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# 7.1: Más sobre Intervalos en E. Semirings de Sets

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I. Como prólogo, pasamos a intervalos en$$E^{n}$$ (Capítulo 3, §7).

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$A$$ y$$B$$ son intervalos en$$E^{n},$$ entonces

i)$$A \cap B$$ es un intervalo ($$\emptyset$$cuenta como intervalo);

(ii)$$A-B$$ es la unión de finitamente muchos intervalos disjuntos (pero no es necesario que sea un intervalo en sí).

Prueba

La prueba fácil para$$E^{1}$$ se deja al lector.

Un intervalo de entrada$$E^{2}$$ es el producto cruzado de dos intervalos de línea.

Let

$A=X \times Y \text { and } B=X^{\prime} \times Y^{\prime},$

donde$$X, Y, X^{\prime},$$ y$$Y^{\prime}$$ son intervalos en$$E^{1}.$$ Entonces (ver Figura 29)

y

$A-B=\left[\left(X-X^{\prime}\right) \times Y\right] \cup\left[\left(X \cap X^{\prime}\right) \times\left(Y-Y^{\prime}\right)\right];$

ver Problema 8 en el Capítulo 1, §§1-3.

Como sostiene el teorema$$E^{1}$$,

$X \cap X^{\prime} \text { and } Y \cap Y^{\prime}$

son intervalos en$$E^{1},$$ mientras

$X-Y^{\prime} \text { and } Y-Y^{\prime}$

son uniones finitas de intervalos de líneas disjuntas. (En la Figura 29 son solo intervalos, pero en general no lo son).

Se deduce fácilmente que$$A \cap B$$ es un intervalo en$$E^{2},$$ while que$$A-B$$ se divide en finitamente muchos de esos intervalos. (¡Verifica!) Así se sostiene el teorema$$E^{2}$$.

Por último, para$$E^{n},$$ uso inducción. Un intervalo en$$E^{n}$$ es el producto cruzado de un intervalo en$$E^{n-1}$$ por un intervalo de línea. Así, si el teorema se sostiene en$$E^{n-1},$$ el mismo argumento muestra que se sostiene$$E^{n},$$ también. (¡Verifica!)

Esto completa la prueba inductiva. $$\quad \square$$

En realidad, el Teorema 1 se aplica a muchas otras familias de conjuntos (no necesariamente intervalos o conjuntos en Ahora$$E^{n}).$$ damos un nombre a esas familias.

## Definición 1

Una familia$$\mathcal{C}$$ de conjuntos arbitrarios se llama un iff semiring

(i)$$\emptyset \in \mathcal{C}$$ ($$\emptyset$$es miembro), y

(ii) para cualquier conjunto$$A$$ y$$B$$ de$$\mathcal{C},$$ nosotros tenemos$$A \cap B \in \mathcal{C},$$ while$$A-B$$ es la unión de finitamente muchos conjuntos disjuntos de$$\mathcal{C}.$$

Brevemente:$$\mathcal{C}$$ es un semiring iff satisface el Teorema 1.

Tenga en cuenta que aquí no$$\mathcal{C}$$ es solo un conjunto, sino toda una familia de conjuntos. Recordemos (Capítulo §§1-3) que una familia de conjuntos (familia de conjuntos) es un conjunto$$\mathcal{M}$$ cuyos miembros son otros conjuntos. Si$$A$$ es miembro de$$\mathcal{M},$$ llamamos$$A$$ un$$\mathcal{M}$$ -set y escribimos$$A \in \mathcal{M}$$ (no$$A \subseteq \mathcal{M})$$.

A veces usamos notación de índice:

$\mathcal{M}=\left\{X_{i} | i \in I\right\},$

brevemente

$\mathcal{M}=\left\{X_{i}\right\},$

donde los$$\mathcal{M}$$ conjuntos$$X_{i}$$ son se distinguen entre sí por los subíndices que$$i$$ varían sobre algún conjunto de índices$$I.$$

Una familia de conjuntos$$\mathcal{M}=\left\{X_{i}\right\}$$ y su unión

$\bigcup_{i} X_{i}$

se dice que son disjuntas iff

$X_{i} \cap X_{j}=\emptyset \text { whenever } i \neq j.$

Notación:

$\bigcup X_{i} \text{ (disjoint).}$

En nuestro caso,$$A \in \mathcal{C}$$ significa que$$A$$ es un$$\mathcal{C}$$ -set (un miembro de la semiring$$\mathcal{C})$$.

La fórmula

$(\forall A, B \in \mathcal{C}) \quad A \cap B \in \mathcal{C}$

significa que la intersección de dos$$\mathcal{C}$$ -conjuntos en un$$\mathcal{C}$$ -set sí mismo.

De ahora en adelante, a menudo hablaremos de semirings$$\mathcal{C}$$ en general. En particular, esto se aplicará al caso$$\mathcal{C}=$$ {intervalos}. ¡Siempre ten en mente este caso!

Nota 1. Por Teorema 1, los intervalos en$$E^{n}$$ forma de un semiring. Así también haz los intervalos medio abiertos y semicerrados por separado (¡misma prueba!) , pero no los abiertos (o cerrados). (¿Por qué?)

Precaución. La unión y diferencia de dos$$\mathcal{C}$$ conjuntos no necesita ser un$$\mathcal{C}$$ -set. Para remediar esto, ahora ampliamos$$\mathcal{C}.$$

## Definición 2

Decimos que un conjunto$$A$$ (de$$\mathcal{C}$$ o no) es$$\mathcal{C}$$ -simple y escribir

$A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$

iff$$A$$ es una unión finita de$$\mathcal{C}$$ -conjuntos disjuntos (como$$A-B$$ en el Teorema 1).

Así$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ es la familia de todos los conjuntos$$\mathcal{C}$$ -simples.

Cada$$\mathcal{C}$$ -set es también un$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ -set, es decir, uno$$\mathcal{C}$$ -simple. (¿Por qué?) Brevemente:

$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}_{s}^{\prime}.$

Si$$\mathcal{C}$$ es el conjunto de todos los intervalos, un conjunto$$\mathcal{C}$$ -simple puede verse como en la Figura 30.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$\mathcal{C}$$ es un semiring, y si$$A$$ y$$B$$ son$$\mathcal{C}$$ -simples, así también son

$A \cap B, A-B, \text { and } A \cup B.$

En símbolos,

$\left(\forall A, B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\right) \quad A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}, A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}, \text { and } A \cup B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}.$

Prueba

Damos un esquema de prueba y sugerimos la prueba como ejercicio. Antes de intentarlo, el lector debe revisar a fondo las leyes y problemas del Capítulo 1, §§1-3.

(1) Para probar$$A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},$$ dejar

$A=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i}(\text {disjoint}) \text { and } B=\bigcup_{k=1}^{n} B_{k} \text { (disjoint),}$

con$$A_{i}, B_{k} \in \mathcal{C}.$$ Verifica que

$A \cap B=\bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{i=1}^{m}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint),}$

y así$$A \cap B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$.

(2) Siguiente demostrar que$$A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ si$$A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ y$$B \in \mathcal{C}$$.

En efecto, si

$A=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i} \text { (disjoint),}$

entonces

$A-B=\bigcup_{i=1}^{m} A_{i}-B=\bigcup_{i=1}^{m}\left(A_{i}-B\right) \text { (disjoint).}$

Verificar y usar la Definición 2.

(3) Demostrar que

$\left(\forall A, B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\right) \quad A-B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime};$

sugerimos el siguiente argumento.

Let

$B=\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}, \quad B_{k} \in \mathcal{C}.$

Entonces

$A-B=A-\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}=\bigcap_{k=1}^{n}\left(A-B_{k}\right)$

por leyes de dualidad. Pero$$A-B_{k}$$ es$$\mathcal{C}$$ -simple a paso (2). De ahí que así sea

$A-B=\bigcap_{k=1}^{m}\left(A-B_{k}\right)$

por paso (1) más inducción.

(4) Demostrar$$A \cup B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},$$ verificar que

$A \cup B=A \cup(B-A),$

donde$$B-A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},$$ por (3).

Nota 2. Por inducción, el Teorema 2 se extiende a cualquier número finito de$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ -conjuntos. Es una especie de “ley de cierre”.

Así decimos brevemente que$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ se cierra bajo uniones finitas, intersecciones y diferencias de conjunto. Cualquier familia de conjuntos (no vacía) con estas propiedades se denomina anillo de conjunto (véase también §3).

Así el Teorema 2 afirma que si$$\mathcal{C}$$ es un semiring, entonces$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ es un anillo.

Precaución. Una unión infinita de conjuntos$$\mathcal{C}$$ simples no necesita ser$$\mathcal{C}$$ -simple. Sin embargo, podemos considerar tales sindicatos, como lo hacemos a continuación.

En el Corolario 1 a continuación,$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ podrá ser reemplazado por cualquier anillo de ajuste$$\mathcal{M}$$.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$\left\{A_{n}\right\}$$ es una secuencia finita o infinita de conjuntos de un semiring$$\mathcal{C}$$ (o de un anillo$$\mathcal{M}$$ como$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$), entonces hay una secuencia disjunta de$$\mathcal{C}$$ -conjuntos simples (o$$\mathcal{M}$$ -conjuntos)$$B_{n} \subseteq A_{n}$$ tal que

$\bigcup_{n} A_{n}=\bigcup_{n} B_{n}.$

Prueba

Dejar$$B_{1}=A_{1}$$ y para$$n=1,2, \ldots$$,

$B_{n+1}=A_{n+1}-\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, \quad A_{k} \in \mathcal{C}.$

Por Teorema 2, los$$B_{n}$$ son$$\mathcal{C}$$ -simples (como son$$A_{n+1}$$ y$$\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}).$$ Demostrar que son disjuntos (asumir lo contrario y encontrar una contradicción) y verificar que$$\bigcup A_{n}=\bigcup B_{n}:$$ Si$$x \in \bigcup A_{n},$$ tomar lo menos$$n$$ por lo que$$x \in A_{n}.$$ Entonces$$n>1$$ y

$x \in A_{n}-\bigcup_{k=1}^{n-1} A_{k}=B_{n},$

o$$n=1$$ y$$x \in A_{1}=B_{1}. \quad \square$$

Nota 3. En el Corolario 1,$$B_{n} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime},$$ es decir,$$B_{n}=\bigcup_{i=1}^{m_{n}} C_{n i}$$ para algunos conjuntos disjuntos$$C_{n i} \in \mathcal{C}.$$ Así

$\bigcup_{n} A_{n}=\bigcup_{n} \bigcup_{i=1}^{m_{n}} C_{n i}$

es también una unión disjunta contable de$$\mathcal{C}$$ -conjuntos.

II. Recordemos que el volumen de intervalos es aditivo (Problema 9 en el Capítulo 3, §7). Es decir, si$$A \in \mathcal{C}$$ se divide en finitamente muchos subintervalos disjuntos, entonces$$v A$$ (el volumen de$$A)$$ es igual a la suma de los volúmenes de las partes.

Vamos a necesitar el siguiente lema.

## lema 1

Dejar$$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m} \in \mathcal{C}$$ (intervalos en$$E^{n}).$$ Si los$$X_{i}$$ son mutuamente disjuntos, entonces

(i)$$\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq Y \in \mathcal{C}$$ implica$$\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq v Y;$$ y

(ii)$$\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}\left(\text {with } Y_{k} \in \mathcal{C}\right)$$ implica$$\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k}$$.

Prueba

(i) Por Teorema 2, el conjunto

$Y-\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}$

es$$\mathcal{C}$$ -simple; entonces

$Y-\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}=\bigcup_{j=1}^{q} C_{j}$

para algunos intervalos disgregados$$C_{j}.$$ Por lo tanto

$Y=\bigcup X_{i} \cup \bigcup C_{j} \text { (all disjoint).}$

$v Y=\sum_{i=1}^{m} v X_{i}+\sum_{j=1}^{q} v C_{j} \geq \sum_{i=1}^{m} v X_{i},$

(ii) Por teoría de conjuntos (Problema 9 en el Capítulo 1, §§1-3),

$X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}$

implica

$X_{i}=X_{i} \cap \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}=\bigcup_{k=1}^{p}\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).$

Si sucede que los$$Y_{k}$$ son mutuamente disjuntos también, así que ciertamente son los intervalos más pequeños$$X_{i} \cap Y_{k};$$ así por aditividad,

$v X_{i}=\sum_{k=1}^{p} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).$

De ahí

$\sum_{i=1}^{m} v X_{i}=\sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{p} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)=\sum_{k=1}^{p}\left[\sum_{i=1}^{m} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)\right].$

Pero por (i),

$\sum_{i=1}^{m} v\left(X_{i} \cap Y_{k}\right) \leq v Y_{k} \text { (why?);}$

por lo

$\sum_{i=1}^{m} v X_{i} \leq \sum_{k=1}^{p} v Y_{k},$

según sea necesario.

Si, sin embargo, las no$$Y_{k}$$ son disjuntas, el Corolario 1 rinde

$\bigcup Y_{k}=\bigcup B_{k} \text { (disjoint)},$

con

$Y_{k} \supseteq B_{k}=\bigcup_{j=1}^{m_{k}} C_{k j}(\text {disjoint}), \quad C_{k j} \in \mathcal{C}.$

Por (i),

$\sum_{j=1}^{m_{k}} v C_{k j} \leq v Y_{k}.$

Como

$\bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \subseteq \bigcup_{k=1}^{p} Y_{k}=\bigcup_{k=1}^{p} B_{k}=\bigcup_{k=1}^{p} \bigcup_{j=1}^{m_{k}} C_{k j} \text { (disjoint),}$

todo se reduce al caso disgregado anterior. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$A \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ ($$\mathcal{C}=$$intervalos adentro$$E^{n}$$). Si

$A=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}(\text {disjoint})=\bigcup_{k=1}^{p} Y_{k} \text { (disjoint)}$

con$$X_{i}, Y_{k} \in \mathcal{C},$$ entonces

$\sum_{i=1}^{m} v X_{i}=\sum_{k=1}^{p} v Y_{k}.$

(Usar la parte (ii) del lema dos veces.)

Así podemos (y hacemos) definir sin ambigüedades$$v A$$ que sean cualquiera de estas sumas.

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