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# 6.10.E: Otros problemas en Maxima y Mínima

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene todos los detalles en los Ejemplos 1 y 2 y las pruebas de todos los teoremas en esta sección.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Rehacer Ejemplo (B) en §9 por el método de Lagrange.
[Pista: Establecer$$F(x, y, z)=f(x, y, z)-r\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$$. Comparar los valores de$$f$$ en todos los puntos críticos.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Un elipsoide
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
es cortado por un plano$$u x+v y+w z=0.$$ Encuentra los semiejes de la sección-elipse, es decir, los extremos de
$\rho^{2}=[f(x, y, z)]^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
debajo de las restricciones$$g=\left(g_{1}, g_{2}\right)=\overrightarrow{0},$$ donde
$g_{1}(x, y, z)=u x+v y+w z \text { and } g_{2}(x, y, z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1.$
Supongamos que$$a>b>c>0$$ y que no todos$$u, v, w=0$$.
[Esquema: Por Nota 2, explore el rango de la matriz
$\left(\begin{array}{ccc}{x / a^{2}} & {y / b^{2}} & {z / c^{2}} \\ {u} & {v} & {z}\end{array}\right).$
(¿Por qué esta matriz en particular?)
Buscando una contradicción, supongamos que todos sus$$2 \times 2$$ determinantes desaparecen en todos los puntos de la sección-elipse. Entonces las entradas superior e inferior en (14) son proporcionales (¿por qué?) ; entonces$$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=0$$ (¡una contradicción!).
A continuación, establezca
$F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+r\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)+2 s(u x+v y+w z).$
$$dF$$ Equipar a$$0:$$
$x+\frac{r x}{a^{2}}+s u=0, \quad y+\frac{r y}{b^{2}}+s v=0, \quad z+\frac{r z}{c^{2}}+s w=0.$
Multiplicar por$$x, y, z,$$ respectivamente, sumando y combinando con$$g=\overrightarrow{0},$$ get$$r=$$$$-\rho^{2};$$ so, por (15), for$$a, b, c \neq \rho$$,
$x=\frac{-s u a^{2}}{a^{2}-\rho^{2}}, \quad y=\frac{-s v b^{2}}{b^{2}-\rho^{2}}, \quad z=\frac{-s w c^{2}}{c^{2}-\rho^{2}}.$
Encuentre$$s, x, y, z,$$ luego compare los$$\rho$$ valores -en puntos críticos.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encuentra los valores menores y mayores de la forma cuadrática con
$f(\vec{x})=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k} \quad\left(a_{i k}=a_{k i}\right)$
la condición de que$$g(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}-1=0\left(f, g : E^{n} \rightarrow E^{1}\right)$$.
[Esquema: Dejar$$F(\vec{x})=f(\vec{x})-t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right).$$ Equiparar$$d F$$ para$$0,$$ obtener
$\begin{array}{l}{\left(a_{11}-t\right) x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=0,} \\ {a_{21} x_{1}+\left(a_{22}-t\right) x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=0,} \\ {\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\ldots+\left(a_{n n}-t\right) x_{n}=0.}\end{array}$
Usando el Teorema 1 (iv) en §6, derivar la llamada ecuación característica de$$f$$,
$\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}-t} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}-t} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {a_{n 1}} & {a_{2 n}} & {\dots} & {a_{n n}-t}\end{array}\right|=0,$
de grado$$n$$ en$$t.$$ Si $$t$$es una de sus$$n$$ raíces (se sabe que es real), entonces las ecuaciones (16) admiten una solución distinta de cero para reemplazando$$\vec{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right);$$$$\vec{x}$$ por$$\vec{x} /|\vec{x}|$$ si es necesario,$$\vec{x}$$ satisface también la ecuación de restricción$$g(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}-1=0.$$ (¡Explique!) Así cada raíz$$t$$ de (17) rinde un punto crítico$$\vec{x}_{t}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right).$$
Ahora, para encontrar$$f\left(\vec{x}_{t}\right),$$ multiplicar la ecuación$$k$$ th en (16) por$$x_{k}, k=1, \ldots, n,$$ y sumar para obtener
$0=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k}-t \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=f\left(\vec{x}_{t}\right)-t.$
Por lo tanto$$f\left(\vec{x}_{t}\right)=t$$.
Así los valores de$$f$$ en los puntos críticos$$\vec{x}_{t}$$ son simplemente las raíces de (17). La raíz más grande (más pequeña) es también el valor más grande (mínimo) de$$f$$ on$$S=\left\{\vec{x} \in E^{n}| | \vec{x} |=1\right\}$$ (¡Explique!)]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Usa el método del Problema 4 para encontrar los semiejes de
(i) la curva cuadrica$$E^{2},$$ centrada en$$\overrightarrow{0},$$ dada por$$\sum_{i, k=1}^{2} a_{i k} x_{i} x_{k}=1;$$ y
(ii) la superficie cuádrica$$\sum_{i, k=1}^{3} a_{i k} x_{i} x_{k}=1$$ en$$E^{3},$$ centrada en (\ overrightarrow {0}\).
Asumir$$a_{i k}=a_{k I}$$.
[Pista: Explora los extremos de con$$f(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}$$ la condición de que
$g(\vec{x})=\sum_{i, k} a_{i k} x_{i} x_{k}-1=0.]$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Usando el método de Lagrange, rehacer los Problemas 4, 5, 6, 7, 11, 12 y 13 de §9.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

En$$E^{2},$$ encontrar la distancia más corta de$$\overrightarrow{0}$$ a la parábola$$y^{2}=2(x+a)$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

En$$E^{3}$$, encuentra la distancia más corta desde$$\overrightarrow{0}$$ la línea de intersección de dos planos dados por las fórmulas$$\vec{u} \cdot \vec{x}=a$$ y$$\vec{v} \cdot \vec{x}=b$$ con$$\vec{u}$$ y$$\vec{v}$$ diferente de$$\overrightarrow{0}.$$ (¡Reescribe todo en forma de coordenadas!)

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

En$$E^{n},$$ encontrar el mayor valor de$$|\vec{a} \cdot \vec{x}|$$ si$$|\vec{x}|=1.$$ Use el método de Lagrange.

## Ejercicio$$\PageIndex{10*}$$

(Teorema de Hadamard.) Si$$A=\operatorname{det}\left(x_{i k}\right)(i, k \leq n),$$ entonces
$|A| \leq \prod_{i=1}^{n}\left|\vec{x}_{i}\right|,$
donde$$\vec{x}_{i}=\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i n}\right)$$.
[Consejos: Establecer$$a_{i}=\left|\vec{x}_{i}\right|.$$ Tratar$$A$$ como una función de$$n^{2}$$ variables. Usando el método de Lagrange, demuestre que, bajo las$$n$$ restricciones$$\left|\vec{x}_{i}\right|^{2}-a_{i}^{2}=0, A$$ no puede tener un extremo a menos que$$A^{2}=\operatorname{det}\left(y_{i k}\right),$$ con$$y_{I k}=0$$ (if$$i \neq k$$) y\ (y_ {ii} =a_ {i} ^ {2}.]

6.10.E: Otros problemas en Maxima y Mínima is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.