7.5: Funciones de conjunto no negativas. Premedidas. Medidas Exteriores
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Ahora nos concentramos en funciones de conjunto no negativas
\[m : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty]\]
(en su mayoría los denotamos por\(m\) o\(\mu\)). Tales funciones tienen la ventaja de que
\[\sum_{n=1}^{\infty} m X_{n}\]
existe y es permutable (Teorema 2 en §2) para cualquier conjunto\(X_{n} \in \mathcal{M},\) ya que\(m X_{n} \geq\)\(0.\) Varias nociones importantes se aplican a tales funciones (solamente). Ellos “imitan” §§1 y 2.
Una función de conjunto
\[m : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty]\]
se dice que es
(i) monótona (on\(\mathcal{M}\)) iff
\[m X \leq m Y\]
siempre que
\[X \subseteq Y \text { and } X, Y \in \mathcal{M};\]
(ii) (finitamente) subaditivo (on\(\mathcal{M}\)) iff para cualquier unión finita
\[\bigcup_{k=1}^{n} Y_{k},\]
tenemos
\[m X \leq \sum_{k=1}^{m} m Y_{k}\]
cuando\(X, Y_{k} \in \mathcal{M}\) y
\[X \subseteq \bigcup_{k=1}^{n} Y_{k} \text { (disjoint or not);}\]
(iii)\(\sigma\) -subaditivo (on\(\mathcal{M}\)) iff (1) sostiene también para uniones contables.
Recordemos que\(\left\{Y_{k}\right\}\) se llama una cobertura de\(X\) iff
\[X \subseteq \bigcup_{k} Y_{k}.\]
Lo llamamos una\(\mathcal{M}\) -cobertura de\(X\) si todos\(Y_{k}\) son\(\mathcal{M}\) -conjuntos. Ahora obtenemos el siguiente corolario.
La subaditividad implica monotonicidad.
Tomar\(n=1\) en la fórmula (1).
Si\(m : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty]\) es aditivo (\(\sigma\)-aditivo) en\(\mathcal{C}\), un semiring, entonces también\(m\) es subaditivo (\(\sigma\)-subaditivo, respectivamente), de ahí monótona, on\(\mathcal{C}\).
- Prueba
-
La prueba es una mera repetición del argumento utilizado en el Lema 1 en §1.
Tomando\(n=1\) en la fórmula (ii) allí, obtenemos subaditividad finita.
Para\(\sigma\) -subaditividad, uno solo tiene que usar uniones contables en lugar de finitas.
Nota 1. Lo contrario falla: la subaditividad no implica aditividad.
Nota 2. Por supuesto, el Corolario 2 se aplica también a los anillos (ver Corolario 1 en §3).
Una premedidas es una función de conjunto
\[\mu : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty]\]
tal que
\[\emptyset \in \mathcal{C} \text { and } \mu \emptyset=0.\]
(\(\mathcal{C}\)puede, pero no es necesario, ser un semiring.)
Un espacio de premedida es un triple
\[(S, \mathcal{C}, \mu),\]
donde\(\mathcal{C}\) es una familia de subconjuntos de\(S\) (brevemente,\(\mathcal{C} \subseteq 2^{S})\) y
\[\mu : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty]\]
es una premedida. En este caso,\(\mathcal{C}\) -sets también se denominan conjuntos básicos.
Si
\[A \subseteq \bigcup_{n} B_{n},\]
con\(B_{n} \in \mathcal{C},\) la secuencia\(\left\{B_{n}\right\}\) se llama una cobertura básica de\(A,\) y
\[\sum_{n} \mu B_{n}\]
es un valor básico de cobertura de\(A;\left\{B_{n}\right\}\) puede ser finito o infinito.
(a) La función de volumen\(v\) on\(\mathcal{C}\) (= intervalos en\(E^{n}\)) es una premedida, como\(v \geq 0\) y\(v \emptyset=0.\) (\(E^{n}, \mathcal{C}, v\)) es el espacio de premedida de Lebesgue.
(b) La función LS set\(s_{\alpha}\) es una premedida si\(\alpha \uparrow\) (ver Problema 7 en §4). Lo llamamos la\((L S)\) premedida\(\alpha\) -inducida de Lebesgue-Stieltjes en\(E^{1}\).
Ahora desarrollamos un método para construir premedidas\(\sigma\) -subaditivas. (Este es un primer paso hacia el logro de\(\sigma\) -aditividad; ver §4.)
Para cualquier espacio de premedida\((S, \mathcal{C}, \mu),\) definimos la medida externa\(\mu\) inducida\(m^{*}\) en\(2^{S}\) (= todos los subconjuntos de\(S\)) estableciendo, para cada uno\(A \subseteq S\),
\[m^{*} A=\inf \left\{\sum_{n} \mu B_{n} | A \subseteq \bigcup_{n} B_{n}, B_{n} \in \mathcal{C}\right\},\]
es decir,\(m^{*} A\) (llamado la medida externa de\(A\)) es el glb de todos los valores básicos de cobertura de\(A.\)
Si\(\mu=v, m^{*}\) se llama la medida externa de Lebesgue en\(E^{n}\).
Nota 3. Si no\(A\) tiene coberturas básicas, establecemos\(m^{*} A=\infty.\) Más en general, hacemos la convención que inf\(\emptyset=+\infty\).
Nota 4. Por las propiedades del glb, tenemos
\[(\forall A \subseteq S) \quad 0 \leq m^{*} A.\]
Si\(A \in \mathcal{C},\) entonces\(\{A\}\) es una cobertura básica; entonces
\[m^{*} A \leq \mu A.\]
En particular,\(m^{*} \emptyset=\mu \emptyset=0\).
La función set\(m^{*}\) así definida es\(\sigma\) -subaditiva en\(2^{S}\).
- Prueba
-
Dado
\[A \subseteq \bigcup_{n} A_{n} \subset S,\]
debemos demostrar que
\[m^{*} A \leq \sum_{n} m^{*} A_{n}.\]
Esto es trivial si\(m^{*} A_{n}=\infty\) para algunos\(n.\) Así asumamos
\[(\forall n) \quad m^{*} A_{n}<\infty\]
y arreglar\(\varepsilon>0\).
Por Nota 3, cada uno\(A_{n}\) tiene una cobertura básica
\[\left\{B_{n k}\right\}, \quad k=1,2, \ldots\]
(de lo contrario,\(m^{*} A_{n}=\infty.\)) Por propiedades del glb, podemos elegir el\(B_{n k}\) para que
\[(\forall n) \quad \sum_{k} \mu B_{n k}<m^{*} A_{n}+\frac{\varepsilon}{2^{n}}.\]
(Explique desde (2)). Los conjuntos\(B_{n k}\) (para todos\(n\) y para todos\(k )\) forman una cobertura básica contable de todos, por\(A_{n},\) tanto, de\(A.\) Así por Definición 3,
\[m^{*} A \leq \sum_{n}\left(\sum_{k} \mu B_{n k}\right) \leq \sum_{n}\left(m^{*} A_{n}+\frac{\varepsilon}{2^{n}}\right) \leq \sum^{n} m^{*} A_{n}+\varepsilon.\]
Como\(\varepsilon\) es arbitrario, podemos dejar\(\varepsilon \rightarrow 0\) que se obtenga el resultado deseado. \(\quad \square\)
Nota 5. En vista del Teorema 1, ahora generalizamos la noción de una medida externa\(S\) para significar cualquier premedida\(\sigma\) -subaditiva definida en todos\(2^{S}\).
Por Nota 4,\(m^{*} \leq \mu\) en\(\mathcal{C},\) no\(m^{*}=\mu\) en general. Sin embargo, obtenemos el siguiente resultado.
Con\(m^{*}\) como en la Definición 3, tenemos\(m^{*}=\mu\) en\(\mathcal{C}\) iff\(\mu\) es\(\sigma\) -subaditivo en\(\mathcal{C}.\) Por lo tanto, en este caso,\(m^{*}\) es una extensión de\(\mu.\)
- Prueba
-
Supongamos que\(\mu\) es\(\sigma\) -subaditivo y fijar cualquier\(A \in \mathcal{C}.\) Por Nota 4,
\[m^{*} A \leq \mu A.\]
Demostraremos que
\[\mu A \leq m^{*} A,\]
también, y por lo tanto\(\mu A=m^{*} A\).
Ahora, como\(A \in \mathcal{C}, A\) seguramente tiene coberturas básicas, e.g.,\(\{A\}.\) Tome cualquier cobertura básica:
\[A \subseteq \bigcup_{n} B_{n}, \quad B_{n} \in \mathcal{C}.\]
Como\(\mu\) es\(\sigma\) -subaditivo,
\[\mu A \leq \sum_{n} \mu B_{n}.\]
Por lo tanto, no\(\mu A\) excede ningún valor básico de cobertura de\(A;\) por lo que no puede exceder su glb,\(\mu=m^{*},\) De\(m^{*} A.\) ahí en efecto.
Por el contrario, si\(\mu=m^{*}\) en\(\mathcal{C},\) entonces la\(\sigma\) -subaditividad de\(m^{*}\) (Teorema 1) implica la de\(\mu\) (on\(\mathcal{C}\)). Así todo está probado. \(\quad \square\)
Nota 6. Si, en (2), solo permitimos recubrimientos básicos finitos, entonces la función de conjunto\(\mu\) -inducida se llama el contenido externo\(\mu\) -inducido,\(c^{*}.\) Es sólo finitamente subaditiva, en general.
En particular, si\(\mu=v\) (premedida de Lebesgue), hablamos del contenido exterior de Jordania en\(E^{n}.\) (Es reemplazada por la teoría de Lebesgue pero aún ocurre en cursos sobre integración de Riemann).
Agregamos dos definiciones más relacionadas con la noción de coberturas.
Una función set\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\left(\mathcal{M} \subseteq 2^{S}\right)\) se llama\(\sigma\) -finito iff cada\(X \in \mathcal{M}\) puede ser cubierta por una secuencia de\(\mathcal{M}\) -sets\(X_{n},\) con
\[\left|s X_{n}\right|<\infty \quad(\forall n).\]
Cualquier conjunto\(A \subseteq S\) que pueda ser así cubierto se dice que es\(\sigma\) -finito con respecto a\(s\) (brevemente, (\(s\))\(\sigma\) -finito).
Si todo el espacio\(S\) puede estar así cubierto, decimos que\(s\) es totalmente\(\sigma\) -finito.
Por ejemplo, la premedida de Lebesgue\(v\) on\(E^{n}\) es totalmente\(\sigma\) -finita.
Se dice que una función de conjunto\(s : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) es regular con respecto a una familia de conjuntos\(\mathcal{A}\) (brevemente,\(\mathcal{A}\) -regular) iff para cada uno\(A \in \mathcal{M}\),
\[s A=\inf \{s X | A \subseteq X, X \in \mathcal{A}\};\]
es decir,\(s A\) es el glb de todos\(s X,\) con\(A \subseteq X\) y\(X \in \mathcal{A}\).
Estas nociones son importantes para nuestro trabajo posterior. En la actualidad, demostramos solo un teorema que involucra las Definiciones 3 y 5.
Para cualquier espacio de premedida,\((S, \mathcal{C}, \mu),\) la medida externa\(\mu\) inducida\(m^{*}\) es\(\mathcal{A}\) -regular siempre que
\[\mathcal{C}_{\sigma} \subseteq \mathcal{A} \subseteq 2^{S}.\]
Así, en este caso,
\[(\forall A \subseteq S) \quad m^{*} A=\inf \left\{m^{*} X | A \subseteq X, X \in \mathcal{A}\right\}.\]
- Prueba
-
Como\(m^{*}\) es monótono, seguramente\(m^{*} A\) es un límite inferior de
\[\left\{m^{*} X | A \subseteq X, X \in \mathcal{A}\right\}.\]
Debemos demostrar que no hay límite inferior mayor.
Esto es trivial si\(m^{*} A=\infty\).
Así\(m^{*} A<\infty;\) que así lo\(A\) tiene coberturas básicas (Nota 3). Ahora arregla cualquiera\(\varepsilon>0\).
Por la fórmula (2), existe una cobertura básica\(\left\{B_{n}\right\} \subseteq \mathcal{C}\) tal que
\[A \subseteq \bigcup_{n} B_{n}\]
y
\[m^{*} A+\varepsilon>\sum_{n} \mu B_{n} \geq \sum_{n} m^{*} B_{n} \geq m^{*} \bigcup_{n} B_{n}.\]
(\(m^{*}\)es\(\sigma\) -subaditivo!)
Let
\[X=\bigcup_{n} B_{n}.\]
Entonces\(X\) está en de\(\mathcal{C}_{\sigma},\) ahí en\(\mathcal{A},\) y\(A \subseteq X.\) también,
\[m^{*} A+\varepsilon>m^{*} X.\]
Por lo tanto, no\(m^{*} A+\varepsilon\) es un límite inferior de
\[\left\{m^{*} X | A \subseteq X, X \in \mathcal{A}\right\}.\]
Esto prueba (4). \(\quad \square\)