7.1.E: Problemas en Intervalos y Semirings
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Completar la prueba del Teorema 1 y la Nota 1.
Demostrar Teorema 2 en detalle.
Rellene los datos en el comprobante de Corolario 1.
Demostrar Corolario 2.
Demostrar que, en la definición de un semiring, la condición\(\emptyset \in \mathcal{C}\) es equivalente a\(\mathcal{C} \neq \emptyset\).
\(\left.\text { [Hint: Consider } \emptyset=A-A=\cup_{i=1}^{m} A_{i}\left(A, A_{i} \in \mathcal{C}\right) \text { to get } \emptyset=A_{i} \in \mathcal{C} .\right]\)
Dado un conjunto\(S,\) muestran que los siguientes son semirings o anillos.
a)\(\mathcal{C}=\{\text { all subsets of } S\}\);
b)\(\mathcal{C}=\{\text { all finite subsets of } S\}\);
c)\(\mathcal{C}=\{\emptyset\}\);
d)\(\mathcal{C}=\{\emptyset \text { and all singletons in } S\}\).
Desmentirlo por\(\mathcal{C}=\{\emptyset \text { and all } t w o-p o i n t \text { sets in } S\}, S=\{1,2,3, \ldots\}\).
En\((a)-(c),\) espectáculo que lo\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}=\mathcal{C} .\) desacredita por\((\mathrm{d})\).
Demuestre que los cubos en\(E^{n}(n>1)\) no forman un semiring.
Usando el Corolario 2 y la definición posterior, muestran que el volumen es aditivo para conjuntos\(\mathcal{C}\) simples. Es decir,
\ [
\ text {if} A=\ bigcup_ {i=1} ^ {m} A_ {i} (\ text {disjoint})\ text {then} v A=\ sum_ {i=1} ^ {m} v A_ {i}\ quad\ left (A, A_ {i}\ in\ mathcal {C} _ _ {s} ^ {\ prime}\ derecha).
\]
Demostrar el lema para\(\mathcal{C}\) -conjuntos simples.
\(\text { [Hint: Use Problem } 6 \text { and argue as before. }]\)
Demostrar que si\(\mathcal{C}\) es un semiring, entonces\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}(\mathcal{C} \text { -simple sets })=\mathcal{C}_{s},\) la familia de todas las uniones finitas de\(\mathcal{C}\) -conjuntos (disjuntas o no).
\(\text { [Hint: Use Theorem } 2 .]\)