7.7: Topologías. Conjuntos Borel. Medidas Borel
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I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo\((S, \rho),\) hay una familia\(\mathcal{G}\) de sets abiertos, y una familia\(\mathcal{F}\) de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.
(i)\(\mathcal{G}\) se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,
\[\emptyset \in \mathcal{G} \text { and } S \in \mathcal{G},\]
(ii)\(\mathcal{F}\) tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,
\[A \in \mathcal{F} \text { iff }-A \in \mathcal{G}.\]
Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas en\(S,\) sino más bien señalar dos familias de conjuntos,\(\mathcal{G}\) y\(\mathcal{F},\) con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vez\(\mathcal{G}\) y\(\mathcal{F}\) se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.
Una topología para un conjunto\(S\) es cualquier familia de conjuntos\(\mathcal{G} \subseteq 2^{S},\) con propiedades (i).
A la pareja se le llama\((S, \mathcal{G})\) entonces un espacio topológico. Si la confusión es poco probable, simplemente escribimos\(S\) para\((S, \mathcal{G}).\)
\(\mathcal{G}\)-conjuntos se denominan conjuntos abiertos; sus complementos forman la familia\(\mathcal{F}\) (llamada cotopología) de todos los conjuntos cerrados en\(S; \mathcal{F}\) satisface (ii) (la prueba es como en el Teorema 3 del Capítulo 3, §12).
Cualquier espacio métrico puede ser tratado como topológico (con\(\mathcal{G}\) definido como en el Capítulo 3, §12), pero lo contrario no es cierto. Así\((S, \mathcal{G})\) es más general.
Nota 1. Por Problema 15 en Capítulo 4, §2, un mapa
\[f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\]
es continuo iff\(f^{-1}[B]\) está abierto en\(S\) cada vez que\(B\) está abierto en\(T\).
Adoptamos esto como una definición, para espacios topológicos\(S, T\).
Muchas otras nociones (barrios, límites, etc.) se trasladan de espacios métricos simplemente tratándose\(G_{p}\) como “un conjunto abierto que contiene\(p.\)" (Ver Problema 3.)
Nota 2. Por (i), seguramente\(\mathcal{G}\) se cierra bajo sindicatos contables. Así, por la Nota 2 en §3,
\[\mathcal{G}=\mathcal{G}_{\sigma}.\]
Además,\(\mathcal{G}=\mathcal{G}_{d}\) y
\[\mathcal{F}_{\delta}=\mathcal{F}=\mathcal{F}_{s},\]
pero no
\[\mathcal{G}=\mathcal{G}_{\delta} \text { or } \mathcal{F}=\mathcal{F}_{\sigma}\]
en general.
\(\mathcal{G}\)y no es\(\mathcal{F}\) necesario que sean anillos o\(\sigma\) anillos (el cierre falla por diferencias). Pero por Teorema 2 en §3,\(\mathcal{G}\) y\(\mathcal{F}\) puede ser “incrustado” en un\(\sigma\) anillo más pequeño. Lo nombramos en la siguiente definición.
El\(\sigma\) -anillo\(\mathcal{B}\) generado por una topología\(\mathcal{G}\) en\(S\) se llama el campo Borel en\(S.\) (Es un\(\sigma\) -campo, como\(S \in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{B}.)\)
Equivalentemente,\(\mathcal{B}\) es el menos\(\sigma\) anillo\(\supseteq \mathcal{F}.\) (¿Por qué?)
\(\mathcal{B}\)-sets se llaman Borel sets in\((S, \mathcal{G})\).
Como\(\mathcal{B}\) se cierra bajo uniones e intersecciones contables, no solo tenemos
\[\mathcal{B} \supseteq \mathcal{G} \text { and } \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F},\]
sino también
\[\mathcal{B} \supseteq \mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma}, \mathcal{B} \supseteq \mathcal{G}_{\delta \sigma}\left[\text { i.e. },\left(\mathcal{G}_{\delta}\right)_{\sigma}\right], \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma \delta}, \text { etc.}\]
Tenga en cuenta que
\[\mathcal{G}_{\delta \delta}=\mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{F}_{\sigma \sigma}=\mathcal{F}_{\sigma}, \text { etc. (Why?)}\]
II. Las nociones especiales se aplican a las medidas en espacios métricos y topológicos.
Una medida\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) in\((S, \mathcal{G})\) se llama topológica iff,\(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M},\) es decir, todos los conjuntos abiertos son medibles;\(m\) es una medida de Borel iff\(\mathcal{M}=\mathcal{B}\).
Nota 3. Si\(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M}\) (un\(\sigma\) anillo), entonces también\(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}\) dado que\(\mathcal{B}\) es, por definición, el menos\(\sigma\) anillo\(\supseteq \mathcal{G}.\)
Así\(m\) es el iff topológico\(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}\) (de ahí seguramente\(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{M}, \mathcal{G}_{\delta} \subseteq \mathcal{M}, \mathcal{F}_{\sigma} \subseteq \mathcal{M}\), etc.).
También se deduce que cualquier medida topológica puede restringirse\(\mathcal{B}\) a obtener una medida Borel, llamada su restricción Borel.
Una medida\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) in\((S, \mathcal{G})\) se llama regular iff es regular con respecto a\(\mathcal{M} \cap \mathcal{G},\) los conjuntos abiertos medibles; es decir,
\[(\forall A \in \mathcal{M}) \quad m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\}.\]
Si\(m\) es topológico\((\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M}),\) esto simplifica a
\[m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\},\]
es decir,\(m\) es\(\mathcal{G}\) -regular (Definición 5 en §5).
Una medida\(m\) es fuertemente regular iff para cualquier\(A \in \mathcal{M}\) y\(\varepsilon>0,\) hay un conjunto abierto\(G \in \mathcal{M}\) y un conjunto cerrado\(F \in \mathcal{M}\) tal que
\[F \subseteq A \subseteq G, \text { with } m(A-F)<\varepsilon \text { and } m(G-A)<\varepsilon;\]
así\(A\) pueden ser “aproximados” por superconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados, ambos medibles. Como se ve fácilmente, esto implica regularidad.
Una especie de converse viene dada por el siguiente teorema.
Si una medida\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) en\((S, \mathcal{G})\) es regular y\(\sigma\) -finita (ver Definición 4 en §5), con\(S \in \mathcal{M},\) entonces también\(m\) es fuertemente regular.
- Prueba
-
Arreglar\(\varepsilon>0\) y dejar\(m A<\infty\).
Por regularidad,
\[m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\};\]
por lo que hay un conjunto\(X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\) (medible y abierto), con
\[A \subseteq X \text { and } m X<m A+\varepsilon.\]
Entonces
\[m(X-A)=m X-m A<\varepsilon,\]
y\(X\) es el conjunto abierto\(G\) requerido en (2).
Si, sin embargo,\(m A=\infty,\) use\(\sigma\) -finitud para obtener
\[A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} X_{k}\]
para algunos conjuntos\(X_{k} \in \mathcal{M}, m X_{k}<\infty;\) por lo
\[A=\bigcup_{k}\left(A \cap X_{k}\right).\]
Poner
\[A_{k}=A \cap X_{k} \in \mathcal{M}.\]
(¿Por qué?) Entonces
\[A=\bigcup_{k} A_{k},\]
y
\[m A_{k} \leq m X_{k}<\infty.\]
Ahora bien, por lo que se demostró anteriormente, para cada uno\(A_{k}\) hay un abierto mensurable\(G_{k} \supseteq A_{k},\) con
\[m\left(G_{k}-A_{k}\right)<\frac{\varepsilon}{2^{k}},\]
Set
\[G=\bigcup_{k=1}^{\infty} G_{k}.\]
Entonces\(G \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\) y\(G \supseteq A.\) Por otra parte,
\[G-A=\bigcup_{k} G_{k}-\bigcup_{k} A_{k} \subseteq \bigcup_{k}\left(G_{k}-A_{k}\right).\]
(¡Verifica!) Así, por\(\sigma\) -subaditividad,
\[m(G-A) \leq \sum_{k} m\left(G_{k}-A_{k}\right)<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon,\]
según sea necesario.
Para encontrar también el conjunto cerrado\(F,\) considere
\[-A=S-A \in \mathcal{M}.\]
Como se muestra arriba, hay un conjunto abierto medible\(G^{\prime} \supseteq-A,\) con
\[\varepsilon>m\left(G^{\prime}-(-A)\right)=m\left(G^{\prime} \cap A\right)=m\left(A-\left(-G^{\prime}\right)\right).\]
Entonces
\[F=-G^{\prime} \subseteq A\]
es el conjunto cerrado deseado, con\(m(A-F)<\varepsilon. \quad \square\)
Si\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) es una medida fuertemente regular en\((S, \mathcal{G}),\) entonces para cualquiera\(A \in \mathcal{M},\) hay conjuntos medibles\(H \in \mathcal{F}_{\sigma}\) y\(K \in \mathcal{G}_{\delta}\) tal que
\[H \subseteq A \subseteq K \text { and } m(A-H)=0=m(K-A);\]
de ahí
\[m A=m H=m K.\]
- Prueba
-
Dejar\(A \in \mathcal{M}.\) Por una fuerte regularidad, dado que\(\varepsilon_{n}=1 / n,\) uno encuentra conjuntos medibles
\[G_{n} \in \mathcal{G} \text { and } F_{n} \in \mathcal{F}, \quad n=1,2, \ldots,\]
tal que
\[F_{n} \subseteq A \subseteq G_{n}\]
y
\[m\left(A-F_{n}\right)<\frac{1}{n} \text { and } m\left(G_{n}-A\right)<\frac{1}{n}, \quad n=1,2, \ldots.\]
Let
\[H=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n} \text { and } K=\bigcap_{n=1}^{\infty} G_{n}.\]
Entonces\(H, K \in \mathcal{M}, H \in \mathcal{F}_{\sigma}, K \in \mathcal{G}_{\delta},\) y
\[H \subseteq A \subseteq K.\]
También,\(F_{n} \subseteq H\) y\(G_{n} \supseteq K\).
De ahí
\[A-H \subseteq A-F_{n} \text { and } K-A \subseteq G_{n}-A;\]
así por (4),
\[m(A-H)<\frac{1}{n} \rightarrow 0 \text { and } m(K-A)<\frac{1}{n} \rightarrow 0.\]
Por último,
\[m A=m(A-H)+m H=m H,\]
y de manera similar\(m A=m K\).
Así todo está probado. \(\quad \square\)