7.4.E: Problemas en las funciones establecidas

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Teorema 2 en detalle para semirings.
[Pista: Sabemos que
\[X_{n}-X_{n-1}=\bigcup_{i=1}^{m_{n}} Y_{ni} \text { (disjoint)}\]
para algunos\(Y_{ni} \in \mathcal{C},\) así
\[\overline{s}\left(X_{n}-X_{n-1}\right)=\sum_{i=1}^{m_{n}} s Y_{ni},\]
con\(\overline{s}\) como en el Teorema 1.]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(s\) ser aditivo en\(\mathcal{M},\) un anillo. Demostrar que\(s\) es también\(\sigma\) -aditivo proporcionado\(s\) es
(i) dejado continuo, o
(ii) finito en\(\mathcal{M}\) y derecha-continuo en\(\emptyset;\) es decir,
\[\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=0\]
cuando\(X_{n} \searrow \emptyset\)\(\left(X_{n} \in \mathcal{M}\right)\).
[Pista: Deje que
\[A=\bigcup_{n} A_{n} \text { (disjoint)}, \quad A, A_{n} \in \mathcal{M}.\]
Set
\[X_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, Y_{n}=A-X_{n}.\]
Verifique eso\(X_{n}, Y_{n} \in \mathcal{M}, X_{n} \nearrow A, Y_{n} \searrow \emptyset\).
En el caso (i),
\[s A=\lim s X_{n}=\sum_{k=1}^{\infty} s A_{k}.\]
(¿Por qué?)
Para (ii), utilice el\(Y_{n}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\[\mathcal{M}=\left\{\text {all intervals in the rational field } R \subset E^{1}\right\}.\]
Let
\[s X=b-a\]
Si\(a, b\) son los puntos finales de\(X \in \mathcal{M}\)\((a, b \in R, a \leq b).\) Probaremos que
(i)\(\mathcal{M}\) es un semiring;
(ii)\(s\) es continuo;
(iii)\(s\) es aditivo pero no \(\sigma\)-aditivo; así el Problema 2 falla para semirings.
[Pista:\(R\) es contable. Así cada uno\(X \in \mathcal{M}\) es una unión contable de singletones de\(\{x\}=[x, x];\) ahí\(s X=0\) si\(s\) fueran\(\sigma\) -aditivos.]

Ejercicio\(\PageIndex{3'}\)

Vamos\(N=\) {naturales}. Dejar
\[\mathcal{M}=\{\text {all finite subsets of } N \text { and their complements in } N\}.\]
Si\(X \in \mathcal{M},\) dejar\(s X=0\) si\(X\) es finito, y de\(s X=\infty\) lo contrario. Mostrar que
(i)\(\mathcal{M}\) es un campo establecido;
(ii)\(s\) es correcto continuo y aditivo, pero no\(\sigma\) -aditivo.
Así, el Problema 2 (ii) falla si no\(s\) es finito.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar
\[\mathcal{C}=\left\{\text {finite and infinite intervals in } E^{1}\right\}.\]
Si\(a, b\) son los puntos finales de un\(X\)\(\left(a, b \in E^{*}, a<b\right),\) conjunto de intervalos
\[s X=\left\{\begin{array}{ll}{b-a,} & {a<b,} \\ {0,} & {a=b.}\end{array}\right.\]
Mostrar que\(s\) es\(\sigma\) -aditivo en\(\mathcal{C},\) un semiring.
Déjalo
\[X_{n}=(n, \infty);\]
\(s X_{n}=\infty-n=\infty\) y\(X_{n} \searrow \emptyset.\) (¡Verifica!) Sin embargo,
\[\lim s X_{n}=\infty \neq s \emptyset.\]
¿esto contradice el Teorema 2?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Rellene los datos de prueba faltantes en Teorema 1.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(s\) ser aditivo en\(\mathcal{M}.\) Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(\mathcal{M}\) es un anillo o semiring, así es
\[\mathcal{N}=\{X \in \mathcal{M}| | s X |<\infty\}\]
si\(\mathcal{N} \neq \emptyset\).
(ii) Si\(\mathcal{M}\) es generado por una familia de conjuntos\(\mathcal{C},\) con\(|s|<\infty\) on\(\mathcal{C},\) entonces\(|s|<\infty\) on\(\mathcal{M}.\)
[Pista: Use Problema 16 en §3.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\Rightarrow\)(Lebesgue-Stieltjes establece funciones.) Dejar\(\alpha\) y\(s_{\alpha}\) ser como en el Ejemplo (d). Demostrar lo siguiente.
(i)\(s_{\alpha} \geq 0\) sobre\(\mathcal{C}\) iff\(\alpha \uparrow\) on\(E^{1}\) (ver Teorema 2 en el Capítulo 4, §5).
(ii)\(s_{\alpha}\{p\}=s_{\alpha}[p, p]=0\) iff\(\alpha\) es continuo en\(p\).
(iii)\(s_{\alpha}\) es aditivo.
[Pista: Si
\[A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \text { (disjoint),}\]
los intervalos\(A_{i-1}, A_{i}\) deben ser adyacentes. Para dos de esos intervalos, considere todos los casos como
\[(a, b] \cup(b, c),[a, b) \cup[b, c], \text { etc.}\]
Luego use la inducción encendido\(n\).]
(iv) Si\(\alpha\) es correcto continuo en\(a\) y\(b,\) luego
\[s_{\alpha}(a, b]=\alpha(b)-\alpha(b).\]
Si\(\alpha\) es continuo en\(a\) y\(b,\) luego
\[s_{\alpha}[a, b]=s_{\alpha}(a, b]=s_{\alpha}[a, b)=s_{\alpha}(a, b).\]
(v) Si está\(\alpha \uparrow\) encendido\(E^{1}\), entonces\(s_{\alpha}\) satisface Lema 1 y Corolario 2 en §1 (misma prueba), así como Lema 1, Teorema 1, Corolarios 1-4, y Nota 3 en §2 (todo excepto Corolarios 5 y 6).
[Pista: Utilice (i) y (iii). Para Lema 1 en §2, tomar primero un medio abierto\(B=(a, b];\) usar la definición de un límite del lado derecho junto con los Teoremas 1 y 2 en el Capítulo 4, §5, para probar
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists c>b) \quad 0 \leq \alpha(c-)-\alpha(b+)<\varepsilon;\]
luego establecer\(C=(a, c).\) De manera similar para\(B=[a, b),\) etc. y para el intervalo cerrado\(A \subseteq B\).]
(vi) Si\(\alpha(x)=x\) entonces\(s_{\alpha}=v,\) el volumen (o longitud) funciona en\(E^{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Construir funciones de conjunto LS (Ejemplo (d)), con\(\alpha \uparrow\) (ver Problema 7 (v)), de modo que
(i)\(s_{\alpha}[0,1] \neq s_{\alpha}[1,2]\);
(ii)\(s_{\alpha} E^{1}=1\) (después de extender\(s_{\alpha}\) a\(\mathcal{C}_{\sigma}-sets in \(E^{1}\));
(ii')\(s_{\alpha} E^{1}=c\) para un fijo\(c \in(0, \infty)\);
(iii)\(s_{\alpha}\{0\}=1\) y\(s_{\alpha}[0,1]>s_{\alpha}(0,1]\).
Describir\(s_{\alpha}\) si\(\alpha(x)=[x]\) (la parte integral de\(x\)).
[Pista: Véase la Figura 16 en el Capítulo 4, §1.]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Para un arbitrario\(\alpha : E^{1} \rightarrow E^{1},\) definir\(\sigma_{\alpha} : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\) por
\[\sigma_{\alpha}[a, b]=\sigma_{\alpha}(a, b]=\sigma_{\sigma}[a, b)=\sigma_{\alpha}(a, b)=\alpha(b)-\alpha(a)\]
(el método Stieltjes original). Demostrar que\(\sigma_{\alpha}\) es aditivo pero no\(\sigma\) -aditivo a menos que\(\alpha\) sea continuo (para el Teorema 2 falla).