \cdot \vec{p}-c}{|\vec{u}|}.$
[Pista: Primero hazlo$$(x, y, z)$$ por$$E^{3},$$ escrito para$$\vec{x}$$.]

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