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# 7.4.E: Problemas en las funciones establecidas

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar Teorema 2 en detalle para semirings.
[Pista: Sabemos que
$X_{n}-X_{n-1}=\bigcup_{i=1}^{m_{n}} Y_{ni} \text { (disjoint)}$
para algunos$$Y_{ni} \in \mathcal{C},$$ así
$\overline{s}\left(X_{n}-X_{n-1}\right)=\sum_{i=1}^{m_{n}} s Y_{ni},$
con$$\overline{s}$$ como en el Teorema 1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$s$$ ser aditivo en$$\mathcal{M},$$ un anillo. Demostrar que$$s$$ es también$$\sigma$$ -aditivo proporcionado$$s$$ es
(ii) finito en$$\mathcal{M}$$ y derecha-continuo en$$\emptyset;$$ es decir,
$\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=0$
cuando$$X_{n} \searrow \emptyset$$$$\left(X_{n} \in \mathcal{M}\right)$$.
[Pista: Deje que
$A=\bigcup_{n} A_{n} \text { (disjoint)}, \quad A, A_{n} \in \mathcal{M}.$
Set
$X_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, Y_{n}=A-X_{n}.$
Verifique eso$$X_{n}, Y_{n} \in \mathcal{M}, X_{n} \nearrow A, Y_{n} \searrow \emptyset$$.
En el caso (i),
$s A=\lim s X_{n}=\sum_{k=1}^{\infty} s A_{k}.$
(¿Por qué?)
Para (ii), utilice el$$Y_{n}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$\mathcal{M}=\left\{\text {all intervals in the rational field } R \subset E^{1}\right\}.$
Let
$s X=b-a$
Si$$a, b$$ son los puntos finales de$$X \in \mathcal{M}$$$$(a, b \in R, a \leq b).$$ Probaremos que
(i)$$\mathcal{M}$$ es un semiring;
(ii)$$s$$ es continuo;
(iii)$$s$$ es aditivo pero no $$\sigma$$-aditivo; así el Problema 2 falla para semirings.
[Pista:$$R$$ es contable. Así cada uno$$X \in \mathcal{M}$$ es una unión contable de singletones de$$\{x\}=[x, x];$$ ahí$$s X=0$$ si$$s$$ fueran$$\sigma$$ -aditivos.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3'}$$

Vamos$$N=$$ {naturales}. Dejar
$\mathcal{M}=\{\text {all finite subsets of } N \text { and their complements in } N\}.$
Si$$X \in \mathcal{M},$$ dejar$$s X=0$$ si$$X$$ es finito, y de$$s X=\infty$$ lo contrario. Mostrar que
(i)$$\mathcal{M}$$ es un campo establecido;
(ii)$$s$$ es correcto continuo y aditivo, pero no$$\sigma$$ -aditivo.
Así, el Problema 2 (ii) falla si no$$s$$ es finito.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar
$\mathcal{C}=\left\{\text {finite and infinite intervals in } E^{1}\right\}.$
Si$$a, b$$ son los puntos finales de un$$X$$$$\left(a, b \in E^{*}, a<b\right),$$ conjunto de intervalos
$s X=\left\{\begin{array}{ll}{b-a,} & {a<b,} \\ {0,} & {a=b.}\end{array}\right.$
Mostrar que$$s$$ es$$\sigma$$ -aditivo en$$\mathcal{C},$$ un semiring.
Déjalo
$X_{n}=(n, \infty);$
$$s X_{n}=\infty-n=\infty$$ y$$X_{n} \searrow \emptyset.$$ (¡Verifica!) Sin embargo,
$\lim s X_{n}=\infty \neq s \emptyset.$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Rellene los datos de prueba faltantes en Teorema 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$s$$ ser aditivo en$$\mathcal{M}.$$ Demostrar lo siguiente.
(i) Si$$\mathcal{M}$$ es un anillo o semiring, así es
$\mathcal{N}=\{X \in \mathcal{M}| | s X |<\infty\}$
si$$\mathcal{N} \neq \emptyset$$.
(ii) Si$$\mathcal{M}$$ es generado por una familia de conjuntos$$\mathcal{C},$$ con$$|s|<\infty$$ on$$\mathcal{C},$$ entonces$$|s|<\infty$$ on$$\mathcal{M}.$$
[Pista: Use Problema 16 en §3.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow$$(Lebesgue-Stieltjes establece funciones.) Dejar$$\alpha$$ y$$s_{\alpha}$$ ser como en el Ejemplo (d). Demostrar lo siguiente.
(i)$$s_{\alpha} \geq 0$$ sobre$$\mathcal{C}$$ iff$$\alpha \uparrow$$ on$$E^{1}$$ (ver Teorema 2 en el Capítulo 4, §5).
(ii)$$s_{\alpha}\{p\}=s_{\alpha}[p, p]=0$$ iff$$\alpha$$ es continuo en$$p$$.
(iii)$$s_{\alpha}$$ es aditivo.
[Pista: Si
$A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \text { (disjoint),}$
los intervalos$$A_{i-1}, A_{i}$$ deben ser adyacentes. Para dos de esos intervalos, considere todos los casos como
$(a, b] \cup(b, c),[a, b) \cup[b, c], \text { etc.}$
Luego use la inducción encendido$$n$$.]
(iv) Si$$\alpha$$ es correcto continuo en$$a$$ y$$b,$$ luego
$s_{\alpha}(a, b]=\alpha(b)-\alpha(b).$
Si$$\alpha$$ es continuo en$$a$$ y$$b,$$ luego
$s_{\alpha}[a, b]=s_{\alpha}(a, b]=s_{\alpha}[a, b)=s_{\alpha}(a, b).$
(v) Si está$$\alpha \uparrow$$ encendido$$E^{1}$$, entonces$$s_{\alpha}$$ satisface Lema 1 y Corolario 2 en §1 (misma prueba), así como Lema 1, Teorema 1, Corolarios 1-4, y Nota 3 en §2 (todo excepto Corolarios 5 y 6).
[Pista: Utilice (i) y (iii). Para Lema 1 en §2, tomar primero un medio abierto$$B=(a, b];$$ usar la definición de un límite del lado derecho junto con los Teoremas 1 y 2 en el Capítulo 4, §5, para probar
$(\forall \varepsilon>0)(\exists c>b) \quad 0 \leq \alpha(c-)-\alpha(b+)<\varepsilon;$
luego establecer$$C=(a, c).$$ De manera similar para$$B=[a, b),$$ etc. y para el intervalo cerrado$$A \subseteq B$$.]
(vi) Si$$\alpha(x)=x$$ entonces$$s_{\alpha}=v,$$ el volumen (o longitud) funciona en$$E^{1}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Construir funciones de conjunto LS (Ejemplo (d)), con$$\alpha \uparrow$$ (ver Problema 7 (v)), de modo que
(i)$$s_{\alpha}[0,1] \neq s_{\alpha}[1,2]$$;
(ii)$$s_{\alpha} E^{1}=1$$ (después de extender$$s_{\alpha}$$ a$$\mathcal{C}_{\sigma}-sets in \(E^{1}$$);
(ii')$$s_{\alpha} E^{1}=c$$ para un fijo$$c \in(0, \infty)$$;
(iii)$$s_{\alpha}\{0\}=1$$ y$$s_{\alpha}[0,1]>s_{\alpha}(0,1]$$.
Describir$$s_{\alpha}$$ si$$\alpha(x)=[x]$$ (la parte integral de$$x$$).
[Pista: Véase la Figura 16 en el Capítulo 4, §1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Para un arbitrario$$\alpha : E^{1} \rightarrow E^{1},$$ definir$$\sigma_{\alpha} : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}$$ por
$\sigma_{\alpha}[a, b]=\sigma_{\alpha}(a, b]=\sigma_{\sigma}[a, b)=\sigma_{\alpha}(a, b)=\alpha(b)-\alpha(a)$
(el método Stieltjes original). Demostrar que$$\sigma_{\alpha}$$ es aditivo pero no$$\sigma$$ -aditivo a menos que$$\alpha$$ sea continuo (para el Teorema 2 falla).

7.4.E: Problemas en las funciones establecidas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.