6.10.E: Otros problemas en Maxima y Mínima

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene todos los detalles en los Ejemplos 1 y 2 y las pruebas de todos los teoremas en esta sección.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Rehacer Ejemplo (B) en §9 por el método de Lagrange.
[Pista: Establecer\(F(x, y, z)=f(x, y, z)-r\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\). Comparar los valores de\(f\) en todos los puntos críticos.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un elipsoide
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]
es cortado por un plano\(u x+v y+w z=0.\) Encuentra los semiejes de la sección-elipse, es decir, los extremos de
\[\rho^{2}=[f(x, y, z)]^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\]
debajo de las restricciones\(g=\left(g_{1}, g_{2}\right)=\overrightarrow{0},\) donde
\[g_{1}(x, y, z)=u x+v y+w z \text { and } g_{2}(x, y, z)=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1.\]
Supongamos que\(a>b>c>0\) y que no todos\(u, v, w=0\).
[Esquema: Por Nota 2, explore el rango de la matriz
\[\left(\begin{array}{ccc}{x / a^{2}} & {y / b^{2}} & {z / c^{2}} \\ {u} & {v} & {z}\end{array}\right).\]
(¿Por qué esta matriz en particular?)
Buscando una contradicción, supongamos que todos sus\(2 \times 2\) determinantes desaparecen en todos los puntos de la sección-elipse. Entonces las entradas superior e inferior en (14) son proporcionales (¿por qué?) ; entonces\(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=0\) (¡una contradicción!).
A continuación, establezca
\[F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+r\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)+2 s(u x+v y+w z).\]
\(dF\) Equipar a\(0:\)
\[x+\frac{r x}{a^{2}}+s u=0, \quad y+\frac{r y}{b^{2}}+s v=0, \quad z+\frac{r z}{c^{2}}+s w=0.\]
Multiplicar por\(x, y, z,\) respectivamente, sumando y combinando con\(g=\overrightarrow{0},\) get\(r=\)\(-\rho^{2};\) so, por (15), for\(a, b, c \neq \rho\),
\[x=\frac{-s u a^{2}}{a^{2}-\rho^{2}}, \quad y=\frac{-s v b^{2}}{b^{2}-\rho^{2}}, \quad z=\frac{-s w c^{2}}{c^{2}-\rho^{2}}.\]
Encuentre\(s, x, y, z,\) luego compare los\(\rho\) valores -en puntos críticos.]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los valores menores y mayores de la forma cuadrática con
\[f(\vec{x})=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k} \quad\left(a_{i k}=a_{k i}\right)\]
la condición de que\(g(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}-1=0\left(f, g : E^{n} \rightarrow E^{1}\right)\).
[Esquema: Dejar\(F(\vec{x})=f(\vec{x})-t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right).\) Equiparar\(d F\) para\(0,\) obtener
\[\begin{array}{l}{\left(a_{11}-t\right) x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=0,} \\ {a_{21} x_{1}+\left(a_{22}-t\right) x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=0,} \\ {\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\ldots+\left(a_{n n}-t\right) x_{n}=0.}\end{array}\]
Usando el Teorema 1 (iv) en §6, derivar la llamada ecuación característica de\(f\),
\[\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}-t} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}-t} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\dots} & {\dots} & {\dots} & {\dots} \\ {a_{n 1}} & {a_{2 n}} & {\dots} & {a_{n n}-t}\end{array}\right|=0,\]
de grado\(n\) en\(t.\) Si \(t\)es una de sus\(n\) raíces (se sabe que es real), entonces las ecuaciones (16) admiten una solución distinta de cero para reemplazando\(\vec{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right);\)\(\vec{x}\) por\(\vec{x} /|\vec{x}|\) si es necesario,\(\vec{x}\) satisface también la ecuación de restricción\(g(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}-1=0.\) (¡Explique!) Así cada raíz\(t\) de (17) rinde un punto crítico\(\vec{x}_{t}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right).\)
Ahora, para encontrar\(f\left(\vec{x}_{t}\right),\) multiplicar la ecuación\(k\) th en (16) por\(x_{k}, k=1, \ldots, n,\) y sumar para obtener
\[0=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k}-t \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=f\left(\vec{x}_{t}\right)-t.\]
Por lo tanto\(f\left(\vec{x}_{t}\right)=t\).
Así los valores de\(f\) en los puntos críticos\(\vec{x}_{t}\) son simplemente las raíces de (17). La raíz más grande (más pequeña) es también el valor más grande (mínimo) de\(f\) on\(S=\left\{\vec{x} \in E^{n}| | \vec{x} |=1\right\}\) (¡Explique!)]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Usa el método del Problema 4 para encontrar los semiejes de
(i) la curva cuadrica\(E^{2},\) centrada en\(\overrightarrow{0},\) dada por\(\sum_{i, k=1}^{2} a_{i k} x_{i} x_{k}=1;\) y
(ii) la superficie cuádrica\(\sum_{i, k=1}^{3} a_{i k} x_{i} x_{k}=1\) en\(E^{3},\) centrada en (\ overrightarrow {0}\).
Asumir\(a_{i k}=a_{k I}\).
[Pista: Explora los extremos de con\(f(\vec{x})=|\vec{x}|^{2}\) la condición de que
\[g(\vec{x})=\sum_{i, k} a_{i k} x_{i} x_{k}-1=0.]\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usando el método de Lagrange, rehacer los Problemas 4, 5, 6, 7, 11, 12 y 13 de §9.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

En\(E^{2},\) encontrar la distancia más corta de\(\overrightarrow{0}\) a la parábola\(y^{2}=2(x+a)\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

En\(E^{3}\), encuentra la distancia más corta desde\(\overrightarrow{0}\) la línea de intersección de dos planos dados por las fórmulas\(\vec{u} \cdot \vec{x}=a\) y\(\vec{v} \cdot \vec{x}=b\) con\(\vec{u}\) y\(\vec{v}\) diferente de\(\overrightarrow{0}.\) (¡Reescribe todo en forma de coordenadas!)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En\(E^{n},\) encontrar el mayor valor de\(|\vec{a} \cdot \vec{x}|\) si\(|\vec{x}|=1.\) Use el método de Lagrange.

Ejercicio\(\PageIndex{10*}\)

(Teorema de Hadamard.) Si\(A=\operatorname{det}\left(x_{i k}\right)(i, k \leq n),\) entonces
\[|A| \leq \prod_{i=1}^{n}\left|\vec{x}_{i}\right|,\]
donde\(\vec{x}_{i}=\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i n}\right)\).
[Consejos: Establecer\(a_{i}=\left|\vec{x}_{i}\right|.\) Tratar\(A\) como una función de\(n^{2}\) variables. Usando el método de Lagrange, demuestre que, bajo las\(n\) restricciones\(\left|\vec{x}_{i}\right|^{2}-a_{i}^{2}=0, A\) no puede tener un extremo a menos que\(A^{2}=\operatorname{det}\left(y_{i k}\right),\) con\(y_{I k}=0\) (if\(i \neq k\)) y\ (y_ {ii} =a_ {i} ^ {2}.]