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# 7.6.E: Problemas en las Medidas y Medidas Exteriores

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Mostrar que las fórmulas (1) y (2) son equivalentes.
[Consejos: (i) Supongamos (1) y dejar$$X \subseteq A, Y \subseteq-A .$$
Como$$X$$ en (1) es arbitrario, podemos reemplazarlo por$$X \cup Y.$$ Simplificar, obtener (2) al señalar que$$X \cap A=X, X \cap-A=\emptyset, Y \cap A=\emptyset,$$ y$$Y \cap-A=Y$$.
ii) Asumir (2). Tome cualquiera$$X$$ y sustituya$$X \cap A$$ y$$X-A$$ para$$X$$ y$$Y$$ en (2).]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dado un espacio de medida exterior$$\left(S, \mathcal{M}^{*}, m^{*}\right)$$ y$$A \subseteq S,$$ conjunto
$A \cap \mathcal{M}^{*}=\left\{A \cap X | X \in \mathcal{M}^{*}\right\}$ (¡SÍMBOLO!)
(todos los conjuntos del formulario$$A \cap X$$ con$$X \in \mathcal{M}^{*}$$).
Demostrar que$$A \cap \mathcal{M}^{*}$$ es un$$\sigma$$ -campo en$$A,$$ y$$m^{*}$$ es$$\sigma$$ -aditivo en él. (¡SÍMBOLO!)
[Pista: Use Lemma 4, con$$X_{k}=A \cap A_{k} \in A \cap \mathcal{M}^{*}$$.] (¡SÍMBOLO!)

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Prueba Lemmas 1 y 2, usando la fórmula (1).

## Ejercicio$$\PageIndex{3'}$$

Demostrar Corolario 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Verificar los Ejemplos (b), (c) y (d). ¿Por qué también es$$m$$ una medida exterior?
[Pista: Usar el Corolario 2 en §5.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Rellene todos los datos (inducción, etc.) en las pruebas de esta sección.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Verificar que$$m^{*}$$ sea una medida externa y describa$$\mathcal{M}^{*}$$ bajo cada una de las siguientes condiciones.
(a)$$m^{*} A=1$$ si$$\emptyset \subset A \subseteq S; m^{*} \emptyset=0$$.
b)$$m^{*} A=1$$ si$$\emptyset \subset A \subset S; m^{*} S=2; m^{*} \emptyset=0$$.
c)$$m^{*} A=0$$ si$$A \subseteq S$$ es contable; de$$m^{*} A=1$$ lo contrario ($$S$$es incontable).
d)$$S=N$$ (naturales);$$m^{*} A=1$$ si$$A$$ es infinito;$$m^{*} A=\frac{n}{n+1}$$ si$$A$$ tiene$$n$$ elementos.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar lo siguiente.
(i) Una medida externa$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular (Definición 5 en §5) iff
$(\forall A \subseteq S)\left(\exists B \in \mathcal{M}^{*}\right) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m B.$
$$B$$ se denomina cobertura medible de$$A$$.
[Pista: Si
$m^{*} A=\inf \left\{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M}^{*}\right\},$
luego se
$(\forall n)\left(\exists X_{n} \in \mathcal{M}^{*}\right) \quad A \subseteq X_{n} \text { and } m X_{n} \leq m^{*} A+\frac{1}{n}.$
establece$$B=\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$$.]
(ii) Si$$m^{*}$$ es como en la Definición 3 de §5, con$$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{M}^{*},$$ entonces$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Mostrar que si$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular (Problema 7), se deja continuo.
[Consejos:$$\left\{A_{n}\right\} \uparrow;$$ Deja que$$B_{n}$$ sea una portada medible de$$A_{n};$$ conjunto
$C_{n}=\bigcap_{k=n}^{\infty} B_{k}.$
Verifica eso$$\left\{C_{n}\right\} \uparrow, B_{n} \supseteq C_{n} \supseteq A_{n},$$ y$$m C_{n}=m^{*} A_{n}$$.
Por la continuidad izquierda de$$m$$ (Teorema 2 en §4),
$\lim m^{*} A_{n}=\lim m C_{n}=m \bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n} \geq m^{*} \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}.$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Continuando Problemas 6-8, verificar lo siguiente.
(i) En 6 (a), con$$S=N, m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular, pero no correcto continuo.
Pista: Tomar$$A_{n}=\{x \in N | x \geq n\}$$.
(ii) En 6 (b), con no$$S=N, m^{*}$$ es ni$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular ni se deja continuo.
(iii) En 6 (d), no$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular; sin embargo, se deja continuo. (Por lo tanto, el problema 8 no es una condición necesaria.)

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

En Problema 2, deje$$n^{*}$$ ser la restricción de$$m^{*}$$$$2^{A}.$$ Probarse lo siguiente.
(a)$$n^{*}$$ es una medida externa en$$A$$.
b)$$A \cap \mathcal{M}^{*} \subseteq \mathcal{N}^{*}=\left\{n^{*} \text {-measurable sets}\right\}$$. (¡SÍMBOLO!)
(c)$$A \cap \mathcal{M}^{*}=\mathcal{N}^{*}$$ si$$A \in \mathcal{M}^{*},$$ o si$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular (ver Problema 7) y finito. (¡SÍMBOLO!)
(d)$$n^{*}$$ es$$\mathcal{N}^{*}$$ -regular si$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Mostrar que si$$m^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular y finito, entonces$$A \subseteq S$$ es$$m^{*}$$ -medible iff
$m S=m^{*} A+m^{*}(-A).$
[Pista: Supongamos lo último. Por Problema 7,
$(\forall X \subseteq S)\left(\exists B \in \mathcal{M}^{*}, B \supseteq X\right) \quad m^{*} X=m B;$
así
$m^{*} A=m^{*}(A \cap B)+m^{*}(A-B).$
Similarmente para$$-A.$$ Deducir que de
$m^{*}(A \cap B)+m^{*}(A-B)+m^{*}(B-A)+m^{*}(-A-B)=m S=m B+m(-B);$
ahí que
$m^{*} X=m B \geq m^{*}(B \cap A)+m^{*}(B-A) \geq m^{*}(X \cap A)+m^{*}(X-A),$
así$$A \in \mathcal{M}^{*}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Usando el Problema 15 en §5, demuestre que si$$m^{*}$$ tiene el CP entonces cada conjunto abierto$$G \subseteq S$$ está adentro$$\mathcal{M}^{*}$$.
[Esquema: Mostrar que
$(\forall X \subseteq G)(\forall Y \subseteq-G) \quad m^{*}(X \cup Y) \geq m^{*} X+m^{*} Y,$
asumiendo$$m^{*} X<\infty.$$ (¿Por qué?) Establecer
$D_{0}=\{x \in X | \rho(x,-G) \geq 1\}$
y
$D_{k}=\left\{x \in X | \frac{1}{k+1} \leq \rho(x,-G)<\frac{1}{k}\right\}, \quad k \geq 1.$
Probarlo
$X=\bigcup_{k=0}^{\infty} D_{k}$
y
$\rho\left(D_{k}, D_{k+2}\right)>0;$
así por el Problema 15 en §5,
$\sum_{n=0}^{\infty} m^{*} D_{2 n}=m^{*} \bigcup_{n=0}^{\infty} D_{2 n} \leq m^{*} \bigcup_{n=0}^{\infty} D_{n}=m^{*} X<\infty.$
Similarmente,
$\sum_{n=0}^{\infty} m^{*} D_{2 n+1} \leq m^{*} X<\infty.$
De ahí
$\sum_{n=0}^{\infty} m^{*} D_{n}<\infty;$
que así
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n}^{\infty} m^{*} D_{k}=0.$
(¿por qué?) Por lo tanto
$(\forall \varepsilon>0)(\exists n) \sum_{k=n}^{\infty} m^{*} D_{k}<\varepsilon.$
También,
$X=\bigcup_{k=0}^{\infty} D_{k}=\bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k} \cup \bigcup_{k=n}^{\infty} D_{k};$
así
$m^{*} X \leq m^{*} \bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k}+\sum_{k=n}^{\infty} m^{*} D_{k}<m^{*} \bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k}+\varepsilon.$
Añadiendo$$m^{*} Y$$ en ambos lados, obtener
$m^{*} X+m^{*} Y \leq m^{*} \bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k}+m^{*} Y+\varepsilon.$
Por otra parte,
$\rho\left(\bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k}, Y\right)>0,$
para$$Y \subseteq-G$$ y
$\rho\left(D_{k},-G\right) \geq \frac{1}{k+1}.$
De ahí por el CP,
$m^{*} Y+\sum_{k=0}^{n-1} m^{*} D_{k}=m^{*}\left(Y \cup \bigcup_{k=0}^{n-1} D_{k}\right)<m^{*}(Y \cup X).$
(¿Por qué?) Combinando con (iii), obtener
$m^{*} X+m^{*} Y \leq m^{*}(X \cup Y)+\varepsilon.$
Ahora vamos$$\varepsilon \rightarrow 0$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\Rightarrow$$Mostrar que si$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ es una medida, hay$$P \in \mathcal{M},$$ con
$m P=\max \{m X | X \in \mathcal{M}\}.$
[Pista: Dejar
$k=\sup \{m X | X \in \mathcal{M}\}$
entrar$$E^{*}.$$ Como$$k \geq 0,$$ hay una secuencia$$r_{n} \nearrow k, r_{n}<k.$$ (Si se$$k=\infty,$$ establece$$r_{n}=n;$$ si$$\left.k<\infty, r_{n}=k-\frac{1}{n}.\right)$$ Por propiedades lub,
$(\forall n)\left(\exists X_{n} \in \mathcal{M}\right) \quad r_{n}<m X_{n} \leq k,$
con$$\left\{X_{n}\right\} \uparrow$$ (Problema 9 en §3). Establecer
$P=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}.$
Mostrar eso
$m P=\lim _{n \rightarrow \infty} m X_{n}=k.]$

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\Rightarrow^{*}$$Dada una medida$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*},$$ dejemos
$\overline{\mathcal{M}}=\{\text {all sets of the form } X \cup Z \text { where } X \in \mathcal{M} \text { and } Z \text { is } m \text{-null}\}.$
Demostrar que$$\overline{\mathcal{M}}$$ es un$$\sigma$$ anillo$$\supseteq \mathcal{M}$$.
[Pista: Para probar que
$(\forall A, B \in \overline{\mathcal{M}}) \quad A-B \in \overline{\mathcal{M}},$
supongamos primero$$A \in \mathcal{M}$$ y$$B$$ es “nulo”, es decir,$$B \subseteq U \in \mathcal{M}, m U=0$$.
Mostrar que
$A-B=X \cup Z,$
con$$X=A-U \in \mathcal{M}$$ y$$Z=A \cap U-B m$$ -null ($$Z$$está sombreado en la Figura 31).

A continuación, si$$A, B \in \overline{\mathcal{M}},$$ vamos$$A=X \cup Z$$$$B=X^{\prime} \cup Z^{\prime},$$ donde$$X, X^{\prime} \in \mathcal{M}$$ y$$Z, Z^{\prime}$$ son$$m$$ -nulos. De ahí
\begin{aligned} A-B &=(X \cup Z)-B \\ &=(X-B) \cup(Z-B) \\ &=(X-B) \cup Z^{\prime \prime}, \end{aligned}
donde
$Z^{\prime \prime}=Z-B$
es$$m$$ -null. También,$$B=X^{\prime} \cup Z^{\prime}$$ implica
$X-B=\left(X-X^{\prime}\right)-Z^{\prime} \in \overline{\mathcal{M}},$
por la primera parte de la prueba.
Deducir eso
$A-B=(X-B) \cup Z^{\prime \prime} \in \overline{\mathcal{M}}$
(después de verificar el cierre bajo sindicatos).]

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$\Rightarrow^{*}$$Continuando Problema 14, defina$$\overline{m} : \overline{\mathcal{M}} \rightarrow E^{*}$$ configurando$$\overline{m} A=m X$$ siempre$$A=X \cup Z,$$ con$$X \in \mathcal{M}$$ y$$Z$$$$m$$ -null. (Demostrar que$$\overline{m} A$$ no depende de la representación particular de$$A$$ as$$X \cup Z$$.)
Demostrar lo siguiente.
(i)$$\overline{m}$$ es una medida completa (llamada terminación de$$m$$), con$$\overline{m}=m$$ on$$\mathcal{M}.$$
(ii)$$\overline{m}$$ es la extensión menos completa de$$m;$$ eso es, si$$n : \mathcal{N} \rightarrow E^{*}$$ es otra medida completa, con$$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$$ y$$n=m$$ sobre $$\mathcal{M},$$entonces$$\overline{\mathcal{M}} \subseteq \mathcal{N}$$ y$$n=\overline{m}$$ en$$\overline{\mathcal{M}}.$$
(iii)$$m=\overline{m}$$ iff$$m$$ está completo.

## Ejercicio$$\PageIndex{16*}$$

Mostrar que si$$m : \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*}$$ es inducido por una medida externa$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular$$\mu^{*},$$ entonces$$m$$ es igual a su extensión$$m^{\prime}$$ y finalización de Lebesgue$$\overline{m}$$ (ver Problema 15).
[Pista: Por Definición 3 en §5,$$m$$ induce una medida externa$$m^{*}.$$ Por Teorema 3 en §5,
$m^{*} A=\inf \left\{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M}^{*}\right\}=\mu^{*} A$
(para$$\mu^{*}$$ es$$\mathcal{M}^{*}$$ -regular).
A medida$$m^{*}=\mu^{*},$$ que obtenemos$$m^{\prime}=m.$$ También,$$m=\overline{m},$$ por Problema 15 (iii).]

## Ejercicio$$\PageIndex{17*}$$

Demostrar que si una medida$$\mu : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ es$$\sigma$$ -finita (Definición 4 en §5), con$$S \in \mathcal{M},$$ entonces su extensión Lebesgue$$m : \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*}$$ equivale a su finalización$$\overline{\mu}$$ (ver Problema 15).
[Esquema: Baste probar$$\mathcal{M}^{*} \subseteq \overline{\mathcal{M}}.$$ (¿Por qué?)
Para empezar, vamos$$A \in \mathcal{M}^{*}, m A<\infty.$$ Por Problema 12 en §5,
$(\exists B \in \mathcal{M}) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m A=m B<\infty;$
así
$m(B-A)=m B-m A=0.$
También,
$(\exists H \in \mathcal{M}) \quad B-A \subseteq H \text { and } \mu H=m(B-A)=0.$
Así$$B-A$$ es$$\mu$$ -null; entonces$$B-A \in \overline{\mathcal{M}}.$$ (¿Por qué?) Deducir que
$A=B-(B-A) \in \overline{\mathcal{M}}.$
Así$$\overline{\mathcal{M}}$$ contiene cualquiera$$A \in \mathcal{M}^{*}$$ con$$m A<\infty.$$ Use la$$\sigma$$ -finitud de$$\mu$$ para mostrar
$\left.\left(\forall x \in \mathcal{M}^{*}\right)\left(\exists\left\{A_{n}\right\} \subseteq \mathcal{M}^{*}\right) \quad m A_{n}<\infty \text { and } X=\bigcup_{n} A_{n} \in \overline{\mathcal{M}}.\right]$

7.6.E: Problemas en las Medidas y Medidas Exteriores is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.