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7.1: Más sobre Intervalos en E. Semirings de Sets

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    114030
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    I. Como prólogo, pasamos a intervalos en\(E^{n}\) (Capítulo 3, §7).

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Si\(A\) y\(B\) son intervalos en\(E^{n},\) entonces

    i)\(A \cap B\) es un intervalo (\(\emptyset\)cuenta como intervalo);

    (ii)\(A-B\) es la unión de finitamente muchos intervalos disjuntos (pero no es necesario que sea un intervalo en sí).

    Prueba

    La prueba fácil para\(E^{1}\) se deja al lector.

    Un intervalo de entrada\(E^{2}\) es el producto cruzado de dos intervalos de línea.

    Let

    \[A=X \times Y \text { and } B=X^{\prime} \times Y^{\prime},\]

    donde\(X, Y, X^{\prime},\) y\(Y^{\prime}\) son intervalos en\(E^{1}.\) Entonces (ver Figura 29)

    Screen Shot 2019-06-28 a las 9.43.33 AM.png

    y

    \[A-B=\left[\left(X-X^{\prime}\right) \times Y\right] \cup\left[\left(X \cap X^{\prime}\right) \times\left(Y-Y^{\prime}\right)\right];\]

    ver Problema 8 en el Capítulo 1, §§1-3.

    Como sostiene el teorema\(E^{1}\),

    \[X \cap X^{\prime} \text { and } Y \cap Y^{\prime}\]

    son intervalos en\(E^{1},\) mientras

    \[X-Y^{\prime} \text { and } Y-Y^{\prime}\]

    son uniones finitas de intervalos de líneas disjuntas. (En la Figura 29 son solo intervalos, pero en general no lo son).

    Se deduce fácilmente que\(A \cap B\) es un intervalo en\(E^{2},\) while que\(A-B\) se divide en finitamente muchos de esos intervalos. (¡Verifica!) Así se sostiene el teorema\(E^{2}\).

    Por último, para\(E^{n},\) uso inducción. Un intervalo en\(E^{n}\) es el producto cruzado de un intervalo en\(E^{n-1}\) por un intervalo de línea. Así, si el teorema se sostiene en\(E^{n-1},\) el mismo argumento muestra que se sostiene\(E^{n},\) también. (¡Verifica!)

    Esto completa la prueba inductiva. \(\quad \square\)

    En realidad, el Teorema 1 se aplica a muchas otras familias de conjuntos (no necesariamente intervalos o conjuntos en Ahora\(E^{n}).\) damos un nombre a esas familias.

    Definición 1

    Una familia\(\mathcal{C}\) de conjuntos arbitrarios se llama un iff semiring

    (i)\(\emptyset \in \mathcal{C}\) (\(\emptyset\)es miembro), y

    (ii) para cualquier conjunto\(A\) y\(B\) de\(\mathcal{C},\) nosotros tenemos\(A \cap B \in \mathcal{C},\) while\(A-B\) es la unión de finitamente muchos conjuntos disjuntos de\(\mathcal{C}.\)

    Brevemente:\(\mathcal{C}\) es un semiring iff satisface el Teorema 1.

    Tenga en cuenta que aquí no\(\mathcal{C}\) es solo un conjunto, sino toda una familia de conjuntos. Recordemos (Capítulo §§1-3) que una familia de conjuntos (familia de conjuntos) es un conjunto\(\mathcal{M}\) cuyos miembros son otros conjuntos. Si\(A\) es miembro de\(\mathcal{M},\) llamamos\(A\) un\(\mathcal{M}\) -set y escribimos\(A \in \mathcal{M}\) (no\(A \subseteq \mathcal{M})\).

    A veces usamos notación de índice:

    \[\mathcal{M}=\left\{X_{i} | i \in I\right\},\]

    brevemente

    \[\mathcal{M}=\left\{X_{i}\right\},\]

    donde los\(\mathcal{M}\) conjuntos\(X_{i}\) son se distinguen entre sí por los subíndices que\(i\) varían sobre algún conjunto de índices\(I.\)

    Una familia de conjuntos\(\mathcal{M}=\left\{X_{i}\right\}\) y su unión

    \[\bigcup_{i} X_{i}\]

    se dice que son disjuntas iff

    \[X_{i} \cap X_{j}=\emptyset \text { whenever } i \neq j.\]

    Notación:

    \[\bigcup X_{i} \text{ (disjoint).}\]

    En nuestro caso,\(A \in \mathcal{C}\) significa que\(A\) es un\(\mathcal{C}\) -set (un miembro de la semiring\(\mathcal{C})\).

    La fórmula

    \[(\forall A, B \in \mathcal{C}) \quad A \cap B \in \mathcal{C}\]

    significa que la intersección de dos\(\mathcal{C}\) -conjuntos en un\(\mathcal{C}\) -set sí mismo.

    De ahora en adelante, a menudo hablaremos de semirings\(\mathcal{C}\) en general. En particular, esto se aplicará al caso\(\mathcal{C}=\) {intervalos}. ¡Siempre ten en mente este caso!

    Nota 1. Por Teorema 1, los intervalos en\(E^{n}\) forma de un semiring. Así también haz los intervalos medio abiertos y semicerrados por separado (¡misma prueba!) , pero no los abiertos (o cerrados). (¿Por qué?)

    Precaución. La unión y diferencia de dos\(\mathcal{C}\) conjuntos no necesita ser un\(\mathcal{C}\) -set. Para remediar esto, ahora ampliamos\(\mathcal{C}.\)

    Definición 2

    Decimos que un conjunto\(A\) (de\(\mathcal{C}\) o no) es\(\mathcal{C}\) -simple y escribir

    \[A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\]

    iff\(A\) es una unión finita de\(\mathcal{C}\) -conjuntos disjuntos (como\(A-B\) en el Teorema 1).

    Así\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) es la familia de todos los conjuntos\(\mathcal{C}\) -simples.

    Cada\(\mathcal{C}\) -set es también un\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) -set, es decir, uno\(\mathcal{C}\) -simple. (¿Por qué?) Brevemente:

    \[\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}_{s}^{\prime}.\]

    Si\(\mathcal{C}\) es el conjunto de todos los intervalos, un conjunto\(\mathcal{C}\) -simple puede verse como en la Figura 30.
    Screen Shot 2019-06-28 a las 10.12.44 AM.png

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(\mathcal{C}\) es un semiring, y si\(A\) y\(B\) son\(\mathcal{C}\) -simples, así también son

    \[A \cap B, A-B, \text { and } A \cup B.\]

    En símbolos,

    \[\left(\forall A, B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\right) \quad A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}, A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}, \text { and } A \cup B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}.\]

    Prueba

    Damos un esquema de prueba y sugerimos la prueba como ejercicio. Antes de intentarlo, el lector debe revisar a fondo las leyes y problemas del Capítulo 1, §§1-3.

    (1) Para probar\(A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},\) dejar

    \[A=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i}(\text {disjoint}) \text { and } B=\bigcup_{k=1}^{n} B_{k} \text { (disjoint),}\]

    con\(A_{i}, B_{k} \in \mathcal{C}.\) Verifica que

    \[A \cap B=\bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{i=1}^{m}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint),}\]

    y así\(A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\).

    (2) Siguiente demostrar que\(A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) si\(A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) y\(B \in \mathcal{C}\).

    En efecto, si

    \[A=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i} \text { (disjoint),}\]

    entonces

    \[A-B=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i}-B=\bigcup_{i=1}^{m}\left(A_{i}-B\right) \text { (disjoint).}\]

    Verificar y usar la Definición 2.

    (3) Demostrar que

    \[\left(\forall A, B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\right) \quad A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime};\]

    sugerimos el siguiente argumento.

    Let

    \[B=\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}, \quad B_{k} \in \mathcal{C}.\]

    Entonces

    \[A-B=A-\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}=\bigcap_{k=1}^{n}\left(A-B_{k}\right)\]

    por leyes de dualidad. Pero\(A-B_{k}\) es\(\mathcal{C}\) -simple a paso (2). De ahí que así sea

    \[A-B=\bigcap_{k=1}^{m}\left(A-B_{k}\right)\]

    por paso (1) más inducción.

    (4) Demostrar\(A \cup B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},\) verificar que

    \[A \cup B=A \cup(B-A),\]

    donde\(B-A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},\) por (3).

    Nota 2. Por inducción, el Teorema 2 se extiende a cualquier número finito de\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) -conjuntos. Es una especie de “ley de cierre”.

    Así decimos brevemente que\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) se cierra bajo uniones finitas, intersecciones y diferencias de conjunto. Cualquier familia de conjuntos (no vacía) con estas propiedades se denomina anillo de conjunto (véase también §3).

    Así el Teorema 2 afirma que si\(\mathcal{C}\) es un semiring, entonces\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) es un anillo.

    Precaución. Una unión infinita de conjuntos\(\mathcal{C}\) simples no necesita ser\(\mathcal{C}\) -simple. Sin embargo, podemos considerar tales sindicatos, como lo hacemos a continuación.

    En el Corolario 1 a continuación,\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) podrá ser reemplazado por cualquier anillo de ajuste\(\mathcal{M}\).

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Si\(\left\{A_{n}\right\}\) es una secuencia finita o infinita de conjuntos de un semiring\(\mathcal{C}\) (o de un anillo\(\mathcal{M}\) como\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\)), entonces hay una secuencia disjunta de\(\mathcal{C}\) -conjuntos simples (o\(\mathcal{M}\) -conjuntos)\(B_{n} \subseteq A_{n}\) tal que

    \[\bigcup_{n} A_{n}=\bigcup_{n} B_{n}.\]

    Prueba

    Dejar\(B_{1}=A_{1}\) y para\(n=1,2, \ldots\),

    \[B_{n+1}=A_{n+1}-\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, \quad A_{k} \in \mathcal{C}.\]

    Por Teorema 2, los\(B_{n}\) son\(\mathcal{C}\) -simples (como son\(A_{n+1}\) y\(\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}).\) Demostrar que son disjuntos (asumir lo contrario y encontrar una contradicción) y verificar que\(\bigcup A_{n}=\bigcup B_{n}:\) Si\(x \in \bigcup A_{n},\) tomar lo menos\(n\) por lo que\(x \in A_{n}.\) Entonces\(n>1\) y

    \[x \in A_{n}-\bigcup_{k=1}^{n-1} A_{k}=B_{n},\]

    o\(n=1\) y\(x \in A_{1}=B_{1}. \quad \square\)

    Nota 3. En el Corolario 1,\(B_{n} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},\) es decir,\(B_{n}=\bigcup_{i=1}^{m_{n}} C_{n i}\) para algunos conjuntos disjuntos\(C_{n i} \in \mathcal{C}.\) Así

    \[\bigcup_{n} A_{n}=\bigcup_{n} \bigcup_{i=1}^{m_{n}} C_{n i}\]

    es también una unión disjunta contable de\(\mathcal{C}\) -conjuntos.

    II. Recordemos que el volumen de intervalos es aditivo (Problema 9 en el Capítulo 3, §7). Es decir, si\(A \in \mathcal{C}\) se divide en finitamente muchos subintervalos disjuntos, entonces\(v A\) (el volumen de\(A)\) es igual a la suma de los volúmenes de las partes.

    Vamos a necesitar el siguiente lema.

    lema 1

    Dejar\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m} \in \mathcal{C}\) (intervalos en\(E^{n}).\) Si los\(X_{i}\) son mutuamente disjuntos, entonces

    (i)\(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq Y \in \mathcal{C}\) implica\(\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq v Y;\) y

    (ii)\(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}\left(\text {with } Y_{k} \in \mathcal{C}\right)\) implica\(\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k}\).

    Prueba

    (i) Por Teorema 2, el conjunto

    \[Y-\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\]

    es\(\mathcal{C}\) -simple; entonces

    \[Y-\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}=\bigcup_{j=1}^{q} C_{j}\]

    para algunos intervalos disgregados\(C_{j}.\) Por lo tanto

    \[Y=\bigcup X_{i} \cup \bigcup C_{j} \text { (all disjoint).}\]

    Así, por aditividad,

    \[v Y=\sum_{i=1}^{m} v X_{i}+\sum_{j=1}^{q} v C_{j} \geq \sum_{i=1}^{m} v X_{i},\]

    según lo reclamado.

    (ii) Por teoría de conjuntos (Problema 9 en el Capítulo 1, §§1-3),

    \[X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}\]

    implica

    \[X_{i}=X_{i} \cap \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}=\bigcup_{k=1}^{p}\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).\]

    Si sucede que los\(Y_{k}\) son mutuamente disjuntos también, así que ciertamente son los intervalos más pequeños\(X_{i} \cap Y_{k};\) así por aditividad,

    \[v X_{i}=\sum_{k=1}^{p} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).\]

    De ahí

    \[\sum_{i=1}^{m} v X_{i}=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{p} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)=\sum_{k=1}^{p}\left[\sum_{i=1}^{m} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)\right].\]

    Pero por (i),

    \[\sum_{i=1}^{m} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right) \leq v Y_{k} \text { (why?);}\]

    por lo

    \[\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k},\]

    según sea necesario.

    Si, sin embargo, las no\(Y_{k}\) son disjuntas, el Corolario 1 rinde

    \[\bigcup Y_{k}=\bigcup B_{k} \text { (disjoint)},\]

    con

    \[Y_{k} \supseteq B_{k}=\bigcup_{j=1}^{m_{k}} C_{k j}(\text {disjoint}), \quad C_{k j} \in \mathcal{C}.\]

    Por (i),

    \[\sum_{j=1}^{m_{k}} v C_{k j} \leq v Y_{k}.\]

    Como

    \[\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}=\bigcup_{k=1}^{p} B_{k}=\bigcup_{k=1}^{p} \bigcup_{j=1}^{m_{k}} C_{k j} \text { (disjoint),}\]

    todo se reduce al caso disgregado anterior. \(\quad \square\)

    Corolario\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) (\(\mathcal{C}=\)intervalos adentro\(E^{n}\)). Si

    \[A=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}(\text {disjoint})=\bigcup_{k=1}^{p} Y_{k} \text { (disjoint)}\]

    con\(X_{i}, Y_{k} \in \mathcal{C},\) entonces

    \[\sum_{i=1}^{m} v X_{i}=\sum_{k=1}^{p} v Y_{k}.\]

    (Usar la parte (ii) del lema dos veces.)

    Así podemos (y hacemos) definir sin ambigüedades\(v A\) que sean cualquiera de estas sumas.


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