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7.1.E: Problemas en Intervalos y Semirings

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completar la prueba del Teorema 1 y la Nota 1.

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Demostrar Teorema 2 en detalle.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Rellene los datos en el comprobante de Corolario 1.

    Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

    Demostrar Corolario 2.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que, en la definición de un semiring, la condición\(\emptyset \in \mathcal{C}\) es equivalente a\(\mathcal{C} \neq \emptyset\).
    \(\left.\text { [Hint: Consider } \emptyset=A-A=\cup_{i=1}^{m} A_{i}\left(A, A_{i} \in \mathcal{C}\right) \text { to get } \emptyset=A_{i} \in \mathcal{C} .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Dado un conjunto\(S,\) muestran que los siguientes son semirings o anillos.
    a)\(\mathcal{C}=\{\text { all subsets of } S\}\);
    b)\(\mathcal{C}=\{\text { all finite subsets of } S\}\);
    c)\(\mathcal{C}=\{\emptyset\}\);
    d)\(\mathcal{C}=\{\emptyset \text { and all singletons in } S\}\).
    Desmentirlo por\(\mathcal{C}=\{\emptyset \text { and all } t w o-p o i n t \text { sets in } S\}, S=\{1,2,3, \ldots\}\).
    En\((a)-(c),\) espectáculo que lo\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}=\mathcal{C} .\) desacredita por\((\mathrm{d})\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demuestre que los cubos en\(E^{n}(n>1)\) no forman un semiring.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Usando el Corolario 2 y la definición posterior, muestran que el volumen es aditivo para conjuntos\(\mathcal{C}\) simples. Es decir,
    \ [
    \ text {if} A=\ bigcup_ {i=1} ^ {m} A_ {i} (\ text {disjoint})\ text {then} v A=\ sum_ {i=1} ^ {m} v A_ {i}\ quad\ left (A, A_ {i}\ in\ mathcal {C} _ _ {s} ^ {\ prime}\ derecha).
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar el lema para\(\mathcal{C}\) -conjuntos simples.
    \(\text { [Hint: Use Problem } 6 \text { and argue as before. }]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que si\(\mathcal{C}\) es un semiring, entonces\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}(\mathcal{C} \text { -simple sets })=\mathcal{C}_{s},\) la familia de todas las uniones finitas de\(\mathcal{C}\) -conjuntos (disjuntas o no).
    \(\text { [Hint: Use Theorem } 2 .]\)


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