7.3: Más información sobre las familias de conjuntos
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Lebesgue extendió su teoría mucho más allá de\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -sets. Para una visión más profunda, consideraremos las familias de conjuntos con más detalle, comenzando con los anillos engastados. Primero, reformulamos y complementamos nuestra definición anterior de esa noción, dada en §1.
Una familia\(\mathcal{M}\) de subconjuntos de un conjunto\(S\) es un anillo o anillo de conjunto (en\(S)\) iff
(i)\(\emptyset \in \mathcal{M},\) es decir, el conjunto vacío es un miembro; y
(ii)\(\mathcal{M}\) se cierra bajo uniones finitas y diferencias:
\[(\forall X, Y \in \mathcal{M}) \quad X \cup Y \in \mathcal{M} \text { and } X-Y \in \mathcal{M}.\]
(Para intersecciones, ver Teorema 1 a continuación.)
Si también\(\mathcal{M}\) se cierra bajo sindicatos contables, lo llamamos un\(\sigma\) anillo (en\(S).\) Entonces
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} \in \mathcal{M}\]
siempre que
\[X_{i} \in \mathcal{M} \text { for } i=1,2, \ldots.\]
Si\(S\) en sí mismo es miembro de un anillo (\(\sigma\)-ring)\(\mathcal{M},\) llamamos a\(\mathcal{M}\) un campo conjunto (\(\sigma\)-field), o un álgebra de conjunto (\(\sigma\)-álgebra), in\(S\).
Tenga en cuenta que sólo\(S\) es miembro de\(\mathcal{M}, S \in \mathcal{M},\) no confundirse consigo\(\mathcal{M}\) mismo.
La familia de todos los subconjuntos de\(S\) (el llamado conjunto de potencias de\(S\)) se denota por\(2^{S}\) o\(\mathcal{P}(S).\)
(a) En cualquier conjunto\(S, 2^{S}\) se encuentra un\(\sigma\) -campo. (¿Por qué?)
b) La familia\(\{\emptyset\},\) que consiste en\(\emptyset\) sola, es un\(\sigma\) anillo;\(\{\emptyset, S\}\) es un\(\sigma\) -campo en\(S.\) (¿Por qué?)
(c) La familia de todos los subconjuntos finitos (contables) de\(S\) es un anillo (\(\sigma\)-anillo) en\(S\).
(d) Para cualquier semiring\(\mathcal{C}, \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) es un anillo (Teorema 2 en §1). No así para\(\mathcal{C}_{\sigma}\) (Problema 5 en §2).
Cualquier anillo de ajuste se cierra bajo intersecciones finitas.
Un\(\sigma\) anillo se cierra bajo intersecciones contables.
- Prueba
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Let\(\mathcal{M}\) be a\(\sigma\) -ring (la prueba para anillos es similar).
Dada una secuencia\(\left\{A_{n}\right\} \subseteq \mathcal{M},\) debemos demostrarla\(\bigcap_{n} A_{n} \in \mathcal{M}\).
Let
\[U=\bigcup_{n} A_{n}.\]
Por Definición 1,
\[U \in \mathcal{M} \text { and } U-A_{n} \in \mathcal{M},\]
como\(\mathcal{M}\) se cierra bajo estas operaciones. De ahí
\[\bigcup_{n}\left(U-A_{n}\right) \in \mathcal{M}\]
y
\[U-\bigcup_{n}\left(U-A_{n}\right) \in \mathcal{M},\]
o, por dualidad,
\[\bigcap_{n}\left[U-\left(U-A_{n}\right)\right] \in \mathcal{M},\]
es decir,
\[\bigcap_{n} A_{n} \in \mathcal{M}. \quad \square\]
Cualquier anillo de ajuste (field,\(\sigma\) -ring,\(\sigma\) -field) también es un semiring.
En efecto, por el Teorema 1 y la Definición 1, si\(\mathcal{M}\) es un anillo, entonces\(\emptyset \in \mathcal{M}\) y
\[(\forall A, B \in \mathcal{M}) \quad A \cap B \in \mathcal{M} \text { and } A-B \in \mathcal{M}.\]
Aquí podemos tratar\(A-B\) como\((A-B) \cup \emptyset,\) una unión de dos\(\mathcal{M}\) conjuntos disjuntos. Así\(\mathcal{M}\) tiene todas las propiedades de un semiring.
De manera similar para\(\sigma\) -anillos, campos, etc.
En §1 vimos que cualquier semiring\(\mathcal{C}\) puede ser agrandado para convertirse en anillo,\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}.\) Más generalmente, obtenemos el siguiente resultado.
Para cualquier familia de conjuntos\(\mathcal{M}\) en un espacio\(S\left(\mathcal{M} \subseteq 2^{S}\right),\) hay un anillo de juego único “más pequeño”\(\mathcal{R}\) tal que
\[\mathcal{R} \supseteq \mathcal{M}\]
(“más pequeño” en el sentido de que
\[\mathcal{R} \subseteq \mathcal{R}^{\prime}\]
para cualquier otro anillo\(\mathcal{R}^{\prime}\) con\(\mathcal{R}^{\prime} \supseteq \mathcal{M}\)).
El\(\mathcal{R}\) del teorema 2 se llama el anillo generado por\(\mathcal{M}.\) Similarmente para\(\sigma\) -anillos, campos, y\(\sigma\) -campos en\(S\).
- Prueba
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Damos la prueba para\(\sigma\) -campos; es similar en los demás casos.
Seguramente hay\(\sigma\) -campos en los\(S\) que contienen\(\mathcal{M};\) e.g., tomar\(2^{S}.\) Let\(\left\{\mathcal{R}_{i}\right\}\) be la familia de todos los posibles\(\sigma\) -campos en\(S\) tal que\(\mathcal{R}_{i} \supseteq \mathcal{M}.\) Let
\[\mathcal{R}=\bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}.\]
Demostraremos que este\(\mathcal{R}\) es el\(\sigma\) campo “más pequeño” requerido que contiene\(\mathcal{M}\).
De hecho, por suposición,
\[\mathcal{M} \subseteq \bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}=\mathcal{R}.\]
Ahora verificamos las propiedades\(\sigma\) -field para\(\mathcal{R}\).
(1) Tenemos eso
\[(\forall i) \quad \emptyset \in \mathcal{R}_{i} \text { and } S \in \mathcal{R}_{i}\]
(for\(\mathcal{R}_{i}\) es un\(\sigma\) -campo, por supuesto). De ahí
\[\emptyset \in \bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}=\mathcal{R}.\]
Del mismo modo,\(S \in \mathcal{R}.\) Así
\[\emptyset, S \in \mathcal{R}.\]
(2) Supongamos
\[X, Y \in \mathcal{R}=\bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}.\]
Entonces\(X, Y\) están en cada\(\mathcal{R}_{i},\) y así es\(X-Y.\) Por lo tanto\(X-Y\) está en
\[\bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}=\mathcal{R}.\]
Así\(\mathcal{R}\) se cierra bajo diferencias.
(3) Tomar cualquier secuencia
\[\left\{A_{n}\right\} \subseteq \mathcal{R}=\bigcap_{i} \mathcal{R}_{i}.\]
Entonces todos\(A_{n}\) están en cada uno\(\mathcal{R}_{i}. \bigcup_{n} A_{n}\) está en cada uno\(\mathcal{R}_{i};\) así
\[\bigcup_{n} A_{n} \in \mathcal{R}.\]
Así\(\mathcal{R}\) se cierra bajo uniones contables.
Vemos que de hecho\(\mathcal{R}\) es un\(\sigma\) -campo en\(S,\) con\(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{R}.\) Como\(\mathcal{R}\) es la intersección de todos\(\mathcal{R}_{i}\) (es decir, todos\(\sigma\) -campos\(\supseteq \mathcal{M}\)), tenemos
\[(\forall i) \quad \mathcal{R} \subseteq \mathcal{R}_{i};\]
así\(\mathcal{R}\) es el más pequeño de tales\(\sigma\) -campos.
Es único; porque si\(\mathcal{R}^{\prime}\) es otro de esos\(\sigma\) -campos, entonces
\[\mathcal{R} \subseteq \mathcal{R}^{\prime} \subseteq \mathcal{R}\]
(ya que ambos\(\mathcal{R}\) y\(\mathcal{R}^{\prime}\) son “más pequeños”); entonces
\[\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}. \quad \square\]
Nota 1. Esta prueba también muestra que la intersección de cualquier familia\(\left\{\mathcal{R}_{i}\right\}\) de\(\sigma\) -campos es un\(\sigma\) -campo. De manera similar para\(\sigma\) -anillos, campos y anillos.
El anillo\(\mathcal{R}\) generado por un semiring\(\mathcal{C}\) coincide con
\[\mathcal{C}_{s}=\{\text {all finite unions of } \mathcal{C}-\text {sets}\}\]
y con
\[\mathcal{C}_{s}^{\prime}=\{\text {disjoint finite unions of } \mathcal{C}-\text {sets}\}.\]
- Prueba
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Por Teorema 2 en §1,\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) es un anillo\(\supseteq \mathcal{C}\); y
\[\mathcal{C}_{s}^{\prime} \subseteq \mathcal{C}_{s} \subseteq \mathcal{R}\]
(porque\(\mathcal{R}\) se cierra bajo uniones finitas, siendo un anillo\(\supseteq \mathcal{C}\)).
Además, como\(\mathcal{R}\) es el anillo más pequeño\(\supseteq \mathcal{C},\) que tenemos
\[\mathcal{R} \subseteq \mathcal{C}_{s}^{\prime} \subseteq \mathcal{C}_{s} \subseteq \mathcal{R}.\]
De ahí
\[\mathcal{R}=\mathcal{C}_{s}^{\prime}=\mathcal{C}_{s},\]
según lo reclamado. \(\quad \square\)
Es mucho más difícil caracterizar el\(\sigma\) anillo generado por un semiring. La siguiente caracterización resulta útil en teoría y como ejercicio.
El\(\sigma\) -anillo\(\mathcal{R}\) generado por un semiring\(\mathcal{C}\) coincide con la familia de conjuntos más pequeños de\(\mathcal{D}\) tal manera que
i)\(\mathcal{D} \supseteq \mathcal{C}\);
ii)\(\mathcal{D}\) esté cerrado bajo uniones disjuntas contables;
iii)\(J-X \in \mathcal{D}\) cuando\(X \in \mathcal{D}, J \in \mathcal{C},\) y\(X \subseteq J\).
- Prueba
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Damos un esquema de prueba, dejando los detalles al lector.
(1) La existencia de un tal más pequeño\(\mathcal{D}\) sigue como en el Teorema 2. ¡Verifica!
(2) Escribiendo brevemente\(A B\) para\(A \cap B\) y\(A^{\prime}\) para\(-A,\) probar que
\[(A-B) C=A-\left(A C^{\prime} \cup B C\right).\]
(3) Para cada\(I \in \mathcal{D},\) juego
\[\mathcal{D}_{I}=\{A \in \mathcal{D} | A I \in \mathcal{D}, A-I \in \mathcal{D}\}.\]
Entonces probar que si\(I \in \mathcal{C},\) la familia conjunto\(\mathcal{D}_{I}\) tiene las propiedades (i) - (iii) especificadas en el teorema. (Utilice la identidad de conjunto (2) para la propiedad (iii).)
De ahí que por la minimalidad de\(\mathcal{D}, \mathcal{D} \subseteq \mathcal{D}_{I}.\) Por lo tanto,
\[(\forall A \in \mathcal{D})(\forall I \in \mathcal{C}) \quad A I \in \mathcal{D} \text { and } A-I \in \mathcal{D}.\]
(4) Utilizando esto, demostrar que\(\mathcal{D}_{I}\) satisface (i) - (iii) para cualquier\(I \in \mathcal{D}\).
Deducir
\[\mathcal{D} \subseteq \mathcal{D}_{I};\]
así\(\mathcal{D}\) se cierra bajo intersecciones finitas y diferencias.
Combinando con la propiedad (ii), muestra que\(\mathcal{D}\) es un\(\sigma\) anillo (ver Problema 12 a continuación).
Por su minimalidad,\(\mathcal{D}\) es el\(\sigma\) anillo más pequeño\(\supseteq \mathcal{C}\) (para cualquier otro\(\sigma\) anillo de este tipo satisface claramente (i) - (iii)).
Así\(\mathcal{D}=\mathcal{R},\) como se afirma. \(\quad \square\)
Dada una familia de conjuntos\(\mathcal{M},\) definimos (siguiendo a Hausdorff)
a)\(\mathcal{M}_{\sigma}=\{\) todas las uniones contables\(\mathcal{M}\) de conjuntos\(\}\) (cf.\(\mathcal{C}_{\sigma}\) §2);
(b)\(\mathcal{M}_{\delta}=\{\) todas las intersecciones contables de\(\mathcal{M}\) -conjuntos\(\}\).
Usamos\(\mathcal{M}_{s}\) y\(\mathcal{M}_{d}\) para nociones similares, con “contable” reemplazado por “finito”.
Claramente,
\[\mathcal{M}_{\sigma} \supseteq \mathcal{M}_{s} \supseteq \mathcal{M}\]
y
\[\mathcal{M}_{\delta} \supseteq \mathcal{M}_{d} \supseteq \mathcal{M}.\]
¿Por qué?
Nota 2. Observe que\(\mathcal{M}\) se cierra bajo uniones finitas (contables) iff
\[\mathcal{M}=\mathcal{M}_{s}\left(\mathcal{M}=\mathcal{M}_{\sigma}\right).\]
¡Verifica! Interpretar de\(\mathcal{M}=\mathcal{M}_{d}\left(\mathcal{M}=\mathcal{M}_{\sigma}\right)\) manera similar.
En conclusión, generalizamos el Teorema 1 en §1.
El producto
\[\mathcal{M} \dot{ \times} \mathcal{N}\]
de dos familias de conjuntos\(\mathcal{M}\) y\(\mathcal{N}\) es la familia de todos los conjuntos de la forma
\[A \times B,\]
con\(A \in \mathcal{M}\) y\(B \in \mathcal{N}\).
(El punto en\(\dot{ \times}\) es hacer hincapié en que no\(\mathcal{M} \dot{ \times} \mathcal{N}\) es realmente un producto cartesiano.)
Si\(\mathcal{M}\) y\(\mathcal{N}\) son semirings, así es\(\mathcal{M} \dot{ \times} \mathcal{N}\).
La prueba corre a lo largo de las mismas líneas que la del Teorema 1 en §1, a través de las identidades establecidas
\[(X \times Y) \cap\left(X^{\prime} \times Y^{\prime}\right)=\left(X \cap X^{\prime}\right) \times\left(Y \cap Y^{\prime}\right)\]
y
\[(X \times Y)-\left(X^{\prime} \times Y^{\prime}\right)=\left[\left(X-X^{\prime}\right) \times Y\right] \cup\left[\left(X \cap X^{\prime}\right) \times\left(Y-Y^{\prime}\right)\right].\]
- Prueba
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Los detalles se dejan al lector.
Nota 3. Como cada anillo es un semiring (Corolario 1), el producto de dos anillos (campos,\(\sigma\) -anillos,\(\sigma\) -campos) es un semiring. No obstante, véase el Problema 6 a continuación.