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7.7: Topologías. Conjuntos Borel. Medidas Borel

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I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo$$(S, \rho),$$ hay una familia$$\mathcal{G}$$ de sets abiertos, y una familia$$\mathcal{F}$$ de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.

(i)$$\mathcal{G}$$ se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,

$\emptyset \in \mathcal{G} \text { and } S \in \mathcal{G},$

(ii)$$\mathcal{F}$$ tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,

$A \in \mathcal{F} \text { iff }-A \in \mathcal{G}.$

Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas en$$S,$$ sino más bien señalar dos familias de conjuntos,$$\mathcal{G}$$ y$$\mathcal{F},$$ con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vez$$\mathcal{G}$$ y$$\mathcal{F}$$ se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición 1

Una topología para un conjunto$$S$$ es cualquier familia de conjuntos$$\mathcal{G} \subseteq 2^{S},$$ con propiedades (i).

A la pareja se le llama$$(S, \mathcal{G})$$ entonces un espacio topológico. Si la confusión es poco probable, simplemente escribimos$$S$$ para$$(S, \mathcal{G}).$$

$$\mathcal{G}$$-conjuntos se denominan conjuntos abiertos; sus complementos forman la familia$$\mathcal{F}$$ (llamada cotopología) de todos los conjuntos cerrados en$$S; \mathcal{F}$$ satisface (ii) (la prueba es como en el Teorema 3 del Capítulo 3, §12).

Cualquier espacio métrico puede ser tratado como topológico (con$$\mathcal{G}$$ definido como en el Capítulo 3, §12), pero lo contrario no es cierto. Así$$(S, \mathcal{G})$$ es más general.

Nota 1. Por Problema 15 en Capítulo 4, §2, un mapa

$f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$

es continuo iff$$f^{-1}[B]$$ está abierto en$$S$$ cada vez que$$B$$ está abierto en$$T$$.

Adoptamos esto como una definición, para espacios topológicos$$S, T$$.

Muchas otras nociones (barrios, límites, etc.) se trasladan de espacios métricos simplemente tratándose$$G_{p}$$ como “un conjunto abierto que contiene$$p.$$" (Ver Problema 3.)

Nota 2. Por (i), seguramente$$\mathcal{G}$$ se cierra bajo sindicatos contables. Así, por la Nota 2 en §3,

$\mathcal{G}=\mathcal{G}_{\sigma}.$

Además,$$\mathcal{G}=\mathcal{G}_{d}$$ y

$\mathcal{F}_{\delta}=\mathcal{F}=\mathcal{F}_{s},$

pero no

$\mathcal{G}=\mathcal{G}_{\delta} \text { or } \mathcal{F}=\mathcal{F}_{\sigma}$

en general.

$$\mathcal{G}$$y no es$$\mathcal{F}$$ necesario que sean anillos o$$\sigma$$ anillos (el cierre falla por diferencias). Pero por Teorema 2 en §3,$$\mathcal{G}$$ y$$\mathcal{F}$$ puede ser “incrustado” en un$$\sigma$$ anillo más pequeño. Lo nombramos en la siguiente definición.

Definición 2

El$$\sigma$$ -anillo$$\mathcal{B}$$ generado por una topología$$\mathcal{G}$$ en$$S$$ se llama el campo Borel en$$S.$$ (Es un$$\sigma$$ -campo, como$$S \in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{B}.)$$

Equivalentemente,$$\mathcal{B}$$ es el menos$$\sigma$$ anillo$$\supseteq \mathcal{F}.$$ (¿Por qué?)

$$\mathcal{B}$$-sets se llaman Borel sets in$$(S, \mathcal{G})$$.

Como$$\mathcal{B}$$ se cierra bajo uniones e intersecciones contables, no solo tenemos

$\mathcal{B} \supseteq \mathcal{G} \text { and } \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F},$

sino también

$\mathcal{B} \supseteq \mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma}, \mathcal{B} \supseteq \mathcal{G}_{\delta \sigma}\left[\text { i.e. },\left(\mathcal{G}_{\delta}\right)_{\sigma}\right], \mathcal{B} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma \delta}, \text { etc.}$

Tenga en cuenta que

$\mathcal{G}_{\delta \delta}=\mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{F}_{\sigma \sigma}=\mathcal{F}_{\sigma}, \text { etc. (Why?)}$

II. Las nociones especiales se aplican a las medidas en espacios métricos y topológicos.

Definición 3

Una medida$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ in$$(S, \mathcal{G})$$ se llama topológica iff,$$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M},$$ es decir, todos los conjuntos abiertos son medibles;$$m$$ es una medida de Borel iff$$\mathcal{M}=\mathcal{B}$$.

Nota 3. Si$$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M}$$ (un$$\sigma$$ anillo), entonces también$$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}$$ dado que$$\mathcal{B}$$ es, por definición, el menos$$\sigma$$ anillo$$\supseteq \mathcal{G}.$$

Así$$m$$ es el iff topológico$$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}$$ (de ahí seguramente$$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{M}, \mathcal{G}_{\delta} \subseteq \mathcal{M}, \mathcal{F}_{\sigma} \subseteq \mathcal{M}$$, etc.).

También se deduce que cualquier medida topológica puede restringirse$$\mathcal{B}$$ a obtener una medida Borel, llamada su restricción Borel.

Definición 4

Una medida$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ in$$(S, \mathcal{G})$$ se llama regular iff es regular con respecto a$$\mathcal{M} \cap \mathcal{G},$$ los conjuntos abiertos medibles; es decir,

$(\forall A \in \mathcal{M}) \quad m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\}.$

Si$$m$$ es topológico$$(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{M}),$$ esto simplifica a

$m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\},$

es decir,$$m$$ es$$\mathcal{G}$$ -regular (Definición 5 en §5).

Definición 5

Una medida$$m$$ es fuertemente regular iff para cualquier$$A \in \mathcal{M}$$ y$$\varepsilon>0,$$ hay un conjunto abierto$$G \in \mathcal{M}$$ y un conjunto cerrado$$F \in \mathcal{M}$$ tal que

$F \subseteq A \subseteq G, \text { with } m(A-F)<\varepsilon \text { and } m(G-A)<\varepsilon;$

así$$A$$ pueden ser “aproximados” por superconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados, ambos medibles. Como se ve fácilmente, esto implica regularidad.

Una especie de converse viene dada por el siguiente teorema.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si una medida$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ en$$(S, \mathcal{G})$$ es regular y$$\sigma$$ -finita (ver Definición 4 en §5), con$$S \in \mathcal{M},$$ entonces también$$m$$ es fuertemente regular.

Prueba

Arreglar$$\varepsilon>0$$ y dejar$$m A<\infty$$.

$m A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}\};$

por lo que hay un conjunto$$X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}$$ (medible y abierto), con

$A \subseteq X \text { and } m X<m A+\varepsilon.$

Entonces

$m(X-A)=m X-m A<\varepsilon,$

y$$X$$ es el conjunto abierto$$G$$ requerido en (2).

Si, sin embargo,$$m A=\infty,$$ use$$\sigma$$ -finitud para obtener

$A \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} X_{k}$

para algunos conjuntos$$X_{k} \in \mathcal{M}, m X_{k}<\infty;$$ por lo

$A=\bigcup_{k}\left(A \cap X_{k}\right).$

Poner

$A_{k}=A \cap X_{k} \in \mathcal{M}.$

(¿Por qué?) Entonces

$A=\bigcup_{k} A_{k},$

y

$m A_{k} \leq m X_{k}<\infty.$

Ahora bien, por lo que se demostró anteriormente, para cada uno$$A_{k}$$ hay un abierto mensurable$$G_{k} \supseteq A_{k},$$ con

$m\left(G_{k}-A_{k}\right)<\frac{\varepsilon}{2^{k}},$

Set

$G=\bigcup_{k=1}^{\infty} G_{k}.$

Entonces$$G \in \mathcal{M} \cap \mathcal{G}$$ y$$G \supseteq A.$$ Por otra parte,

$G-A=\bigcup_{k} G_{k}-\bigcup_{k} A_{k} \subseteq \bigcup_{k}\left(G_{k}-A_{k}\right).$

(¡Verifica!) Así, por$$\sigma$$ -subaditividad,

$m(G-A) \leq \sum_{k} m\left(G_{k}-A_{k}\right)<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon,$

según sea necesario.

Para encontrar también el conjunto cerrado$$F,$$ considere

$-A=S-A \in \mathcal{M}.$

Como se muestra arriba, hay un conjunto abierto medible$$G^{\prime} \supseteq-A,$$ con

$\varepsilon>m\left(G^{\prime}-(-A)\right)=m\left(G^{\prime} \cap A\right)=m\left(A-\left(-G^{\prime}\right)\right).$

Entonces

$F=-G^{\prime} \subseteq A$

es el conjunto cerrado deseado, con$$m(A-F)<\varepsilon. \quad \square$$

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ es una medida fuertemente regular en$$(S, \mathcal{G}),$$ entonces para cualquiera$$A \in \mathcal{M},$$ hay conjuntos medibles$$H \in \mathcal{F}_{\sigma}$$ y$$K \in \mathcal{G}_{\delta}$$ tal que

$H \subseteq A \subseteq K \text { and } m(A-H)=0=m(K-A);$

de ahí

$m A=m H=m K.$

Prueba

Dejar$$A \in \mathcal{M}.$$ Por una fuerte regularidad, dado que$$\varepsilon_{n}=1 / n,$$ uno encuentra conjuntos medibles

$G_{n} \in \mathcal{G} \text { and } F_{n} \in \mathcal{F}, \quad n=1,2, \ldots,$

tal que

$F_{n} \subseteq A \subseteq G_{n}$

y

$m\left(A-F_{n}\right)<\frac{1}{n} \text { and } m\left(G_{n}-A\right)<\frac{1}{n}, \quad n=1,2, \ldots.$

Let

$H=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n} \text { and } K=\bigcap_{n=1}^{\infty} G_{n}.$

Entonces$$H, K \in \mathcal{M}, H \in \mathcal{F}_{\sigma}, K \in \mathcal{G}_{\delta},$$ y

$H \subseteq A \subseteq K.$

También,$$F_{n} \subseteq H$$ y$$G_{n} \supseteq K$$.

De ahí

$A-H \subseteq A-F_{n} \text { and } K-A \subseteq G_{n}-A;$

así por (4),

$m(A-H)<\frac{1}{n} \rightarrow 0 \text { and } m(K-A)<\frac{1}{n} \rightarrow 0.$

Por último,

$m A=m(A-H)+m H=m H,$

y de manera similar$$m A=m K$$.

Así todo está probado. $$\quad \square$$

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