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7.4.E: Problemas en las funciones establecidas

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar Teorema 2 en detalle para semirings.
    [Pista: Sabemos que
    \[X_{n}-X_{n-1}=\bigcup_{i=1}^{m_{n}} Y_{ni} \text { (disjoint)}\]
    para algunos\(Y_{ni} \in \mathcal{C},\) así
    \[\overline{s}\left(X_{n}-X_{n-1}\right)=\sum_{i=1}^{m_{n}} s Y_{ni},\]
    con\(\overline{s}\) como en el Teorema 1.]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(s\) ser aditivo en\(\mathcal{M},\) un anillo. Demostrar que\(s\) es también\(\sigma\) -aditivo proporcionado\(s\) es
    (i) dejado continuo, o
    (ii) finito en\(\mathcal{M}\) y derecha-continuo en\(\emptyset;\) es decir,
    \[\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=0\]
    cuando\(X_{n} \searrow \emptyset\)\(\left(X_{n} \in \mathcal{M}\right)\).
    [Pista: Deje que
    \[A=\bigcup_{n} A_{n} \text { (disjoint)}, \quad A, A_{n} \in \mathcal{M}.\]
    Set
    \[X_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, Y_{n}=A-X_{n}.\]
    Verifique eso\(X_{n}, Y_{n} \in \mathcal{M}, X_{n} \nearrow A, Y_{n} \searrow \emptyset\).
    En el caso (i),
    \[s A=\lim s X_{n}=\sum_{k=1}^{\infty} s A_{k}.\]
    (¿Por qué?)
    Para (ii), utilice el\(Y_{n}\).]

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)


    \[\mathcal{M}=\left\{\text {all intervals in the rational field } R \subset E^{1}\right\}.\]
    Let
    \[s X=b-a\]
    Si\(a, b\) son los puntos finales de\(X \in \mathcal{M}\)\((a, b \in R, a \leq b).\) Probaremos que
    (i)\(\mathcal{M}\) es un semiring;
    (ii)\(s\) es continuo;
    (iii)\(s\) es aditivo pero no \(\sigma\)-aditivo; así el Problema 2 falla para semirings.
    [Pista:\(R\) es contable. Así cada uno\(X \in \mathcal{M}\) es una unión contable de singletones de\(\{x\}=[x, x];\) ahí\(s X=0\) si\(s\) fueran\(\sigma\) -aditivos.]

    Ejercicio\(\PageIndex{3'}\)

    Vamos\(N=\) {naturales}. Dejar
    \[\mathcal{M}=\{\text {all finite subsets of } N \text { and their complements in } N\}.\]
    Si\(X \in \mathcal{M},\) dejar\(s X=0\) si\(X\) es finito, y de\(s X=\infty\) lo contrario. Mostrar que
    (i)\(\mathcal{M}\) es un campo establecido;
    (ii)\(s\) es correcto continuo y aditivo, pero no\(\sigma\) -aditivo.
    Así, el Problema 2 (ii) falla si no\(s\) es finito.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Dejar
    \[\mathcal{C}=\left\{\text {finite and infinite intervals in } E^{1}\right\}.\]
    Si\(a, b\) son los puntos finales de un\(X\)\(\left(a, b \in E^{*}, a<b\right),\) conjunto de intervalos
    \[s X=\left\{\begin{array}{ll}{b-a,} & {a<b,} \\ {0,} & {a=b.}\end{array}\right.\]
    Mostrar que\(s\) es\(\sigma\) -aditivo en\(\mathcal{C},\) un semiring.
    Déjalo
    \[X_{n}=(n, \infty);\]
    \(s X_{n}=\infty-n=\infty\) y\(X_{n} \searrow \emptyset.\) (¡Verifica!) Sin embargo,
    \[\lim s X_{n}=\infty \neq s \emptyset.\]
    ¿esto contradice el Teorema 2?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Rellene los datos de prueba faltantes en Teorema 1.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dejar\(s\) ser aditivo en\(\mathcal{M}.\) Demostrar lo siguiente.
    (i) Si\(\mathcal{M}\) es un anillo o semiring, así es
    \[\mathcal{N}=\{X \in \mathcal{M}| | s X |<\infty\}\]
    si\(\mathcal{N} \neq \emptyset\).
    (ii) Si\(\mathcal{M}\) es generado por una familia de conjuntos\(\mathcal{C},\) con\(|s|<\infty\) on\(\mathcal{C},\) entonces\(|s|<\infty\) on\(\mathcal{M}.\)
    [Pista: Use Problema 16 en §3.]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(\Rightarrow\)(Lebesgue-Stieltjes establece funciones.) Dejar\(\alpha\) y\(s_{\alpha}\) ser como en el Ejemplo (d). Demostrar lo siguiente.
    (i)\(s_{\alpha} \geq 0\) sobre\(\mathcal{C}\) iff\(\alpha \uparrow\) on\(E^{1}\) (ver Teorema 2 en el Capítulo 4, §5).
    (ii)\(s_{\alpha}\{p\}=s_{\alpha}[p, p]=0\) iff\(\alpha\) es continuo en\(p\).
    (iii)\(s_{\alpha}\) es aditivo.
    [Pista: Si
    \[A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \text { (disjoint),}\]
    los intervalos\(A_{i-1}, A_{i}\) deben ser adyacentes. Para dos de esos intervalos, considere todos los casos como
    \[(a, b] \cup(b, c),[a, b) \cup[b, c], \text { etc.}\]
    Luego use la inducción encendido\(n\).]
    (iv) Si\(\alpha\) es correcto continuo en\(a\) y\(b,\) luego
    \[s_{\alpha}(a, b]=\alpha(b)-\alpha(b).\]
    Si\(\alpha\) es continuo en\(a\) y\(b,\) luego
    \[s_{\alpha}[a, b]=s_{\alpha}(a, b]=s_{\alpha}[a, b)=s_{\alpha}(a, b).\]
    (v) Si está\(\alpha \uparrow\) encendido\(E^{1}\), entonces\(s_{\alpha}\) satisface Lema 1 y Corolario 2 en §1 (misma prueba), así como Lema 1, Teorema 1, Corolarios 1-4, y Nota 3 en §2 (todo excepto Corolarios 5 y 6).
    [Pista: Utilice (i) y (iii). Para Lema 1 en §2, tomar primero un medio abierto\(B=(a, b];\) usar la definición de un límite del lado derecho junto con los Teoremas 1 y 2 en el Capítulo 4, §5, para probar
    \[(\forall \varepsilon>0)(\exists c>b) \quad 0 \leq \alpha(c-)-\alpha(b+)<\varepsilon;\]
    luego establecer\(C=(a, c).\) De manera similar para\(B=[a, b),\) etc. y para el intervalo cerrado\(A \subseteq B\).]
    (vi) Si\(\alpha(x)=x\) entonces\(s_{\alpha}=v,\) el volumen (o longitud) funciona en\(E^{1}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Construir funciones de conjunto LS (Ejemplo (d)), con\(\alpha \uparrow\) (ver Problema 7 (v)), de modo que
    (i)\(s_{\alpha}[0,1] \neq s_{\alpha}[1,2]\);
    (ii)\(s_{\alpha} E^{1}=1\) (después de extender\(s_{\alpha}\) a\(\mathcal{C}_{\sigma}-sets in \(E^{1}\));
    (ii')\(s_{\alpha} E^{1}=c\) para un fijo\(c \in(0, \infty)\);
    (iii)\(s_{\alpha}\{0\}=1\) y\(s_{\alpha}[0,1]>s_{\alpha}(0,1]\).
    Describir\(s_{\alpha}\) si\(\alpha(x)=[x]\) (la parte integral de\(x\)).
    [Pista: Véase la Figura 16 en el Capítulo 4, §1.]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Para un arbitrario\(\alpha : E^{1} \rightarrow E^{1},\) definir\(\sigma_{\alpha} : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\) por
    \[\sigma_{\alpha}[a, b]=\sigma_{\alpha}(a, b]=\sigma_{\sigma}[a, b)=\sigma_{\alpha}(a, b)=\alpha(b)-\alpha(a)\]
    (el método Stieltjes original). Demostrar que\(\sigma_{\alpha}\) es aditivo pero no\(\sigma\) -aditivo a menos que\(\alpha\) sea continuo (para el Teorema 2 falla).


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